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7.2: Fórmula de Representação - Matemática


A seguir, assumimos que ( Omega ), a função ( phi ) que aparece na definição da solução fundamental e a função potencial (u ) considerada são suficientemente regulares para que os seguintes cálculos façam sentido , consulte [6] para generalizações. Este é o caso se ( Omega ) for limitado, ( partial Omega ) está em (C ^ 1 ), ( phi in C ^ 2 ( overline { Omega}) ) para cada (y in Omega ) e (u in C ^ 2 ( overline { Omega}) ) fixo.


Figura 7.2.1: Notações para a identidade de Green

Teorema 7.1. Seja (u ) uma função potencial e ( gamma ) uma solução fundamental, então para cada (y in Omega )
$$
u (y) = int _ { partial Omega} left ( gamma (x, y) frac { partial u (x)} { partial n_x} -u (x) frac { partial gamma (x, y)} { parcial n_x} direita) dS_x.
$$

Prova. Seja (B_ rho (y) subset Omega ) uma bola. Defina ( Omega_ rho (y) = Omega setminus B_ rho (y) ). Veja a Figura 7.2.2 para notações.

Figura 7.2.2: Notações para o Teorema 7.1

Da fórmula de Green, para (u, v in C ^ 2 ( overline { Omega}) ),
$$
int _ { Omega_ rho (y)} (v triângulo uu triângulo v) dx = int _ { parcial Omega_ rho (y)} esquerdo (v frac { parcial u} { parcial n} -u frac { parcial v} { parcial n} direita) dS
$$
obtemos, se (v ) é uma solução fundamental e (u ) uma função potencial,
$$
int _ { parcial Omega_ rho (y)} esquerda (v frac { parcial u} { parcial n} -u frac { parcial v} { parcial n} direita) dS = 0
$$
Portanto, temos que considerar
begin {eqnarray *}
int _ { parcial Omega _ { rho} (y)} v frac { parcial u} { parcial n} dS & = & int _ { parcial Omega} v frac { parcial u} { parcial n} dS + int _ { parcial B_ rho (y)} v frac { parcial u} { parcial n} dS
int _ { parcial Omega _ { rho} (y)} u frac { parcial v} { parcial n} dS & = & int _ { parcial Omega} u frac { parcial v} { parcial n} dS + int _ { parcial B_ rho (y)} u frac { parcial v} { parcial n} dS.
end {eqnarray *}
Estimamos as integrais sobre ( partial B_ rho (y) ):

(eu)
begin {eqnarray *}
left | int _ { parcial B_ rho (y)} v frac { parcial u} { parcial n} dS direita | & le & M int _ { parcial B_ rho (y)} | v | dS
& le & M left ( int _ { partial B_ rho (y)} s ( rho) dS + C omega_n rho ^ {n-1} right),
end {eqnarray *}
Onde
begin {eqnarray *}
M & = & M (y) = sup_ {B _ { rho_0} (y)} | parcial u / parcial n |, rho le rho_0,
C & = & C (y) = sup_ {x in B _ { rho_0} (y)} | phi (x, y) |.
end {eqnarray *}
A partir da definição de (s ( rho) ), obtemos a estimativa como ( rho para 0 )
begin {equation}
label {ell1}
int _ { parcial B_ rho (y)} v frac { parcial u} { parcial n} dS = left { begin {array} {r @ { quad: quad} l}
O ( rho | ln rho |) & n = 2
O ( rho) & n ge3.
end {array} right.
end {equação}

(ii) Considere o caso (n ge3 ), então
begin {eqnarray *}
int _ { parcial B_ rho (y)} u frac { parcial v} { parcial n} dS & = &
frac {1} { omega_n} int _ { parcial B_ rho (y)} u frac {1} { rho ^ {n-1}} dS + int _ { parcial B_ rho (y )} u frac { partial phi} { partial n} dS
& = & frac {1} { omega_n rho ^ {n-1}} int _ { parcial B_ rho (y)} u dS + O ( rho ^ {n-1})
& = & frac {1} { omega_n rho ^ {n-1}} u (x_0) int _ { parcial B_ rho (y)} dS + O ( rho ^ {n-1}) , & = & u (x_0) + O ( rho ^ {n-1}).
end {eqnarray *}
para um (x_0 in partial B_ rho (y) ).

Combinando esta estimativa e ( ref {ell1}), obtemos a fórmula de representação do teorema.

(Caixa)

Corolário. Defina ( phi equiv 0 ) e (r = | x-y | ) na fórmula de representação do Teorema 7.1, então
begin {eqnarray}
label {ell2}
u (y) & = & frac {1} {2 pi} int _ { partial Omega} left ( ln r frac { partial u} { partial n_x} -u frac { parcial ( ln r)} { parcial n_x} direita) dS_x, n = 2,
label {ell3}
u (y) & = & frac {1} {(n-2) omega_n} int _ { partial Omega} left ( frac {1} {r ^ {n-2}} frac { parcial u} { parcial n_x} -u frac { parcial (r ^ {2-n})} { parcial n_x} direita) dS_x, n ge3.
end {eqnarray}


Às vezes, recebemos quatro pontos e nos é solicitado que comentemos sobre a natureza do quadrilátero que é formado pela união deles. Para isso, devemos lembrar o seguinte:

  • retângulo, se seus lados opostos forem iguais e as diagonais forem iguais
  • quadrado, se todos os seus lados forem iguais e as diagonais forem iguais
  • paralelogramo, se seus lados opostos são iguais
  • losango, se seus lados forem iguais.

Mostre que os pontos A = (- 3, 0), B = (1, - 3), C = (4, 1) A = (- 3,0), B = (1, -3), C = ( 4,1) A = (- 3, 0), B = (1, - 3), C = (4, 1) são os vértices de um triângulo retângulo isósceles. Encontre também a área do triângulo.

Nós temos

AB = (1 - (- 3)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 4 2 + (- 3) 2 = 16 + 9 = 25 = 5 BC = (4 - 1) 2 + (1 - (- 3) /) 2 = 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 = 5 CA = (4 - (- 3)) 2 + (1 - 0) 2 = 7 2 + 1 2 = 49 + 1 = 50 = 5 2. começar AB & amp = sqrt << (1 - (- 3))> ^ 2 + <(- 3-0)> ^ 2> & amp = sqrt <4 ^ 2 + <(- 3)> ^ 2> & amp = sqrt <16 + 9> & amp = sqrt <25> = 5 BC & amp = sqrt << (4-1)> ^ 2 + <(1 - (- 3) /)> ^ 2> & amp = sqrt <3 ^ 2 + <4> ^ 2> & amp = sqrt <9 + 16> & amp = sqrt <25> = 5 CA & amp = sqrt << (4 - (- 3))> ^ 2 + <(1-0)> ^ 2> & amp = sqrt <7 ^ 2 + <1> ^ 2> & amp = sqrt <49 + 1> & amp = sqrt <50> = 5 sqrt <2>. fim A B B C C A = (1 - (- 3)) 2 + (- 3 - 0) 2

​ = 4 2 + ( − 3 ) 2

​ = 1 6 + 9

​ = 2 5

​ = 5 = ( 4 − 1 ) 2 + ( 1 − ( − 3 ) / ) 2

​ = 3 2 + 4 2

​ = 9 + 1 6

​ = 2 5

​ = 5 = ( 4 − ( − 3 ) ) 2 + ( 1 − 0 ) 2

​ = 7 2 + 1 2

​ = 4 9 + 1

​ = 5 0

​ = 5 2

​ . ​

Como A B = B C, AB = BC, A B = B C, o triângulo é isósceles.
Além disso, uma vez que A B 2 + B C 2 = 5 2 + 5 2 = 50 = C A 2, ^2 + ^2 = 5^2 + 5^2= 50 = ^ 2, A B 2 + B C 2 = 5 2 + 5 2 = 5 0 = C A 2, é retangular.

Agora, a área do triângulo é (Área do ABC) = 1 2 × A B × B C = 1 2 × 5 × 5 = 12,5. □ begin text <(Área do ABC)> & amp = dfrac <1> <2> × AB × BC & amp = dfrac <1> <2> × 5 × 5 & amp = 12,5. _ square fim (Área do ABC) = 2 1 × A B × B C = 2 1 × 5 × 5 = 1 2. 5 □

Mostre que os pontos A = (2, - 2), B = (8, 4), C = (5, 7), D = (- 1, 1) A = (2, -2), B = (8 , 4), C = (5,7), D = (- 1,1) A = (2, - 2), B = (8, 4), C = (5, 7), D = (- 1 , 1) são os vértices de um retângulo. Encontre também a área do retângulo.

Temos AB = (8 - 2) 2 + (4 + 2) 2 = 72 = 6 2 BC = (5 - 8) 2 + (7 - 4) 2 = 18 = 3 2 CD = (- 1 - 5) 2 + (1 - 7) 2 = 72 = 6 2 DA = (2 + 1) 2 + (- 2 - 1) 2 = 18 = 3 2, começar AB = sqrt << (8-2)> ^ 2 + <(4 + 2)> ^ 2> & amp = sqrt <72> & amp = 6 sqrt <2> BC = sqrt << (5-8)> ^ 2 + <(7-4)> ^ 2> & amp = sqrt <18> & amp = 3 sqrt <2> CD = sqrt << (- 1-5) > ^ 2 + <(1-7)> ^ 2> & amp = sqrt <72> & amp = 6 sqrt <2> DA = sqrt << (2 + 1)> ^ 2 + <( -2-1)> ^ 2> & amp = sqrt <18> & amp = 3 sqrt <2>, end A B = (8 - 2) 2 + (4 + 2) 2

B C = (5 - 8) 2 + (7 - 4) 2

C D = (- 1 - 5) 2 + (1 - 7) 2

D A = (2 + 1) 2 + (- 2 - 1) 2

​ ​ = 7 2

​ = 6 2

​ = 1 8

​ = 3 2

​ = 7 2

​ = 6 2

​ = 1 8

​ = 3 2

, O que implica A B = C D AB = CD A B = C D e B C = D A, BC = DA, B C = D A, ou seja, A B C D ABCD A B C D é um quadrilátero cujos lados opostos são iguais.

Agora, uma vez que temos A C = (5 - 2) 2 + (7 + 2) 2 = 90 = 3 10 B D = (- 1 - 8) 2 + (1 - 4) 2 = 90 = 3 10, begin AC = sqrt << (5-2)> ^ 2 + <(7 + 2)> ^ 2> & amp = sqrt <90> & amp = 3 sqrt <10> BD = sqrt << (-1-8)> ^ 2 + <(1-4)> ^ 2> & amp = sqrt <90> & amp = 3 sqrt <10>, end A C = (5 - 2) 2 + (7 + 2) 2

B D = (- 1 - 8) 2 + (1 - 4) 2

​ ​ = 9 0

​ = 3 1 0

​ = 9 0

​ = 3 1 0

, A C = B D, AC = BD, A C = B D, o que implica A B C D ABCD A B C D é um quadrilátero cujas diagonais são iguais.

Portanto, A B C D ABCD A B C D é um retângulo, e sua área é

(Área de ABCD) = A B × B C = 6 2 × 3 2 = 36. □ begin text <(Área de ABCD)> & amp = AB × BC & amp = 6 sqrt <2> × 3 sqrt <2> & amp = 36. _ square end (Área de ABCD) = A B × B C = 6 2

​ × 3 2

​ = 3 6 . □ ​ ​

Mostre que quatro pontos em um plano A = (- 3, 2), B = (- 5, - 5), C = (2, - 3), D = (4, 4) A = (- 3,2) , B = (- 5, -5), C = (2, -3), D = (4,4) A = (- 3, 2), B = (- 5, - 5), C = (2 , - 3), D = (4, 4) formam um losango ABCD ABCD ABCD que não é um quadrado. Encontre a área do losango.

Temos AB = (- 5 - (- 3)) 2 + (- 5 - 2) 2 = 53 BC = (2 - (- 5)) 2 + (- 3 - (- 5) 2 = 53 CD = ( 4 - 2) 2 + (4 - (- 3)) 2 = 53 DA = (- 3 - 4) 2 + (2 - 4) 2 = 53, começo AB = sqrt << (- 5 - (- 3))> ^ 2 + <(- 5-2)> ^ 2> & amp = sqrt <53> BC = sqrt << (2 - (- 5))> ^ 2 + <(- 3 - (- 5)> ^ 2> & amp = sqrt <53> CD = sqrt << (4-2)> ^ 2 + <(4 - (- 3))> ^ 2> & amp = sqrt <53> DA = sqrt << (- 3-4)> ^ 2 + <(2-4)> ^ 2> & amp = sqrt <53>, fim A B = (- 5 - (- 3)) 2 + (- 5 - 2) 2

B C = (2 - (- 5)) 2 + (- 3 - (- 5) 2

C D = (4 - 2) 2 + (4 - (- 3)) 2

D A = (- 3 - 4) 2 + (2 - 4) 2

​ ​ = 5 3

​ = 5 3

​ = 5 3

​ = 5 3

, O que implica que A B = B C = C D = D A, AB = BC = CD = DA, A B = B C = C D = D A, ou seja, A B C D ABCD A B C D é um losango ou um quadrado.

Agora, uma vez que temos AC = (2 - (- 3)) 2 + (- 3 - 2) 2 = 25 + 25 = 5 2 BD = (4 - (- 5)) 2 + (4 - (- 5) ) 2 = 81 + 81 = 9 2, começar AC = sqrt << (2 - (- 3))> ^ 2 + <(- 3-2)> ^ 2> & amp = sqrt <25 + 25> & amp = 5 sqrt <2> BD = sqrt << (4 - (- 5))> ^ 2 + <(4 - (- 5))> ^ 2> & amp = sqrt <81 + 81> & amp = 9 sqrt <2> , fim A C = (2 - (- 3)) 2 + (- 3 - 2) 2

B D = (4 - (- 5)) 2 + (4 - (- 5)) 2

​ ​ = 2 5 + 2 5

​ = 5 2

​ = 8 1 + 8 1

​ = 9 2

, A C ≠ B D, AC neq BD, A C  = B D, o que implica que A B C D ABCD A B C D é um losango, mas não um quadrado.

A área do losango A B C D ABCD A B C D é (Área do losango ABCD) = 1 2 × A C × B D = 1 2 × 5 2 × 9 2 = 45. □ begin text <(Área do losango ABCD)> & amp = dfrac <1> <2> × AC × BD & amp = dfrac <1> <2> × 5 sqrt <2> × 9 sqrt <2> & amp = 45. _ square end (Área do losango ABCD) = 2 1 × A C × B D = 2 1 × 5 2

​ × 9 2

​ = 4 5 . □ ​ ​


Índice

Para encontrar o fator de escala, você primeiro decide em qual direção está escalando:

Fórmula do fator de escala
Direção da Escala Fórmula
Escala Pra cima (menor para maior) = & # xA0 l a r g e r & # xa0 f i g u r e & # xa0 me a s u r e m e n t s m a l l e r & # xa0 f i g u r e & # xa0 me a s u r e m e n t
Escala Baixa (maior para menor) = & # xA0 s m a l l e r & # xa0 f i g u r e & # xa0 m e a s u r e m e n t l a r g e r & # xa0 f i g u r e & # xa0 me a s u r e m e n t

O fator de escala para aumentando é um proporção maior que 1 . O fator de escala para redução da escala é um proporção de menos de 1 .

Depois de saber de que forma está escalando, você compara os lados correspondentes usando a equação básica correta. Compare o comprimento do lado do objeto real com o comprimento do lado correspondente na representação.

Encontrando Fator de Escala de Figuras Similares

Aqui estão dois triângulos semelhantes. Qual é o fator de escala usado para criar a segunda figura maior?

Uma vez que estamos escalando pra cima, dividimos o número maior pelo número menor:

O fator de escala é 3. Para ir de pernas de 12 & # xA0 cm para pernas de 36 & # xA0 cm, precisamos multiplicar 12 & # xA0 cm por 3.

Agora, vamos tentar reduzir. Aqui estão dois pentágonos semelhantes. Qual é o fator de escala usado para criar a segunda figura menor?

Como estamos reduzindo a escala, dividimos os comprimentos laterais correspondentes (número menor por número maior):

O fator de escala é 1 7. Para obter a segunda figura menor, multiplicamos 21 & # xA0 & # xd7 & # xA0 1 7 a figura à direita usa um fator de escala de 1: 7, 1 7 ou on e - s e v e n t h.

Vejamos mais um exemplo e dimensione tanto para cima quanto para baixo. Considere esses dois triângulos retângulos semelhantes com lados rotulados.

Se tivermos o pequeno triângulo retângulo acima e quisermos escalá-lo até o triângulo maior, escrevemos o seguinte:

185 37 & # xA0 = & # xA0 5 1 o fator de escala é 5: 1

Portanto, todas as outras medidas lineares são multiplicadas por 5.

Se tivermos o grande triângulo retângulo e quisermos reduzi-lo para torná-lo menor, escrevemos o seguinte:

37 185 & # xa0 = & # xa0 1 5 o fator de escala é 1: 5

Portanto, todas as outras medidas lineares são multiplicadas por 1 5 ou divididas por 5


Progressão aritmética

A progressão aritmética é uma sequência de números tal que a diferença de quaisquer dois membros sucessivos é uma constante.

Por exemplo, a sequência 1, 2, 3, 4,. é uma progressão aritmética com diferença comum 1.

Segundo exemplo: a sequência 3, 5, 7, 9, 11. é uma progressão aritmética
com diferença comum 2.
Terceiro exemplo: a sequência 20, 10, 0, -10, -20, -30,. é uma progressão aritmética
com diferença comum -10.

Notação

Denotamos por d a diferença comum.

De uman nós denotamos o n-ésimo termo de uma progressão aritmética.

De Sn denotamos a soma dos primeiros n elementos de uma série aritmética.
Série aritmética significa a soma dos elementos de uma progressão aritmética.

Propriedades

Amostra: seja 1, 11, 21, 31, 41, 51. uma progressão aritmética.

51 + 1 = 41 + 11 = 31 + 21
e
11 = (21 + 1)/2
21 = (31 + 11)/2.

Se o termo inicial de uma progressão aritmética é um1 e a diferença comum de membros sucessivos é d, então o n-º termo da sequência é dado por

A soma S dos primeiros n números de uma progressão aritmética é dada pela fórmula:

Calculadora de progressão aritmética

Problemas de progressão aritmética

1) É a linha 1,11,21,31. uma progressão aritmética?
Solução: Sim, é uma progressão aritmética. Seu primeiro termo é 1 e a diferença comum é 10.

2) Encontre a soma dos primeiros 10 números desta série aritmética: 1, 11, 21, 31.
Solução: podemos usar esta fórmula S = 1 /2(2a1 + d (n-1)) n
S = 1 /2(2.1 + 10(10-1))10 = 5(2 + 90) = 5.92 = 460

3) Tente provar que se os números 1 / (c + b), 1 / (c + a), 1 / (a ​​+ b) formam uma progressão aritmética, então os números a 2, b 2, c 2 formam uma aritmética progressão também.


Calculando o próximo número de Fibonacci diretamente

Também existe uma fórmula que, dado um número de Fibonacci, retorna o próximo número Fibonacci diretamente, calculando-o apenas em termos do valor anterior (ou seja, não precisando do valor antes também).

  • Redondo(x) significa "o número inteiro mais próximo de x".
  • Se o aplicarmos a um número que termina com & middot5, então iremos arredondar para cima
    por exemplo, redondo (3,5) é 4.
  • Se aplicarmos o Redondo função para um valor que já é um número inteiro, então ela não o altera.

Um exemplo

Mas há um problema.

Provando que esta fórmula está correta

Outras maneiras de provar isso envolvem resultados sobre relações de recorrência e como resolvê-los, que são muito semelhantes à solução de equações diferenciais, exceto pelo fato de que lidam com valores inteiros e não valores de números reais. Isso geralmente é incluído em cursos de nível universitário em Matemática Pura ou Discreta.

[Para o matemático de nível universitário, há uma nota interessante do HAKMEM sobre uma maneira rápida de calcular os números de Fibonacci e suas aplicações.]


Fórmula do Ponto Médio

Às vezes, ao resolver problemas matemáticos, você precisa encontrar o meio do caminho entre os dois pontos. Por exemplo, você pode precisar encontrar uma linha que bissecione um determinado segmento de linha. Este ponto médio é chamado de & # 8220 ponto médio & # 8221.

De um ponto de vista numérico, o ponto médio de um segmento pode ser considerado a média de seus pontos finais. Este conceito ajuda a lembrar uma fórmula para encontrar o ponto médio de um segmento, dadas as coordenadas de seus pontos finais.

A fórmula do ponto médio é usado quando é necessário encontrar o ponto central exato entre dois pontos definidos. Portanto, para um segmento de linha, usamos esta fórmula para calcular o ponto que divide ao meio um segmento de linha definido pelos dois pontos. René Descartes, que nasceu em 1596, introduziu essa fórmula.

O ponto médio está a meio caminho entre os dois pontos finais:

Seu valor x está na metade do caminho entre os dois valores x. Seu valor de y está a meio caminho entre os dois valores de y.
Para calculá-lo:

Adicione as duas coordenadas & # 8220x & # 8221 e divida por 2.
Adicione as duas coordenadas & # 8220y & # 8221 e divida por 2.

O ponto médio de dois pontos, (x1, y1) e (x2, y2) é o ponto M calculado pela seguinte fórmula:
M = (x1 + x2 / 2, y1 + y2 / 2).


Índice

A teoria da representação investiga as diferentes maneiras pelas quais um dado objeto algébrico - como um grupo ou uma álgebra de Lie - pode atuar em um espaço vetorial. Além de ser um assunto de grande beleza intrínseca, a teoria tem o benefício adicional de ter aplicações em uma miríade de contextos fora da matemática pura, incluindo a teoria quântica de campos e o estudo de moléculas em química.

Adotando um ponto de vista panorâmico, este livro oferece uma introdução a quatro tipos diferentes de teoria da representação: representações de álgebras, grupos, álgebras de Lie e álgebras de Hopf. Uma parte separada do livro é dedicada a cada uma dessas áreas e todas são tratadas com profundidade suficiente para permitir e, esperançosamente, motivar o leitor a prosseguir com a pesquisa na teoria da representação.

O livro pretende ser um livro-texto para um curso de teoria da representação, que poderia seguir imediatamente o curso padrão de álgebra abstrata de pós-graduação e para os cursos de leitura mais avançados subsequentes. Portanto, mais de 350 exercícios em vários níveis de dificuldade estão incluídos. A ampla gama de tópicos cobertos também tornará o texto uma referência valiosa para pesquisadores em álgebra e áreas afins e uma fonte para estudantes de graduação e pós-graduação que desejam aprender mais sobre a teoria da representação por auto-estudo.


Descrevendo padrões

Descreva cada um desses padrões em palavras e, em seguida, escreva mais três termos em cada sequência:

Esta seqüência numérica começa em ( text <2> ) e cada termo é multiplicado por ( text <2> ) para obter o próximo termo.

Esta sequência numérica começa em ( text <1> ) e ( text <4> ) é adicionado a cada termo para obter o próximo termo.

Esta sequência numérica começa em ( text <3> ) e ( text <3> ) é adicionado a cada termo para obter o próximo termo.

Esta sequência numérica começa em ( text <5> ) e ( text <5> ) é adicionado a cada termo para obter o próximo termo.

Escreva os primeiros quatro termos do padrão para cada uma das seguintes descrições:

Esta sequência numérica começa em ( text <1> ) e ( text <20> ) é adicionado a cada vez para obter o próximo termo.

Esta seqüência numérica começa em ( text <1> ) e cada termo é multiplicado por ( text <4> ) para obter o próximo termo.

Esta sequência numérica começa em ( text <20 & # 160000> ) e cada termo é multiplicado por ( text <2> ) para obter o próximo termo.

Complete a tabela para a sequência a seguir e use as informações para calcular a fórmula geral e o valor do vigésimo termo: ( text <5> ) ( text <14> ) ( text <23> ) ( text <32> ) ( text <41> ) ( text <50> ) ( ldots )


Representações Matemáticas

Há evidências de que os alunos que Ter acesso à e entender como usar diferentes representações matemáticas dos mesmos conceitos matemáticos têm mais sucesso no aprendizado da matemática do que alunos que têm acesso a apenas um tipo de representação.

O problema é que as representações matemáticas não são intrinsecamente significativas por si mesmas. Algumas representações matemáticas são completamente arbitrárias e para outras pode ser desafiador determinar a quais elementos da representação prestar atenção.

Aqui está um exemplo com a intenção de destacar como algumas representações matemáticas, mesmo aquelas que são muito familiares, são um tanto arbitrárias. Verifique o diagrama abaixo e pergunte-se: & # 8220O que significa cada um desses modelos para os sinais de menor que, igual a e maior que? & # 8221

Os sinais de menor que, igual a e maior que são arbitrários. Eles são símbolos aos quais denotamos significado e que de outra forma não contêm nenhuma informação matemática sem aquele significado atribuído.

Outro problema é que os alunos nem sempre atendem às características críticas de uma representação matemática. Por exemplo, sempre vi uma forma e uma fórmula para calcular a área dessa forma introduzidas juntas, possivelmente como é mostrado abaixo com um cálculo de área ao lado do visual.

Mas a que exatamente nesta representação esperamos que os alunos participem? As características mais óbvias do diagrama do retângulo que correspondem à fórmula da área são o 5 e o 3. Referem-se às quantidades de comprimento e largura. Mas o que significa a multiplicação dessas duas quantidades? Como essa multiplicação é representada no diagrama? Não há nenhuma razão especial em diagramas como esses para que as crianças atendam ao espaço ocupado pelo retângulo e o correspondam à área do retângulo, portanto, precisamos encontrar maneiras de chamar sua atenção para esse elemento dos retângulos.

As representações matemáticas também têm o poder potencial de introduzir idéias sutilmente aos alunos. A reta numérica é um bom exemplo de uma representação que geralmente é introduzida no início e pode levar a algumas perguntas poderosas pelos alunos.

O que essas setas em cada lado significam?
O que o espaço entre os números representa?
O que significa ir para a esquerda na reta numérica?
Quando a linha numérica pára?

Cada uma dessas questões tem uma resposta matemática e a reta numérica pode ser usada novamente para representar essa resposta (aviso: mas nem sempre muito bem).

Trabalhei recentemente com um grupo de professores e procuramos atalhos para resolver a equação x + x = 116 & # 8211 84.
Aqui estão alguns de seus atalhos.

Estratégia 1 Estratégia 2 Estratégia 3
“Combinei os x's e subtraí 84 de 116, o que me deu 32. Pude fazer isso rapidamente porque sabia que 11 & # 8211 8 = 3 e 6 & # 8211 4 = 2. Isso me deu 2x = 32, então eu dividi os dois lados por 2 para obter x = 16. ” “Eu vi o x + x e mudei para 2x. Então decidi dividir tudo por 2 para tornar o cálculo mais simples e obtive x = 58 & # 8211 42. Como 58 & # 8211 42 é 16, isso significa x = 16. ” “Percebi que 116 e 84 são ambos 16 de 100. Posso reescrever isso como x + x = 16 + 16 e, portanto, x = 16.”

Mas e se tentássemos representar as estratégias 2 e 3 em uma reta numérica? Aqui estão algumas visualizações diferentes dessas estratégias. Que informações são capturadas de maneira diferente pelas diferentes visualizações?

Em nosso currículo de matemática, ao introduzir um modelo de área para fatorar e completar o quadrado, primeiro introduzimos a representação em si antes de fazer qualquer outro trabalho matemático com ela.

Experimente este miniaplicativo e pergunte a si mesmo, & # 8220 Que relações entre o visual e a expressão você percebe ao alterar o valor de um? & # 8221

Em uma sala de aula, podemos pedir aos alunos que compartilhem suas respostas a essa sugestão com um parceiro e, em seguida, podemos pedir a alguns alunos que compartilhem suas respostas com toda a classe. A seguir, se necessário, poderíamos acrescentar uma observação de outra turma, para que os alunos soubessem a que elementos desta representação assistir.

Em seguida, depois que os alunos praticam a escrita de expressões para diagramas inalterados, podemos pedir aos alunos que escrevam expressões para os seguintes diagramas alterados:

Em minha experiência, essa abordagem geométrica para completar o quadrado resulta em mais alunos tendo acesso à abordagem algébrica e torna o nome da estratégia algébrica mais óbvio.

As representações matemáticas podem oferecer maneiras explícitas para os alunos fazerem conexões entre diferentes tópicos matemáticos. Em nosso currículo de Álgebra I, não temos uma unidade sobre gráficos. Em vez disso, interpretar e usar gráficos faz parte de todas as sete unidades, aumentando as chances de os alunos fazerem conexões dentro e entre essas unidades e também de os alunos se lembrarem das ideias-chave do curso.


O Plano Cartesiano

Conteúdo: Esta página corresponde à & seção P.5 (p. 49) do texto.

Problemas sugeridos no texto:

Página 55 # 1, 3, 5, 7, 11, 25, 37, 38, 39, 41, 47, 51, 53, 59.

Coordenadas no plano

O plano cartesiano, em homenagem ao matemático René Descartes (1596 - 1650), é um plano com um sistema de coordenadas retangulares que associa cada ponto do plano a um par de números. As definições básicas e terminologia são abordadas na seção P.5 (p.49) do texto.

A localização de um ponto P é determinada por um par ordenado de números (a, b).

O miniaplicativo Java (programa) abaixo mostra um plano de coordenadas e o ponto (-2, 1). Conforme você arrasta o ponto, as coordenadas são relatadas na caixa de texto abaixo do gráfico. (Quando dizemos & quot arraste o ponto & quot, queremos dizer clicar com o botão do mouse no ponto e mover o mouse com o botão pressionado.) Se você clicar e arrastar em um ponto distante do ponto indicado, a parte visível do gráfico muda. Você também pode editar as coordenadas na caixa de texto e, em seguida, pressionar Enter para mostrar a posição do ponto. Observe que as coordenadas precisam ser inseridas como número, número. (Alguns navegadores retornam um erro se houver um espaço antes ou depois da vírgula.)

(a) Desenhe um conjunto de eixos de coordenadas e plote os pontos (-2,3), (4,5), (3, -4) e (-1, -3). Use o programa de manual de ferramentas Plotter para verificar seu trabalho.

(b) Se um ponto está 3 unidades à esquerda do eixo y e 4 unidades acima do eixo x, então quais são suas coordenadas?

Fórmula de distância

A distância do ponto (x 1, y 1) ao ponto (x 2, y 2) é dada por

Se A e B são pontos, então d (A, B) representa a distância de A a B.

A fórmula de distância acima é, na verdade, um arquivo de imagem (foto) que está sendo exibido nesta página. Atualmente, essa é a maneira mais prática de inserir fórmulas matemáticas em páginas da Web e é bastante complicada. Se houver muitas fórmulas a serem exibidas, seu navegador deverá fazer download de muitos arquivos de imagem, e isso aumenta significativamente o tempo de espera para ver os resultados. Inseriremos fórmulas com arquivos de imagem quando necessário, mas também usaremos nomes de texto para alguns dos símbolos matemáticos.

Por exemplo, sqrt (4) representa a raiz quadrada de 4 e x ^ 2 representa x ao quadrado. Usando essas convenções, a fórmula de distância acima se tornaria

d = sqrt ((x 2 - x 1) ^ 2 + (y 2 - y 1) ^ 2).

Esses são os mesmos símbolos usados ​​na Calculadora Java que podem ser chamados a partir dessas páginas do curso. Haverá um link para a Calculadora na parte superior de todas as páginas de conteúdo deste curso.

Clicar no link Calculadora Java abre uma nova janela do navegador grande o suficiente para acomodar a calculadora, de forma que a página atual ainda esteja visível. Se você clicar na página atual enquanto a calculadora estiver aberta, a janela da calculadora ficará atrás da janela atual, mas pode ser recuperada clicando no botão Calculadora na barra de tarefas em um ambiente Windows. Mais ajuda sobre a calculadora está disponível clicando no link Ajuda da calculadora na caixa com os links da calculadora. Tente usar a calculadora para o próximo exercício.

(a) Verifique se a distância de (-3,5) a (2,1) é 6,403 (arredondado para três casas decimais). A fórmula da calculadora é

sqrt ((2 - (-3)) ^ 2 + (1 - 5) ^ 2).

Cálculos como este são feitos na caixa na parte superior da calculadora. Após digitar a fórmula, pressione a tecla Enter. (Na maioria dos casos, depois de pressionar Enter, o resultado é exibido e o cursor se move para a próxima linha. Então você está pronto para fazer outro cálculo. Em algumas versões do Internet Explorer, o cursor permanece onde estava quando você pressionou Enter. neste caso, você deve mover o cursor para baixo até a nova linha após o resultado para fazer o próximo cálculo. Você pode usar a tecla de seta para baixo para isso.)

A calculadora mantém um registro do último resultado em uma variável chamada & quota & quot. Aqui está um exemplo do uso da variável & quota & quot.

Digite 6 + 7 e pressione enter. O resultado 13 é exibido. Se você digitar agora a ^ 2, o resultado 169 será exibido, porque após o primeiro cálculo, a foi definido como 13. O valor de a pode ser verificado digitando a e enter.

(b) Verifique se a distância de (4,3) a (-1, -2) é (aproximadamente) 7,071.

Fórmula do Ponto Médio

O ponto médio do segmento de linha que conecta o ponto (x 1, y 1) ao ponto (x 2, y 2) é

Ponto médio = ((x 1 + x 2) / 2, (y 1 + y 2) / 2).

Por exemplo, o ponto médio do segmento que conecta (-1,2) e (3,9) é ((-1 + 3) / 2, (2 + 9) / 2) = (1, 5,5).

(a) M = (1, -2) é o ponto médio do segmento de A = (-2, -3) a B = (4, -1). Como resultado, d (A, M) = d (M, B). Verifique se as duas distâncias d (A, M) e d (M, B) são iguais.

(b) Encontre o ponto médio do segmento de (-5,3) a (2, -1).

(c) Seja A = (3,2) e M = (0,4). Se M é o ponto médio do segmento de A a um ponto B, então quais são as coordenadas de B? Dica: Traçar os pontos provavelmente ajudará.

Gráficos de dispersão

A razão mais importante para plotar pontos é estudar as relações entre as variáveis. Considere, por exemplo, o histórico de arrecadação de fundos de uma pequena estação de rádio pública. Durante o primeiro ano de operação, as contribuições do ouvinte chegaram a US $ 70.000. A tabela abaixo fornece os valores das contribuições para vários anos.

Para ter um gráfico útil desses dados, precisaremos ter escalas diferentes nos dois eixos. A primeira coordenada de cada um dos seis pontos será o ano, e mediremos as contribuições em incrementos de $ 10.000, então o primeiro ponto será (1,7), o segundo (3,14,5), etc.

Gráfico de dispersão de dados de contribuição

A partir do gráfico de dispersão, pode-se ver facilmente que, embora as contribuições estejam aumentando, aumentaram mais rapidamente nos primeiros anos. Essa representação visual dos dados torna as tendências e padrões mais óbvios do que na tabela de dados.


Assista o vídeo: Punkt C należy do odcinka AB. Środkiem odcinka AC jest punkt D (Outubro 2021).