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4.8E: AntiDerivado


4.8: Antiderivados

Para os exercícios a seguir, encontre a antiderivada (F (x) ) de cada função (f (x). )

470) (f (x) = frac {1} {x ^ 2} + x )

471) (f (x) = e ^ x − 3x ^ 2 + sinx )

Responder:
(F (x) = e ^ x − x ^ 3 − cos (x) + C )

472) (f (x) = e ^ x + 3x − x ^ 2 )

473) (f (x) = x − 1 + 4sin (2x) )

Responder:
(F (x) = frac {x ^ 2} {2} −x − 2cos (2x) + C )

474) (f (x) = 5x ^ 4 + 4x ^ 5 )

475) (f (x) = x + 12x ^ 2 )

Responder:
(F (x) = frac {1} {2} x ^ 2 + 4x ^ 3 + C )

476) (f (x) = frac {1} { sqrt {x}} )

477) (f (x) = ( sqrt {x}) ^ 3 )

Responder:
(F (x) = frac {2} {5} ( sqrt {x}) ^ 5 + C )

478) (f (x) = x ^ {1/3} + (2x) ^ {1/3} )

479) (f (x) = frac {x ^ {1/3}} {x ^ {2/3}} )

Responder:
((F (x) = frac {3} {2} x ^ {2/3} + C )

480) (f (x) = 2sin (x) + sin (2x) )

481) (f (x) = sec ^ 2 (x) +1 )

Responder:
(F (x) = x + tan (x) + C )

482) (f (x) = sinxcosx )

483) (f (x) = sin ^ 2 (x) cos (x) )

Responder:
(F (x) = frac {1} {3} sin ^ 3 (x) + C )

484) (f (x) = 0 )

485) (f (x) = frac {1} {2} csc ^ 2 (x) + frac {1} {x ^ 2} )

Responder:
(F (x) = - frac {1} {2} cot (x) - frac {1} {x} + C )

486) (f (x) = cscxcotx + 3x )

487) (f (x) = 4cscxcotx − secxtanx )

Responder:
(F (x) = - secx − 4cscx + C )

488) (f (x) = 8secx (secx − 4tanx) )

489) (f (x) = frac {1} {2} e ^ {- 4x} + sinx )

Responder:
(F (x) = - frac {1} {8} e ^ {- 4x} −cosx + C )

Para os exercícios a seguir, avalie a integral.

490) (∫ (−1) dx )

491) (∫sinxdx )

Responder:
(- cosx + C )

492) (∫ (4x + sqrt {x}) dx )

493) (∫ frac {3x ^ 2 + 2} {x ^ 2} dx )

Responder:
(3x− frac {2} {x} + C )

494) (∫ (secxtanx + 4x) dx )

495) (∫ (4 sqrt {x} + sqrt [4] {x}) dx )

Responder:
( frac {8} {3} x ^ {3/2} + frac {4} {5} x ^ {5/4} + C )

496) (∫ (x ^ {- 1/3} −x ^ {2/3}) dx )

497) (∫ frac {14x ^ 3 + 2x + 1} {x ^ 3} dx )

Responder:
(14x− frac {2} {x} - frac {1} {2x ^ 2} + C )

498) (∫ (e ^ x + e ^ {- x}) dx )

Para os exercícios a seguir, resolva o problema do valor inicial.

499) (f ′ (x) = x ^ {- 3}, f (1) = 1 )

Responder:
(f (x) = - frac {1} {2x ^ 2} + frac {3} {2} )

500) (f ′ (x) = sqrt {x} + x ^ 2, f (0) = 2 )

501) (f ′ (x) = cosx + sec ^ 2 (x), f ( frac {π} {4}) = 2+ frac { sqrt {2}} {2} )

Responder:
(f (x) = sinx + tanx + 1 )

502) (f ′ (x) = x ^ 3−8x ^ 2 + 16x + 1, f (0) = 0 )

503) (f ′ (x) = frac {2} {x ^ 2} - frac {x ^ 2} {2}, f (1) = 0 )

Responder:
(f (x) = - frac {1} {6} x ^ 3− frac {2} {x} + frac {13} {6} )

J4.8.1) ainda não aqui

Responder:
(8)

J4.8.2) ainda não aqui

J4.8.3) ainda não aqui

Responder:
(8)

Para os exercícios a seguir, encontre duas funções possíveis (f ) dadas as derivadas de segunda ou terceira ordem

504) (f '' (x) = x ^ 2 + 2 )

505) (f '' (x) = e ^ {- x} )

Solução: as respostas podem variar; uma resposta possível é (f (x) = e ^ {- x} )

506) (f '' (x) = 1 + x )

507) (f '' '(x) = cosx )

Solução: as respostas podem variar; uma resposta possível é (f (x) = - sinx )

508) (f '' '(x) = 8e ^ {- 2x} −sinx )

509) Um carro está sendo dirigido a uma taxa de (40 ) mph quando os freios são aplicados. O carro desacelera a uma taxa constante de (10 ​​) (ft / seg ^ 2 ). Quanto tempo antes que o carro pare?

Solução: (5.867 ) seg

510) No problema anterior, calcule a distância que o carro percorre no tempo que leva para parar.

511) Você está entrando na rodovia, acelerando a uma taxa constante de (12 ) pés / s2. Quanto tempo leva para você atingir a velocidade de fusão em (60 ) mph?

Solução: (7.333 ) seg

512) Com base no problema anterior, quão longe o carro viaja para atingir a velocidade de fusão?

513) Uma montadora deseja garantir que seu modelo mais novo possa parar em (8 ) segundos ao viajar a (75 ) mph. Se assumirmos uma desaceleração constante, encontre o valor da desaceleração que realiza isso.

Solução: (13,75 pés / s ^ 2 )

514) Uma montadora quer garantir que seu modelo mais novo possa parar em menos de (450 ) pés ao viajar a (60 ) mph. Se assumirmos uma desaceleração constante, encontre o valor da desaceleração que realiza isso.

Para os exercícios a seguir, encontre a antiderivada da função, assumindo (F (0) = 0. )

515) [T] (f (x) = x ^ 2 + 2 )

Solução: (F (x) = frac {1} {3} x ^ 3 + 2x )

516) [T] (f (x) = 4x− sqrt {x} )

517) [T] (f (x) = sinx + 2x )

Solução: (F (x) = x ^ 2 − cosx + 1 )

518) ([T] f (x) = e ^ x )

519) ([T] f (x) = frac {1} {(x + 1) ^ 2} )

Solução: (F (x) = - frac {1} {(x + 1)} + 1 )

520) [T] (f (x) = e ^ {- 2x} + 3x ^ 2 )

Para os exercícios a seguir, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Prove que é verdadeiro ou encontre um contra-exemplo se for falso.

521) Se (f (x) ) é a antiderivada de (v (x) ), então (2f (x) ) é a antiderivada de (2v (x). )

Solução: Verdadeiro

522) Se (f (x) ) é a antiderivada de (v (x) ), então (f (2x) ) é a antiderivada de (v (2x). )

523) Se (f (x) ) é a antiderivada de (v (x), ) então (f (x) +1 ) é a antiderivada de (v (x) +1. )

Solução: Falso

524) Se (f (x) ) é a antiderivada de (v (x) ), então ((f (x)) ^ 2 ) é a antiderivada de ((v (x)) ^ 2. )