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14: Gráficos Planares - Matemática


14: Gráficos Planares - Matemática

Discrete Mathematics: An Open Introduction, 3ª edição

Quando um gráfico conectado pode ser desenhado sem qualquer cruzamento de arestas, ele é chamado. Quando um gráfico plano é desenhado dessa forma, ele divide o plano em regiões chamadas.

Desenhe, se possível, dois gráficos planares diferentes com o mesmo número de vértices, arestas e faces.

Desenhe, se possível, dois gráficos planares diferentes com o mesmo número de vértices e arestas, mas um número diferente de faces.

Quando é possível desenhar um gráfico de forma que nenhuma das arestas se cruze? Se este é possível, dizemos que o gráfico é (já que você pode desenhá-lo no plano).

Observe que a definição de planar inclui a frase "é possível." Isso significa que mesmo que um gráfico não pareça plano, ainda pode ser. Talvez você possa redesenhar de uma forma que nenhuma borda se cruze. Por exemplo, este é um gráfico planar:

Isso porque podemos redesenhar assim:

Os gráficos são iguais, portanto, se um for plano, o outro também deve ser. No entanto, o desenho original do gráfico não era um gráfico.

Quando um gráfico plano é desenhado sem cruzamento de arestas, as arestas e vértices do gráfico dividem o plano em regiões. Chamaremos cada região de a. O gráfico acima tem 3 faces (sim, nós Faz incluir a região “externa” como um rosto). O número de faces não muda, não importa como você desenha o gráfico (contanto que você faça isso sem que as arestas se cruzem), então faz sentido atribuir o número de faces como uma propriedade do gráfico planar.

AVISO: você só pode contar faces quando o gráfico é desenhado de forma planar. Por exemplo, considere estas duas representações do mesmo gráfico:

Se você tentar contar faces usando o gráfico à esquerda, pode dizer que há 5 faces (incluindo a parte externa). Mas desenhar o gráfico com uma representação plana mostra que, na verdade, existem apenas 4 faces.

Há uma conexão entre o número de vértices ( (v )), o número de arestas ( (e )) e o número de faces ( (f )) em qualquer gráfico planar conectado. Essa relação é chamada de fórmula de Euler.

Fórmula de Euler para gráficos planares.

Para qualquer grafo plano conectado com (v ) vértices, (e ) arestas e (f ) faces, temos

Por que a fórmula de Euler é verdadeira? Uma maneira de se convencer de sua validade é desenhar um gráfico plano passo a passo. Comece com o gráfico (P_2 text <:> )

Qualquer grafo conectado (além de apenas um único vértice isolado) deve conter este subgrafo. Agora aumente seu gráfico adicionando arestas e vértices. Cada etapa consistirá em adicionar um novo vértice conectado por uma nova aresta a parte de seu gráfico (criando assim um novo “pico”) ou conectando dois vértices já no gráfico com uma nova aresta (completando um circuito).

O que esses “movimentos” fazem? Ao adicionar o pico, o número de arestas aumenta em 1, o número de vértices aumenta em um e o número de faces permanece o mesmo. Mas isso significa que (v - e + f ) não muda. Completar um circuito adiciona uma aresta, adiciona uma face e mantém o mesmo número de vértices. Portanto, novamente, (v - e + f ) não muda.

Uma vez que podemos construir qualquer gráfico usando uma combinação desses dois movimentos, e fazer isso nunca muda a quantidade (v - e + f text <,> ) essa quantidade será a mesma para todos os gráficos. Mas observe que nosso gráfico inicial (P_2 ) tem (v = 2 text <,> ) (e = 1 ) e (f = 1 text <,> ) então (v - e + f = 2 text <.> ) Este argumento é essencialmente uma prova por indução. Um bom exercício seria reescrevê-lo como uma prova formal de indução.

Gráficos de subseção não planas

Investigar!

Para os gráficos completos (K_n text <,> ), gostaríamos de ser capazes de dizer algo sobre o número de vértices, arestas e (se o gráfico for plano) faces. Vamos primeiro considerar (K_3 text <:> )

Quantos vértices (K_3 ) tem? Quantas arestas?

Se (K_3 ) for plano, quantas faces ele deve ter?

Repita as partes (1) e (2) para (K_4 text <,> ) (K_5 text <,> ) e (K_ <23> text <.> )

Que tal gráficos bipartidos completos? Quantos vértices, arestas e faces (se fossem planas) tem (K_ <7,4> )? Para os quais os valores de (m ) e (n ) são (K_n ) e (K_) planar?

Nem todos os gráficos são planos. Se houver muitas arestas e poucos vértices, algumas arestas precisarão se cruzar. O menor gráfico onde isso acontece é (K_5 text <.> )

Se você tentar redesenhar isso sem cruzar as bordas, você rapidamente terá problemas. Parece haver uma vantagem a mais. Na verdade, podemos provar que não importa como você desenhe, (K_5 ) sempre terá bordas se cruzando.

Teorema 4.3.1.
Prova .

A prova é por contradição. Portanto, assuma que (K_5 ) é planar. Então, o gráfico deve satisfazer a fórmula de Euler para gráficos planares. (K_5 ) tem 5 vértices e 10 arestas, então obtemos

que diz que se o gráfico for desenhado sem qualquer cruzamento de arestas, haveria (f = 7 ) faces.

Agora considere quantas arestas circundam cada face. Cada face deve ser circundada por pelo menos 3 arestas. Seja (B ) o número total de limites em torno de todos os rostos no gráfico. Portanto, temos aquele (3f le B text <.> ) Mas também (B = 2e text <,> ), uma vez que cada aresta é usada como limite exatamente duas vezes. Juntando isso, obtemos

Mas isso é impossível, uma vez que já determinamos que (f = 7 ) e (e = 10 text <,> ) e (21 não le 20 text <.> ) Este é um contradição, então de fato (K_5 ) não é planar.

O outro gráfico mais simples que não é plano é (K_ <3,3> )

Provar que (K_ <3,3> ) não é plano responde ao quebra-cabeça das casas e utilidades: não é possível conectar cada uma das três casas a cada uma das três utilidades sem que as linhas se cruzem.

Teorema 4.3.2.
Prova .

Novamente, procedemos por contradição. Suponha que (K_ <3,3> ) fosse planar. Então, pela fórmula de Euler, haverá 5 faces, já que (v = 6 text <,> ) (e = 9 text <,> ) e (6 - 9 + f = 2 text <.> )

Quantos limites cercam essas 5 faces? Seja (B ) este número. Uma vez que cada aresta é usada como um limite duas vezes, temos (B = 2e text <.> ) Além disso, (B ge 4f ) uma vez que cada face é cercada por 4 ou mais limites. Sabemos que isso é verdade porque (K_ <3,3> ) é bipartido e, portanto, não contém nenhum ciclo de 3 arestas. Desse modo

Mas isso diria que (20 le 18 text <,> ) que é claramente falso. Portanto, (K_ <3,3> ) não é plano.

Observe as semelhanças e diferenças nessas provas. Ambos são provas por contradição e ambos começam usando a fórmula de Euler para derivar o (suposto) número de faces no gráfico. Em seguida, encontramos uma relação entre o número de faces e o número de arestas com base em quantas arestas circundam cada face. Essa é a única diferença. Na prova para (K_5 text <,> ) obtivemos (3f le 2e ) e para (K_ <3,3> ) vamos (4f le 2e text <.> ) O coeficiente de (f ) é a chave. É o menor número de arestas que podem envolver qualquer face. Se algumas arestas circundam uma face, essas arestas formam um ciclo. Portanto, esse número é o tamanho do menor ciclo no gráfico.

Em geral, se deixarmos (g ) ser o tamanho do menor ciclo em um gráfico ( (g ) significa circunferência, que é o termo técnico para isso) então para qualquer gráfico planar que temos (gf le 2e text <.> ) Quando isso discorda da fórmula de Euler, sabemos com certeza que o gráfico não pode ser plano.

Subseção Poliedro

Investigar!

Um cubo é um exemplo de poliedro convexo. Ele contém 6 quadrados idênticos para suas faces, 8 vértices e 12 arestas. O cubo é a (também conhecido como a) porque cada face é um polígono regular idêntico e cada vértice une um número igual de faces.

Existem exatamente quatro outros poliedros regulares: o tetraedro, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro com 4, 8, 12 e 20 faces, respectivamente. Quantos vértices e arestas cada um deles tem?

Outra área da matemática onde você pode ter ouvido os termos “vértice”, “aresta” e “face” é a geometria. A é um sólido geométrico formado por faces poligonais planas unidas em arestas e vértices. Estamos especialmente interessados ​​em poliedros, o que significa que qualquer segmento de linha conectando dois pontos no interior do poliedro deve estar inteiramente contido dentro do poliedro. 7

Observe que, uma vez que (8 - 12 + 6 = 2 text <,> ), os vértices, arestas e faces de um cubo satisfazem a fórmula de Euler para gráficos planares. Isto não é uma coincidência. Podemos representar um cubo como um gráfico planar projetando os vértices e arestas no plano. Uma dessas projeções tem a seguinte aparência:

Na verdade, cada o poliedro convexo pode ser projetado no plano sem o cruzamento das bordas. Pense em colocar o poliedro dentro de uma esfera, com uma luz no centro da esfera. As arestas e vértices do poliedro projetam uma sombra no interior da esfera. Você pode então fazer um furo na esfera no meio de uma das faces projetadas e “esticar” a esfera para se deitar no plano. A face que foi perfurada torna-se a face “externa” do gráfico planar.

A questão é que podemos aplicar o que sabemos sobre gráficos (em particular gráficos planares) a poliedros convexos. Uma vez que cada poliedro convexo pode ser representado como um gráfico planar, vemos que a fórmula de Euler para gráficos planares também se aplica a todos os poliedros convexos. Também podemos aplicar o mesmo tipo de raciocínio que usamos para gráficos em outros contextos para poliedros convexos. Por exemplo, sabemos que não há poliedro convexo com 11 vértices todos de grau 3, pois isso formaria 33/2 arestas.

Exemplo 4.3.3.

Existe um poliedro convexo que consiste em três triângulos e seis pentágonos? Que tal três triângulos, seis pentágonos e cinco heptágonos (polígonos de 7 lados)?

Quantas arestas esses poliedros teriam? Para o primeiro poliedro proposto, os triângulos contribuiriam com um total de 9 arestas, e os pentágonos contribuiriam com 30. No entanto, isso conta cada aresta duas vezes (já que cada aresta delimita exatamente duas faces), dando 39/2 arestas, uma impossibilidade. Não existe tal poliedro.

O segundo poliedro não tem esse obstáculo. As 35 arestas extras contribuídas pelos heptágonos dão um total de 74/2 = 37 arestas. Até agora tudo bem. Agora, quantos vértices esse suposto poliedro tem? Podemos usar a fórmula de Euler. Existem 14 faces, então temos (v - 37 + 14 = 2 ) ou equivalentemente (v = 25 text <.> ) Mas agora use os vértices para contar as arestas novamente. Cada vértice deve ter grau pelo menos três (ou seja, cada vértice une pelo menos três faces, já que o ângulo interno de todos os polígonos deve ser menor que (180 ^ circ )), então a soma dos graus dos vértices é de pelo menos 75. Como a soma dos graus deve ser exatamente o dobro do número de arestas, isso significa que existem estritamente mais de 37 arestas. Novamente, esse poliedro não existe.

Para concluir esta aplicação de gráficos planares, considere os poliedros regulares. Afirmamos que são apenas cinco. Como sabemos que isso é verdade? Podemos provar isso usando a teoria dos grafos.

Teorema 4.3.4.

Existem exatamente cinco poliedros regulares.

Prova .

Lembre-se de que todas as faces de um poliedro regular são polígonos regulares idênticos e que cada vértice tem o mesmo grau. Considere quatro casos, dependendo do tipo de polígono regular.

Caso 1: cada face é um triângulo. Seja (f ) o número de faces. Existem então (3f / 2 ) arestas. Usando a fórmula de Euler, temos (v - 3f / 2 + f = 2 ) então (v = 2 + f / 2 text <.> ) Agora cada vértice tem o mesmo grau, digamos (k text < .> ) Portanto, o número de arestas também é (kv / 2 text <.> ) Juntando isso dá

Ambos (k ) e (f ) devem ser inteiros positivos. Observe que ( frac <6f> <4 + f> ) é uma função crescente para (f text <,> ) positivo delimitado acima por uma assíntota horizontal em (k = 6 text <.> ) Assim, os únicos valores possíveis para (k ) são 3, 4 e 5. Cada um deles é possível. Para obter (k = 3 text <,> ), precisamos (f = 4 ) (este é o tetraedro). Para (k = 4 ), tomamos (f = 8 ) (o octaedro). Para (k = 5 ), pegue (f = 20 ) (o icosaedro). Portanto, existem exatamente três poliedros regulares com triângulos no lugar de faces.

Caso 2: cada rosto é um quadrado. Agora temos (e = 4f / 2 = 2f text <.> ) Usando a fórmula de Euler, obtemos (v = 2 + f text <,> ) e contando as arestas usando o grau (k ) de cada vértice nos dá

Esta é novamente uma função crescente, mas desta vez a assíntota horizontal está em (k = 4 text <,> ) então o único valor possível que (k ) poderia assumir é 3. Isso produz 6 faces, e nós tem um cubo. Existe apenas um poliedro regular com faces quadradas.

Caso 3: cada face é um pentágono. Realizamos o mesmo cálculo acima, desta vez obtendo (e = 5f / 2 ) então (v = 2 + 3f / 2 text <.> ) Então

Agora a assíntota horizontal está em ( frac <10> <3> text <.> ) Isso é menor que 4, então só podemos esperar fazer (k = 3 text <.> ) Podemos faça isso usando 12 pentágonos, obtendo o dodecaedro. Este é o único poliedro regular com pentágonos como faces.

Caso 4: Cada face é um (n ) - gon com (n ge 6 text <.> ) Seguindo o mesmo procedimento acima, deduzimos que

que irá aumentar para uma assíntota horizontal de ( frac <2n> text <.> ) Quando (n = 6 text <,> ) esta assíntota está em (k = 3 text <.> ) Qualquer valor maior de (n ) resultará em um valor ainda menor assíntota. Portanto, nenhum poliedro regular existe com faces maiores do que pentágonos. 8

Exercícios Exercícios

É possível que um grafo plano tenha 6 vértices, 10 arestas e 5 faces? Explique.

Não. Um gráfico plano (conectado) deve satisfazer a fórmula de Euler: (v - e + f = 2 text <.> ) Aqui (v - e + f = 6 - 10 + 5 = 1 text <.> )

O gráfico (G ) tem 6 vértices com graus (2, 2, 3, 4, 4, 5 text <.> ) Quantas arestas (G ) tem? Pode (G ) ser plano? Em caso afirmativo, quantas faces teria. Se não, explique.

(G ) tem 10 arestas, uma vez que (10 ​​= frac <2 + 2 + 3 + 4 + 4 + 5> <2> text <.> ) Poderia ser plano, e então teria 6 faces, usando a fórmula de Euler: (6-10 + f = 2 ) significa (f = 6 text <.> ) No entanto, para ter certeza de que é realmente plano, precisaríamos desenhar um gráfico com esses vértices graus sem cruzamento de bordas. Isso pode ser feito por tentativa e erro (e é possível).

É possível que um gráfico conectado com 7 vértices e 10 arestas seja desenhado de forma que nenhuma aresta se cruze e crie 4 faces? Explique.

O que a fórmula de Euler lhe diria?

É possível que um grafo com 10 vértices e arestas seja um grafo plano conectado? Explique.

Existe um grafo plano conectado com um número ímpar de faces onde cada vértice tem grau 6? Prove sua resposta.

Você pode usar o lema do handshake para encontrar o número de arestas, em termos de (v text <,> ) o número de vértices.

Estou pensando em um poliedro contendo 12 faces. Sete são triângulos e quatro são quadraláteros. O poliedro tem 11 vértices, incluindo aqueles ao redor da face misteriosa. Quantos lados tem o último rosto?

Digamos que o último poliedro tenha (n ) arestas e também (n ) vértices. O número total de arestas do poliedro é então ((7 cdot 3 + 4 cdot 4 + n) / 2 = (37 + n) / 2 text <.> ) Em particular, conhecemos a última face deve ter um número ímpar de arestas. Também temos que (v = 11 text <.> ) Pela fórmula de Euler, temos (11 - (37 + n) / 2 + 12 = 2 text <,> ) e resolvendo para (n ) obtemos (n = 5 text <,> ) então a última face é um pentágono.

Considere alguns poliedros clássicos.

A octaedro é um poliedro regular composto de 8 triângulos equiláteros (parece duas pirâmides com suas bases coladas). Desenhe uma representação gráfica plana de um octaedro. Quantos vértices, arestas e faces um octaedro (e seu gráfico) tem?

O desenho tradicional de uma bola de futebol é, na verdade, uma (projeção esférica de a) icosaedro truncado. Consiste em 12 pentágonos regulares e 20 hexágonos regulares. Não há dois pentágonos adjacentes (portanto, as arestas de cada pentágono são compartilhadas apenas por hexágonos). Quantos vértices, arestas e faces um icosaedro truncado possui? Explique como você chegou às suas respostas. Bônus: desenhe a representação gráfica planar do icosaedro truncado.

Seu “amigo” afirma que construiu um poliedro convexo com 2 triângulos, 2 quadrados, 6 pentágonos e 5 octógonos. Prove que seu amigo está mentindo. Dica: cada vértice de um poliedro convexo deve contornar pelo menos três faces.

Prove a fórmula de Euler usando indução no número de arestas do gráfico.

Prova .

Seja (P (n) ) a afirmação, “todo grafo planar conectado contendo (n ) arestas satisfaz (v - n + f = 2 text <.> )” Vamos mostrar (P ( n) ) é verdadeiro para todos (n ge 0 text <.> )

Caso base: há apenas um gráfico com arestas zero, ou seja, um único vértice isolado. Nesse caso (v = 1 text <,> ) (f = 1 ) e (e = 0 text <,> ), portanto, a fórmula de Euler é válida.

Caso indutivo: Suponha que (P (k) ) seja verdadeiro para algum (k ge 0 text <.> ) Arbitrário Agora considere um gráfico arbitrário contendo (k + 1 ) arestas (e (v ) vértices e (f ) faces). Não importa a aparência deste gráfico, podemos remover uma única aresta para obter um gráfico com (k ) arestas ao qual podemos aplicar a hipótese indutiva.

Existem dois casos: ou o gráfico contém um ciclo ou não. Se o gráfico contiver um ciclo, escolha uma aresta que faça parte desse ciclo e remova-a. Isso não desconectará o gráfico e diminuirá o número de faces em 1 (uma vez que a aresta fazia fronteira com duas faces distintas). Portanto, pela hipótese indutiva teremos (v - k + f-1 = 2 text <.> ) Adicionar a aresta de volta dará (v - (k + 1) + f = 2 ) conforme necessário.

Se o gráfico não contém um ciclo, então é uma árvore, então tem um vértice de grau 1. Então podemos escolher a aresta a ser removida para incidir em tal vértice de grau 1. Nesse caso, remova também esse vértice. O gráfico menor agora irá satisfazer (v-1 - k + f = 2 ) pela hipótese de indução (remover a aresta e o vértice não reduziu o número de faces). Adicionar a aresta e o vértice de volta dá (v - (k + 1) + f = 2 text <,> ) conforme necessário.

Portanto, pelo princípio da indução matemática, a fórmula de Euler é válida para todos os gráficos planares.

Prove a fórmula de Euler usando indução no número de vértices no gráfico.

A fórmula de Euler ( (v - e + f = 2 )) vale para todos conectado gráficos planares. E se um gráfico não estiver conectado? Suponha que um gráfico plano tenha dois componentes. Qual é o valor de (v - e + f ) agora? E se tiver componentes (k )?

Prove que o (abaixo) não é plano.

Qual é a duração do ciclo mais curto? (Essa quantidade geralmente é chamada de do gráfico.)

Prove que qualquer gráfico plano com (v ) vértices e (e ) arestas satisfaz (e le 3v - 6 text <.> )

Prova .

Sabemos em qualquer gráfico planar que o número de faces (f ) satisfaz (3f le 2e ) uma vez que cada face é limitada por pelo menos três arestas, mas cada aresta faz fronteira com duas faces. Combine isso com a fórmula de Euler:


A representação plana do gráfico divide o plano em áreas conectadas chamadas Regiões do plano.

Cada região tem algum grau associado a ela, dado como

  • Grau da região interna = Número de arestas que cercam essa região
  • Grau da região externa = Número de bordas expostas a essa região

Exemplo-

Considere o seguinte gráfico planar

Aqui, este gráfico planar divide o plano em 4 regiões - R1, R2, R3 e R4 onde-


Trabalho de casa

Haverá 10 trabalhos de casa, a serem entregues no início da aula no dia em que devem ser entregues. Dessas atribuições de dever de casa, as 8 melhores pontuações determinarão sua nota. Cada tarefa é avaliada em 20 pontos, para um total de 160. O único crédito extra dado será um bônus de 1 ponto para escrever seu dever de casa (por exemplo, mas não necessariamente, em LaTeX) diagramas gráficos ainda podem ser desenhados à mão .

Se você não puder assistir às aulas, pode enviar uma cópia digitalizada ou uma foto de sua lição de casa por e-mail antes do início da aula. Por favor, não faça isso se você puder assistir às aulas.

Se a tarefa de casa for recebida após a aula na data de entrega, mas antes da próxima aula, será aceita como tarde, com uma penalidade de 2 pontos. Lição de casa vai não ser aceito após a próxima aula por qualquer motivo.


14: Gráficos Planares - Matemática

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Teste de Planaridade

  • Conhecemos uma maneira de decidir que um gráfico é plano: desenhe-o sem o cruzamento de arestas.
    • E diabos, mas isso é tudo o que sabemos até agora.
    • Seria bom ter uma maneira de decidir com certeza se um gráfico é ou não plano, sem nos preocupar se não fomos espertos o suficiente em nosso desenho.
    • Não temos nenhum teorema para isso (ainda), mas de qualquer maneira que você tente desenhá-los, você eventualmente será incapaz de desenhar algumas das arestas sem cruzar.
    • De alguma forma, esses são os & ldquosmallest & rdquo gráficos não planos.
    • Veremos o que & ldquosmallest & rdquo significa em breve.

    Teorema: Para um grafo plano simples conectado com (v ge 3 ) vértices e (e ) arestas, (e le 3v-6 ).

    Prova: Seja (r ) o número de regiões em uma representação plana do gráfico, e para uma região (R ), seja ( operatorname(R) ) é o número de arestas adjacentes à região, de forma que cada aresta seja adjacente a duas regiões.

    Nós sabemos que ( operatorname(R) ge 3 ) para cada região uma vez que o gráfico não tem arestas múltiplas (para regiões internas) e tem pelo menos três vértices (para a região externa). Uma vez que cada aresta é adjacente a duas regiões, [2e = sum operatorname(R) ge 3r ,. ]

    Podemos usar isso com a fórmula de Euler ( (r = e-v + 2 )) para obter [ begin 3r & amp le 2e 3 (e-v + 2) & amp le 2e e & amp le 3v-6 ,. Quad ∎ end]

    • Isso mostra que (K_5 ) é não planar: (v = 5 ), (e = 10 ).
    • Mas para (K_ <3,3> ), temos (v = 6 ) e (e = 9 ). Ele satisfaz a desigualdade, mas não é plano.

    Coralário: Um gráfico plano simples conectado com (v ge 3 ) tem um vértice de grau cinco ou menos.

    Prova: Suponha que cada vértice tenha grau 6 ou mais. Então, o número total de arestas é (2e ge 6v ). Mas, como o gráfico é plano, [ sum operatorname(v) = 2e le 6v-12 ,. ] Temos uma contradição. ∎

    Teorema: Para um gráfico plano conectado simples com (v ge 3 ) vértices e (e ) arestas, e nenhum circuito de comprimento três, (e le 2v-4 ).

    Idéia de prova: Como não temos loops de comprimento três, podemos repetir a prova acima com ( operatorname(R) ge 4 ).

    • Ainda existem gráficos que obedecem a esta desigualdade, mas não são planos.
    • Aqui está um com (v = 15 ) e (e = 18 ):
    • & hellip e eu sei que não é plano por causa do próximo teorema.

    Glossário de gráfico e dígrafo

    Um dígrafo é acíclico se não contém ciclos.

    Uma borda direcionada de um dígrafo. Alguns autores o usam como sinônimo de borda de um gráfico. Outros sinônimos para arco em um dígrafo são seta, linha direcionada, aresta direcionada e link direcionado.

    Uma representação de um dígrafo usando os arcos do dígrafo. Pode ser uma lista não ordenada dos pares ordenados ou um par de listas ordenadas com o vértice inicial em uma lista e o vértice final na posição correspondente da segunda lista.

    Uma matriz quadrada de 0-1 cujas linhas e colunas são indexadas pelos vértices. Um 1 na ij-ésima posição da matriz significa que há uma aresta (ou arco) do vértice i ao vértice j. Um 0 indica que não existe tal aresta (ou arco). Pode ser usado para gráficos e dígrafos.

    Uma representação de um gráfico ou dígrafo que lista, para cada vértice, todos os vértices adjacentes a um determinado vértice.

    Dois vértices são adjacentes se estiverem conectados por uma aresta. Costumamos chamar esses dois vértices vizinhos. Dois vértices adjacentes:

    Um grafo é bipartido se os vértices podem ser particionados em dois conjuntos, X e Y, de forma que as únicas arestas do grafo estão entre os vértices em X e os vértices em Y. Árvores são exemplos de grafos bipartidos. Se G é bipartido, geralmente é denotado por G = (X, Y, E), onde E é o conjunto de arestas.

    Uma árvore binária que foi rotulada com números para que a prole direita e todos os seus descendentes tenham rótulos menores que o rótulo do vértice, e a prole esquerda e todos os seus descendentes tenham rótulos maiores que o do vértice. .

    Uma aresta em um gráfico cuja remoção (deixando os vértices) resulta em um gráfico desconectado.

    Uma cadeia em um gráfico é uma sequência de vértices de um vértice para outro usando as arestas. O comprimento de uma cadeia é o número de arestas usadas ou o número de vértices usados ​​menos um. UMA simples a cadeia não pode visitar o mesmo vértice duas vezes. UMA fechado cadeia é aquela em que o primeiro e o último vértice são iguais. Aqui está um exemplo de uma cadeia simples:

    Mais formalmente, uma cadeia é uma sequência de vértices da forma & ltx0, x1,. xn& gt tal que xeu e xi + 1 são adjacentes para i = 0. n-1. Em uma cadeia simples, todos os xeu são distintos. Em um fechado corrente, x0 = xn.

    O número cromático de um gráfico é o menor k para o qual o gráfico pode ser colorido em k. O número cromático do gráfico G é denotado por X(G). [X é a letra grega chi].

    Em um gráfico, um circuito é uma cadeia simples e fechada.

    O fechamento de um grafo G com n vértices, denotado por c (G), é o grafo obtido de G pela adição repetida de arestas entre vértices não adjacentes cujos graus somam pelo menos n, até que isso não possa mais ser feito. Vários resultados relativos à existência de circuitos hamiltonianos referem-se ao fechamento de um gráfico.

    Em um gráfico completo, todos os pares de vértices são adjacentes. Eles são denotados por Kn, onde n é o número de vértices. (O K é uma homenagem a Kuratowski, um pioneiro na teoria dos grafos.) O conceito correspondente para dígrafos é chamado de dígrafo simétrico completo, em que cada ordenou par de vértices são unidos por um arco. Aqui está o gráfico completo em cinco vértices, K5:

    Em um gráfico, um componente (conectado) é um subgrafo máximo, conectado e induzido. Máximo significa que não há subgrafo induzido conectado maior contendo os vértices do componente.

    Dado um grafo G, se dois vértices de G são identificados e quaisquer loops ou arestas múltiplas criadas por esta identificação removidos, o grafo resultante é chamado de gráfico condensado.

    Um grafo conectado é aquele em que cada par de vértices é unido por uma cadeia. Um gráfico que não está conectado é chamado desconectado, e se divide em componentes conectados.

    Em um dígrafo, um ciclo é um caminho simples fechado.

    Uma árvore binária usada para representar um algoritmo de classificação por comparações. As folhas da árvore representam os resultados possíveis (ordenações), enquanto os outros vértices representam questões de teste que têm uma resposta sim ou não.

    O grau de um vértice é o tamanho de sua vizinhança. O grau de um gráfico é o grau máximo de todos os seus vértices.

    O diâmetro de um gráfico é o comprimento da cadeia mais longa que você é forçado a usar para ir de um vértice a outro nesse gráfico. Você pode encontrar o diâmetro de um gráfico encontrando a distância entre cada par de vértices e calculando o máximo dessas distâncias.

    Um dígrafo é um gráfico no qual as arestas são direcionadas e chamadas de arcos. Mais formalmente, um dígrafo é um conjunto de vértices junto com um conjunto de pares ordenados de vértices, chamados de arcos. Aqui está um dígrafo em 5 vértices:

    A distância entre dois vértices é o comprimento da menor cadeia entre eles.

    Uma aresta conecta dois vértices em um gráfico. Chamamos esses dois vértices de pontos finais da aresta. Outros sinônimos de borda são arco, link e linha. Aqui estão as bordas de um gráfico (em vermelho):

    Um gráfico que não contém circuitos. Os componentes conectados de uma floresta são árvores.

    Um gráfico é basicamente uma coleção de pontos, com alguns pares de pontos conectados por linhas. Os pontos são chamados de vértices e as linhas são chamadas de arestas.

    Mais formalmente, um gráfico é composto por dois conjuntos. O primeiro conjunto é o conjunto de vértices. O segundo conjunto é o conjunto de arestas. O conjunto de vértices é apenas uma coleção de rótulos para os vértices, uma forma de diferenciar um vértice de outro. O conjunto de arestas é composto de pares não ordenados de rótulos de vértices do conjunto de vértices.

    Aqui está um diagrama de um gráfico e os conjuntos dos quais o gráfico é feito:

    V =
    --O conjunto de vértices.
    E = <(A, B), (A, C), (B, C), (B, D)>
    - A borda definida.
    Um diagrama gráfico.Os conjuntos que compõem um gráfico.

    Uma cadeia ou circuito em um gráfico é considerado hamiltoniano se cada vértice do gráfico aparecer nele precisamente uma vez. Caminhos e ciclos de dígrafos são chamados de hamiltonianos se a mesma condição for mantida. Um gráfico contendo um circuito hamiltoniano ou um dígrafo contendo um ciclo hamiltoniano é referido como um gráfico hamiltoniano ou dígrafo.

    A altura de uma árvore com raiz é o comprimento da cadeia simples mais longa, começando na raiz da árvore.

    Dois gráficos são homeomórficos se ambos puderem ser obtidos de um gráfico comum por uma sequência de arestas substituídas por cadeias simples. Na aparência, os gráficos homeomórficos se parecem com aqueles que têm vértices extras adicionados ou removidos das arestas.

    Uma matriz 0-1 cujas linhas são indexadas pelos vértices de um gráfico e cujas colunas são indexadas pelas arestas. Um 1 na ij-ésima posição da matriz significa que o vértice i está na aresta j. Um 0 indica que não é.

    Dois gráficos são isomórficos se forem os mesmos gráficos, desenhados de forma diferente. Dois gráficos são isomórficos se você puder rotular ambos os gráficos com os mesmos rótulos, de modo que cada vértice tenha exatamente os mesmos vizinhos em ambos os gráficos. Here are two isomporphic graphs:

    A graph is said to be k-colorable if each of its vertices can be assigned one of k colors in such a way that no two adjacent vertices are assigned the same color. The assignment is called a coloring.

    Labels are just the names we give vertices and edges so we can tell them apart. Usually, we use the integers 1, 2, . n as the labels of a graph or digraph with n vertices. The assignment of label to vertex is arbitrary.

    In a rooted tree, the vertices at the same distance from the root are said to be at the same level. The root is considered to be at level 0 and the height of the tree is the maximum level.

    An edge or arc from a vertex to itself is called a loop. Loops are not allowed in simple graphs or digraphs.

    A rooted tree in which every vertex has either 0 or m offspring. When m = 2, these are called binary trees.

    A matching in a graph is a set of edges such that every vertex of the graph is on at most one edge in the set.

    The neighborhood of a vertex is all the vertices that it is adjacent to (all of the vertex's neighbors). Here we have a vertex (in blue) and the vertices in its neighborhood (in red):

    In a rooted tree, the vertices adjacent to a given vertex at the next higher level are called the offspring of the given vertex. They are sometimes called sons. O descendents of a vertex are the vertices in the set of vertices which are offspring, or offspring of offspring, etc. of the given vertex..

    The order of a graph is the number of vertices it has.

    An assignment of a direction to each edge of a graph. A graph which has been given an orientation is called an oriented graph, and is a digraph.

    A path in a digraph is a sequence of vertices from one vertex to another using the arcs. O comprimento of a path is the number of arcs used, or the number of vertices used minus one. UMA simple path cannot visit the same vertex twice. UMA closed path has the same first and last vertex. Here is an example of a path:

    More formally, a path is a sequence of vertices in a digraph of the form <x0, x1, . xn> such that xeu and xi + 1 are adjacent for i=0. n-1. In a simple path all the xeu are distinct. In a closed path, x0 = xn.

    Path is used by some authors to mean a simple chain in a graph.

    In a graph with 2n vertices, a matching with n edges is said to be perfect. Every vertex of the graph is saturated by a perfect matching. Another term for a perfect matching is a 1-factor.

    A planar graph is a graph that you can draw on a flat surface, or plane, without any of the edges crossing. Graphs that cannot be drawn on the plane without crossed edges are called non-planar graphs. Any graph that has either of the following graphs as subgraphs are non-planar:

    If an edge, a, is removed from a given graph G, the resulting graph, denoted G'uma is referred to as a reduced graph.

    In a regular graph, each vertex has the same degree. If this common degree is k, then we say that the graph is k-regular.

    A tree in which one vertex has been distinguished. The distinguished vertex is called the root of the tree.

    A vertex in a graph which is on an edge of a matching is said to be saturated. Given a matching M, if X is a set of vertices saturated by M, then M is said to be an X-saturating matching.

    The size of a graph is the number of edges it has.

    A subgraph of the graph G which contains all of the vertices of G.

    In a digraph there are many degrees of connectedness. A strongly connected digraph is one in which any vertex can be reached from any other vertex by a path.

    A subgraph of a graph is some smaller portion of that graph. Here is an example of a subgraph:

    A graphA subgraph
    A induced (generated) subgraph is a subset of the vertices of the graph together with all the edges of the graph between the vertices of this subset. The induced subgraph of the above example is:

    A topological ordering of a digraph is a labelling of the vertices with consecutive integers so that every arc is directed from a smaller label to a larger label.

    A tournament is a digraph in which there is exactly one arc between any two vertices. A tournament is said to be transitive if whenever (a,b) and (b,c) are arcs of the tournament, then (a,c) is also an arc.


    Carsten Thomassen , Professor

    Member of the Royal Danish Academy of Sciences and Letters
    Editor-in-Chief of the Journal of Graph Theory.
    Editor of The Journal of Combinatorial Theory, Ser B, Discrete Mathematics, European Journal of Combinatorics, Electronic Journal of Combinatorics, Australiasian Journal of Combinatorics

    B orn August 22, 1948 at Grindsted, Denmark.

    Cand.Scient. Degree (Master's Degree) June 1972 from Aarhus University.

    Ph.D. October 1976 from University of Waterloo.

    Teaching Assistant at the Institute of Mathematics, Aarhus University, August 1968 – July 1972.

    Assistant Professor at the Institute of Mathematics, Aarhus University, August 1972 – July 1976.

    Associate Professor (lektor) at the Institute of Mathematics, Aarhus University, August 1976 - July 1981.

    Professor of Mathematics at the Technical University of Denmark (DTU) since August 1981.

    Visiting and adjunct positions

    Visiting Associate Professor at Louisiana State University, Spring 1980.

    Visiting William Allen Neilson Research Professor at Smith College, Massachusetts, Fall 1987.

    Distinguished Visiting Scholar at Western Michigan University, May 1988.

    Professor with Term Chair at University of Pennsylvania, Fall 1988.

    Adjunct Professor, University of Waterloo, 1994-2001.

    William Evans Visiting Fellow, University of Otago, Dunedin New Zealand, February-March 2002.

    Visiting Rothschild Professor at the Isaac Newton Institute and Cambridge University, England, May 2008 . http://www.newton.ac.uk/rothschild.html shows the list of invitees, characterized as “pre-eminent mathematician around the World”

    Distinguished Adjunct Professor under the Highly Cited Research Project , King Abdulaziz University , Jeddah, Saudi-Arabia, 2011- 2014.

    Dean's Distinguished Visiting Professorship, University of Waterloo, Fall 2019.

    One-month visiting professorships at Universit Paris-Sud, Universit Claude Bernard Lyon (both France), Universit t Bielefeld, Universit t Chemnitz (both Germany) Universit di Milano, Universit di Torino (both Italy), University of Melbourne (Australia), University of Otago (New Zealand), and University of Malta.

    Chief editor of the Journal of Graph Theory since 1989 ( A ssociate editor 1979-89 ) .

    E ditor of the Electronic of Journal of Combinatorics since 2002 (Chief editor 2002-2013).

    Member of the editorial boards Discrete Mathematics (since 1979), Journal of Combinatorial Theory Ser. B (since 1982), Aequationes Mathematica (1984-1991), Combinatorica (1985-2020), European Journal of Combinatorics (since 1988), SIAM Journal of Discrete Mathematics (1989-1993), The Australasian Journal of Combinatorics (since 2010).

    Awards, Recognitions, Fellowships, and other professional characteristica

    Dedicatory Award of the 6th International Conference on the Theory and Applications of Graphs, Western Michigan University, May 1988.

    Erd s number 1, 1989 ( Erd s number 2 , 19 73).

    Member of the Royal Danish Academy of Sciences and Letters since 1990.

    Invited lecture at the International Congress of Mathematicians, Kyoto 1990.

    Founding Fellow and Member of Council of the Institute of Combinatorics and its Applications (Winnipeg, Canada) 1990 -2015 .

    Lester R. Ford Award (Mathematical Association of America) 1993.

    Organizer of Tagung ber Graphenteorie, Forschungsinstitut Oberwolfach, 26.6-2.7 1 994.

    Member of the Conseil Scientifique Universit Claude Bernard Lyon 1999- 2003.

    Member of The Canada Research Chairs College of Reviewers 2001-2005.

    Member of the Ostrowski Prize Committee 2001- 2005.

    Faculty of Mathematics Alumni Achievement Medal, University of Waterloo, 2005.

    External Assessor at the University of Malaya 2008-2011.

    Included on the ISI Web of Knowledge list of the 250 most cited mathematicians Worldwide , later called the Thompson Reuter list of Highly Cited Researchers, 2001-2008.

    Danish Magisterforening Research Prize 2012.

    Independent Research Fund Denmark grant "AlgoGraph" 2018-2022 (8021-00249B).


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