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2.5: Estrelas e Barras - Matemática


Investigar!

Suponha que você tenha um certo número de cubos de Rubik idênticos para distribuir aos seus amigos. Imagine que você comece com uma única linha de cubos.

  1. Encontre o número de maneiras diferentes de distribuir os cubos fornecidos:
    1. Você tem 3 cubos para dar a 2 pessoas.
    2. Você tem 4 cubos para dar a 2 pessoas.
    3. Você tem 5 cubos para dar a 2 pessoas.
    4. Você tem 3 cubos para dar a 3 pessoas.
    5. Você tem 4 cubos para dar a 3 pessoas.
    6. Você tem 5 cubos para dar a 3 pessoas.
  2. Faça uma conjectura sobre de quantas maneiras diferentes você poderia distribuir 7 cubos para 4 pessoas. Explique.
  3. E se cada pessoa fosse obrigada a obter pelo menos um cubo? Como suas respostas mudariam?

Considere o seguinte problema de contagem:

Você tem 7 biscoitos para dar a 4 crianças. De quantas maneiras você pode fazer isso?

Reserve um momento para pensar em como você pode resolver esse problema. Você pode presumir que é aceitável não dar cookies a uma criança. Além disso, os cookies são todos idênticos e a ordem em que você os distribui não importa.

Antes de resolver o problema, aqui está uma resposta errada: Você pode adivinhar que a resposta deveria ser (4 ^ 7 ) porque para cada um dos 7 cookies, há 4 opções de crianças para as quais você pode dar o cookie. Isso é razoável, mas errado. Para ver o motivo, considere alguns resultados possíveis: poderíamos atribuir os primeiros seis cookies à criança A e o sétimo cookie à criança B. Outro resultado atribuiria o primeiro cookie à criança B e os seis cookies restantes à criança A. Ambos os resultados estão incluídos na resposta (4 ^ 7 ). Mas para o nosso problema de contagem, ambos os resultados são realmente os mesmos - a criança A ganha seis biscoitos e a criança B ganha um biscoito.

Qual é a aparência real dos resultados? Como podemos representá-los? Uma abordagem seria escrever um resultado como uma sequência de quatro números como este:

begin {equation *} 3112, end {equation *}

que representam o resultado em que a primeira criança ganha 3 biscoitos, a segunda e a terceira crianças ganham 1 biscoito cada e a quarta criança ganha 2 biscoitos. Representado dessa forma, a ordem em que os números ocorrem é importante. 1312 é um resultado diferente, porque a primeira criança recebe um cookie em vez de 3. Cada número na string pode ser qualquer inteiro entre 0 e 7. Mas a resposta não é (7 ^ 4 text {.} ) Nós precisa do soma dos números a ser 7.

Outra maneira de representar os resultados é escrever uma sequência de sete letras:

begin {equation *} mbox {ABAADCD}, end {equation *}

que representa que o primeiro cookie vai para o filho A, o segundo cookie vai para o filho B, o terceiro e o quarto vão para o filho A e assim por diante. Na verdade, esse resultado é idêntico ao anterior - A recebe 3 cookies, B e C recebem 1 cada e D obtém 2. Cada uma das sete letras na string pode ser qualquer uma das 4 letras possíveis (uma para cada criança) , mas o número de tais strings não é (4 ^ 7 text {,} ) porque aqui a ordem não matéria. Na verdade, outra maneira de escrever o mesmo resultado é

begin {equation *} mbox {AAABCDD}. end {equação *}

Esta será a representação preferida do resultado. Uma vez que podemos escrever as letras em qualquer ordem, podemos também escrevê-las em em ordem alfabética pedido para fins de contagem. Então, vamos escrever todos os A's primeiro, depois todos os B's e assim por diante.

Agora pense em como você poderia especificar esse resultado. Tudo o que realmente precisamos fazer é dizer quando mudar de uma letra para a próxima. Em termos de cookies, precisamos dizer depois de quantos cookies paramos de dar cookies para a primeira criança e passamos a dar cookies para a segunda criança. E depois de quantos mudamos para o terceiro filho? E depois de quantos mudamos para o quarto? Portanto, outra maneira de representar um resultado é assim:

begin {equation *} *** | * | * | ** end {equation *}

Três cookies vão para a primeira criança, então trocamos e damos um cookie para a segunda criança, então trocamos, um para a terceira criança, trocamos, dois para a quarta criança. Observe que precisamos de 7 estrelas e 3 barras - uma estrela para cada biscoito e uma barra para cada troca entre crianças, portanto, uma barra a menos do que o número de crianças (não precisamos trocar depois da última criança - terminamos) .

Por que fizemos tudo isso? Simples: para contar quantas maneiras de distribuir 7 cookies para 4 crianças, tudo o que precisamos fazer é contar quantas estrelas e bares gráficos existem. Mas um estrelas e gráfico de barras é apenas uma sequência de símbolos, algumas estrelas e algumas barras. Se, em vez de estrelas e barras, usássemos 0 e 1, seria apenas uma string de bits. Nós sabemos como contá-los.

Antes de ficarmos muito animados, devemos ter certeza de que realmente algum seqüência de (no nosso caso) 7 estrelas e 3 barras corresponde a uma forma diferente de distribuir biscoitos para crianças. Em particular, considere uma string como esta:

begin {equation *} | *** || **** end {equation *}

Isso corresponde a uma distribuição de cookies? sim. Representa a distribuição em que a criança A recebe 0 cookies (porque mudamos para a criança B antes de qualquer estrela), a criança B recebe três cookies (três estrelas antes da próxima barra), a criança C recebe 0 cookies (sem estrelas antes da próxima barra) e a criança D recebe os 4 cookies restantes. Não importa como as estrelas e as barras estão dispostas, podemos distribuir cookies dessa forma. Além disso, dada a forma de distribuição de cookies, podemos representar isso com um gráfico de estrelas e barras. Por exemplo, a distribuição em que a criança A recebe 6 cookies e a criança B recebe 1 cookie tem o seguinte gráfico:

begin {equation *} ****** | * || end {equação *}

Depois de todo esse trabalho, finalmente estamos prontos para contar. Cada forma de distribuição de biscoitos corresponde a um gráfico de estrelas e barras com 7 estrelas e 3 barras. Portanto, existem 10 símbolos e devemos escolher 3 deles para serem barras. Desse modo:

begin {equation *} mbox {Existem} {10 choose 3} mbox {maneiras de distribuir 7 cookies para 4 crianças.} end {equation *}

Enquanto estamos nisso, também podemos responder a uma pergunta relacionada: quantas maneiras existem para distribuir 7 cookies para 4 crianças para que cada criança receba pelo menos um cookie? O que você pode dizer sobre os gráficos de estrelas e barras correspondentes? Os gráficos devem começar e terminar com pelo menos uma estrela (para que as crianças A e D) recebam os cookies, e também não podem haver duas barras adjacentes (para que as crianças B e C não sejam puladas). Uma maneira de garantir isso é colocar apenas barras nos espaços entre as estrelas. Com 7 estrelas, existem 6 pontos entre as estrelas, então devemos escolher 3 desses 6 pontos para preencher com barras. Portanto, existem ({6 escolha 3} ) maneiras de distribuir 7 cookies para 4 crianças, dando pelo menos um cookie para cada criança.

Outra maneira (e mais geral) de abordar esse problema modificado é primeiro dar a cada criança um cookie. Agora os 3 cookies restantes podem ser distribuídos às 4 crianças sem restrições. Portanto, temos 3 estrelas e 3 barras para um total de 6 símbolos, 3 dos quais devem ser barras. Novamente, vemos que existem ({6 choose 3} ) maneiras de distribuir os cookies.

Estrelas e barras podem ser usadas na contagem de problemas que não sejam crianças e biscoitos. Aqui estão alguns exemplos:

Exemplo ( PageIndex {1} )

Sua rede de pizza matemática favorita oferece 10 coberturas. Quantas pizzas você pode fazer se tiver 6 coberturas? A ordem das coberturas não importa, mas agora você pode repetir. Portanto, uma pizza possível é linguiça tripla, abacaxi duplo e cebola.

Solução

Recebemos 6 coberturas (contando as repetições possíveis). Represente cada uma dessas coberturas como uma estrela. Pense em descer no menu uma cobertura de cada vez: você vê as anchovas primeiro e pula para a próxima, a salsicha. Você diz sim para a salsicha 3 vezes (use 3 estrelas) e depois muda para a próxima cobertura da lista. Você continua pulando até chegar ao abacaxi, para o qual você diz sim duas vezes. Outra mudança e você está nas cebolas. Você diz sim uma vez. Então você continua trocando até chegar à última cobertura, nunca dizendo sim novamente (já que você já disse sim 6 vezes. Existem 10 coberturas para escolher, então devemos mudar de considerar uma cobertura para as próximas 9 vezes. os bares.

Agora que estamos confiantes de que temos o número certo de estrelas e barras, respondemos à pergunta de forma simples: há 6 estrelas e 9 barras, portanto, 15 símbolos. Precisamos escolher 9 deles para serem bares, então o número de pizzas possíveis é

begin {equation *} {15 escolha 9}. end {equação *}


2018 AMC 10A Problemas / Problema 11

Quando padrão justo dados laterais são lançados, a probabilidade de que a soma dos números nas faces superiores seja pode ser escrito como Onde é um número inteiro positivo. O que é ?


Publicado por

PRESH TALWALKAR

Dirijo o canal MindYourDecisions no YouTube, que tem mais de 1 milhão de assinantes e 200 milhões de visualizações. Também sou autor de The Joy of Game Theory: An Introduction to Strategic Thinking, e de vários outros livros disponíveis na Amazon.

(Como você pode esperar, os links dos meus livros vão para suas listagens na Amazon. Como associado da Amazon, ganho com compras qualificadas. Isso não afeta o preço que você paga.)

Por história, comecei o blog Mind Your Decisions em 2007 para compartilhar um pouco de matemática, finanças pessoais, pensamentos pessoais e teoria dos jogos. Foi uma jornada e tanto! Agradeço a todos que compartilharam meu trabalho e sou muito grato pela cobertura da imprensa, incluindo o Shorty Awards, The Telegraph, Freakonomics e muitos outros veículos populares.

Estudei Economia e Matemática na Universidade de Stanford.

As pessoas costumam perguntar como faço os vídeos. Como muitos YouTubers, uso softwares populares para preparar meus vídeos. Você pode pesquisar tutoriais de software de animação no YouTube para aprender como fazer vídeos. Esteja preparado - a animação consome tempo e o software pode ser caro!

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Distribuição de maçãs: pelo menos uma para cada

O próximo problema tem uma pequena reviravolta.

O que discutimos até agora permitia a possibilidade de que algumas urnas estivessem vazias. E se não permitirmos isso?

Claramente, as maçãs (indistinguíveis) serão representadas por estrelas, e os filhos (presumivelmente distinguíveis) são os recipientes. O Dr. Anthony fez isso primeiro:

Parece a mesma ideia, mas algo está diferente. O Dr. Mitteldorf viu que uma explicação adicional seria útil:

Temos a mesma representação de antes, mas com o novo requisito de que nenhuma criança pode ficar de mãos vazias, devemos exigir que duas barras não possam ser adjacentes. Eles devem ser separados por estrelas. Portanto, em vez de apenas colocar barras livremente em qualquer lugar, agora pensamos em intervalos entre as estrelas e colocamos apenas uma barra (se houver) em cada intervalo. Para 8 estrelas e 4 urnas (3 barras), podemos colocar barras em qualquer um dos 7 espaços entre as estrelas (não do lado de fora, pois isso deixaria uma urna vazia):

Isso corresponde ao arranjo:

Este método leva à fórmula geral (para (b ) bolas em (u ) urnas, novamente, onde colocamos (u-1 ) barras em (b-1 ) lacunas) $ <escolher> text <escolher>.$

Novamente, podemos verificar nosso trabalho listando todas as possibilidades ou imaginando fazê-lo e usar alguns atalhos:


2.5: Estrelas e Barras - Matemática

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Versão atualizada disponível

Há um versão atualizada desta atividade. Se você atualizar para a versão mais recente desta atividade, seu progresso atual nesta atividade será apagado. Independentemente disso, seu registro de conclusão permanecerá. Como você gostaria de proceder?

Editor de Expressão Matemática

Usamos o Princípio de Inclusão-Exclusão para enumerar conjuntos.

Lembre-se do Princípio de Inclusão-Exclusão para dois conjuntos:

Nesta seção, vamos generalizar isso para conjuntos, mas primeiro, vamos estendê-lo de dois conjuntos para três conjuntos.

Prova Considere como um conjunto e como o segundo conjunto e aplique o Princípio de Inclusão-Exclusão para dois conjuntos. Temos: Em seguida, use o Princípio de Exclusão de Inclusão para dois conjuntos no primeiro termo e distribua a interseção em todo o sindicato no terceiro termo para obter: Agora, use o Princípio de Exclusão de Inclusão para dois conjuntos no quarto termo para obter: Finalmente, o conjunto no último termo é justo, então temos a forma final do Princípio de Inclusão-Exclusão para três conjuntos:

Agora estendemos a Lei de De Morgan a três conjuntos.

A prova usando a Lei de De Morgan para dois conjuntos duas vezes produz o resultado:

O próximo exemplo usa a Lei de De Morgan (para três conjuntos) em conjunto com a Regra para Complementos e o Princípio de Inclusão-Exclusão (para três conjuntos).

Seja o conjunto de senhas que não contém nenhum dígito seja o conjunto de senhas que não contenha nenhum símbolo especial e seja o conjunto de senhas que não contenha nenhuma letra maiúscula. Como nossas senhas devem conter um dígito, um símbolo especial e uma letra maiúscula, buscamos. Pela Lei de De Morgan (para três conjuntos), em seguida, de acordo com a Regra para Complementos, onde está o conjunto de todas as senhas possíveis sem restrições. Combinando as duas equações acima com o Princípio de Inclusão-Exclusão (para três conjuntos), temos Cada um dos termos do lado direito pode ser calculado usando o Princípio Fundamental de Contagem. Como existem 70 caracteres diferentes no total com 10 dígitos, 8 símbolos especiais e 26 letras maiúsculas, em conclusão, o número de senhas aceitáveis ​​é

O número de elementos em é o número de permutações dos símbolos MATH, I, S, F, U, N. Uma vez que são 6 símbolos distintos,. O número de elementos em é o número de permutações dos símbolos M, A, T, H, IS, F, U, N. Como se trata de 8 símbolos distintos,. O número de elementos em é o número de permutações dos símbolos M, A, T, H, I, S, FUN. Uma vez que se trata de 7 símbolos distintos,. O número de elementos em é o número de permutações dos símbolos MATH, IS, F, U, N. Uma vez que são 5 símbolos distintos,. O número de elementos em é o número de permutações dos símbolos MATH, I, S, FUN. Uma vez que se trata de 4 símbolos distintos,. O número de elementos em é o número de permutações dos símbolos M, A, T, H, IS, FUN. Uma vez que se trata de 6 símbolos distintos,. O número de elementos em é o número de permutações dos símbolos MATH, IS, FUN. Uma vez que se trata de 3 símbolos distintos,. O número de elementos em é. Portanto, o número total de maneiras de permutar as letras na frase MATH IS FUN que não incluem nenhuma das palavras MATH, IS ou FUN é

Observe que, em nosso cálculo, aproveitamos o fato de que certos conjuntos têm o mesmo número de elementos.

Para quatro conjuntos, o Princípio de Inclusão-Exclusão afirma:

Neste ponto, o número de termos está se tornando muito grande, então a notação de soma deve ser preferida:

Agora, o Princípio de Inclusão-Exclusão (para quatro conjuntos) fornece: Visto que as condições nas quatro variáveis ​​são as mesmas (), o número de elementos em cada interseção de um determinado número de conjuntos será igual. Assim, para as seis interseções deste formulário, para as quatro interseções deste formulário e. Por isso,

Agora estamos prontos para declarar e provar o caso geral do Princípio de Inclusão-Exclusão.

Prova Provaremos a proposição por indução no número de conjuntos,. O caso base foi provado na seção 2.1. Para a hipótese de indução, assumimos que o resultado é verdadeiro para algum número de conjuntos. Queremos então mostrar que o resultado é verdadeiro para conjuntos. Faremos isso de maneira semelhante à forma como iniciamos esta seção, obtendo o Princípio de Inclusão-Exclusão para três conjuntos como consequência do resultado para dois conjuntos. Assim, consideramos a união dos primeiros conjuntos como um único conjunto e obtemos: No último termo, podemos distribuir a interseção pelas uniões para obter uma união de conjuntos: Podemos aplicar a hipótese de indução ao número de elementos em esta união, e observando isso, obtemos Inserindo isso de volta na primeira equação, e aplicando a hipótese de indução ao primeiro termo dessa equação, obtemos

Apresentamos agora uma segunda prova, usando um argumento de contagem usado na prova do caso de dois conjuntos.

Prova (prova combinatória)
Vamos supor que seja um elemento dos conjuntos,. Precisamos mostrar que a fórmula proposta representa exatamente uma vez. Vamos analisar a contabilidade termo a termo. O primeiro termo do Princípio de Inclusão-Exclusão é e este termo representa exatamente os tempos, já que é um elemento dos conjuntos na soma. Observe que também. O segundo termo do Princípio de Inclusão-Exclusão é e este termo representa exatamente os tempos, uma vez que para estar em, ambos os conjuntos devem estar entre os conjuntos que contêm. Da mesma forma, o terceiro termo do Princípio de Inclusão-Exclusão é e este termo representa exatamente os tempos. Por fim, o termo do Princípio de Inclusão-Exclusão envolve as interseções dos conjuntos. Nesse termo, é contabilizado o tempo. Os termos restantes da fórmula de Inclusão-Exclusão contêm mais do que interseções e, portanto, eles não serão considerados (ou zero vezes). No total, o número de vezes que é contabilizado pela fórmula de Inclusão-Exclusão é A partir do teorema binomial com e e substituindo e com e respectivamente, temos Assim, a fórmula de Inclusão-Exclusão explica de forma, conforme desejado.


Solução 4 (Solução Alcumus 1)

Os números dos três tipos de cookies devem ter uma soma de seis. Os conjuntos possíveis de números inteiros cuja soma é seis são Cada pedido de cada um desses conjuntos determina uma variedade diferente de cookies. Existem 3 pedidos para cada um dos conjuntos Existem 6 pedidos para cada um dos conjuntos Existe apenas um pedido para . Portanto, o número total de variedades de seis biscoitos é .


Notas de contas matemáticas

Por favor, dê uma olhada no que é esse programa. É trabalho em equipe, resolução de problemas, diversão, construção de amizades e muito mais. A maioria dos alunos que conhecemos no Mathcounts Nationals foram para as faculdades mais selecionadas e estão prosperando lá.

Prime & # 8211 um número que não pode ser dividido por nenhum outro número além de 1 e ele mesmo.

Fatores & # 8211 todos os números inteiros que podem dividir uniformemente um determinado número

Fatorar & # 8211 a divisão de qualquer número em seus componentes principais

Maior Fator Comum (GCF) & # 8211 o maior número que é um fator de dois ou mais números dados

Mínimo múltiplo comum / denominador (LCM) & # 8211 o menor número que é um múltiplo de dois ou mais números dados

Relativamente Prime & # 8211 dois números com GCF de 1

Um primo, conforme declarado na lista de definições úteis, é um número que não pode ser dividido por nenhum outro número além de 1 e ele mesmo. O menor primo é 2. [Ou, como algumas pessoas afirmam, o primo mais estranho.]

Números inteiros que não são primos são chamados de compostos. O menor número composto é 4.

1 é a exceção: não é considerado nem primo nem número composto.

Dado um gráfico de números inteiros de 2 a 100, os primos podem ser facilmente reconhecidos:

A coisa mais fácil a fazer é olhar para os menores primos & # 8211, a saber, 2, 3, 5, 7 & # 8211 e cruzar todos os seus múltiplos no gráfico.

Os números mais comumente confundidos com primos são 51, 57 e 91. Os dois primeiros (51 e 57), como pode ser demonstrado pela soma dos dígitos, são divisíveis por 3, enquanto 91 é igual a 7x13.

Para decidir se um número é primo ou não, tire sua raiz quadrada e tente dividir o número original por todos os primos menores que a raiz quadrada. Se não for divisível por nenhum deles, o número é primo.


Currículo de planejamento

Conexões de padrões de estado de núcleo comum

ELA / Alfabetização

  • RI.5.1 - Cite um texto com precisão ao explicar o que o texto diz explicitamente e ao fazer inferências a partir do texto. (5-ESS1-1), (5-PS2-1)
  • RI.5.7 - Use informações de várias fontes impressas ou digitais, demonstrando a capacidade de localizar uma resposta a uma pergunta rapidamente ou de resolver um problema com eficiência. (5-ESS1-1)
  • RI.5.8 - Explicar como um autor usa razões e evidências para apoiar pontos específicos em um texto, identificando quais razões e evidências suportam quais pontos. (5-ESS1-1)
  • RI.5.9 - Integrar informações de vários textos sobre o mesmo assunto para escrever ou falar sobre o assunto com conhecimento. (5-ESS1-1), (5-PS2-1)
  • SL.5.5 - Incluir componentes de multimídia (por exemplo, gráficos, som) e exibições visuais em apresentações quando apropriado para aprimorar o desenvolvimento de ideias ou temas principais. (5-ESS1-2)
  • W.5.1 - Escrever artigos de opinião sobre temas ou textos, apoiando um ponto de vista com razões e informações. (5-ESS1-1), (5-PS2-1)

Matemática

  • 5.G.A.2 - Representar problemas matemáticos e do mundo real fazendo gráficos de pontos no primeiro quadrante do plano de coordenadas e interpretar valores de coordenadas de pontos no contexto da situação. (5-ESS1-2)
  • 5.NBT.A.2 - Explique os padrões no número de zeros do produto ao multiplicar um número por potências de 10 e explique os padrões na colocação do ponto decimal quando um decimal é multiplicado ou dividido por uma potência de 10. Use expoentes de número inteiro para denotar poderes de 10. (5-ESS1-1)
  • MP.2 - Raciocinar de forma abstrata e quantitativa. (5-ESS1-1), (5-ESS1-2)
  • MP.4 - Modelo com matemática. (5-ESS1-1), (5-ESS1-2)

Mapeamento de curso modelo

Visitantes de primeira viagem


PERMUTAÇÃO

Uma pastelaria vende 4 tipos de pastelaria. Quantos conjuntos distintos de 7 bolos se pode comprar?

7,0,0,0
0,0,7,0 podemos ver que a ordem é importante, pois determinam cada conjunto único. ASSIM, se o pedido for importante, deve ser permutação.
Eu passei pelo método de estrelas e barras. Mas eu quero saber a soma está no permu ou combo?

Membro Elite

Dr. Peterson

Membro Elite

Uma pastelaria vende 4 tipos de pastelaria. Quantos conjuntos distintos de 7 bolos se pode comprar?

7,0,0,0
0,0,7,0 podemos ver que a ordem é importante à medida que determinam cada conjunto único. ASSIM, se o pedido for importante, deve ser permutação.
Eu passei pelo método de estrelas e barras. Mas eu quero saber se a soma está em permu ou combo?

Por favor mostre Como as você está aplicando estrelas e barras. O que as estrelas e as barras significam em seu modelo do problema?

De que forma a ordem importa em sua descrição?

Eu quero ver o que você está aplicando uma permutação ou combinação para, que deve responder à pergunta para você. Existem algumas maneiras diferentes de descrever isso, que podem envolver permutações ou combinações. Escreva de volta com sua resposta e mostrarei o que quero dizer. Mas quero começar com tudo o que você aprendeu especificamente.

Saumyojit

Membro completo

Em primeiro lugar, não sei como aplicar estrelas e barras na problemn.

quais podem ser as formas possíveis de arranjar?
C1 C2 C3 C4
7 0 0 0
0 0 0 7
0 0 7 0
0 6 1 0
Como podemos ver, os pedidos de bolos são importantes. Se o pedido não importasse, os primeiros 3 arranjos deveriam ser considerados como um.
Ordenação significa permutação.
agora provar que minha lógica está errada usando uma explicação simples e detalhada

Cubista

Membro completo

Você precisa descobrir o número de maneiras que as estrelas e as barras na postagem do PKA podem ser organizadas.

Outras maneiras podem ser (correspondendo aos seus exemplos): -

Quantas estrelas existem? Quantas barras? Você pode calcular o total de combinações possíveis agora?

Saumyojit

Membro completo

PRIMEIRO DIGA-ME O QUE há de errado aqui?

C1 C2 C3 C4
7 0 0 0
0 0 0 7
0 0 7 0
0 6 1 0
Como podemos ver, os pedidos de bolos são importantes. Se o pedido não importasse, os primeiros 3 arranjos deveriam ser considerados como um.
Ordenação significa permutação.

Membro Elite

Saumyojit

Membro completo

@pka
PRIMEIRO DIGA-ME O QUE há de errado aqui?

C1 C2 C3 C4
7 0 0 0
0 0 0 7
0 0 7 0
0 6 1 0
Como podemos ver, os pedidos de bolos são importantes. Se o pedido não importasse, os primeiros 3 arranjos deveriam ser considerados como um.
Ordenação significa permutação.

Dr. Peterson

Membro Elite

PRIMEIRO DIGA-ME O QUE há de errado aqui?

C1 C2 C3 C4
7 0 0 0
0 0 0 7
0 0 7 0
0 6 1 0
Como podemos ver, os pedidos de bolos são importantes. Se o pedido não importasse, os primeiros 3 arranjos deveriam ser considerados como um.
Ordenação significa permutação.

Primeiro, como você disse & quotEu usei o método de estrelas e barras & quot, presumi que você sabia como usá-lo, e talvez tenha tentado fazê-lo. Você não está usando o método, que é o método apropriado. A principal coisa errada aqui é que você ainda não está fazendo nada para resolvê-lo. Que resposta você obteve do seu jeito?

O pedido de tipos é importante, mas o pedido de bolos individuais dentro de um tipo não. Portanto, você não pode usar permutações ou combinações comuns diretamente aqui.

Veja como o método de estrelas e barras se aplica aqui: Se indicarmos bolos por * e os colocarmos em caixas que representam os tipos, seus quatro exemplos seriam representados por

onde | é uma divisória entre caixas.

Ignorando o espaço vazio, isto é:

Membro Elite

Cubista

Membro completo

Você poderia fazer isso LONGO CAMINHO se você realmente quiser. Você obterá a mesma resposta. Mas espero que isso te convença de que transformando o problema em barras e listras é muito mais rápido e o resultado é equivalente.

Sempre escolha c1 ≥ c2 ≥ c3 ≥ c4 para manter essas combinações únicas quando permutadas.

Saumyojit

Membro completo

Você poderia fazer isso LONGO CAMINHO se você realmente quiser. Você obterá a mesma resposta. Mas espero que isso te convença de que transformando o problema em barras e listras é muito mais rápido e o resultado é equivalente.

Sempre escolha c1 ≥ c2 ≥ c3 ≥ c4 para manter essas combinações únicas quando permutadas.

Saumyojit

Membro completo

Você poderia fazer isso LONGO CAMINHO se você realmente quiser. Você obterá a mesma resposta. Mas espero que isso te convença de que transformando o problema em barras e listras é muito mais rápido e o resultado é equivalente.

Sempre escolha c1 ≥ c2 ≥ c3 ≥ c4 para manter essas combinações únicas quando permutadas.

Cubista

Membro completo

Se eu escrever os multisets, você tem
2 de '1'
1 de '0'
1 de '5'

Permutações = 4! / (2! * 1! * 1!) = 4! / 2! = 12 ou listado fora.
0115 , 1150
0151 , 1501
0511 , 1510
1015 , 5011
1051 , 5101
1105 , 5110

Saumyojit

Membro completo

Se eu escrever os multisets, você tem
2 de '1'
1 de '0'
1 de '5'

Permutações = 4! / (2! * 1! * 1!) = 4! / 2! = 12 ou listado fora.
0115 , 1150
0151 , 1501
0511 , 1510
1015 , 5011
1051 , 5101
1105 , 5110

Cubista

Membro completo

Você perguntou sobre a linha & quot5 1 1 0 & quot. Isto significa c1 = 5, c2 = 1, c3 = 1, c4 = 0 significando 5 bolos do tipo & quotc1 & quot, 1 bolo do tipo & quotc2 & quot, 1 bolo do tipo & quotc3 & quot, e NENHUM bolo do tipo & quotc4 & quot

Existem 12 maneiras de usar essas mesmas quantidades para comprar bolos. Por exemplo, uma das outras formas é & quot0151 & quot - & gt NO bolos do tipo & quotc1 & quot, 1 bolo do tipo & quotc2 & quot, 5 bolo do tipo & quotc3 & quot, e 1 bolo do tipo & quotc4 & quot.

Saumyojit

Membro completo

Você perguntou sobre a linha & quot5 1 1 0 & quot. Isto significa c1 = 5, c2 = 1, c3 = 1, c4 = 0 significando 5 bolos do tipo & quotc1 & quot, 1 bolo do tipo & quotc2 & quot, 1 bolo do tipo & quotc3 & quot, e NENHUM bolo do tipo & quotc4 & quot

Existem 12 maneiras de usar essas mesmas quantidades para comprar bolos. Por exemplo, uma das outras formas é & quot0151 & quot - & gt NO bolos do tipo & quotc1 & quot, 1 bolo do tipo & quotc2 & quot, 5 bolo do tipo & quotc3 & quot, e 1 bolo do tipo & quotc4 & quot.

Cubista

Membro completo

Você está respondendo à pergunta, & de várias maneiras posso comprar 3 tipos de bolo de 4 tipos de bolo & quot.

Mas para realizar o cálculo na postagem 11, a questão é & quothow posso comprar 5 bolos de um tipo de bolo, junto com um bolo de um tipo diferente, E um bolo de outro tipo diferente & quot.

Se você não entende isso, recomendo que busque algumas aulas presenciais com alguém.

Dr. Peterson

Membro Elite

Alguns de nós mencionaram multisets. É isso que neste caso (5,1,1,0) não é um conjunto para o qual o método de permutação padrão funciona.

Se você viu problemas que pedem o número de palavras que você pode fazer a partir de uma palavra com letras duplicadas, como BOA, é isso que você precisa fazer aqui. A fórmula é ( displaystyle frac), onde ( displaystyle n ) é o número total de letras, e ( displaystyle n_i ) é o número de cópias do mesmo euª carta fora de k letras distintas. Isso foi demonstrado na postagem # 14.

Saumyojit

Membro completo

Alguns de nós mencionaram multisets. É isso que neste caso (5,1,1,0) não é um conjunto para o qual o método de permutação padrão funciona.

Se você viu problemas que pedem o número de palavras que você pode fazer a partir de uma palavra com letras duplicadas, como BOA, é isso que você precisa fazer aqui. A fórmula é ( displaystyle frac), onde ( displaystyle n ) é o número total de letras, e ( displaystyle n_i ) é o número de cópias do mesmo euª carta fora de k letras distintas. Isso foi demonstrado na postagem # 14.

Eu entendi o que você está dizendo. 5,1,1,0
Você está dizendo que, devido à repetição de 2 1, você precisa dividir 2fato de todas as 4 formas de fato.
Mas em 5,1,1,0 dois 1's são de dois bolos diferentes. como 5 de c1 1 de c2 1 de c3

e em 5,0,1,1 5 são do primeiro bolo, zero do bolo 2, um do bolo 3, um do bolo 4.
Eles são de bolos diferentes.

você está dizendo que: 5,0,1,1 & amp 0,5,1,1
esses dois arranjos exclusivos estão incluindo a replicação de c3 e c4 em ambos os casos?


Alguém pode explicar o método & # x27Stars and Bars & # x27 para contar o número de arranjos com repetições?

Vamos supor que eu desejo determinar o número de soluções possíveis para a qual essa equação pode ser satisfeita.

x é apenas números inteiros não negativos.

Então, tudo bem, posso inserir essas coisas na bela e adorável fórmula e obter a resposta, mas realmente não obter como funcionam as fórmulas das estrelas e das barras. Jogue-me uma bola de meio-fio com uma desigualdade ou uma restrição diferente e eu perdi. Como faço para abordar esses problemas?

Você provavelmente pode encontrar uma explicação visual online.

Posso dar uma prova sem estrelas e barras. Primeiro eu & # x27declararei o teorema: com k & gt0, n & gt = 0, há C (n + k-1, k-1) k-tuplas (x1. Xk) em Z k que satisfaz x1. xk & gt = 0 e x1 +. + xk = n.

I'll induct on n+k, with base cases n=0 or k=1. When n=0, there's only solution (0,0. 0), and C(0+k-1,k-1) = 1. When k=1, there's only solution (n), and C(n+1-1,1-1) = 1.

Then with n>0 and k>1 break the solutions into two cases, x1=0, or x1>0. In the first case, solutions (0,x2,x3. xk) correspond to solutions (x2,x3. xk) of the same problem with n and k-1, and inductively there are C(n+k-2,k-2) solutions. In the second case, solutions (x1,x2. xk) correspond to solutions (x1-1,x2. xk) of the problem with n-1 and the same k, so C(n+k-2,k-1) solutions.

Using Pascal's recurrence for binomial coefficients,

This is beautifully done however I wouldn't be able to do any proofs by induction until. six more weeks. :-)

Bookmarked and will refer to it once I get to the point of being allowed to use induction on tests.

Here is an "easy" proof for stars and bars.

First, let us represent the equation sum(k-tuple X)=n (xi >= 0 is integer) in graphical form: n objects placed in k boxes.

And again, let's represent that in a different way: as stars (objects) and bars (separations between boxes) in a sequence. As an example, with k = 4 and n = 5, we have 3 bars and 5 stars:
**||**|*
This represents 2 objects in the first box, 0 in the second, 2 in the third, and 1 in the fourth.

We can count the number of possible orderings of stars and bars assuming both stars and bars are distinct: (n + k - 1)!
This is simply because there are (n) + (k - 1) distinct objects.
However, neither stars nor bars are distinct, so to get the number of possible orderings of stars and bars, we need to divide this ordering by (n)! and (k - 1)!, which are the number of orders of distinct stars and bars respectively.

Thus, the number of orderings of stars and bars, and thus the number of solutions to the equation, is (n + k - 1)!/(n)!(k - 1)!, which is equal to C(n + k - 1, k - 1).


Assista o vídeo: Isto é Matemática T05E13 - Monty Hall (Outubro 2021).