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Resolução de uma equação biquadrada


Na resolução de uma equação biquadrada em IR, devemos substituir sua variável, transformando-a numa equação do 2º grau. Observe agora o procedimento que deve ser utilizado.

Sequência prática:

  • Substitua x4 por y2 (ou qualquer outra incógnita elevada ao quadrado) e x2 por y.

  • Resolva a equação ay2 + by + c = 0.

  • Determine a raiz quadrada de cada uma da raízes ( y'e y") da equação ay2 + by + c = 0.
    Essas duas relações indicam-nos que cada raiz positiva da equação ay2 + by + c = 0 dá origem a duas raízes simétricas para a biquadrada: a raiz negativa não dá origem a nenhuma raiz real para a mesma.

Exemplos:

  • Determine as raízes da equação biquadrada x4 - 13 x2 + 36 = 0.
    Solução:
    Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:
    y2 - 13y + 36 = 0
    Resolvendo essa equação, obtemos:
    y'=4 e y"=9
    Como x2= y, temos:

    Logo, temos para conjunto verdade: V={ -3, -2, 2, 3}.

  • Determine as raízes da equação biquadrada x4 + 4x2 - 60 = 0.
    Solução:Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:
    y2 + 4y - 60 = 0
    Resolvendo essa equação, obtemos:
    y'=6 e y"= -10
    Como x2= y, temos:

    Logo, temos para o conjunto verdade:.

  • Determine a soma das raízes da equação .
    Solução:Utilizamos o seguinte artifício:

    Assim:
    y2 - 3y = -2
    y2 - 3y + 2 = 0
    y'=1 e y"=2
    Substituindo y, determinamos:

    Logo, a soma das raízes é dada por:

Resolução de equações da forma: ax2n + bxn + c = 0

Esse tipo de equação pode ser resolvida da mesma forma que a biquadrada. Para isso, substituimos xn por y, obtendo:

ay2 + by + c = 0, que é uma equação do 2º grau.

Exemplo:

  • Resolva a equação x6 + 117x3 - 1.000 = 0.
    Solução:
    Fazendo x3=y, temos:
    y2 + 117y - 1.000 = 0

    Resolvendo a equação, obtemos:
    y'= 8 e y"= - 125
    Então:

    Logo, V= {-5, 2 }.

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