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5.1: Funções com valor vetorial e curvas de espaço - Matemática


Nosso estudo de funções com valor vetorial combina idéias de nosso exame anterior do cálculo de variável única com nossa descrição de vetores em três dimensões no capítulo anterior. Essas definições e teoremas apóiam a apresentação do material no restante deste capítulo e também nos capítulos restantes do texto.

Definição de uma função com valor vetorial

Nosso primeiro passo no estudo do cálculo de funções com valor vetorial é definir o que é exatamente uma função com valor vetorial. Podemos então olhar para os gráficos de funções com valor vetorial e ver como eles definem curvas em duas e três dimensões.

Definição: Funções com valor vetorial

Uma função com valor de vetor é uma função da forma

[ vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf {j}} ; ; text {ou} ; ; vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf {j}} + h (t) , hat { mathbf {k}}, ]

onde as funções do componente (f ), (g ) e (h ), são funções com valor real do parâmetro (t ). Funções com valor vetorial também são escritas na forma

[ vecs r (t) = ⟨f (t), , g (t)⟩ ; ; text {ou} ; ; vecs r (t) = ⟨f (t), , g (t), , h (t)⟩. ]

Em ambos os casos, a primeira forma da função define uma função com valor vetorial bidimensional; a segunda forma descreve uma função com valor vetorial tridimensional.

O parâmetro (t ) pode estar entre dois números reais: (a≤t≤b ). Outra possibilidade é que o valor de (t ) pode assumir todos os números reais. Por último, as próprias funções do componente podem ter restrições de domínio que impõem restrições ao valor de (t ). Freqüentemente usamos (t ) como parâmetro porque (t ) pode representar o tempo.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Avaliando funções com valor vetorial e determinando domínios

Para cada uma das seguintes funções com valor vetorial, avalie ( vecs r (0) ), ( vecs r ( frac { pi} {2}) ) e ( vecs r ( frac {2 pi} {3}) ). Alguma dessas funções tem restrições de domínio?

  1. ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 3 sin t , hat { mathbf {j}} )
  2. ( vecs r (t) = 3 tan t , hat { mathbf {i}} + 4 sec t , hat { mathbf {j}} + 5t , hat { mathbf { k}} )

Solução

  1. Para calcular cada um dos valores da função, substitua o valor apropriado de t na função:

    begin {align *} vecs r (0) ; & = 4 cos (0) hat { mathbf {i}} + 3 sin (0) hat { mathbf {j}} [5pt] & = 4 hat { mathbf {i}} +0 hat { mathbf {j}} = 4 hat { mathbf {i}} [5pt] vecs r left ( frac { pi} {2} right) ; & = 4 cos left ( frac {π} {2} right) hat { mathbf {i}} + 3 sin left ( frac {π} {2} right) hat { mathbf {j}} [5pt] & = 0 hat { mathbf {i}} + 3 hat { mathbf {j}} = 3 hat { mathbf {j}} [5pt] vecs r left ( frac {2 pi} {3} right) ; & = 4 cos left ( frac {2π} {3} right) hat { mathbf {i}} + 3 sin left ( frac {2π} {3} right) hat { mathbf {j}} [5pt] & = 4 (- frac {1} {2}) hat { mathbf {i}} + 3 ( frac { sqrt {3}} {2}) hat { mathbf {j}} = - 2 hat { mathbf {i}} + frac {3 sqrt {3}} {2} hat { mathbf {j}} end {align *}

    Para determinar se esta função tem alguma restrição de domínio, considere as funções do componente separadamente. A primeira função de componente é (f (t) = 4 cos t ) e a segunda função de componente é (g (t) = 3 sin t ). Nenhuma dessas funções tem uma restrição de domínio, então o domínio de ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 3 sin t , hat { mathbf { j}} ) são todos números reais.
  2. Para calcular cada um dos valores da função, substitua o valor apropriado de t na função: [ begin {align *} vecs r (0) ; & = 3 tan (0) hat { mathbf {i}} + 4 sec (0) hat { mathbf {j}} + 5 (0) hat { mathbf {k}} [ 5pt] & = 0 hat { mathbf {i}} + 4j + 0 hat { mathbf {k}} = 4 hat { mathbf {j}} [5pt] vecs r left ( frac { pi} {2} right) ; & = 3 tan left ( frac { pi} {2} right) hat { mathbf {i}} + 4 sec left ( frac { pi} {2} right) hat { mathbf {j}} + 5 left ( frac { pi} {2} right) hat { mathbf {k}}, , text {que não existe} [5pt] vecs r left ( frac {2 pi} {3} right) ; & = 3 tan left ( frac {2 pi} {3} right) hat { mathbf {i}} + 4 sec left ( frac {2 pi} {3} right) hat { mathbf {j}} + 5 left ( frac {2 pi} {3} right) hat { mathbf {k}} [5pt] & = 3 (- sqrt {3 }) hat { mathbf {i}} + 4 (−2) hat { mathbf {j}} + frac {10π} {3} hat { mathbf {k}} [5pt] & = -3 sqrt {3}) hat { mathbf {i}} - 8 hat { mathbf {j}} + frac {10π} {3} hat { mathbf {k}} end { alinhar *} ] Para determinar se esta função tem alguma restrição de domínio, considere as funções do componente separadamente. A primeira função de componente é (f (t) = 3 tan t ), a segunda função de componente é (g (t) = 4 sec t ) e a terceira função de componente é (h (t) = 5t ). As duas primeiras funções não são definidas para múltiplos ímpares de ( frac { pi} {2} ), então a função não é definida para múltiplos ímpares de ( frac { pi} {2} ). Portanto, [ text {D} _ { vecs r} = {t , | , t ≠ frac {(2n + 1) pi} {2} }, nonumber ] onde ( n ) é qualquer número inteiro.

Exercício ( PageIndex {1} )

Para a função de valor vetorial ( vecs r (t) = (t ^ 2−3t) , hat { mathbf {i}} + (4t + 1) , hat { mathbf {j}} ), avalie ( vecs r (0), , vecs r (1) ) e ( vecs r (−4) ). Esta função tem alguma restrição de domínio?

Dica

Substitua os valores apropriados de (t ) na função.

Responder

( vecs r (0) = hat { mathbf {j}}, , vecs r (1) = - 2 hat { mathbf {i}} + 5 hat { mathbf {j}} , , vecs r (−4) = 28 hat { mathbf {i}} - 15 hat { mathbf {j}} )

O domínio de ( vecs r (t) = (t ^ 2−3t) hat { mathbf {i}} + (4t + 1) hat { mathbf {j}} ) são todos números reais.

Exemplo ( PageIndex {1} ) ilustra um conceito importante. O domínio de uma função com valor vetorial consiste em números reais. O domínio pode ser composto por todos os números reais ou um subconjunto dos números reais. O intervalo de uma função com valor vetorial consiste em vetores. Cada número real no domínio de uma função de valor vetorial é mapeado para um vetor bidimensional ou tridimensional.

Representação gráfica de funções com valor vetorial

Lembre-se de que um vetor plano consiste em duas grandezas: direção e magnitude. Dado qualquer ponto do plano (o ponto inicial), se nos movermos em uma direção específica para uma distância específica, chegamos a um segundo ponto. Isso representa o ponto final do vetor. Calculamos os componentes do vetor subtraindo as coordenadas do ponto inicial das coordenadas do ponto terminal.

Um vetor é considerado como em posição padrão se o ponto inicial está localizado na origem. Ao representar graficamente uma função com valor vetorial, normalmente representamos graficamente os vetores no domínio da função na posição padrão, pois isso garante a exclusividade do gráfico. Essa convenção também se aplica aos gráficos de funções com valor vetorial tridimensional. O gráfico de uma função com valor vetorial da forma

[ vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf {j}} nonumber ]

consiste no conjunto de todos os pontos ((f (t), , g (t)) ), e o caminho que ele traça é chamado de curva plana. O gráfico de uma função com valor vetorial da forma

[ vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf {j}} + h (t) , hat { mathbf {k}} nonumber ]

consiste no conjunto de todos os pontos ((f (t), , g (t), , h (t)) ), e o caminho que ele traça é chamado de curva do espaço. Qualquer representação de uma curva plana ou curva de espaço usando uma função de valor vetorial é chamada de parametrização vetorial da curva.

Cada curva plana e curva de espaço tem um orientação, indicado por setas desenhadas na curva, que mostra a direção do movimento ao longo da curva conforme o valor do parâmetro (t ) aumenta.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Representando graficamente uma função com valor vetorial

Crie um gráfico de cada uma das seguintes funções com valor vetorial:

  1. A curva plana representada por ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 3 sin t , hat { mathbf {j}} ), ( 0≤t≤2 pi )
  2. A curva plana representada por ( vecs r (t) = 4 cos (t ^ 3) , hat { mathbf {i}} + 3 sin (t ^ 3) , hat { mathbf { j}} ), (0≤t≤ sqrt [3] {2 pi} )
  3. A curva de espaço representada por ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 4 sin t , hat { mathbf {j}} + t , hat { mathbf {k}} ), (0≤t≤4 pi )

Solução

1. Como em qualquer gráfico, começamos com uma tabela de valores. Em seguida, representamos graficamente cada um dos vetores na segunda coluna da tabela na posição padrão e conectamos os pontos terminais de cada vetor para formar uma curva (Figura ( PageIndex {1} )). Essa curva acaba sendo uma elipse centrada na origem.

Tabela ( PageIndex {1} ): Tabela de valores para ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 3 sin t , hat { mathbf {j}} ), (0≤t≤2 pi )
(t ) ( vecs r (t) ) (t ) ( vecs r (t) )
(0) (4 hat { mathbf {i}} ) ( pi ) (- 4 hat { mathbf {i}} )
( dfrac { pi} {4} ) (2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}} ) ( dfrac {5 pi} {4} ) (- 2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}} )
( dfrac { pi} {2} ) ( mathrm {3 hat { mathbf {j}}} ) ( dfrac {3 pi} {2} ) ( mathrm {-3 hat { mathbf {j}}} )
( dfrac {3 pi} {4} ) (-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}} ) ( dfrac {7 pi} {4} ) (2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}} )
(2 pi ) (4 hat { mathbf {i}} )

2. A tabela de valores para ( vecs r (t) = 4 cos (t ^ 3) , hat { mathbf {i}} + 3 sin (t ^ 3) , hat { mathbf {j}} ), (0≤t≤ sqrt [3] {2 pi} ) é o seguinte:

Tabela de valores para ( vecs r (t) = 4 cos (t ^ 3) , hat { mathbf {i}} + 3 sin (t ^ 3) , hat { mathbf {j }} ), (0≤t≤ sqrt [3] {2 pi} )
(t ) ( vecs r (t) ) (t ) ( vecs r (t) )
(0) ( mathrm {4 hat { mathbf {i}}} ) ( displaystyle sqrt [3] { pi} ) ( mathrm {-4 hat { mathbf {i}}} )
( displaystyle sqrt [3] { dfrac { pi} {4}} ) ( mathrm {2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}}} ) ( displaystyle sqrt [3] { dfrac {5 pi} {4}} ) ( mathrm {-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}}} )
( displaystyle sqrt [3] { dfrac { pi} {2}} ) ( mathrm {3 hat { mathbf {j}}} ) ( displaystyle sqrt [3] { dfrac {3 pi} {2}} ) ( mathrm {-3 hat { mathbf {j}}} )
( displaystyle sqrt [3] { dfrac {3 pi} {4}} ) ( mathrm {-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}}} ) ( displaystyle sqrt [3] { dfrac {7 pi} {4}} ) ( mathrm {2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}}} )
( displaystyle sqrt [3] {2 pi} ) ( mathrm {4 hat { mathbf {i}}} )

O gráfico desta curva também é uma elipse centrada na origem.

3. Passamos pelo mesmo procedimento para uma função vetorial tridimensional.

Tabela de valores para ( mathrm {r (t) = 4 cos t hat { mathbf {i}} + 4 sin t hat { mathbf {j}} + t hat { mathbf {k }}} ), ( mathrm {0≤t≤4 pi} )
(t ) ( vecs r (t) ) (t ) ( vecs r (t) )
( mathrm {0} ) ( mathrm {4 hat { mathbf {i}}} ) ( mathrm { pi} ) ( mathrm {-4 hat { mathbf {i}}} + pi hat { mathbf {k}} )
( dfrac { pi} {4} ) ( mathrm {2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + 2 sqrt {2} hat { mathbf {j}} + frac { pi} {4} hat { mathbf {k}}} ) ( dfrac {5 pi} {4} ) ( mathrm {-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - 2 sqrt {2} hat { mathbf {j}} + frac {5 pi} {4} hat { mathbf {k}}} )
( dfrac { pi} {2} ) ( mathrm {4 hat { mathbf {j}} + frac { pi} {2} hat { mathbf {k}}} ) ( dfrac {3 pi} {2} ) ( mathrm {-4 hat { mathbf {j}} + frac {3 pi} {2} hat { mathbf {k}}} )
( dfrac {3 pi} {4} ) ( mathrm {-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + 2 sqrt {2} hat { mathbf {j}} + frac {3 pi} {4} hat { mathbf {k}}} ) ( dfrac {7 pi} {4} ) ( mathrm {2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - 2 sqrt {2} hat { mathbf {j}} + frac {7 pi} {4} hat { mathbf {k}}} )
( mathrm {2 pi} ) ( mathrm {4 hat { mathbf {j}} + 2 pi hat { mathbf {k}}} )

Os valores então se repetem, exceto pelo fato de que o coeficiente de ( hat { mathbf {k}} ) está sempre aumentando ( ( PageIndex {3} )). Esta curva é chamada de hélice. Observe que se o componente ( hat { mathbf {k}} ) for eliminado, a função se tornará ( vecs r (t) = 4 cos t hat { mathbf {i}} + 4 sen t hat { mathbf {j}} ), que é um círculo de raio 4 centrado na origem.

Você pode notar que os gráficos nas partes a. e B. são idênticos. Isso ocorre porque a função que descreve a curva b é uma chamada reparametrização da função que descreve a curva a. Na verdade, qualquer curva tem um número infinito de reparametrizações; por exemplo, podemos substituir (t ) por (2t ) em qualquer uma das três curvas anteriores sem alterar a forma da curva. O intervalo sobre o qual (t ) é definido pode mudar, mas isso é tudo. Voltaremos a essa ideia mais adiante neste capítulo, quando estudarmos a parametrização do comprimento do arco. Como mencionado, o nome da forma da curva do gráfico em ( PageIndex {3} ) é um hélice. A curva se assemelha a uma mola, com uma seção transversal circular olhando para baixo ao longo do eixo (z ). É possível que uma hélice tenha uma seção transversal elíptica também. Por exemplo, a função com valor vetorial ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 3 sin t , hat { mathbf {j}} + t , hat { mathbf {k}} ) descreve uma hélice elíptica. A projeção desta hélice no plano (xy ) é uma elipse. Por último, as setas no gráfico desta hélice indicam a orientação da curva conforme (t ) progride de (0 ) para (4π ).

Exercício ( PageIndex {2} )

Crie um gráfico da função com valor vetorial ( vecs r (t) = (t ^ 2−1) hat { mathbf {i}} + (2t − 3) hat { mathbf {j}} ), (0≤t≤3 ).

Dica

Comece fazendo uma tabela de valores e, a seguir, represente graficamente os vetores para cada valor de (t ).

Responder

Neste ponto, você pode notar uma semelhança entre funções com valor vetorial e curvas parametrizadas. De fato, dada uma função com valor vetorial ( vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf {j}} ) podemos definir (x = f (t) ) e (y = g (t) ). Se houver uma restrição nos valores de (t ) (por exemplo, (t ) é restrito ao intervalo ([a, b] ) para algumas constantes (a

Limites e continuidade de uma função com valor vetorial

Vamos agora dar uma olhada no limite de uma função com valor vetorial. É importante entender isso para estudar o cálculo de funções com valores vetoriais.

Definição: limite de uma função com valor vetorial

Uma função com valor vetorial ( vecs r ) se aproxima do limite ( vecs L ) conforme (t ) se aproxima de (a ), escrito

[ lim limits_ {t a a} vecs r (t) = vecs L, ]

forneceu

[ lim limits_ {t to a} big | vecs r (t) - vecs L big | = 0. ]

Esta é uma definição rigorosa do limite de uma função com valor vetorial. Na prática, usamos o seguinte teorema:

Teorema: Limite de uma função com valor vetorial

Seja (f ), (g ), e (h ) são funções de (t ). Então, o limite da função de valor vetorial ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} ) como t aproximações uma É dado por

[ lim limits_ {t para a} vecs r (t) = [ lim limits_ {t para a} f (t)] hat { mathbf {i}} + [ lim limits_ {t a a} g (t)] hat { mathbf {j}}, label {Th1} ]

contanto que os limites ( lim limits_ {t a} f (t) ) e ( lim limits_ {t a} g (t) ) existam.

Da mesma forma, o limite da função de valor vetorial ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} + h (t ) hat { mathbf {k}} ) conforme (t ) se aproxima de (a ) é dado por

[ lim limits_ {t para a} vecs r (t) = [ lim limits_ {t para a} f (t)] hat { mathbf {i}} + [ lim limits_ {t para a} g (t)] hat { mathbf {j}} + [ lim limits_ {t para a} h (t)] hat { mathbf {k}}, label { Th2} ]

fornecidos os limites ( lim limits_ {t para a} f (t) ), ( lim limits_ {t para a} g (t) ) e ( lim limits_ {t para a} h (t) ) existem.

No exemplo a seguir, mostramos como calcular o limite de uma função com valor vetorial.

Exemplo ( PageIndex {3} ): Avaliando o limite de uma função com valor vetorial

Para cada uma das seguintes funções com valor vetorial, calcule ( lim limits_ {t to 3} vecs r (t) ) para

  1. ( vecs r (t) = (t ^ 2−3t + 4) hat { mathbf {i}} + (4t + 3) hat { mathbf {j}} )
  2. ( vecs r (t) = frac {2t − 4} {t + 1} hat { mathbf {i}} + frac {t} {t ^ 2 + 1} hat { mathbf {j }} + (4t − 3) hat { mathbf {k}} )

Solução

  1. Use a Equação ref {Th1} e substitua o valor (t = 3 ) nas duas expressões componentes:

[ begin {align *} lim limits_ {t to 3} vecs r (t) ; & = lim limits_ {t to 3} [(t ^ 2−3t + 4) hat { mathbf {i}} + (4t + 3) hat { mathbf {j}}] [ 5pt] & = [ lim limits_ {t to 3} (t ^ 2−3t + 4)] hat { mathbf {i}} + [ lim limits_ {t to 3} (4t + 3 )] hat { mathbf {j}} [5pt] & = 4 hat { mathbf {i}} + 15 hat { mathbf {j}} end {align *} ]

  1. Use a Equação ref {Th2} e substitua o valor (t = 3 ) nas três expressões componentes:

[ begin {align *} lim limits_ {t to 3} vecs r (t) ; & = lim limits_ {t to 3} ( dfrac {2t − 4} {t + 1} hat { mathbf {i}} + dfrac {t} {t ^ 2 + 1} hat { mathbf {j}} + (4t − 3) hat { mathbf {k}}) [5pt] & = [ lim limits_ {t to 3} ( dfrac {2t − 4} {t +1})] hat { mathbf {i}} + [ lim limits_ {t a 3} ( dfrac {t} {t ^ 2 + 1})] hat { mathbf {j}} [ lim limits_ {t to 3} (4t − 3)] hat { mathbf {k}} [5pt] & = dfrac {1} {2} hat { mathbf {i}} + dfrac {3} {10} hat { mathbf {j}} + 9 hat { mathbf {k}} end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {3} )

Calcule ( lim limits_ {t to 2} vecs r (t) ) para a função ( vecs r (t) = sqrt {t ^ 2 + 3t - 1} , hat { mathbf {i}} - (4t-3) hat { mathbf {j}} - sin frac {(t + 1) pi} {2} hat { mathbf {k}} )

Dica

Use a Equação ref {Th2} do teorema anterior.

Responder

[ lim limits_ {t to 2} vecs r (t) = 3 hat { mathbf {i}} - 5 hat { mathbf {j}} + hat { mathbf {k}} ]

Agora que sabemos como calcular o limite de uma função com valor vetorial, podemos definir continuidade em um ponto para tal função.

Definições

Seja (f ), (g ), e (h ) são funções de (t ). Então, a função de valor vetorial ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} ) é contínuo no ponto (t = a ) se as seguintes três condições forem válidas:

  1. ( vecs r (a) ) existe
  2. ( lim limits_ {t a a} vecs r (t) ) existe
  3. ( lim limits_ {t to a} vecs r (t) = vecs r (a) )

Da mesma forma, a função de valor vetorial ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} + h (t) hat { mathbf {k}} ) é contínuo no ponto (t = a ) se as seguintes três condições forem válidas:

  1. ( vecs r (a) ) existe
  2. ( lim limits_ {t a a} vecs r (t) ) existe
  3. ( lim limits_ {t to a} vecs r (t) = vecs r (a) )

Resumo

  • Uma função com valor vetorial é uma função da forma ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} ) ou ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} + h (t) hat { mathbf {k}} ), onde o componente funciona (f ), (g ), e (h ) são funções com valor real do parâmetro (t ).
  • O gráfico de uma função com valor vetorial da forma ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} ) é chamado de curva plana. O gráfico de uma função com valor vetorial da forma ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} + h ( t) hat { mathbf {k}} ) é chamado de curva do espaço.
  • É possível representar uma curva plana arbitrária por uma função de valor vetorial.
  • Para calcular o limite de uma função com valor vetorial, calcule os limites das funções componentes separadamente.

Equações Chave

  • Função com valor vetorial
    ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} ) ou ( vecs r (t) = f ( t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} + h (t) hat { mathbf {k}} ), ou ( vecs r (t ) = ⟨F (t), g (t)⟩ ) ou ( vecs r (t) = ⟨f (t), g (t), h (t)⟩ )
  • Limite de uma função com valor vetorial
    ( lim limits_ {t para a} vecs r (t) = [ lim limits_ {t para a} f (t)] hat { mathbf {i}} + [ lim limits_ {t para a} g (t)] hat { mathbf {j}} ) ou ( lim limits_ {t para a} vecs r (t) = [ lim limits_ {t para a} f (t)] hat { mathbf {i}} + [ lim limits_ {t para a} g (t)] hat { mathbf {j}} + [ lim limits_ { t para a} h (t)] hat { mathbf {k}} )

Glossário

funções do componente
as funções componentes da função com valor vetorial ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} ) são ( f (t) ) e (g (t) ), e as funções componentes da função de valor vetorial ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} + h (t) hat { mathbf {k}} ) são (f (t) ), (g (t) ) e (h (t) )
hélice
uma curva tridimensional em forma de espiral
limite de uma função com valor vetorial
uma função com valor vetorial ( vecs r (t) ) tem um limite ( vecs L ) conforme (t ) se aproxima de (a ) se ( lim limits {t a a} left | vecs r (t) - vecs L right | = 0 )
curva plana
o conjunto de pares ordenados ((f (t), g (t)) ) junto com suas equações paramétricas definidoras (x = f (t) ) e (y = g (t) )
reparametrização
uma parametrização alternativa de uma determinada função com valor vetorial
curva do espaço
o conjunto de triplas ordenadas ((f (t), g (t), h (t)) ) junto com suas equações paramétricas definidoras (x = f (t) ), (y = g (t) ) e (z = h (t) )
parametrização vetorial
qualquer representação de uma curva plana ou espacial usando uma função de valor vetorial
função com valor vetorial
uma função da forma ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} ) ou ( vecs r ( t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} + h (t) hat { mathbf {k}} ), onde o componente funções (f ), (g ), e (h ) são funções com valor real do parâmetro (t ).