Artigos

8.E: Equações não lineares (exercícios)


8.1: Linearização, pontos críticos e equilíbrios

Exercício 8.1.1: Esboce o campo vetorial de plano de fase para:

a) (x '= x ^ 2, ~~ y' = y ^ 2 ),

b) (x '= (x-y) ^ 2, ~~ y' = - x ),

c) (x '= e ^ y, ~~ y' = e ^ x ).

Exercício 8.1.2: Sistemas de correspondência

1) (x '= x ^ 2 ), (y' = y ^ 2 ), 2) (x '= xy ), (y' = 1 + y ^ 2 ), 3) (x '= sin ( pi y) ), (y' = x ), para os campos de vetor abaixo. Justificar.

a) b) c)

Exercício 8.1.3: Encontre os pontos críticos e linearizações dos seguintes sistemas.

a) (x '= x ^ 2-y ^ 2 ), (y' = x ^ 2 + y ^ 2-1 ),

b) (x '= - y ), (y' = 3x + yx ^ 2 ),

c) (x '= x ^ 2 + y ), (y' = y ^ 2 + x ).

Exercício 8.1.4: Para os seguintes sistemas, verifique se eles têm ponto crítico em ((0,0) ), e encontre a linearização em ((0,0) ).

a) (x '= x + 2y + x ^ 2-y ^ 2 ), (y' = 2y-x ^ 2 )

b) (x '= - y ), (y' = x-y ^ 3 )

c) (x '= ax + by + f (x, y) ), (y' = cx + dy + g (x, y) ), onde (f (0,0) = 0 ), (g (0,0) = 0 ), e todas as primeiras derivadas parciais de (f ) e (g ) também são zero em ((0,0) ), ou seja,

( frac { parcial f} { parcial x} (0,0) = frac { parcial f} { parcial y} (0,0) = frac { parcial g} { parcial x} (0,0) = frac { partial g} { partial y} (0,0) = 0 ).

Exercício 8.1.5: Pegue (x '= (x-y) ^ 2 ), (y' = (x + y) ^ 2 ).

a) Encontre o conjunto de pontos críticos.

b) Esboce um diagrama de fases e descreva o comportamento próximo ao (s) ponto (s) crítico (s).

c) Encontre a linearização. É útil para entender o sistema?

Exercício 8.1.6: Pegue (x '= x ^ 2 ), (y' = x ^ 3 ).

a) Encontre o conjunto de pontos críticos.

b) Esboce um diagrama de fases e descreva o comportamento próximo ao (s) ponto (s) crítico (s).

c) Encontre a linearização. É útil para entender o sistema?

Exercício 8.1.101: Encontre os pontos críticos e linearizações dos seguintes sistemas.

a) (x '= sin ( pi y) + (x-1) ^ 2 ), (y' = y ^ 2-y ),

b) (x '= x + y + y ^ 2 ), (y' = x ),

c) (x '= (x-1) ^ 2 + y ), (y' = x ^ 2 + y ).

Exercício 8.1.102: Sistemas de correspondência

1) (x '= y ^ 2 ), (y' = - x ^ 2 ), 2) (x '= y ), (y' = (x-1) (x + 1 ) ), 3) (x '= y + x ^ 2 ), (y' = - x ), para os campos de vetor abaixo. Justificar.

a) b) c)

Exercício 8.1.103: A ideia de pontos críticos e linearização também funciona em dimensões superiores. Você simplesmente torna a matriz Jacobiana maior adicionando mais funções e mais variáveis. Para o seguinte sistema de 3 equações, encontre os pontos críticos e suas linearizações:

(x '= x + z ^ 2, y' = z ^ 2-y, z '= z + x ^ 2. )

Exercício 8.1.1: Qualquer sistema bidimensional não autônomo (x '= f (x, y, t) ), (y' = g (x, y, t) ) pode ser escrito como um três sistema autônomo dimensional (três equações). Escreva este sistema autônomo usando as variáveis ​​ (u ), (v ), (w ).

8.2: Estabilidade e classificação de pontos críticos isolados

Exercício 8.2.1: Para os sistemas abaixo, encontre e classifique os pontos críticos, indique também se os equilíbrios são estáveis, assintoticamente estáveis ​​ou instáveis.

a) (x '= - x + 3x ^ 2, y' = - y ) b) (x '= x ^ 2 + y ^ 2-1 ), (y' = x ) c) (x '= ye ^ x ), (y' = y-x + y ^ 2 )

Exercício 8.2.2: Encontre as equações implícitas das trajetórias dos seguintes sistemas conservadores. Em seguida, encontre seus pontos críticos (se houver) e classifique-os.

a) (x '' + x + x ^ 3 = 0 ) b) ( theta '' + sin theta = 0 ) c) (z '' + (z-1) (z + 1) = 0 ) d) (x '' + x ^ 2 + 1 = 0 )

Exercício 8.2.3: Encontre e classifique o (s) ponto (s) crítico (s) de (x '= -x ^ 2 ), (y' = -y ^ 2 ).

Exercício 8.2.4: Suponha (x '= - xy ), (y' = x ^ 2-1-y ). a) Mostre que existem dois sumidouros em espiral em ((- 1,0) ) e ((1,0) ). b) Para qualquer ponto inicial da forma ((0, y_0) ), encontre qual é a trajetória. c) Pode uma trajetória começando em ((x_0, y_0) ) onde (x_0> 0 ) espiral para o ponto crítico em ((- 1,0) )? Por que ou por que não?

Exercício 8.2.5: No exemplo (x '= y ), (y' = y ^ 3-x ) mostra que, para qualquer trajetória, a distância da origem é uma função crescente. Conclua que a origem se comporta como uma fonte espiral. Dica: considere (f (t) = { bigl (x (t) bigr)} ^ 2 + { bigl (y (t) bigr)} ^ 2 ) e mostre que tem derivada positiva.

Exercício 8.2.6: Suponha que (f ) seja sempre positivo. Encontre as trajetórias de (x '' + f (x ') = 0 ). Existem pontos críticos?

Exercício 8.2.7: Suponha que (x '= f (x, y) ), (y' = g (x, y) ). Suponha que (g (x, y)> 1 ) para todos (x ) e (y ). Existem pontos críticos? O que podemos dizer sobre as trajetórias em (t ) vai ao infinito?

Exercício 8.2.101: Para os sistemas abaixo, encontre e classifique os pontos críticos. a) (x '= - x + x ^ 2 ), (y' = y ) b) (x '= yy ^ 2-x ), (y' = - x ) c) (x '= xy ), (y' = x + y-1 )

Exercício 8.2.102: Encontre as equações implícitas das trajetórias dos seguintes sistemas conservadores. Em seguida, encontre seus pontos críticos (se houver) e classifique-os. a) (x '' + x ^ 2 = 4 ) b) (x '' + e ^ x = 0 ) c) (x '' + (x + 1) e ^ x = 0 )

Exercício 8.2.103: O sistema conservador (x '' + x ^ 3 = 0 ) não é quase linear. Mesmo assim, classifique seu (s) ponto (s) crítico (s).

Exercício 8.2.104: Derive uma classificação análoga de pontos críticos para equações em uma dimensão, como (x '= f (x) ) com base na derivada. Um ponto (x_0 ) é crítico quando (f (x_0) = 0 ) e quase linear se além disso (f '(x_0) não = 0 ). Descubra se o ponto crítico é estável ou instável dependendo do sinal de (f '(x_0) ). Explique. Dica: veja cap. 1.6.

8.3: Aplicações de sistemas não lineares

Exercício 8.3.1: Faça o equação de pêndulo não linear amortecido ( theta '' + mu theta '+ ( frac {g} {L}) sin theta = 0 ) para algum ( mu> 0 ) (ou seja, há algum atrito) . a) Suponha ( mu = 1 ) e ( frac {g} {L} = 1 ) por simplicidade, encontre e classifique os pontos críticos. b) Faça o mesmo para qualquer ( mu> 0 ) e qualquer (g ) e (L ), mas de forma que o amortecimento seja pequeno, em particular, ( mu ^ 2 <4 ( frac {g} {L}) ). c) Explique o que suas descobertas significam e se estão de acordo com o que você espera da realidade.

Exercício 8.3.2: Suponha que as lebres não cresçam exponencialmente, mas logisticamente. Em particular, considere

[x '= (0,4-0,01y) x - gamma x ^ 2, ~~~~~ y' = (0,003x-0,3) y. ]

Para os dois valores a seguir de ( gamma ), encontre e classifique todos os pontos críticos no quadrante positivo, ou seja, para (x geq 0 ) e (y geq 0 ). Em seguida, esboce o diagrama de fases. Discuta as implicações para o comportamento de longo prazo da população. a) ( gamma = 0,001 ), b) ( gamma = 0,01 ).

Exercício 8.3.3: a) Suponha que (x ) e (y ) sejam variáveis ​​positivas. Mostrar ( frac {y x} {e ^ {x + y}} ) atinge um máximo em ((1,1) ). b) Suponha que (a, b, c, d ) sejam constantes positivas e também suponha que (x ) e (y ) sejam variáveis ​​positivas. Mostrar ( frac {y ^ ax ^ d} {e ^ {cx + por}} ) atinge um máximo em (( frac {d} {c}, frac {a} {b}) ) .

Exercício 8.3.4: Suponha que para a equação do pêndulo tomemos uma trajetória dando o movimento giratório, por exemplo ( omega = sqrt { frac {2g} {L} cos theta + frac {2g} {L} + omega_0 ^ 2} ). Esta é a trajetória onde a velocidade angular mais baixa é ( omega_0 ^ 2 ). Encontre uma expressão integral para o tempo que o pêndulo leva para dar uma volta completa.

Exercício 8.3.5: [desafiador] Pegue o pêndulo, suponha que a posição inicial seja ( theta = 0 ). a) Encontre a expressão para ( omega ) dando a trajetória com a condição inicial ((0, omega_0) ). Dica: descubra o que (C ) deve ser em termos de ( omega_0 ). b) Encontre a velocidade angular crucial ( omega_1 ), de modo que para qualquer velocidade angular inicial mais alta, o pêndulo continuará girando em torno de seu eixo, e para qualquer velocidade angular inicial mais baixa, o pêndulo simplesmente irá balançar para frente e para trás. Dica: Quando o pêndulo não ultrapassa o topo, a expressão para ( omega ) será indefinida para alguns ( theta ) s. c) O que você acha que acontece se a condição inicial for ((0, omega_1) ), ou seja, o ângulo inicial é 0, e a velocidade angular inicial é exatamente ( omega_1 ).

Exercício 8.3.101: Pegue a equação do pêndulo não linear amortecido ( theta '' + mu theta '+ ( frac {g} {L}) sin theta = 0 ) para algum ( mu> 0 ) (ou seja, há atrito). Suponha que o atrito seja grande, em particular ( mu ^ 2> 4 ( frac {g} {L}) ). a) Encontre e classifique os pontos críticos. b) Explique o que suas descobertas significam e se estão de acordo com o que você espera na realidade.

Exercício 8.3.102: Suponha que temos o sistema predador-presa onde as raposas também são mortas a uma taxa constante (h ) ( (h ) raposas mortas por unidade de tempo): (x '= (a- por) x, ) (y '= (cx-d) y - h ). a) Encontre os pontos críticos e as matrizes jacobinas do sistema. b) Coloque as constantes (a = 0,4 ), (b = 0,01 ), (c = 0,003 ), (d = 0,3 ), (h = 10 ). Analise os pontos críticos. O que você acha que diz sobre a floresta?

Exercício 8.3.103: [desafiador] Suponha que as raposas nunca morram. Ou seja, temos o sistema (x '= (a-by) x, ) (y' = cxy ). Encontre os pontos críticos e observe que eles não estão isolados. O que acontecerá com a população da floresta se começar com alguns números positivos. Dica: pense na constante de movimento.

8.4: Ciclos de limite

Exercício 8.4.1: Mostre que os seguintes sistemas não têm trajetórias fechadas. a) (x '= x ^ 3 + y, y' = y ^ 3 + x ^ 2 ), b) (x '= e ^ {xy}, y' = e ^ {x + y} ), c) (x '= x + 3y ^ 2-y ^ 3, y' = y ^ 3 + x ^ 2 ).

Exercício 8.4.2: Formule uma condição para um sistema linear 2 por 2 ({ vec {x} ,} '= A vec {x} ) para não ser um centro usando o teorema de Bendixson-Dulac. Ou seja, o teorema diz algo sobre certos elementos de (A ).

Exercício 8.4.3: Explique por que o Teorema de Bendixson-Dulac não se aplica a nenhum sistema conservador (x '' + h (x) = 0 ).

Exercício 8.4.4: Um sistema como (x '= x, y' = y ) tem soluções que existem para todo o tempo (t ), mas não há trajetórias fechadas ou outros ciclos limites. Explique por que o Teorema de Poincare-Bendixson não se aplica.

Exercício 8.4.5: As equações diferenciais também podem ser fornecidas em diferentes sistemas de coordenadas. Suponha que temos o sistema (r '= 1-r ^ 2 ), ( theta' = 1 ) dado em coordenadas polares. Encontre todas as trajetórias fechadas e verifique se são ciclos limites e, em caso afirmativo, se são assintoticamente estáveis ​​ou não.

Exercício 8.4.101: Mostre que os seguintes sistemas não têm trajetórias fechadas. a) (x '= x + y ^ 2 ), (y' = y + x ^ 2 ), b) (x '= - x sin ^ 2 (y) ), (y '= e ^ x ), c) (x' = xy ), (y '= x + x ^ 2 ).

Exercício 8.4.102: Suponha que um sistema autônomo no plano tenha uma solução (x = cos (t) + e ^ {- t} ), (y = sin (t) + e ^ {- t} ). O que você pode dizer sobre o sistema (em particular sobre os ciclos limites e soluções periódicas)?

Exercício 8.4.103: Mostre que o ciclo limite do oscilador Van der Pol (para ( mu> 0 )) não deve estar completamente no conjunto onde (- sqrt { frac {1+ mu} { mu}}

Exercício 8.4.104: Suponha que temos o sistema (r '= sin (r) ), ( theta' = 1 ) dado em coordenadas polares. Encontre todas as trajetórias fechadas.


8.E: Equações não lineares (exercícios)

UMA sistema de equações não lineares é um sistema de duas ou mais equações em duas ou mais variáveis ​​contendo pelo menos uma equação que não é linear. Lembre-se de que uma equação linear pode assumir a forma [latex] Ax + By + C = 0 [/ latex]. Qualquer equação que não possa ser escrita desta forma em não linear. O método de substituição que usamos para sistemas lineares é o mesmo método que usaremos para sistemas não lineares. Resolvemos uma equação para uma variável e, em seguida, substituímos o resultado na segunda equação para resolver para outra variável e assim por diante. No entanto, há uma variação nos resultados possíveis.


8.E: Equações não lineares (exercícios)

Mais uma vez, vamos dividir o domínio em n intervalos iguais de comprimento h. Usando a aproximação de diferenças finitas dada na Eq. 32, nós temos

As condições de contorno fornecem as duas equações restantes, ou seja, v 1 = 0 e v n +1 = 0. As equações FD para o problema não linear acima diferem daquelas obtidas para o BVP linear (compare as Eqs. 36 com 39). A aproximação FD do BVP linear resulta em um sistema de equações lineares, enquanto a do BVP não linear resulta em um sistema de equações não lineares. Na Eq. 39, a não linearidade decorre do termo cúbico in v presente no BVP. A solução das n +1 equações não lineares pode ser obtida usando o método de Newton onde as incógnitas estão. Lembre-se de que o método de Newton é iterativo e requer a solução de um sistema de equações lineares a cada etapa da iteração. Mais uma vez, vemos que a solução de um sistema de equações lineares é de fato um problema central da computação científica.

1a. Mostre que as equações FD (Eq. 39) podem ser reescritas como n -1 equações em n -1 incógnitas usando o fato de que as condições de contorno implicam v 1 = vn +1 = 0. Nomeie as n -1 incógnitas como onde y 1 = v 2,.
1b. Expresse as equações usando a notação vetorial na forma, onde e. Por exemplo, a primeira equação (f 1 = 0) deve ser y 2 - 2 y 1 - h 2 (3 y 1 + h 2 + 10 y 1 3) = 0.
1c. Derive a matriz Jacobiana para o sistema de equações acima (consulte as notas sobre o método de Newton).

2. O BVP não linear dado abaixo representa um processo de reação-difusão com cinética de reação química não linear.

onde, e são constantes positivas e. Desenvolva as equações FD (com base nas Eqs. 32 e 33) para o BVP acima. Como podemos resolver o sistema de equações?


Notas sobre Diffy Qs: Equações Diferenciais para Engenheiros

Nesta seção, estudamos dois exemplos muito comuns de sistemas não lineares. Primeiro, examinamos a equação do pêndulo não linear. Já vimos a linearização da equação do pêndulo antes, mas notamos que ela só era válida para ângulos pequenos e tempos curtos. Agora descobrimos o que acontece com ângulos grandes. A seguir, veremos a equação predador-presa, que encontra várias aplicações em problemas de modelagem em biologia, química, economia e outros.

Subseção 8.3.1 Pêndulo

O primeiro exemplo que estudamos é a equação do pêndulo ( theta '' + frac sin theta = 0 text <.> ) Aqui, ( theta ) é o deslocamento angular, (g ) é a aceleração gravitacional e (L ) é o comprimento do pêndulo. Nesta equação, desconsideramos o atrito, portanto, estamos falando de um pêndulo idealizado.

Esta equação é uma equação conservadora, portanto, podemos usar nossa análise de equações conservativas da seção anterior. Vamos mudar a equação para um sistema bidimensional em variáveis ​​ (( theta, omega) ) introduzindo a nova variável ( omega text <:> )

Os pontos críticos deste sistema são quando ( omega = 0 ) e (- frac sin theta = 0 text <,> ) ou em outras palavras, se ( sin theta = 0 text <.> ) Portanto, os pontos críticos são quando ( omega = 0 ) e ( theta ) é um múltiplo de ( pi text <.> ) Ou seja, os pontos são ( ldots (-2 pi, 0), (- pi, 0), (0,0 ), ( pi, 0), (2 pi, 0) ldots text <.> ) Embora existam infinitos pontos críticos, eles estão todos isolados. Vamos calcular a matriz Jacobiana:

Para equações conservadoras, existem dois tipos de pontos críticos. Centros estáveis ​​ou pontos de sela. Os valores próprios da matriz Jacobiana são ( lambda = pm sqrt <- frac cos theta> text <.> )

Os autovalores serão reais quando ( cos theta & lt 0 text <.> ) Isso acontecer nos múltiplos ímpares de ( pi text <.> ) Os autovalores serão puramente imaginários quando ( cos theta & gt 0 text <.> ) Isso acontece nos múltiplos pares de ( pi text <.> ) Portanto, o sistema tem um centro estável nos pontos ( ldots (-2 pi, 0), (0,0), (2 pi, 0) ldots text <,> ) e tem uma sela instável nos pontos ( ldots (-3 pi, 0), (- pi, 0), ( pi, 0), (3 pi, 0) ldots text <.> ) Observe o diagrama de fase na Figura 8.6, onde, para simplificar, deixamos ( frac = 1 texto <.> )

Figura 8.6. Diagrama do plano de fase e algumas trajetórias da equação do pêndulo não linear.

Na equação linearizada, temos apenas um único ponto crítico, o centro em ((0,0) text <.> ) Agora vemos mais claramente o que queremos dizer quando dissemos que a linearização é boa para ângulos pequenos. O eixo horizontal é o ângulo de deflexão. O eixo vertical é a velocidade angular do pêndulo. Suponha que comecemos em ( theta = 0 ) (sem deflexão) e comecemos com uma pequena velocidade angular ( omega text <.> ) Então a trajetória continua contornando o ponto crítico ((0, 0) ) em um círculo aproximado. Isso corresponde a pequenas oscilações do pêndulo para frente e para trás. Quando ( theta ) permanece pequeno, as trajetórias realmente se parecem com círculos e, portanto, estão muito próximas de nossa linearização.

Quando damos ao pêndulo um empurrão grande o suficiente, ele vai até o topo e continua girando em torno de seu eixo. Este comportamento corresponde às curvas onduladas que não cruzam o eixo horizontal no diagrama de fases. Suponhamos que olhemos para as curvas superiores, quando a velocidade angular ( omega ) é grande e positiva. Então, o pêndulo gira e gira em torno de seu eixo. A velocidade será grande quando o pêndulo estiver próximo ao fundo e a velocidade será menor quando o pêndulo estiver próximo ao topo de sua volta.

Em cada ponto crítico, existe uma solução de equilíbrio. Considere a solução ( theta = 0 text <> ) o pêndulo não está se movendo e está pendurado para baixo. Este é um lugar estável para o pêndulo estar, portanto, este é um estábulo equilíbrio.

O outro tipo de solução de equilíbrio está no ponto instável, por exemplo ( theta = pi text <.> ) Aqui o pêndulo está de cabeça para baixo. Claro, você pode equilibrar o pêndulo desta forma e ele permanecerá, mas este é um instável equilíbrio. Mesmo o menor empurrão fará com que o pêndulo comece a balançar descontroladamente.

Veja a Figura 8.7 para um diagrama. A primeira imagem é o equilíbrio estável ( theta = 0 text <.> ) A segunda imagem corresponde àqueles “quase círculos” no diagrama de fase em torno de ( theta = 0 ) quando a velocidade angular é pequena. A próxima imagem é o equilíbrio instável ( theta = pi text <.> ) A última imagem corresponde às linhas onduladas para grandes velocidades angulares.

Figura 8.7. Várias possibilidades para o movimento do pêndulo.

é conservado por qualquer solução. Esta é a energia ou o hamiltoniano do sistema.

Temos uma equação conservadora e então (exercício) as trajetórias são dadas por

para vários valores de (C text <.> ) Vejamos a condição inicial de (( theta_0,0) text <,> ) ou seja, tomamos o pêndulo em ângulo ( theta_0 text <,> ) e deixe-o ir (velocidade angular inicial 0). Nós conectamos as condições iniciais acima e resolvemos para (C ) para obter

Assim, a expressão para a trajetória é

Vamos descobrir o período. Ou seja, o tempo que leva para o pêndulo oscilar para a frente e para trás. Notamos que a trajetória sobre a origem no plano de fase é simétrica em relação aos eixos ( theta ) e ( omega ). Ou seja, em termos de ( theta text <,> ) o tempo que leva de ( theta_0 ) a (- theta_0 ) é o mesmo que leva de (- theta_0 ) de volta para ( theta_0 text <.> ) Além disso, o tempo que leva de (- theta_0 ) a (0 ) é o mesmo que para ir de (0 ) a ( theta_0 text <.> ) Portanto, vamos descobrir quanto tempo leva para o pêndulo ir do ângulo 0 ao ângulo ( theta_0 text <,> ) que é um quarto da oscilação total e então multiplicar por 4 .

Descobrimos esse tempo encontrando ( frac

) e integrando de (0 ) a ( theta_0 text <.> ) O período é quatro vezes esta integral. Vamos ficar na região onde ( omega ) é positivo. Uma vez que ( omega = frac
text <,> ) invertendo, obtemos

Portanto, o período (T ) é dado por

A integral é uma integral imprópria e, em geral, não podemos avaliá-la simbolicamente. Devemos recorrer à aproximação numérica se quisermos calcular um determinado (T text <.> )

Lembre-se da Seção 2.4, a equação linearizada ( theta '' + frac theta = 0 ) tem ponto final

Plotamos (T text <,> ) (T _ < text> text <,> ) e o erro relativo ( frac<>>>) na Figura 8.8. O erro relativo diz a que distância está nossa aproximação do período real em termos percentuais. Observe que (T _ < text> ) é simplesmente uma constante, não muda com o ângulo inicial ( theta_0 text <.> ) O período real (T ) fica maior e maior à medida que ( theta_0 ) fica maior. Observe como o erro relativo é pequeno quando ( theta_0 ) é pequeno. Ainda é apenas (15 \% ) quando ( theta_0 = frac < pi> <2> text <,> ) ou seja, um ângulo de 90 graus. O erro é (3,8 \% ) ao iniciar em ( frac < pi> <4> text <,> ) um ângulo de 45 graus. Em um ângulo inicial de 5 graus, o erro é apenas (0,048 \% text <.> )

Figura 8.8. O gráfico de (T ) e (T _ < text> ) com ( frac = 1 ) (esquerda), e o gráfico do erro relativo ( frac<>>>) (direita), para ( theta_0 ) entre 0 e ( pi / 2 text <.> )

Embora não seja imediatamente óbvio pela fórmula, é verdade que

Ou seja, o período vai para o infinito conforme o ângulo inicial se aproxima do ponto de equilíbrio instável. Portanto, se colocarmos o pêndulo quase de cabeça para baixo, pode levar muito tempo antes que ele desça. Isso é consistente com o comportamento limitante, em que o pêndulo exatamente de cabeça para baixo nunca oscila, então podemos pensar nisso como um período infinito.

Subseção 8.3.2 Predador-presa ou sistemas Lotka-Volterra

Uma das aplicações simples mais comuns de sistemas não lineares são os chamados predador-presa ou Lotka – Volterra 1 sistemas. Por exemplo, esses sistemas surgem quando duas espécies interagem, uma como presa e outra como predador. Portanto, não é surpresa que as equações também tenham aplicações na economia. O sistema também surge em reações químicas. Em biologia, este sistema de equações explica as variações periódicas naturais de populações de diferentes espécies na natureza. Antes da aplicação das equações diferenciais, essas variações periódicas na população confundiam os biólogos.

Continuamos com o exemplo clássico de lebres e raposas em uma floresta, é o mais fácil de entender.

Quando há muitas lebres, há bastante comida para as raposas, então a população de raposas aumenta. No entanto, quando a população de raposas cresce, as raposas comem mais lebres, portanto, quando há muitas raposas, a população de lebres deve diminuir e vice-versa. O modelo Lotka-Volterra propõe que este comportamento é descrito pelo sistema de equações

onde (a, b, c, d ) são alguns parâmetros que descrevem a interação das raposas e lebres 2. Neste modelo, todos esses números são positivos.

Vamos analisar a ideia por trás desse modelo. O modelo é uma ideia um pouco mais complicada com base no modelo de população exponencial. Primeiro expanda,

Espera-se que as lebres simplesmente cresçam exponencialmente na ausência de raposas, é aí que entra o termo (ax ), o crescimento da população é proporcional à própria população. Estamos assumindo que as lebres sempre encontram comida suficiente e têm espaço suficiente para se reproduzir. Porém, há outro componente (- byx text <,> ) que é, a população também está diminuindo proporcionalmente ao número de raposas. Juntos, podemos escrever a equação como ((a-por) x text <,> ), então é como um crescimento exponencial ou decadência, mas a constante depende do número de raposas.

A equação para raposas é muito semelhante, expanda novamente

As raposas precisam de comida (lebres) para se reproduzir: quanto mais comida, maior a taxa de crescimento, daí o termo (cxy ). Por outro lado, existem mortes naturais na população de raposas e, portanto, o termo (- dy ).

Sem mais delongas, comecemos com um exemplo explícito. Suponha que as equações sejam

Veja a Figura 8.9 para o retrato da fase. Neste exemplo, também faz sentido plotar (x ) e (y ) como gráficos em relação ao tempo. Portanto, o segundo gráfico na Figura 8.9 é o gráfico de (x ) e (y ) no eixo vertical (a presa (x ) é a linha mais fina com picos mais altos), em relação ao tempo no eixo horizontal. A solução específica representada no gráfico foi com condições iniciais de 20 raposas e 50 lebres.

Figura 8.9. O retrato da fase (à esquerda) e os gráficos de (x ) e (y ) para uma solução de amostra (à direita).

Calculamos a matriz Jacobiana:

Na origem ((0,0) ) obtemos a matriz ( left [ begin a & amp 0 0 & amp -d end right] text <,> ) então os autovalores são (a ) e (- d text <,> ), portanto, reais e de sinais opostos. Portanto, o ponto crítico na origem é uma sela. Isso faz sentido. Se você começasse com algumas raposas, mas sem lebres, as raposas seriam extintas, ou seja, você se aproximaria da origem. Se você começasse sem raposas e com algumas lebres, as lebres continuariam se multiplicando sem controle, e você se afastaria da origem.

OK, que tal o outro ponto crítico em (( nicefrac, nicefrac) text <.> ) Aqui a matriz Jacobiana torna-se

Os valores próprios satisfazem ( lambda ^ 2 + ad = 0 text <.> ) Em outras palavras, ( lambda = pm i sqrt text <.> ) Os autovalores sendo puramente imaginários, estamos no caso em que não podemos decidir usando apenas linearização. Poderíamos ter um centro estável, uma pia em espiral ou uma fonte em espiral. Ou seja, o equilíbrio pode ser assintoticamente estável, estável ou instável. É claro que eu lhe dei uma foto acima que parece sugerir que é um centro estável. Mas nunca confie apenas em uma imagem. Talvez as oscilações estejam ficando cada vez maiores, mas apenas muito devagar. Claro que isso seria ruim, pois implicaria que algo iria dar errado com nossa população mais cedo ou mais tarde. E eu só fiz um gráfico de um exemplo muito específico com trajetórias muito específicas.

Como podemos ter certeza de que estamos em uma situação estável? Como dissemos antes, no caso de autovalores puramente imaginários, temos que trabalhar um pouco mais. Anteriormente, descobrimos que, para sistemas conservadores, havia uma certa quantidade que era conservada nas trajetórias e, portanto, as trajetórias tinham que seguir em loops fechados. Podemos usar uma técnica semelhante aqui. Só temos que descobrir qual é a quantidade conservada. Após algumas tentativas e erros, encontramos a constante

é conservado. Essa quantidade é chamada de constante de movimento. Vamos verificar se (C ) é realmente uma constante de movimento. Como verificamos, você diz? Bem, uma constante é algo que não muda com o tempo, então vamos calcular a derivada em relação ao tempo:

Nossas equações nos fornecem o que são (x ') e (y' ), então vamos colocá-las em:

Portanto, ao longo das trajetórias (C ) é constante. Na verdade, a expressão (C = frac<>> ) nos dá uma equação implícita para as trajetórias. Em qualquer caso, uma vez encontrada esta constante de movimento, deve ser verdade que as trajetórias são curvas simples, ou seja, as curvas de nível de ( frac<>> text <.> ) Acontece que o ponto crítico em (( nicefrac, nicefrac) ) é um máximo para (C ) (deixado como um exercício). Então (( nicefrac, nicefrac) ) é um ponto de equilíbrio estável, e não precisamos nos preocupar com a extinção de raposas e lebres ou com a explosão de suas populações.

Uma mancha neste modelo maravilhoso é que o número de raposas e lebres são quantidades discretas e estamos modelando com variáveis ​​contínuas. Nosso modelo não tem problemas com a existência de 0,1 raposa na floresta, por exemplo, enquanto na realidade isso não faz sentido. A aproximação é razoável, desde que o número de raposas e lebres seja grande, mas não faz muito sentido para números pequenos. Deve-se ter cuidado ao interpretar quaisquer resultados de tal modelo.

Uma consequência interessante (talvez contra-intuitiva) desse modelo é que adicionar animais à floresta pode levar à extinção, porque as variações ficarão muito grandes e uma das populações ficará próxima de zero. Por exemplo, suponha que haja 20 raposas e 50 lebres como antes, mas agora trazemos mais raposas, elevando seu número para 200. Se fizermos o cálculo, descobrimos que o número de lebres vai despencar para pouco mais de 1 lebre em toda a floresta. Na realidade, isso provavelmente significa que as lebres morrem, e então as raposas também morrem, pois não terão nada para comer.

Mostrar que um sistema de equações tem uma solução estável pode ser um problema muito difícil. Quando Isaac Newton apresentou suas leis dos movimentos planetários, ele provou que um único planeta orbitando um único sol é um sistema estável. Mas qualquer sistema solar com mais de 1 planeta se mostrou realmente muito difícil. Na verdade, esse sistema se comporta de forma caótica (consulte a Seção 8.5), o que significa que pequenas mudanças nas condições iniciais levam a resultados de longo prazo muito diferentes. Por experimentação e medições numéricas, sabemos que a Terra não vai voar para o espaço vazio ou bater no Sol, por pelo menos alguns milhões de anos ou mais. Mas não sabemos o que acontece além disso.

Subseção 8.3.3 Exercícios

Exercício 8.3.1.

Levar a equação de pêndulo não linear amortecido ( theta '' + mu theta '+ ( nicefrac) sin theta = 0 ) para algum ( mu & gt 0 ) (ou seja, há algum atrito).

Suponha que ( mu = 1 ) e ( nicefrac = 1 ) para simplificar, encontre e classifique os pontos críticos.

Faça o mesmo para qualquer ( mu & gt 0 ) e qualquer (g ) e (L text <,> ), mas de forma que o amortecimento seja pequeno, em particular, ( mu ^ 2 & lt 4 ( nicefrac) text <.> )

Explique o que suas descobertas significam e se estão de acordo com o que você espera da realidade.

Exercício 8.3.2.

Suponha que as lebres não cresçam exponencialmente, mas logisticamente. Em particular, considere

Para os dois valores a seguir de ( gamma text <,> ), encontre e classifique todos os pontos críticos no quadrante positivo, ou seja, para (x geq 0 ) e (y geq 0 text <.> ) Em seguida, esboce o diagrama de fases. Discuta as implicações para o comportamento de longo prazo da população.

Exercício 8.3.3.

Suponha que (x ) e (y ) sejam variáveis ​​positivas. Mostrar ( frac<>> ) atinge um máximo em ((1,1) text <.> )

Suponha que (a, b, c, d ) sejam constantes positivas e também suponha que (x ) e (y ) sejam variáveis ​​positivas. Mostrar ( frac<>> ) atinge um máximo em (( nicefrac, nicefrac) text <.> )

Exercício 8.3.4.

Suponha que para a equação do pêndulo tomemos uma trajetória dando o movimento giratório, por exemplo ( omega = sqrt < frac <2g> cos theta + frac <2g> + omega_0 ^ 2> text <.> ) Esta é a trajetória em que a velocidade angular mais baixa é ( omega_0 ^ 2 text <.> ) Encontre uma expressão integral para quanto tempo o pêndulo leva para ir todo o caminho ao redor.

Exercício 8.3.5.

(desafiador) Pegue o pêndulo, suponha que a posição inicial seja ( theta = 0 text <.> )

Encontre a expressão para ( omega ) dando a trajetória com a condição inicial ((0, omega_0) text <.> ) Dica: descubra o que (C ) deve ser em termos de ( omega_0 text <.> )

Encontre a velocidade angular crucial ( omega_1 text <,> ) de modo que para qualquer velocidade angular inicial mais alta, o pêndulo continuará girando em torno de seu eixo, e para qualquer velocidade angular inicial mais baixa, o pêndulo simplesmente irá balançar para frente e para trás . Dica: Quando o pêndulo não ultrapassa o topo, a expressão para ( omega ) será indefinida para alguns ( theta ) s.

O que você acha que acontece se a condição inicial for ((0, omega_1) text <,> ) ou seja, o ângulo inicial é 0 e a velocidade angular inicial é exatamente ( omega_1 text <.> )

Exercício 8.3.101.

Pegue a equação do pêndulo não linear amortecido ( theta '' + mu theta '+ ( nicefrac) sin theta = 0 ) para algum ( mu & gt 0 ) (ou seja, há atrito). Suponha que o atrito seja grande, em particular ( mu ^ 2 & gt 4 ( nicefrac) text <.> )

Encontre e classifique os pontos críticos.

Explique o que suas descobertas significam e se estão de acordo com o que você espera da realidade.

a) Os pontos críticos são ( omega = 0 text <,> ) ( theta = k pi ) para qualquer inteiro (k text <.> ) Quando (k ) é ímpar, temos um ponto de sela. Quando (k ) é par, obtemos uma pia. b) As descobertas significam que o pêndulo irá simplesmente para uma das pias, por exemplo ((0,0) ) e não irá balançar para frente e para trás. O atrito é muito alto para oscilar, assim como um sistema de mola de massa superamortecida.

Exercício 8.3.102.

Suponha que temos o sistema predador-presa onde as raposas também são mortas a uma taxa constante (h ) ( (h ) raposas mortas por unidade de tempo): (x '= (a-por) x, ) (y '= (cx-d) y - h text <.> )

Encontre os pontos críticos e as matrizes Jacobianas do sistema.

Put in the constants (a=0.4 ext<,>) (b=0.01 ext<,>) (c=0.003 ext<,>) (d=0.3 ext<,>) (h=10 ext<.>) Analyze the critical points. What do you think it says about the forest?

a) Solving for the critical points we get ((0,- icefrac)) and ((frac,frac) ext<.>) The Jacobian matrix at ((0,- icefrac)) is (left[ egin a+bh/d & 0 -ch/d & -d end ight]) whose eigenvalues are (a+bh/d) and (-d ext<.>) The eigenvalues are real of opposite signs and we get a saddle. (In the application, however, we are only looking at the positive quadrant so this critical point is irrelevant.) At ((frac,frac)) we get Jacobian matrix (left[ egin 0 & -frac frac & frac-d end ight] ext<.>) b) For the specific numbers given, the second critical point is ((frac<550><3>,40)) the matrix is (left[ egin 0 & -11/6 3/25 & 1/4 end ight] ext<,>) which has eigenvalues (frac<5pm i sqrt<327>><40> ext<.>) Therefore there is a spiral source the solution spirals outwards. The solution eventually hits one of the axes, (x=0) or (y=0 ext<,>) so something will die out in the forest.

Exercise 8.3.103 .

(challenging) Suppose the foxes never die. That is, we have the system (x' = (a-by)x,) (y' = cxy ext<.>) Find the critical points and notice they are not isolated. What will happen to the population in the forest if it starts at some positive numbers. Hint: Think of the constant of motion.

The critical points are on the line (x=0 ext<.>) In the positive quadrant the (y') is always positive and so the fox population always grows. The constant of motion is (C = y^ae^<-cx-by> ext<,>) for any (C) this curve must hit the (y)-axis (why?), so the trajectory will simply approach a point on the (y) axis somewhere and the number of hares will go to zero.


8.E: Nonlinear Equations (Exercises)

Nonlinear Model Library

This nonlinear model library is a collection of process models consisting of differential and algebraic equations. Applications include processes from life sciences, energy research, electric vehicles, distillation, and benchmarking applications. The library spans traditional to cutting edge technologies. It serves as a valuable starting point for the development of more sophisticated control or estimation exercises or for specific applications.

Some models are developed in the MATLAB language while others are in the A P Monitor modeling language. The icon in the left column Type indicates the model language. The link in the Download column is a zipped archive of all files needed to simulate the system for MATLAB. For A P Monitor models it is a link to the wiki model page. In the case of A P Monitor models, steady state solutions (dx/dt=0) can be obtained through an online interface. Finally, the Descrição gives a brief overview of the model. Similar models are generally grouped together with the simplest model appearing first.


Subscribe to A P Monitor
Visit this group

MATLAB Models A P Monitor Models

The library consists of nonlinear models that include chemical reactors, binary distillation columns, and simple mechanical systems. The complexity of the models range from a simple ODE model with 1 input and 1 state to a large DAE model with 2 inputs and 125 states. Most of the models are taken from published articles. Currently, all the models are written in MATLAB or APMonitor. Each one has a step response driver where the model response is computed with a MATLAB integrator (currently ODE15s).

CSTR - Continuously Stirred Tank Reactor

The CSTR model with A->B exothermic reaction is the most popular model in the library. It is a standard model that has been used in reaction engineering textbooks, simulation and control research, and demonstrations for industrial software.

The model has 2 states: the concentration of A and the temperature of the reaction vessel liquid. The manipulated variable is the jacket water temperature. At a jacket temperature of 305K, the reactor model has an oscillatory response. The oscillations are characterized by reaction run-away with a temperature spike. When the concentration drops to a low value, the reactor cools until the concentration builds and there is another run-away reaction.

CSTR - Continuously Stirred Tank Reactor with Intermediate Species

Models 1-5, 10 are all variations of the CSTR model. Model 3 in particular, has a reaction intermediary (B). There is an additional equation and variable to account for the intermediate reaction step.

Binary Distillation Column with 30 trays (cyclohexane n-heptane)

Distillation column models are generally good test models for nonlinear model reduction and identification. The concentrations at each stage or tray are highly correlated. The dynamics of the distillation process can be described by a relatively few number of underlying dynamic states. A couple papers have been published with this model as an example application. One in particular is:

Hahn, J. and T.F. Edgar, An improved method for nonlinear model reduction using balancing of empirical gramians, Computers and Chemical Engineering, 26, pp. 1379-1397, (2002)

This plot shows the system response after a step change in the reflux ratio from 3.0 to 1.5. Each trajectory represents the mole fraction of cyclohexane at each tray. The top reflux material becomes less pure (more n-heptane) due to the increased draw from the top of the column.

Cruise Control with Disturbance

This simple mechanical model is of an object that is seeking to maintain constant speed while subject to disturbances. In this case, the disturbance is the incline or decline angle.

Gravity Drained Water Tank

This gravity drained water tank was a control experiment for Tom Edgar's undergraduate control course. The students had to perform experiments to determine the process time constant and tune a PID controller. The model gave excellent predictions of level (or volume) and was used to demonstrate the advantage of model predictive control (MPC) over PID control for level control.

The trend shows the inlet valve 80% open for 60 seconds. The volume reaches 1400 mL before the inlet value is shut and the tank drains.

Human Blood Glucose Model for Insulin Control - Type I Diabetes

This model is combined from two related papers:

S. M. Lynch and B. W. Bequette, Estimation based Model Predictive Control of Blood Glucose in Type I Diabetes: A Simulation Study, Proc. 27th IEEE Northeast Bioengineering Conference, IEEE, 2001.

S. M. Lynch and B. W. Bequette, Model Predictive Control of Blood Glucose in type I Diabetics using Subcutaneous Glucose Measurements, Proc. ACC, Anchorage, AK, 2002.

It is a simple 3 state model that effectively describes blood glucose and insulin dynamics. The 3 states are plasma glucose concentration (mmol/L), plasma insulin concentration (mU/L) in remote compartment, and plasma insulin concentration (mU/L). The principal disturbance variable is the glucose input.

Yeast Fermentation Bioreactor

Zoltan Nagy contributed this model of a continuous plug flow fermentation reactor. Oxygen solubility is a function of the minerals that are present in solution.

You can make this library better by submitting your own models or improvements to the current set. Thousands of visitors download these models every month, making this site a great platform for disseminating research and networking with interested companies. If you think you'd like to contribute some of your own models, don't hesitate to contact me.


8.E: Nonlinear Equations (Exercises)

Asked by:

Question

Can I use Microsoft Solver Foundation to solve a nonlinear system of equations? And if so, what is the basic code structure for it? For example, the system (k1, k2 are constants):

All the examples I found online are for minimization (or maximization) problems. All help on this will be deeply appreciated.

All replies

Here is a page that will get you started, note the links on the left for examples. If you need more assistance you should use the Excel for Developer forum.

Please remember to mark the replies as answers if they help and unmark them if they provide no help, this will help others who are looking for solutions to the same or similar problem.

Thank you for your reply. I have gone through all the examples in that page and the ones that come along with the Microsoft Solver Foundation (MSF). MSF is used for finding minima (nonlinear programming), which means finding the roots of the first derivative of a function. What I would like is for MSF to find the roots of the function itself. Is this possible? I have all my code in visual basic, so Excel is not really an option for me.

As your issue is related to MSF, here is a better forum which is specilized for MSF.

I'm moving it to the MSF forum for better supports, thanks for your understanding.

We are trying to better understand customer views on social support experience, so your participation in this interview project would be greatly appreciated if you have time. Thanks for helping make community forums a great place.
Click HERE to participate the survey.


Graphs Without Numbers

We know that a positive relationship between two variables can be shown with an upward-sloping curve in a graph. A negative or inverse relationship can be shown with a downward-sloping curve. Some relationships are linear and some are nonlinear. We illustrate a linear relationship with a curve whose slope is constant a nonlinear relationship is illustrated with a curve whose slope changes. Using these basic ideas, we can illustrate hypotheses graphically even in cases in which we do not have numbers with which to locate specific points.

Consider first a hypothesis suggested by recent medical research: eating more fruits and vegetables each day increases life expectancy. We can show this idea graphically. Daily fruit and vegetable consumption (measured, say, in grams per day) is the independent variable life expectancy (measured in years) is the dependent variable. Panel (a) of Figure 21.12 “Graphs Without Numbers” shows the hypothesis, which suggests a positive relationship between the two variables. Notice the vertical intercept on the curve we have drawn it implies that even people who eat no fruit or vegetables can expect to live at least a while!

Figure 21.12 Graphs Without Numbers

We often use graphs without numbers to suggest the nature of relationships between variables. The graphs in the four panels correspond to the relationships described in the text.

Panel (b) illustrates another hypothesis we hear often: smoking cigarettes reduces life expectancy. Here the number of cigarettes smoked per day is the independent variable life expectancy is the dependent variable. The hypothesis suggests a negative relationship. Hence, we have a downward-sloping curve.

Now consider a general form of the hypothesis suggested by the example of Felicia Alvarez’s bakery: increasing employment each period increases output each period, but by smaller and smaller amounts. As we saw in Figure 21.9 “A Nonlinear Curve”, this hypothesis suggests a positive, nonlinear relationship. We have drawn a curve in Panel (c) of Figure 21.12 “Graphs Without Numbers” that looks very much like the curve for bread production in Figure 21.11 “Tangent Lines and the Slopes of Nonlinear Curves”. It is upward sloping, and its slope diminishes as employment rises.

Finally, consider a refined version of our smoking hypothesis. Suppose we assert that smoking cigarettes does reduce life expectancy and that increasing the number of cigarettes smoked per day reduces life expectancy by a larger and larger amount. Panel (d) shows this case. Again, our life expectancy curve slopes downward. But now it suggests that smoking only a few cigarettes per day reduces life expectancy only a little but that life expectancy falls by more and more as the number of cigarettes smoked per day increases.

We have sketched lines tangent to the curve in Panel (d). The slopes of these tangent lines are negative, suggesting the negative relationship between smoking and life expectancy. They also get steeper as the number of cigarettes smoked per day rises. Whether a curve is linear or nonlinear, a steeper curve is one for which the absolute value of the slope rises as the value of the variable on the horizontal axis rises. When we speak of the absolute value of a negative number such as −4, we ignore the minus sign and simply say that the absolute value is 4. The absolute value of −8, for example, is greater than the absolute value of −4, and a curve with a slope of −8 is steeper than a curve whose slope is −4.

Thus far our work has focused on graphs that show a relationship between variables. We turn finally to an examination of graphs and charts that show values of one or more variables, either over a period of time or at a single point in time.

Principais vantagens

  • The slope of a nonlinear curve changes as the value of one of the variables in the relationship shown by the curve changes.
  • A nonlinear curve may show a positive or a negative relationship.
  • The slope of a curve showing a nonlinear relationship may be estimated by computing the slope between two points on the curve. The slope at any point on such a curve equals the slope of a line drawn tangent to the curve at that point.
  • We can illustrate hypotheses about the relationship between two variables graphically, even if we are not given numbers for the relationships. We need only draw and label the axes and then draw a curve consistent with the hypothesis.

Try It!

Consider the following curve drawn to show the relationship between two variables, A and B (we will be using a curve like this one in the next chapter). Explain whether the relationship between the two variables is positive or negative, linear or nonlinear. Sketch two lines tangent to the curve at different points on the curve, and explain what is happening to the slope of the curve.

Answer to Try It!

The relationship between variable A shown on the vertical axis and variable B shown on the horizontal axis is negative. This is sometimes referred to as an inverse relationship. Variables that give a straight line with a constant slope are said to have a linear relationship. In this case, however, the relationship is nonlinear. The slope changes all along the curve. In this case the slope becomes steeper as we move downward to the right along the curve, as shown by the two tangent lines that have been drawn. As the quantity of B increases, the quantity of A decreases at an increasing rate.


3. Solving Non-linear Inequalities

Another method of solving inequalities is to express the given inequality with zero on the right side and then determine the sign of the resulting function from either side of the root of the function.

  1. Rewrite the inequality so that there is a zero on the right side.
  2. Find all linear factors of the function.
  3. To find the critical values, set each linear function to zero and solve for x.
  4. Determine the sign of the function in the intervals formed by the critical values.
  5. The solution will be those intervals in which the function has the correct signs satisfying the inequality.

Example 1

Solve the inequality x 2 &minus 3 > 2x

First, we rearrange the inequality with a zero on the right:

which can be factored to give:

Setting both factors to zero, we get:

Therefore the critical values are

These critical values divide the number line into 3 intervals:

Next, we need to determine the sign (plus or minus) of the function in each of the 3 intervals.

For the first interval, `x < -1`,

The value of `(x + 1)` will be negative (substitute a few values of `x` less than `-1` to check),

The value of `(x &minus 3)` will also be negative

So in the interval `x < -1`, the value of the function x 2 &minus 2x &minus 3 will be

negative × negative = positive

We continue doing this for the other 2 intervals and summarise the results in this table:

Interval `(x + 1)` `(x - 3)` sign of f(x)
`x < -1` &minus &minus +
`-1 < x < 3` + &minus &minus
`x > 3` + + +

The intervals that satisfy this inequality will be those where f(x) has a positive sign.


Lesson LINEAR PROGRAMMING PROBLEMS AND SOLUTIONS 1

A farmer can plant up to 8 acres of land with
wheat and barley. He can earn $5,000 for every
acre he plants with wheat and $3,000 for every
acre he plants with barley. His use of a
necessary pesticide is limited by federal
regulations to 10 gallons for his entire 8 acres.
Wheat requires 2 gallons of pesticide for every
acre planted and barley requires just 1 gallon
per acre.

What is the maximum profit he can make?

SOLUTION TO PROBLEM NUMBER 1

let x = the number of acres of wheat
let y = the number of acres of barley.

since the farmer earns $5,000 for each acre of wheat and $3,000 for each acre of barley, then the total profit the farmer can earn is 5000*x + 3000*y.

let p = total profit that can be earned. your equation for profit becomes:

that's your objective function. it's what you want to maximize

the constraints are:
number of acres has to be greater than or equal to 0.
number of acres has to be less than or equal to 8.
amount of pesticide has to be less than or equal to 10.

your constraint equations are:
x >= 0
y >= 0
x + y = 0
y >= 0
y = 0
y >= 0
4x + y = 0
y >= 0
y = 0
y >= 0
x + y >= 12
x + y = 2y
x >= 5

x >= 0 is there because the number of inches of black beads can't be negative.
y >= 0 is there because the number of inches of orange beads can't be negative.
x + y >= 12 is there because the total length of the necklace has to be greater than or equal to 12 inches.
x + y = 2y is there because the length of the black beads has to be greater than or equal to twice the length of the orange beads.
x >= 5 is there because the number of inches of black beads has to be greater than or equal to 5.

to graph these equations, we have to solve for y in each equation that has y in it and then graph the equality portion of each of them.

your equations for graphing are:
x >= 0
y >= 0
y >= 12 - x
y = 5

x = 0 is a vertical line that is the same line as the y-axis.
y = 0 is a horizontal line that is the same line as the x-axis.
x = 5 is a vertical line at x = 5.

a graph of you equations is shown below:


the region of feasibility is the shaded area of the graph.
all points within the region of feasibility meet the constraint requirements of the problem.

the intersection points bounding the region of feasibility are:
(8,4)
(12,0)
(16,8)
(24,0)

(8,4) is the intersection of the lines y = x/2 and y = 12 - x
to find the point of intersection, set x/2 and 12-x equal to each other and solve for xx.
you get:
x/2 = 12-x
multiply both sides of the equation by 2 to get:
x = 24-2x
add 2x to both sides of the equation to get:
3x = 24
divide both sides of the equation by 3 to get:
x = 8.
substitute 8 for x in either equation to get y = 4.

(12,0) is the intersection of the line y = 12 - x with the x-axis.
(24,0) is the intersection of the line y = 24 - x with the x-axis.
to find the point of intersection, set y equal to 0 in each equation and solve for x.

(16,8) is the intersection of the lines y = x/2 and y = 24 - x.
to find the intersection point, set x/2 equal to 24-x and solve for x.
you get:
x/2 = 24-x
multiply both sides of this equation by 2 to get:
x = 48 - 2x
add 2x to both sides of this equation to get:
3x = 48
divide both sides of this equation by 3 to get:
x = 16
substitute 16 for x in either equation to get:
y = 8.

the maximum / minimum necklace length will be at the intersection points of the boundaries of the region of feasibility.

evaluation of the objective function at these intersections yields the following:
objective function is:
x + y = n where n is the length of the necklace in inches.


the number of inches of black beads is at least twice the number of inches of orange beads.
the number of inches of black beads is at least 5.
the total length of the necklace is greater than or equal to 12 inches or less than or equal to 24 inches.

all the constraints have been met.
the maximum length the necklace can be and still meet the constraints is 24 inches.
the minimum length the necklace can be and still meet the constraints is 12 inches.

A garden shop wishes to prepare a supply of special fertilizer at a minimal cost by mixing two fertilizers, A and B.
The mixture is to contain:
at least 45 units of phosphate
at least 36 units of nitrate
at least 40 units of ammonium
Fertilizer A costs the shop $.97 per pound.
Fertilizer B costs the shop $1.89 per pound.
fertilizer A contains 5 units of phosphate and 2 units of nitrate and 2 units of ammonium.
fertilizer B contains 3 units of phosphate and 3 units of nitrate and 5 units of ammonium.

how many pounds of each fertilizer should the shop use in order to minimize their cost.

SOLUTION TO PROBLEM NUMBER 4

let x = the number of pounds of fertilizer A.
let y = the number of pounds of fertilizer B.

the objective function is to minimize the cost.

the objective function becomes:

the constraint equations are:

since the number of pounds of each fertilizer can't be negative, 2 of the constraint equations become:

since the number of units of phosphate has to be at least 45, the constraint equation for phosphate becomes:

since the number of units of nitrate must be at least 36, the constraint equation for nitrates becomes:

since the number of units of ammonium must be at least 40, the constraint equation for ammonium becomes:

the constraint equations for this problem become:

x >= 0
y >= 0
5x + 3y >= 45
2x + 3y >= 36
2x + 5y >= 40

in order to graph these equations, you have to solve for y in each equation that has y in it and then graph the equality portion of those equations.

the equations to be graphed are:

x >= 0
y >= 0
y >= (45-5x)/3
y >= (36 - 2x)/3
y >= (40-2x)/5

x = 0 is a vertical line that is the same line as the y-axis.
y = 0 is a horizontal line that i the same line as the x-axis.

a graph of your equation is shown below:


the feasibility region is the area of the graph that is shaded.
all points within the region of feasibility meet the constraint requirements of the problem.

the intersection points at the boundaries of the feasibility region are:


the intersection points of the boundaries of the region of feasibility contain the minimum cost solution for the objective function in this problem.

now that you have the intersection points, you can solve for the minimum cost equation which is the objective function of:

the following table shows the value of the cost equation at each of the intersection points.

the table suggests that we have a minimum cost solution when the value of x is equal to 15 and the value of y is equal 2.

when x = 15 and y = 2, the number of pounds of potassium, nitrates, and ammonium are:

phosphate = 5x + 3y = 5*15 + 3*2 = 75 + 6 = 81
nitrate = 2x + 3y = 2*15 + 3*2 = 30 + 6 = 36
ammonium = 2x + 5y = 2*15 + 5*2 = 30 + 10 = 40

all the constraints associated with the minimum cost objective have been met.


8.E: Gravimetric Methods (Exercises)

1. Starting with the equilibrium constant expressions for reaction 8.1, and reactions 8.3&ndash8.5, verify that equation 8.7 is correct.

2. Equation 8.7 explains how the solubility of AgCl varies as a function of the equilibrium concentration of Cl &ndash . Derive a similar equation that describes the solubility of AgCl as a function of the equilibrium concentration of Ag + . Graph the resulting solubility function and compare it to that shown in Figure 8.1.

3. Construct a solubility diagram for Zn(OH)2 that takes into account the following soluble zinc-hydroxide complexes: Zn(OH) + , Zn(OH)3 &ndash , and Zn(OH)4 2&ndash . What is the optimum pH for quantitatively precipitating Zn(OH)2? For your solubility diagram, plot log(S) on the y-axis and pH on the x-axis. See the appendices for relevant equilibrium constants.

4. Starting with equation 8.10, verify that equation 8.11 is correct.

5. For each of the following precipitates, use a ladder diagram to identify the pH range where the precipitates has its lowest solubility? See the appendices for relevant equilibrium constants.

6. Mixing solutions of 1.5 M KNO3 and 1.5 M HClO4 produces a white precipitate of KClO4. If permanganate ions are present, an inclusion of KMnO4 is possible. Impure precipitates of KClO4 are purple if an inclusion of KMnO4 is present. Shown below are descriptions of two experiments in which KClO4 is precipitated in the presence of MnO4 &ndash . Explain why the experiments lead to the different results shown in Figure 8.15.

Experiment 1. Place 1 mL of 1.5 M KNO3 in a test tube, add 3 drops of 0.1 M KMnO4, and swirl to mix. Add 1 mL of 1.5 M HClO4 dropwise, agitating the solution between drops. Destroy the excess KMnO4 by adding 0.1 M NaHSO3 dropwise. The resulting precipitate of KClO4 has an intense purple color.

Experiment 2. Place 1 mL of 1.5 M HClO4 in a test tube, add 3 drops of 0.1 M KMnO4, and swirl to mix. Add 1 mL of 1.5 M KNO3 dropwise, agitating the solution between drops. Destroy the excess KMnO4 by adding 0.1 M NaHSO3 dropwise. The resulting precipitate of KClO4 has a pale purple in color.

Figure 8.15 Results for the experiments in Problem 8.6. (a) Experiment 1 (b) Experiment 2.

7. Mixing solutions of Ba(SCN)2 and MgSO4 produces a precipitate of BaSO4. Shown below are the descriptions and results for three experiments using different concentrations of Ba(SCN)2 and MgSO4. Explain why these experiments produce different results.

Experiment 1. When equal volumes of 3.5 M Ba(SCN)2 and 3.5 M MgSO4 are mixed, a gelatinous precipitate immediately forms.

Experiment 2. When equal volumes of 1.5 M Ba(SCN)2 and 1.5 M MgSO4 are mixed, a curdy precipitate immediately forms. Individual particles of BaSO4 can be seen as points under a magnification of 1500×(a particle size less than 0.2 &mum).

Experiment 3. When equal volumes of 0.5 mM Ba(SCN)2 and 0.5 mM MgSO4 are mixed, the complete precipitation of BaSO4 requires 2&ndash3 h. Individual crystals of BaSO4 obtain lengths of approximately 5 &mum.

8. Aluminum is determined gravimetrically by precipitating Al(OH)3 and isolating Al2O3. A sample containing approximately 0.1 grams of Al is dissolved in 200 mL of H2O, and 5 grams of NH4Cl and a few drops of methyl red indicator are added (methyl red is red at pH levels below 4 and yellow at pH levels above 6). The solution is heated to boiling and 1:1 NH3 is added dropwise till the indicator turns yellow, precipitating Al(OH)3. The precipitate is held at the solution&rsquos boiling point for several minutes before filtering and rinsing with a hot solution of 2% w/v NH4NO3. The precipitate is then ignited at 1000&ndash1100 o C, forming Al2O3.

(a) Cite two ways in which this procedure encourages the formation of larger particles of precipitate.

(b) The ignition step must be carried out carefully to ensure the quantitative conversion of Al(OH)3 to Al2O3. What is the effect of an incomplete conversion on the %w/w Al?

(c) What is the purpose of adding NH4Cl and methyl red indicator?

(d) An alternative procedure involves isolating and weighing the precipitate as the 8-hydroxyquinolate, Al(C9H6ON)3. Why might this be a more advantageous form of Al for a gravimetric analysis? Are there any disadvantages?

9. Calcium is determined gravimetrically by precipitating CaC2O4&bullH2O and isolating CaCO3. After dissolving a sample in 10 mL of water and 15 mL of 6 M HCl, the resulting solution is heated to boiling and a warm solution of excess ammonium oxalate is added. The solution is maintained at 80 o C and 6 M NH3 is added dropwise, with stirring, until the solution is faintly alkaline. The resulting precipitate and solution are removed from the heat and allowed to stand for at least one hour. After testing the solution for completeness of precipitation, the sample is filtered, rinsed with 0.1% w/v ammonium oxalate, and dried at 100&ndash120 o C for 1 hour. The precipitate is transferred to a muffle furnace where it is converted to CaCO3 by drying at 500 ± 25 o C until constant weight.

(a) Why is the precipitate of CaC2O4&bullH2O converted to CaCO3?

(b) In the final step, if the sample is heated at too high of a temperature some CaCO3 may be converted to CaO. What effect would this have on the reported %w/w Ca?

(c) Why is the precipitant, (NH4)2C2O4, added to a hot, acidic solution instead of a cold, alkaline solution?

10. Iron is determined gravimetrically by precipitating as Fe(OH)3 and igniting to Fe2O3. After dissolving a sample in 50 mL of H2O and 10 mL of 6 M HCl, any Fe 2 + is converted Fe 3 + by oxidizing with 1&ndash2 mL of concentrated HNO3. The sample is heated to remove the oxides of nitrogen and the solution is diluted to 200 mL. After bringing the solution to a boil, Fe(OH)3 is precipitated by slowly adding 1:1 NH3 until the odor of NH3 is detected. The solution is boiled for an additional minute and the precipitate is allowed to settler. The precipitate is then filtered and rinsed with several portions of hot 1% w/v NH4NO3 until no Cl &ndash is found in the wash water. Finally, the precipitate is ignited to constant weight at 500&ndash550 o C and weighed as Fe2O3.

(a) If ignition is not carried out under oxidizing conditions (plenty of O2 present), the final product may contain Fe3O4. What effect would this have on the reported %w/w Fe?

(b) The precipitate is washed with a dilute solution of NH4NO3. Why is NH4NO3 added to the wash water?

(c) Why does the procedure call for adding NH3 until the odor of ammonia is detected?

(d) Describe how you might test the filtrate for Cl &ndash .

11. Sinha and Shome described a gravimetric method for molybdenum in which it is precipitated as MoO2(C13H10NO2)2 using n-benzoylphenylhydroxylamine, C13H11NO2, as a precipitant. 12 The precipitate is weighed after igniting to MoO3. As part of their study, the authors determined the optimum conditions for the analysis. Samples containing 0.0770 g of Mo were taken through the procedure while varying the temperature, the amount of precipitant added, and the pH of the solution. The solution volume was held constant at 300 mL for all experiments. A summary of their results are shown in the following table.

Considering these results, discuss the optimum conditions for determining Mo by this method. Express your results for the precipitant as the minimum %w/v in excess, needed to ensure a quantitative precipitation.

12. A sample of an impure iron ore is approximately 55% w/w Fe. The amount of Fe in the sample is to be determined gravimetrically by isolating it as Fe2O3. What mass of sample do you need to ensure that you isolate at least 1 g of Fe2O3?

13. The concentration of arsenic in an insecticide is determined gravimetrically by precipitating MgNH4AsO4 and isolating Mg2As2O7. Determine the %w/w As2O3 in a 1.627-g sample of insecticide if it yields 106.5 mg of Mg2As2O7.

14. After preparing a sample of alum, K2TÃO4&bullAl2(SO4)3&bull24H2O, a student determined its purity by dissolving a 1.2391-g sample and precipitating the aluminum as Al(OH)3. After filtering, rinsing, and igniting, 0.1357 g of Al2O3 is obtained. What is the purity of the alum preparation?

15. To determine the amount of iron in a dietary supplement, a random sample of 15 tablets weighing a total of 20.505 g was ground into a fine powder. A 3.116-g sample was dissolved and treated to precipitate the iron as Fe(OH)3. The precipitate was collected, rinsed, and ignited to a constant weight as Fe2O3, yielding 0.355 g. Report the iron content of the dietary supplement as g FeSO4&bull7H2O per tablet.

16. A 1.4639-g sample of limestone was analyzed for Fe, Ca, and Mg. The iron was determined as Fe2O3 yielding 0.0357 g. Calcium was isolated as CaSO4, yielding a precipitate of 1.4058 g, and Mg was isolated as 0.0672 g of Mg2As2O7. Report the amount of Fe, Ca, and Mg in the limestone sample as %w/w Fe2O3, %w/w CaO, and %w/w MgO.

17. The number of ethoxy groups (CH3CH2O&ndash) in an organic compound is determined by the following two reactions.

A 36.92-mg sample of an organic compound with an approximate molecular weight of 176 was treated in this fashion, yielding 0.1478 g of AgI. How many ethoxy groups are there in each molecule of the compound?

18. A 516.7-mg sample containing a mixture of K2TÃO4 and (NH4)2TÃO4 was dissolved in water and treated with BaCl2, precipitating the SO4 2&ndash as BaSO4. The resulting precipitate was isolated by filtration, rinsed free of impurities, and dried to a constant weight, yielding 863.5 mg of BaSO4. What is the %w/w K2TÃO4 in the sample?

19. The amount of iron and manganese in an alloy can be determined by precipitating the metals with 8-hydroxyquinoline, C9H7NO. After weighing the mixed precipitate, the precipitate is dissolved and the amount of 8-hydroxyquinoline determined by another method. In a typical analysis a 127.3-mg sample of an alloy containing iron, manganese, and other metals was dissolved in acid and treated with appropriate masking agents to prevent an interference from other metals. The iron and manganese were precipitated and isolated as Fe(C9H6NO)3 and Mn(C9H6NO)2, yielding a total mass of 867.8 mg. The amount of 8-hydroxyquinolate in the mixed precipitate was determined to be 5.276 mmol. Calculate the %w/w Fe and %w/w Mn in the alloy.

20. A 0.8612-g sample of a mixture of NaBr, NaI, and NaNO3 was analyzed by adding AgNO3 and precipitating a 1.0186-g mixture of AgBr and AgI. The precipitate was then heated in a stream of Cl2, converting it to 0.7125 g of AgCl. Calculate the %w/w NaNO3 in the sample.

20. The earliest determinations of elemental atomic weights were accomplished gravimetrically. In determining the atomic weight of manganese, a carefully purified sample of MnBr2 weighing 7.16539 g was dissolved and the Br &ndash precipitated as AgBr, yielding 12.53112 g. What is the atomic weight for Mn if the atomic weights for Ag and Br are taken to be 107.868 and 79.904, respectively?

22. While working as a laboratory assistant you prepared 0.4 M solutions of AgNO3, Pb(NO3)2, BaCl2, KI and Na2TÃO4. Unfortunately, you became distracted and forgot to label the solutions before leaving the laboratory. Realizing your error, you label the solutions A&ndashE and perform all possible binary mixings of the five solutions, obtaining the results shown in Figure 8.16 (key: NP means no precipitate formed, W means a white precipitate formed, and Y means a yellow precipitate formed). Identify solutions A&ndashE.

Figure 8.16 Results of the binary mixing of solutions A&ndashE for Problem 8.22.

23. A solid sample has approximately equal amounts of two or more of the following soluble salts: AgNO3, ZnCl2, K2CO3, MgSO4, Ba(C2H3O2)2, and NH4NO3. A sample of the solid, sufficient to give at least 0.04 moles of any single salt, was added to 100 mL of water, yielding a white precipitate and a clear solution. The precipitate was collected and rinsed with water. When a portion of the precipitate was placed in dilute HNO3 it completely dissolved, leaving a colorless solution. A second portion of the precipitate was placed in dilute HCl, yielding a precipitate and a clear solution. Finally, the filtrate from the original precipitate was treated with excess NH3, yielding a white precipitate. Identify the salts that must be present in the sample, the salts that must be absent and the salts for which there is insufficient information to make this determination. 13

24. Two methods have been proposed for the analysis of sulfur in impure samples of pyrite, FeS2. Sulfur can be determined in a direct analysis by oxidizing it to SO4 2&ndash and precipitating it as BaSO4. An indirect analysis is possible if the iron is precipitated as Fe(OH)3 and isolated as Fe2O3. Which of these methods will provide a more sensitive determination for sulfur? What other factors should you consider in choosing between these methods?

25. A sample of impure pyrite known to be approximately 90&ndash95% w/w FeS2 is to be analyzed by oxidizing the sulfur to SO4 2&ndash and precipitating it as BaSO4. How many grams of the sample must you take to form at least 1 g of BaSO4?

26. A series of samples containing any possible combination of KCl, NaCl, and NH4Cl is to be analyzed by adding AgNO3 and precipitating AgCl. What is the minimum volume of 5% w/v AgNO3 necessary to completely precipitate the chloride in any 0.5-g sample?

27. If a precipitate of known stoichiometry does not form, a gravimetric analysis is still feasible if we can establish experimentally the mole ratio between the analyte and the precipitate. Consider, for example, the precipitation gravimetric analysis of Pb as PbCrO4. 14

(a) For each gram of Pb, how many grams of PbCrO4 should form?

(b) In a study of this procedure, Grote found that 1.568 g of PbCrO4 formed for each gram of Pb. What is the apparent stoichiometry between Pb and PbCrO4?

(c) Does failing to account for the actual stoichiometry lead to a positive determinate error or a negative determinate error?

28. Determine the uncertainty for the gravimetric analysis described in Example 8.1. The expected accuracy for a gravimetric method is 0.1&ndash0.2%. What additional sources of error might account for the difference between your estimated uncertainty and the expected accuracy?

29. A 38.63-mg sample of potassium ozonide, KO3, was heated to 70 o C for 1 h, undergoing a weight loss of 7.10 mg. A 29.6-mg sample of impure KO3 experiences a 4.86-mg weight loss when treated under similar condition. What is the %w/w KO3 in the sample?

30. The water content of an 875.4-mg sample of cheese was determined with a moisture analyzer. What is the %w/w H2O in the cheese if the final mass was found to be 545.8 mg?

31. Representative Method 8.2 describes a procedure for determining Si in ores and alloys. In this analysis a weight loss of 0.21 g corresponds to 0.1 g of Si. Show that this relationship is correct.

32. The iron in an organometallic compound was determined by treating a 0.4873-g sample with HNO3 and heating to volatilize the organic material. After ignition, the residue of Fe2O3 weighed 0.2091 g.

(a) What is the %w/w Fe in this compound?

(b) The carbon and hydrogen in a second sample of the compound were determined by a combustion analysis. When a 0.5123-g sample was carried through the analysis, 1.2119 g of CO2 and 0.2482 g of H2O were collected. What are the %w/w C and %w/w H in this compound and what is the compound&rsquos empirical formula?

33. A polymer&rsquos ash content is determined by placing a weighed sample in a Pt crucible that has been previously brought to a constant weight. The polymer is melted under gentle heating from a Bunsen burner until the volatile vapor ignites. The polymer is allowed to burn until only a non-combustible residue remains. The residue is brought to constant weight at 800 o C in a muffle furnace. The following data were collected during the analysis of two samples of a polymer resin.


Assista o vídeo: Peter forsøger sig med lineære funktioner (Outubro 2021).