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2.2: Fatos sobre os limites das sequências - Matemática


2.2: Fatos sobre os limites das sequências - Matemática

Avalie o limite da sequência definida por $ a_1 = 1 $ e $ a_ = sqrt <6 + a_n> $.

Para avaliar esse limite, faremos uma indução abreviada para primeiro mostrar que a sequência $ $ está aumentando e sendo limitada acima.

Primeiro, observamos que $ a_1 = 1 $, $ a_2 = sqrt <6 + a_1> = sqrt <7> $ e $ a_3 = sqrt <6 + a_2> = sqrt <6 + sqrt <7> > $. Em cada caso, nossa sequência parece estar aumentando, e vamos provar isso com indução matemática. Nosso caso base $ a_1 & lt a_2 $ já é mostrado acima. Suponha que $ a_k & lt a_$. Queremos mostrar que $ a_ & lt a_$. Conseguimos que $ a_ = sqrt <6 + a_> & gt sqrt <6 + a_k> = a_$ e, portanto, $ $ está aumentando.

Agora precisamos mostrar que $ $ é limitado. Assumimos que $ $ é limitado acima por $ 3 $, uma vez que $ a_1 = 1 & lt 3 $. Agora suponha que $ a_k & lt 3 $. Queremos mostrar que $ a_ & lt 3 $. Então nós temos aquele $ a_ = sqrt <6 + a_k> & lt sqrt <6 + 3> = 3 $. Portanto, $ a_n & lt 3 $.

Agora, lembre-se de que, como $ f (x) = sqrt <6 + x> $ é uma função contínua, temos que:

Portanto, precisamos resolver a equação $ L = sqrt <6 + L> $ ou melhor, $ L ^ 2 = 6 + L $ que tem uma solução quando $ L = 3 $ e $ L = -2 $. Escolhemos $ L = 3 $, pois nosso limite não pode ser negativo, pois $ $ está aumentando.


Sequências em espaços métricos

Para qualquer sequência $ x_n $ podemos considerar o conjunto de valores que ela atinge, a saber [ = n em N >. ] É importante distinguir este conjunto da própria sequência. Por exemplo, se $ X = R $, e $ x_n = 1 $ para todos $ n in N $, então a sequência $ x_n $ é $ 1, 1, 1, dots $, ou seja, uma sequência infinita de uns . O conjunto de valores desta sequência é $ <1 > $, que é um subconjunto de $ R $ com apenas um elemento.

Freqüentemente, será útil perceber que em uma seqüência crescente de números naturais $ n_k $ um sempre tem $ n_k geq k $. Isso é válido porque o conjunto $ , n_k > $ consiste em $ k $ números naturais diferentes, todos os quais são menores ou iguais a $ n_k $. Isso só pode acontecer se $ n_k geq k $.

Nós escrevemos $ lim_ x_n = a $ ou $ x_n a $.

Por exemplo, considere a sequência de pontos $ x_n = bigl ( frac1n, frac1 bigr) $ no avião. Segue de [ frac1n a 0, qquad frac1 to0, ] que $ x_n to (0,0) $ em $ R ^ 2 $.

Em outras palavras, qualquer subseqüência de uma seqüência convergente também converge e tem o mesmo limite.

Prova. Seja $ epsilon gt0 $ fornecido. Como $ x_n ap $ existe um $ N_ epsilon in N $ tal que $ x_n in B_ epsilon (p) $ para todos os $ n geq N_ epsilon $. Se $ k geq N_ epsilon $ então $ n_k geq k $, de modo que $ n_k geq N_ epsilon $ e, portanto, $ x_ in B_ epsilon (p) $. Isso implica, por definição, que $ x_ a p $ as $ k a infty $. ////

Se a sequência $ x_n $ convergisse para um limite, digamos $ x_n para ell $, então cada subsequência de $ x_n $ também convergiria para $ ell $. A sequência $ x_n $ tem as seguintes subsequências [y_k = x_ <2k>, qquad z_k = x_ <2k-1>. ] A sequência $ y_$ consiste em todas as entradas pares e, como $ y_k = 1 $ para todos os $ k in N $, temos $ y_k a 1 $. Se a sequência $ x_n $ converge para algum número $ ell $, então este número deve ser $ ell = + 1 $. Por outro lado, a subsequência $ z_k = x_ <2k-1> = -1 $ converge para $ -1 $, então qualquer limite da sequência $ x_n $ deve ser $ ell = -1 $. O limite não pode ser 1 $ e $ -1 $ ao mesmo tempo.

Por definição, uma sequência $ x_n $ é chamada monótona se $ x_n leq x_$ é válido para todos os $ n in N $, caso em que a sequência é chamada de não decrescente, ou se $ x_n geq x_$ para todos os $ n in N $, caso em que a sequência é considerada não crescente.


Revisão de matemática de nível A examinando sequências, incluindo notação, sequências convergentes e relações de recorrência.

Na sequência 2, 4, 6, 8, 10. há um padrão óbvio. Essas sequências podem ser expressas em termos do enésimo termo da sequência. Nesse caso, o enésimo termo = 2n. Para encontrar o 1º termo, coloque n = 1 na fórmula; para encontrar o 4º termo, substitua os n "s por 4" s: 4º termo = 2 × 4
= 8.

Tentativa e erro

Qual é o enésimo termo da sequência 2, 5, 10, 17, 26.?
Vamos usar tentativa e erro (essencialmente adivinhando o que achamos que funcionará):

n = 1 2 3 4 5
= 1 4 9 16 25
n² + 1 = 2 5 10 17 26

Essa é a sequência necessária, então o enésimo termo é n² + 1. Para algumas sequências, não há maneira fácil de calcular o enésimo termo de uma sequência, a não ser tentar diferentes possibilidades.

Dicas: se a sequência está subindo em três (por exemplo, 3, 6, 9, 12), provavelmente haverá um três na fórmula, etc.

Em muitos casos, os números quadrados aparecerão, então tente elevar n ao quadrado, como acima. Além disso, a fórmula dos números triangulares frequentemente surge. Isso é ½n (n + 1).

O enésimo termo de uma sequência às vezes é escrito como Un . Então, no último exemplo, Un = n² + 1. O 5º termo é, portanto, U5 = 25 + 1 = 26.

Sequências Convergentes

As sequências cujo n-ésimo termo se aproxima de um número finito à medida que n se torna maior são conhecidas como sequências convergentes e o número para o qual a sequência converge é conhecido como o limite da sequência. Por exemplo: 10, 5, 2,5, 1,25, 0,625,. converge (fica cada vez mais perto) em direção ao limite zero.

Relações de Recorrência

É aqui que o próximo termo de uma sequência é definido usando o (s) termo (s) anterior (es). Para definir uma relação de recorrência, você deve fornecer o primeiro termo. Em seguida, você fornece uma fórmula para dizer como calcular o próximo termo a partir dos anteriores.

Por exemplo, considere a sequência: 2, 4, 8, 16, 32,. . Cada termo na sequência é obtido duplicando o termo anterior. Então, para definir a relação de recorrência, damos o primeiro termo, escrito U1 = 2. Então escrevemos: Un = 2 (Un-1) Isso significa apenas que o enésimo termo, Un é igual a 2 × o (n-1) º termo, Un-1.


MATEMÁTICA

UMA VISÃO BÍBLICA DA MATEMÁTICA

CONTEÚDO

1. Introdução
I. O dogmatismo da neutralidade
A. O postulado da neutralidade não é confirmado pelos fenômenos da matemática
2. Verdade aritmética
3. Padrões de prova
4. Verdade teórica dos números
5. Verdade geométrica
6. Verdades da análise
7. Existência matemática
B. A neutralidade postula internamente auto-inconsistente
8. Em suas reivindicações metafísicas gerais
9. Em suas reivindicações epistemológicas gerais
10. Em suas reivindicações éticas gerais

II. Antinomias da matemática anti-teísta
11. Classificação das dificuldades anti-teístas
A. Problemas epistemológicos da matemática anti-teísta: a priori / a posteriori
12. A resposta a priori
13. A resposta a posteriori
14. A resposta convencionalista
15. Implicações da prova de Gödel & # 8217s
B. Problemas metafísicos da matemática anti-teísta: unidade e pluralidade
16. Unidade e pluralidade de verdade
17. Unidade e pluralidade das ciências
C. 18. Problemas éticos da matemática anti-teísta: motivo, padrão e objetivo

III. Uma visão teísta cristã da matemática
A. Uma metafísica cristã da matemática, fundada no Ser de Deus
19. Ontologia
20. Modalidade
21. Estruturalidade
B. Uma epistemologia cristã da matemática, fundada no conhecimento de Deus
22. A imagem de Deus constitui um fundamento para a matemática a priori
23. A revelação constitui a base para a matemática a posteriori
24. Excurso nas limitações
da matemática humana
25. A unidade da raça e o dom da linguagem formam os alicerces da ciência pública
C. 26. Uma ética cristã da matemática, fundada na justiça de Deus

1. Introdução

Em suas visões de mundo, cristãos e não cristãos diferem em pontos fundamentais. Garantido. Mas certamente isso não afeta a matemática. Aqui, finalmente, está uma área neutra, onde cristãos e não cristãos podem concordar. Ambos sabem que 2 + 2 = 4. Como as diferenças religiosas poderiam afetá-lo?

Em nossa cultura, essa é a reação usual a uma menção à matemática “cristã”. Incredulidade. No entanto, a ironia aparece no fato de que essa mesma incredulidade expõe em vários níveis sua própria não-neutralidade, sua própria postura dogmaticamente antibíblica. 1

EU. O dogmatismo da & # 8220neutralidade & # 8221

Vamos & # 8217s olhar mais de perto o & # 8220 postulado de neutralidade. & # 8221 Este postulado diz que o conhecimento e a estrutura de uma ciência - por exemplo, matemática - não são influenciados pela crença religiosa. 1a Ou pelo menos a ciência não deve ser influenciada pela crença religiosa. Para ser mais claro, o verdadeiro conhecimento científico permanece o mesmo, quer Deus exista ou não. Pretendemos criticar este postulado tanto em termos de seu ajuste com os fenômenos reais da matemática, quanto em termos de sua auto-inconsistência interna.

UMA. O postulado da neutralidade não corroborado pelos fenômenos da matemática

O postulado da neutralidade tem uma atratividade especial quando aplicado à matemática, por causa do aparente acordo generalizado sobre verdades matemáticas. & # 8220Todo mundo sabe que 2 + 2 = 4. & # 8221 Se as crenças religiosas realmente influenciam, por que existe um acordo tão difundido que ultrapassa as linhas religiosas? Pretendemos responder a essa questão em vários níveis: (1) mostrando que a concordância em matemática não é tão difundida, nem tão não correlacionada com as crenças religiosas, como os livros didáticos querem que você acredite (§§2-7) (2) por mostrando que a filosofia não-cristã da matemática está envolvida em clivagens e antinomias profundas, em sua compreensão até de uma verdade tão simples como 2 + 2 = 4 (§§ 11-18) (3), mostrando que apenas em um completo A base bíblica pode verdadeiramente compreender e afirmar o acordo real sobre as verdades matemáticas (§25).

Portanto, em primeiro lugar, que diferenças surgiram na matemática em relação à crença religiosa? Diferenças surgiram sobre a verdade aritmética, sobre os padrões de prova, sobre a verdade teórica dos números, sobre a verdade geométrica, sobre as verdades da análise, sobre a existência matemática - para não mencionar as disputas epistemológicas de longa data sobre a fonte da verdade matemática. Vamos considerar essas áreas uma de cada vez.

2. Verdade aritmética

Pode surpreender o leitor saber que nem todos concordam que & # 82162 + 2 = 4 & # 8217 é verdade. Mas, pensando bem, deve ficar claro que nenhum monista radical pode ficar satisfeito com & # 82162 + 2 = 4. & # 8217 Se com Parmênides 2 alguém pensa que tudo é um, se com o hinduísmo vedântico 3 ele pensa que toda pluralidade é ilusão, & # 82162 + 2 = 4 & # 8217 é uma declaração ilusória. No nível máximo de existência, 1 + 1 = 1,4

O que isso implica? Mesmo as verdades aritméticas mais simples podem ser sustentadas apenas em uma visão de mundo que reconhece uma pluralidade metafísica final no mundo - seja trinitária, politeísta ou pluralidade produzida pelo acaso. Ao mesmo tempo, as verdades aritméticas mais simples também pressupõem uma metafísica final unidade para o mundo & ampmdahs pelo menos unidade suficiente para proteger a existência continuada de & # 8220sames. & # 8221 Duas maçãs permanecer maçãs enquanto estou contando-as, o símbolo & # 82162 & # 8217 é, em certo sentido, o mesmo símbolo em momentos diferentes, representando o mesmo número.

Assim, logo no início da aritmética, já estamos mergulhados no problema metafísico da unidade e da pluralidade, do um e dos muitos. Como Van Til e Rushdoony apontaram, esse problema encontra sua solução apenas na doutrina da Trindade ontológica. 5 Por enquanto, não devemos nos deter nos espinhosos argumentos metafísicos, mas observar apenas que, sem alguma unidade e pluralidade reais, & # 82162 + 2 = 4 & # 8217 cai no limbo. O & # 8220acordo & # 8221 sobre a verdade matemática é alcançado em parte pelo processo, descrito elegantemente por Thomas Kuhn e Michael Polanyi, de excluir da comunidade científica pessoas de convicções diferentes. 6 Monistas radicais, por exemplo, não são convidados a contribuir para simpósios de matemática.

3. Padrões para prova

Os matemáticos nem sempre concordam sobre quais provas são válidas. Intuicionistas como L. E. J. Brouwer e Arend Heyting não aceitam a lei do terceiro excluído ou a prova de reductio ad absurdum (prova uma afirmação deduzindo uma contradição de sua negação). 7 Portanto, eles não aceitarão algumas provas que outros aceitarão. As diferenças entre os intuicionistas e os outros têm raízes religiosas no fato de que esses intuicionistas não aceitarão como significativo um apelo ao fato de que Deus sabe a verdade sobre o assunto, quer nós o façamos ou não. 8 Para eles, algum sentido de verdade tem seu locus final no humano mente. A matemática se preocupa apenas com mental construções & # 8221 (itálico meu). 9

4. Verdade teórica dos números

Os intuicionistas também fornecem o exemplo mais conveniente de como as diferenças religiosas podem levar ao desacordo sobre a verdade da teoria dos números. Considere as declarações

R: Em algum lugar da expansão decimal de pi ocorre uma sequência de sete 7 & # 8217s consecutivos.

B: Existem infinitos primos p tais que p + 2 é primo.

Em 1975, ninguém sabe se A ou B são verdadeiros. Nem há nenhum procedimento conhecido pelo qual, em uma quantidade finita de tempo, possamos ter certeza de obter uma resposta definitiva sim ou não. Para os intuicionistas, isso significa que A e B não devem ser considerados como qualquer verdadeiro ou falso. 10 Não faz sentido conversa sobre a verdade ou a falsidade, desde que não tenhamos como verificar. Por outro lado, o cristão, com base em I João 3:20 (& # 8220 Deus é maior do que nossos corações, e ele sabe tudo & # 8221), Salmo 147: 5 e outras passagens, provavelmente sentirá que em ao menos Deus sabe perfeitamente com certeza se A ou B é verdadeiro. Nossas próprias limitações não estabelecem limites para o Seu conhecimento (§24) (cf. Is 55: 8-9 Sl 139: 6, 12, 17-18).

5. Verdade geométrica

Compromissos filosóficos de Immanuel Kant & # 8217 o levaram à convicção

que conhecemos a priori as verdades da geometria euclidiana. No entanto, com o advento das geometrias não euclidianas de Bolyai-Lobatchewsky e Riemann, 11 e depois da relatividade geral de Einstein, a & # 8220verdade & # 8221 da geometria euclidiana foi posta em questão. 12 Mesmo a questão de o que meios para que uma geometria seja & # 8220 verdadeira & # 8221, o mundo agora está em disputa. 13 E as profundas diferenças filosóficas entre operacionalismo e realismo, positivismo e platonismo influenciam fortemente as nossas conclusões.

Pode-se objetar que a geometria puramente axiomática (em oposição à geometria aplicada) está pelo menos livre dessas dificuldades. Todos podem concordar quando um teorema geométrico é provado. Mas, mais uma vez, os intuicionistas se opõem a reductio ad absurdum provas. Não apenas isso, mas descobre-se que uma adesão rigorosa às demandas da geometria axiomática no estilo moderno da teoria dos conjuntos requer o uso de incontáveis ​​conjuntos de pontos e incontáveis ​​conjuntos de transformações de congruência, introduzindo assim a problemática filosófica do infinito (ver §7 abaixo de).

6. Verdades de análise

Também surgem divergências sobre as verdades da análise. Uma das principais razões para isso é que apenas um número contável dos números reais é definível no sentido de ser computado por uma máquina de Turing. Pelo teorema de Cantor & # 8217s, a vasta & # 8220maioria & # 8221 dos reais são indefiníveis! Devemos tratar esses reais indefiníveis no mesmo plano que reais computáveis? Nossa resposta a essa pergunta dependerá muito de nossas convicções filosóficas anteriores. Se tivermos a disposição filosófica platônica que supõe que os números reais estão & # 8220 - existam & # 8221, quer possamos defini-los ou não, estamos predispostos à análise clássica. Se, por outro lado, temos uma visão de mundo mais antropocêntrica que considera o homem como a medida das coisas, 14 provavelmente preferiremos análises construtivas como a de-

-envolvido por Errett Bishop. 15 Finalmente, se estivermos comprometidos com uma visão mais convencionalista da matemática (ver §14), ou, como Leibniz, com a realidade dos infinitesimais, provavelmente estaremos favoravelmente dispostos à análise não padronizada de Robinson. 16 Portanto, três visões de mundo diferentes, se não determinam absolutamente, ainda assim influenciam decisivamente a atitude da pessoa em relação a construções alternativas de análise.

Visto que o aluno de graduação geralmente é exposto apenas à versão clássica da análise, ele tem a impressão de que essa versão é a verdade evangélica incontestável. No entanto, os teoremas de diferentes versões de análise às vezes estão em conflito radical. Na análise clássica, o conjunto de números reais

produz um corte de Dedekind dividindo os reais em duas partes, positivo e não positivo na análise não padrão, a mesma definição produz um corte de reais em duas partes, positivo não infinitesimal por um lado e não positivo mais infinitesimal positivo em o outro na análise construtiva, a mesma definição produz ainda um terceiro resultado, ou seja, uma divisão de reais em absolutamente positivos, absolutamente não positivos e um terceiro grupo de & # 8220don & # 8217t know. & # 8221 Mais uma vez, em análise construtiva cada função construtível em [0, l] é uniformemente contínua, 17 enquanto na análise clássica o número cardinal c c == 2 c de funções descontínuas em [0, 1] é maior que (!) O número cardinal c de funções contínuas. Dificilmente se pode negar que, pelo menos nesta área, as diferenças filosófico-religiosas tiveram seu impacto!

7. Existência matemática

2 existem? 1/4 existe? √2 existe? -2 existe? √-1 existe? O dx existe? O número transfinito aleph-dois existe? Existe um cardeal mensurável?

Cada uma dessas questões foi debatida em algum momento da história da matemática. Parte do problema, é claro, é dizer o que nós mau por uma reivindicação de existência. As entidades matemáticas não existem da mesma maneira que as rochas. Mas as questões da existência matemática são importantes porque se relacionam com a legitimidade do uso de certos símbolos matemáticos em nossos cálculos. Se certas entidades matemáticas não & # 8217t & # 8220 existem, & # 8221

presumivelmente, eles não deveriam ser usados. Porque & # 82201/0 não existe, & # 8221 não se pode & # 8217 argumentar

0 · 1 = 0 · 2
(1/0) · 0 · 1 = (1/0) · 0 · 2
1 · 1 = 1 · 2
1 = 2

As opiniões sobre a existência matemática estão relacionadas a diferenças religiosas. Considere vários exemplos: os pitagóricos, por razões filosófico-religiosas, não queriam reconhecer a existência de irracionais como √2.18 As convicções filosóficas de Leibniz sobre o infinito o inclinaram favoravelmente para o uso de infinitesimais como dx. 19 De um ponto de vista conscientemente cristão, D. H. Th. Vollenhoven e Herman Dooyeweerd rejeitaram a existência de incontáveis ​​números transfinitos, ostensivamente por causa de seu caráter antinômico. 20 (O autor não concorda com sua decisão neste ponto, mas o fato é que suas convicções matemáticas eram religiosamente motivadas.) Tais exemplos mostram claramente que uma questão de existência matemática pode não ser religiosamente neutra. De maneira mais geral, a matemática no passado não foi uma ciência religiosamente neutra. Em suma, o postulado da neutralidade não é confirmado pela história da matemática.

B. A neutralidade postula internamente auto-inconsistente

Até agora, nos concentramos na questão de se o postulado da neutralidade realmente se encaixa nos fenômenos da matemática. Vimos que as decisões sobre a verdade matemática são freqüentemente enviesadas religiosamente. Mesmo à parte desses fatos históricos, no entanto, o postulado da neutralidade está cercado de sérias dificuldades internas:

8. Em suas reivindicações metafísicas gerais

O postulado da neutralidade faz as afirmações metafísicas implícitas de que (a) a realidade matemática não é o resultado de Deus criar atividade de qualquer (p. 166) maneira essencial (pois se fosse resultado do trabalho de Deus, não poderíamos imaginar ele & # 8220 permanece o mesmo & # 8221 mesmo que Deus não existisse) (b) A natureza de Deus e a natureza do número não estão significativamente envolvidas uma na outra, não estão tão relacionadas que se possa inferir as propriedades de uma delas a partir de um estudo do outro. Do contrário, opiniões divergentes sobre Deus podem, pelo que sabemos, levar a opiniões divergentes sobre a natureza do número.

A afirmação (a) já é uma negação da criação em seu sentido bíblico, como veremos (§19) a afirmação (b) envolve uma negação da Trindade (ver §19). No momento, no entanto, estamos interessados, não tanto no fato de que essas afirmações contradizem a doutrina cristã ortodoxa, mas no fato de que têm um amplo alcance, surpreendentemente dogmático. metafísico personagem. A afirmação de que a metafísica é irrelevante para a matemática acaba por ser em si uma afirmação metafísica sobre a matemática. O postulado da neutralidade acaba sendo altamente & # 8220não neutro. & # 8221 Para dizer o mínimo, esta é uma situação paradoxal.

9. Em suas reivindicações epistemológicas gerais

O postulado da neutralidade está envolvido em um paradoxo semelhante em relação às suas reivindicações epistemológicas implícitas. Este postulado nega, com efeito, que Deus possa revelar quaisquer verdades sobre a matemática. Suponha que ele pudesse. Então, concebivelmente, Ele pode revelar informações ainda não estabelecidas por outros meios. Então, aquelas pessoas que acreditaram no que Ele revelou estariam em uma posição diferente na matemática daquelas que não acreditaram. Essas diferenças decorrentes da crença religiosa violariam o postulado da neutralidade.

Agora, o leitor pode argumentar que tudo isso é puramente especulativo, uma vez que Deus não escolheu de fato registrar teoremas matemáticos nas Escrituras. Mas observe o seguinte. (1) Se Deus nos deu informações matemáticas pode ser determinado apenas por um exame real das Escrituras, não (como o postulado da neutralidade presumivelmente afirma) em um a priori moda. (2) Embora a Bíblia não contenha teoremas matemáticos no sentido moderno, ela contém ensinos que nos instruem, em certos casos, sobre que tipo de matemática é legítima (cf. os exemplos nos §§5-9). (3) A atividade reveladora geral (pré-redentora) de Deus está envolvida em todo tipo de conhecimento matemático (ver §23). (4) À luz de (1) - (3), o postulado de neutralidade definitivamente se refere a questões religiosas.

Na verdade, o postulado da neutralidade afirma saber sobre o que a relação de Deus e os números pode e não pode ser, o que a relação da teologia e da matemática pode e não pode ser, não apenas no passado, mas (se o postulado deve significar algo substancial ) também no futuro. Suponha agora que perguntamos como essas afirmações abrangentes de conhecimento podem ser sustentadas. A resposta deve ser: o conhecimento vem por revelação - seja a revelação cristã ou alguma versão secularizada da revelação. Pois, ao apoiar o postulado de neutralidade, estamos envolvidos em explicar como vem para

conheça sua suposta verdade. Essa mesma explicação constitui uma doutrina de revelação. Normalmente as pessoas falam sobre a revelação de algum ponto final metafísico diferente de Deus (mente, matéria, experiência dos sentidos, Razão); no entanto, os homens requerem revelação. Em suma, o postulado da neutralidade está enredado na rede paradoxal de ser capaz de negar a relevância da revelação (teísta) apenas com base em uma doutrina subjacente da revelação (secular). O postulado da neutralidade é epistemologicamente não neutro.

LO. Em suas reivindicações éticas gerais

Terceiro, o postulado da neutralidade está envolvido em um paradoxo em relação às suas afirmações éticas implícitas. Faz uma declaração sobre o que & # 8220 pensava & # 8221 ser: & # 8220A matemática & # 8220 não pensava & # 8221 ser influenciada pela crença religiosa. Chamemos esta declaração de & # 8216C. & # 8217 C contradiz a ética cristã, como veremos (§26). Mas, mais uma vez, vamos nos concentrar no interno paradoxo envolvido nesta afirmação ética. C: a matemática não deve ser influenciada pela crença religiosa. Em particular, presumivelmente, não deve ser influenciado pelos julgamentos éticos correlacionados com a crença religiosa. Portanto, a matemática não deve ser influenciada pelo julgamento ético C de que & # 8220 a matemática não deve ser influenciada pela crença religiosa. & # 8221 Somos confrontados com uma afirmação ética autodestrutiva.

A afirmação ética C pode resgatar-se do esquecimento apenas quando é apoiada por outra afirmação, D.

D: Reivindicação C não é um religioso (embora seja uma crença ética).

Mas a maioria das pessoas concordaria que afirmações gerais como D sobre a relação do religioso com o ético estão reivindicações religiosas. Eles estão intimamente relacionados à questão de saber se o certo e o errado são definidos (digamos) pelos comandos de Deus ou pela consciência. Concordemos, portanto, que D é uma crença religiosa.

Mas agora estamos novamente enredados. Primeiro, de C segue-se que

E: a matemática deve ser influenciada por C.

F: para qualquer G, se G é uma crença religiosa, a matemática não deve ser influenciada por G.

Como um caso especial de F, quando C é substituído por G, obtemos

H: se C é uma crença religiosa, a matemática não deve ser influenciada por C.

D: C não é uma crença religiosa.

Logo, D é uma conseqüência de C. Logo, C tem, como conseqüência, um

crença religiosa D. Portanto, presumivelmente o próprio C é religioso, uma contradição de D.

II. Antinomias do antiteísta 21 matemática

11. Classificação das dificuldades anti-teístas

Até agora nos concentramos nas dificuldades específicas do postulado da neutralidade. O postulado da neutralidade, como vimos, é cercado por conflitos com fenômenos da história da matemática (§§2-7) e por auto-inconsistência interna (§§8-10).

Outras dificuldades, no entanto, o postulado da neutralidade compartilha com todas as visões de mundo não-cristãs e não teístas (quer essas visões reivindiquem ou não para si mesmas neutralidade). Para essas dificuldades comuns a todas as versões não-cristãs da matemática, nos voltaremos agora.

É claro que, em certo sentido, cada visão de mundo particular - materialismo, idealismo, positivismo, marxismo - sim, cada pensador individual tem dificuldades próprias. Uma crítica profunda, do ponto de vista cristão, teria, portanto, que lidar com cada pensador separadamente. Neste artigo, não podemos esperar fazer mais do que esboçar um esboço de como a crítica deve proceder. Um procedimento unificado de crítica é até certo ponto possível porque tudo Os sistemas não cristãos compartilham problemas semelhantes, surgindo de sua recusa comum em honrar o Deus verdadeiro.

Por conveniência, dividimos os problemas em três áreas principais: metafísica, epistemológica e ética. Esperamos que a filosofia não-cristã da matemática (a) tenha problemas metafísicos porque abandonou a verdadeira Fonte do ser (b) tenha problemas epistemológicos porque abandonou a verdadeira Fonte do conhecimento (c) para ter problemas éticos porque abandonou a verdadeira Fonte de valor. Levamos esses tópicos na ordem (b), (c), (a).

UMA. Problemas epistemológicos da matemática anti-teísta: a priori / a posteriori

Os matemáticos, como outros cientistas, têm certa confiança em suas convicções. Isso precisa ser justificado. Como sabemos que 2 + 2 = 4? Por meios internos (a priori independente da experiência) ou por meios externos (a posteriori derivado da experiência)? Adquirimos o conhecimento por meio da introspecção? Por reminiscência (Platão)? Por argumento lógico (Russell)? Ou o ganhamos pela experiência repetida de duas maçãs (pág. 169) e duas maçãs (John S. Mill)? Ou alguma combinação dessas? Ou & # 82162 + 2 = 4 & # 8217 não é real & # 8220conhecimento & # 8221, mas simplesmente uma convenção linguística sobre como usamos & # 82162 & # 8217 e & # 82164 & # 8217 (A. J. Ayer)? 22

12. A resposta a priori

Qualquer que seja a resposta que uma pessoa do lado anti-teísta escolha, ela está fadada a se colocar em dificuldades. Suponha que alguém enfatize o a priori caráter do conhecimento matemático. Então & # 82162 + 2 = 4 & # 8217 é algum tipo de verdade universal e eterna. Mas por que, nesse caso, duas maçãs mais duas maçãs normalmente, na experiência, resultariam em quatro maçãs? Por que deveria um mundo reconhecidamente contingente nos oferecer exemplos repetidos desta verdade, muito mais exemplos do que poderíamos esperar por acaso? Se o mundo externo é puramente um acaso, se algo pode acontecer no sentido mais amplo possível, se o sol não pode nascer amanhã, se, de fato, pode não haver sol, ou apenas um sputnik, quando o amanhã chegar, se não houver amanhã, etc., pode haver alguma afirmação segura sobre maçãs? Por que, por exemplo, as maçãs não desaparecem e aparecem aleatoriamente enquanto as contamos? Se, por outro lado, o mundo externo tem algum grau de regularidade misturado com seus elementos casuais, por que esperar que essa regularidade coincida, mesmo da maneira mais remota, com o a priori expectativas matemáticas das mentes humanas? Essas perguntas podem ser multiplicadas sem limite. Uma vez feita a separação cartesiana de mente e matéria, de a priori e a posteriori, nunca se pode juntá-los novamente.

Uma visão a priorista estrita também está aberta a objeções mais práticas. Se a matemática é de fato a priori, por que surgem paradoxos? Esses paradoxos vêm na forma de contradições reais (paradoxo de Burali-forti & # 8217s, paradoxo de Russell & # 8217s) e na forma de vários resultados contra-intuitivos (as curvas de preenchimento de espaço contínuas de Peano, funções diferenciáveis ​​em todos os lugares contínuos em lugar nenhum, o teorema de Löwenheim-Skolem descendente, etc.). Os paradoxos parecem menos ameaçadores hoje, em parte porque os matemáticos adotam uma atitude mais convencionalista em relação a eles (§14), em parte porque os eliminamos modificando nossos axiomas (para evitar contradições) ou modificando nossas intuições (para enquadrar as teorias). No entanto, os paradoxos ilustram que, historicamente considerados, supostamente a priori as convicções matemáticas nem sempre são confiáveis.

13. A resposta a posteriori

É compreensível que essas dificuldades no a priori lado levaram as pessoas a procurarem um a posteriori solução. Nesse caso, enfatizava-se o caráter indutivo do conhecimento matemático. Chega-se a acreditar que 2 + 2 = 4 de experiência repetida (a posteriori) de dois objetos mais dois objetos que formam quatro objetos. Tudo bem, mas ninguém repetiu a experiência de 2.123.955 objetos mais 644.101 objetos fazendo 2.768.056 objetos. Então, por que ele acredita que 2.123.955 + 644,10l = 2.768.056? & # 8220Ah, & # 8221 assim é dito, & # 8220 ele generalizou a partir de sua experiência com números pequenos. & # 8221 Infelizmente, na palavra & # 8220generalize & # 8221 está oculto uma regressão infinita ou o espectro do a priori. Podemos perguntar por que uma pessoa & # 8220 generaliza & # 8221 de uma maneira e não de outra? Por que depois de observar que 3 + 2 = 5, 4 + 2 = 6, & # 8230 12 + 2 = 14, ele conclui (generaliza?) Que 13 + 2 = 15 em vez de 13 + 2 = 14 até 13? Em termos de uma consistência a posteriori ponto de vista, a resposta só pode ser, por causa da experiência anterior com outras generalizações. Em outras palavras, ele generalizou a partir de generalizações anteriores. Por que ele generalizou em esta maneira particular dessas outras generalizações? Porque ele generalizou a partir de experiências anteriores de generalização a partir de generalizações anteriores e assim por diante. Aparentemente, pode-se escapar dessa regressão apenas dizendo em algum ponto, & # 8220 Porque essa & # 8217 é a maneira como a mente humana opera. & # 8221 E então a pessoa é confrontada com um a prioriconhecimento, ou pelo menos a priori heurísticas.

O a posteriori A solução também está aberta a objeções mais práticas e prosaicas. E quanto à quantidade constantemente crescente de entidades matemáticas abstratas e não visualizáveis? Afirmar que números transfinitos, espaços topológicos e álgebras abstratas são de alguma forma impressos em nós a partir da experiência dos sentidos exige um certo esforço de imaginação.

14. A resposta convencionalista

Uma terceira tentativa de solução para o problema epistemológico merece menção, pelo menos por causa de sua ampla popularidade entre os próprios matemáticos. Esta é a visão de que a matemática é, em certo sentido, uma mera convenção de nossa linguagem e, portanto, não é & # 8220conhecimento & # 8221 de forma alguma. 2 + 2 = 4 porque concordamos em nosso idioma em usar as palavras & # 8220two & # 8221 e & # 8220four & # 8221 exatamente dessa maneira (Wittgenstein). 23 Ou, em outras palavras, ao dizer & # 82202 + 2 = 4 & # 8221, estamos apenas dizendo que & # 8220A é A & # 8221 de uma forma indireta (A. J. Ayer). 24 Ou, & # 82202 + 2 = 4 porque segue de nossos postulados (determinados convencionalmente) & # 8221 (formalistas).

Todas essas respostas & # 8220 convencionais & # 8221 são, na verdade, muitas variações do a priori solução, visto que ainda se pode fazer as mesmas perguntas irrespondíveis sobre por que a matemática deveria ser tão útil para lidar com o mundo externo. Se for puro convenção, por que deveria ser? Ou se alguém disser que as convenções foram escolhidas Porque eles são úteis, movemo-nos para o a posteriori campo, onde ele é confrontado com as mesmas questões irrespondíveis sobre o papel da generalização. 25

O fato de que a resposta convencionalista pode ser usada tanto em uma a priori ou um a posteriori direção aponta para outro fator: que o convencionalista & # 8220answer & # 8221 pode não ser realmente uma resposta, mas simplesmente uma mudança da questão da área da matemática para a da linguagem. O mesmo a priori / a posteriori problemas reaparecem quando perguntamos por que a linguagem (matemática) funciona adequadamente.

L5. Implicações da prova de Gödel & # 8217s

Neste ponto, devemos mencionar que, em nossa opinião, certos resultados teóricos da prova intensificaram o a priori / a posteriori problema para uma filosofia da matemática anti-teísta. Estamos nos referindo particularmente à prova de Gödel & # 8217s da incompletude dos axiomas de Whitehead-Russell & # 8217s para a teoria dos números de primeira ordem. 26 Esta prova foi agarrada ao seio de tantos filósofos da matemática que hesitamos em ler nela ainda mais uma interpretação. No entanto, parece-nos que a prova deve abalar a confiança em qualquer a priori ou filosofia convencionalista da matemática. Por um lado, ao mostrar que nenhuma máquina de Turing pode ser construída para gerar todas as verdades teóricas dos números e nenhuma falsidade, levantou questões sobre a capacidade da própria mente humana de conhecer todas as verdades teóricas dos números. E se não podemos saber tudo, certamente não é a priori para nós. Em segundo lugar, ao mostrar que qualquer lista de axiomas será incompleta, levanta questões sobre qualquer afirmação convencionalista de que a verdade é definida por nossa escolha de axiomas. Assumindo que a teoria dos números é consistente, o mecanismo da prova produz uma afirmação verdadeira que não decorre dos axiomas, portanto, essa verdade não é (estritamente falando) convencionalmente definida pela escolha dos axiomas.

Por outro lado, a prova de Gödel & # 8217s dá pouco conforto ao a posteriori acampamento. Pois a afirmação crucial verdadeira, mas improvável, S exibida em sua prova não pode ser & # 8220experiente & # 8221 como verdadeira ou a posteriori & # 8220 visto & # 8221 como verdadeiro em qualquer sentido normal. O campo a posteriori presumivelmente diz que aprendemos por experiência direta (duas maçãs e duas maçãs fazendo quatro maçãs) e depois por provas (o próprio procedimento de prova é uma generalização da experiência de provas simples). No entanto, Gödel & # 8217s S não pode ser experimentado diretamente (é muito complicado) nem provado. S é a primeira afirmação desse tipo já produzida (nenhuma generalização da experiência anterior é possível), mas ao inspecionar o significado & # 8220intuitivo & # 8221 de S, alguém se convence de que S deve ser verdadeiro.

Por causa das dificuldades acima, a filosofia anti-teísta da matemática está condenada a oscilar, como fizemos em nosso argumento, entre os pólos da a priori conhecimento e a posteriori conhecimento. Por quê? Não reconhecerá o verdadeiro Deus, sábio Criador de Ambas a mente humana com sua intuição matemática e o mundo externo com suas propriedades matemáticas. Nas seções 22-23, veremos como a visão bíblica nos fornece uma solução real para o problema de & # 8220 saber & # 8221 que 2 + 2 = 4 e saber que S é verdadeiro.

B. Problemas metafísicos da matemática anti-teísta: unidade e pluralidade

16. Unidade e pluralidade de verdade

Intimamente relacionadas com as questões epistemológicas estão as questões sobre o & # 8220status & # 8221 metafísico de & # 82162 + 2 = 4 & # 8217 em relação a outras verdades. O que isso mau que 2 + 2 = 4? Se quiséssemos testar se uma criança entendeu & # 82162 + 2 = 4 & # 8217, ficaríamos satisfeitos apenas quando ela não apenas demonstrasse capacidade de manipular os símbolos adequadamente no papel, mas também soubesse quando usar & # 82162 + 2 = 4 & # 8217 em problemas de palavras.Essa verificação é necessária porque uma criança pode memorizar as formas visuais e as manipulações de & # 82162 & # 8217 e & # 82164 & # 8217 sem nunca entender o que estava fazendo. Na verdade, podemos dizer que saber que 2 + 2 = 4 é saber como usar esses símbolos na vida cotidiana. Não se pode saber & # 82162 + 2 = 4 & # 8217 sem saber muitas outras coisas em relação a essa única verdade. Assim, estamos inevitavelmente preocupados com uma grande pluralidade de experiências e verdades e as relações entre elas.

Além disso, como a teoria lingüística moderna na estrutura tagmêmica apontou, nenhum símbolo lingüístico pode ser compreendido sem alguma especificação de seu contraste, variação e distribuição. 27 Em particular, & # 82162 + 2 = 4 & # 8217 tem significado (a) apenas como um todo identificável, com uma certa constância no tempo, contrastando com certas outras declarações possíveis, ambos

verdadeiro (2 + 3 = 5, 1 + 2 = 3, 1 + 3 = 4, etc.) e falso (2 + 2 = 5,2 + 2 = 3, etc.) (b) apenas como uma unidade com um certo variacional intervalo, o que implica que pode ser repetido em várias formas sem perder sua identidade (dois mais dois são quatro, dois mais dois são quatro, dois e dois são quatro, II + II = IV, (1 + 1) + 2 = 4, etc.) (c) apenas como um item distribuído em unidades maiores de comportamento lingüístico e comportamento humano geral (provas usando & # 82162 + 2 = 4, & # 8217 problemas com palavras se referindo a ele, & # 82162 + 2 = 4 & # 8217 usado no cálculo de preços de mercearia, imposto de renda e trajetórias de mísseis )

O problema aqui, para qualquer visão anti-teísta, é garantir qualquer unidade e estabilidade finais para o enorme & # 8220sea & # 8221 de verdades e experiências nas quais & # 82162 + 2 = 4 & # 8217 está embutido. Como, sem saber tudo, podemos realmente dizer que sabemos alguma coisa? & # 82162 + 2 = 4 & # 8217 é distribuído em um contexto maior que, se quisermos entendê-lo, deve ser distribuído em um contexto ainda maior, ad infinitum. Além disso, como sabemos que a próxima coisa que descobrirmos, nas fronteiras de nosso conhecimento, não perturbará e derrubará radicalmente o que até agora chamamos de & # 8220conhecimento & # 8221? Tal contingência parece não apenas ser possível abstratamente (devido à necessidade de definir o conhecimento em parte em termos de sua distribuição em contextos maiores), mas na verdade ter ocorrido no passado em mais de uma ciência. A física revisou radicalmente seu & # 8220conhecimento & # 8221 durante a revolução newtoniana, a revolução einsteiniana e agora a revolução quântica. Até mesmo a matemática teve que se revisar às vezes, pensando na descoberta de irracionais pelos pitagóricos, de contradições decorrentes do raciocínio com séries infinitas condicionalmente convergentes, de contradições como o paradoxo de Russell & # 8217s surgindo do raciocínio com a ideia ingênua de conjunto. É verdade que cada um desses três & # 8220problemas & # 8221 matemáticos agora é considerado resolvido, mas nenhum foi resolvido sem uma revisão dos padrões, sim, e o próprio conceito de raciocínio matemático correto.

Em toda essa discussão, estamos realmente levantando, de outra forma, o velho problema de uma fonte para a unidade metafísica última no mundo, neste caso a unidade da verdade. Na base cristã, ouvimos uma resposta muito simples e clara: Deus sabe tudo, e Sua sabedoria garante que a verdade não será destruída pelo próximo fato ao virar da esquina. Ele fez o homem à Sua imagem de tal maneira que o homem pode conhecer a verdade (& # 8220pensar os pensamentos de Deus & # 8217 segundo Ele & # 8221 28) sem ter que saber tudo. (Para uma discussão mais completa, consulte §§22, 24.)

Por outro lado, se o antiteísta deseja começar com uma unidade final, em vez de uma pluralidade final, da verdade, ele não tem como explicar como a pluralidade surge dessa verdade única. Temos aqui o problema da unidade e da pluralidade que já enfrentamos no §2.

17. Unidade e pluralidade das ciências

O mesmo problema nos confronta de outra forma, se perguntarmos sobre a relação entre diferentes áreas da verdade ou diferentes ciências. Como a matemática se relaciona com a física, a biologia, a lógica, a linguística, a economia? Como as subdivisões dentro da matemática, como aritmética, geometria, cálculo e teoria dos conjuntos, se relacionam entre si? Por que qualquer uma dessas áreas tem ampla aplicação em outras? Os antiteístas geralmente tentam responder usando a pluralidade final ou a unidade final. Se, por um lado, optamos por dividir as ciências em uma diversidade final e pluralidade, não podemos dar nenhuma resposta além de & # 8220Bem, simplesmente acontece. & # 8221 Mas muito poucas pessoas podem realmente viver com isso. Muitos cientistas reconheceram que eles simplesmente acreditam, Eles têm que o mundo é matemática e fisicamente regular. Einstein coloca desta forma:

A esta [esfera da religião] pertence também a fé na possibilidade de que os regulamentos válidos para o mundo da existência sejam racionais, isto é, compreensíveis para a razão. Não posso conceber um cientista genuíno sem essa fé profunda. A situação pode ser expressa por uma imagem: ciência sem religião é manca, religião sem ciência é cega. 29

No entanto, tais deuses postulados nunca podem se elevar acima dos ídolos da descrição de Isaías & # 8217: & # 8220Diga-nos o que está por vir, para que possamos saber que vocês são deuses, fazem o bem ou fazem o mal, para que possamos ficar desanimados e aterrorizados. Eis que você não é nada, e seu trabalho nada é, uma abominação é aquele que o escolhe & # 8221 (41: 23-24 cf. 44: 6-11, etc.).

Por outro lado, podemos fazer um esforço para reduzir as ciências a uma unidade derivando alguns de outros. Os filósofos da matemática no passado tentaram, por sua vez, reduzir a matemática (a) à linguística (& # 8220matemática é a ciência das linguagens formais & # 8221 - os formalistas), (b) à psicologia (& # 8220matemática é o estudo da mentalidade construções matemáticas & # 8221 — os intuicionistas), (c) à lógica (& # 8220matemática é um ramo da lógica & # 8221 — os lógicos), (d) à física (& # 8220 a matemática é generalizada a partir da experiência dos sentidos & # 8221 — os empiristas) , (e) à sociologia (& # 8220matemática é um grupo de afirmações socialmente úteis & # 8221 - os pragmáticos). A forma da suposta redução da matemática nos fornece, assim, um catálogo grosseiro e pronto das principais escolas de filosofia da matemática.

Como poderíamos esperar, essas tentativas de redução nunca foram realmente bem-sucedidas. Em algum ponto, eles não fazem justiça ao caráter distintivo da verdade matemática, em oposição à verdade física, linguística e psicológica. Uma discussão detalhada dos reducionismos está além do escopo deste trabalho, e devemos remeter o leitor ao extenso trabalho fundamental de Dooyeweerd e Vollenhoven, além da investigação particular da matemática por Strauss. 30 0 nossas suspeitas deveriam ser levantadas, pela própria diversidade de tentativas de redução (à linguística, à lógica, à psicologia, etc.), para questionar se algum dessas pode realmente ser a história verdadeira. Cada um deles refuta os outros, mostrando um lado da imagem que os outros não reconheceram suficientemente.

C. 18. Problemas éticos da matemática anti-teísta: motivo, padrão e objetivo

Finalmente, devemos mencionar de passagem que a matemática anti-teísta não tem fundamentos éticos satisfatórios, mais do que tem fundamentos metafísicos ou epistemológicos. Nenhuma peça matemática pode ser escrita, nenhum matemático pode jamais operar, sem algum motivo, padrão e objetivo implícito ou explícito para o trabalho. Um matemático pode ser motivado pelo egoísmo, pelo medo, pelo altruísmo ou pelo Senhor, ele pode estar trabalhando por dinheiro, por puro prazer ou para a glória de Deus. Mas ninguém nunca faz matemática sem ter esse tipo de fator como pano de fundo. Além disso, seus motivos, padrões e objetivos afetarão inevitavelmente o tipo de problema que ele escolhe para se concentrar, que peso relativo ele dá à matemática pura versus aplicada, que padrões ele estabelece para si mesmo em seu ensino e redação, como ele divide seu tempo entre ensino e pesquisa, e assim por diante. A pessoa que considera fatores como & # 8220 externos & # 8221 ao verdadeiro negócio da matemática já perdeu de vista o foco bíblico consistente na obra do homem como a obra do homem que está diante de seu Criador: & # 8220 prestando serviço com um bom vontade como para o Senhor e não para os homens, sabendo que qualquer bem que alguém faça, ele receberá o mesmo novamente do Senhor, seja ele um escravo ou livre & # 8221 (Ef. 6: 7-8). Para uma discussão mais aprofundada da visão bíblica, consulte §26.

Visto que a teoria ética anti-teísta está emaranhada nas mesmas antinomias na área da matemática como em qualquer outra área da vida, não precisamos elaborar aqui a excelente discussão da ética por Van Til. 31

III. Uma visão teísta cristã da matemática

Até agora, nossa discussão se desenvolveu em uma direção predominantemente negativa, porque nos ocupamos com uma crítica às visões & # 8220neutralista ”(§§1-10) e anti-teísta (§§11-18) da matemática. No entanto, dificilmente é possível apreciar a verdadeira pobreza de tais visões sem alguma reflexão sobre como seria uma visão verdadeiramente bíblica da matemática. Para esta tarefa nos voltamos agora.

De acordo com nossa crítica anterior dos fundamentos metafísicos anti-teístas (§§8, 16, 17), epistemológicos (§§9, 12-15) e éticos (§§10, 18), nos propomos a discutir o ponto de vista bíblico também em termos de metafísica (§§19-21), epistemologia (§§22-25) e ética (§26). Naturalmente, os fundamentos bíblicos nessas três áreas se sobrepõem e se complementam; retomamos os tópicos um por um, a fim de destacar os contrastes radicais entre as visões teísta e anti-teísta.

Na discussão a seguir, não estamos tentando usar a matemática (ou outras ciências) como algum tipo de & # 8220 prova & # 8221 ou suporte para a Bíblia. Em vez disso, ao contrário, sustentamos que somente com base em ouvir obedientemente a Palavra de Deus podemos encontrar um fundamento adequado para a matemática! É Deus quem sustenta a matemática, e não vice-versa.

UMA. Metafísica cristã da matemática, fundada no Ser de Deus

19. Ontologia

Qual é o status metafísico dos números e afirmações sobre os números? Qual é o status da geometria? Qual é o significado da matemática neste mundo? Para o cristão comprometido com as Escrituras, o fato mais importante sobre a matemática deve ser sua relação com o Senhor. Visto que Ele é o Criador e Soberano sobre todos, tudo deve encontrar seu significado, sim, sua própria existência Nele: & # 8220 nele vivemos, nos movemos e temos nosso ser ”(Atos 17:28). & # 8220Thine, ó Senhor, é a grandeza, e o poder, e a glória, e a vitória, e a majestade, por tudo o que está nos céus e na terra é teu é o teu é o reino, ó Senhor, e tu és exaltado como cabeça acima de tudo & # 8221 (I Crônicas 29:11).

Além disso, a distinção ontológica mais básica na Escritura é entre Deus, por um lado, e Suas criaturas, por outro (cf. Is 43: 10-13). Conseqüentemente, Van Til fala da distinção Criador-criatura como básica para todo pensamento cristão, e Vollenhoven faz da maneira pela qual as filosofias separam Deus e o universo seu critério mais básico para a classificação taxonômica. 32 Se estamos confusos sobre quem é Deus, se nós

identificar parte da criação com Deus ou parte de Deus com a criação, somos culpados de séria idolatria.

Portanto, a pergunta mais básica a se fazer sobre a estrutura matemática e as leis é esta: são aspectos da criação ou de Deus? São, por assim dizer, coisas criadas ou Deus, ou talvez estejam em alguma terceira categoria? Esta pergunta ainda é ambígua, porque sua resposta depende do que queremos dizer com & # 8220matemática. & # 8221 & # 8220Matemática & # 8221 pode se referir a (a) a ciência em crescimento histórico manifestada em livros didáticos, artigos, conferências, palestras, etc. (b) os pensamentos dos matemáticos ou (c) a & # 8220 estrutura & # 8221 matemática do mundo, de alguma forma existindo independentemente de nossos pensamentos (duas maçãs e duas maçãs fazendo quatro maçãs - dois pontos distintos determinando uma linha única entre eles, etc.). A matemática (a) claramente consiste em [coisas criadas e atividades dos homens criados. A matemática (b) consiste em pensamentos humanos que, como tais, nunca têm status divino (Is 55: 8-9 Sl 147: 5). Teremos mais a dizer sobre (a) e (b) nos §§22, 24.

Por enquanto, vamos nos concentrar na matemática (c). Uma vez que a matemática (c) diz respeito às propriedades de criada coisas, podemos ser tentados à primeira vista a dizer, & # 8220matemática (c) é criada. & # 8221 No entanto, a Bíblia, ao falar continuamente de Deus & # 8217s tendo criado coisas (minerais, plantas, animais, homens, anjos), aparentemente nunca fala de Deus & # 8217s tendo criado estruturas & # 8221 ou & # 8220laws. & # 8221 Uma pequena reflexão nos mostra que isso não é por acaso. A Bíblia nunca representa o mundo como sendo governado por leis como tais, independentes do Criador, mas sim pelos decretos do Rei, pelo próprio Deus falando (cf. Gn 8: 22-9: 7 Jer. 33:25 Sl . 33: 6-11, 18-22 147: 15-20). Porque Seus decretos estão de acordo com quem Ele é (Salmos 19: 7-9), esperamos que sejam sábios e ordeiros (Salmos 104: 24 Pv.8: 22-31 Rom. 11: 33-36).

O mesmo ocorre com a matemática (c). O próprio Deus tem um numérico natureza. Ele é três em um. É interessante que Jesus use o pronome plural ”nós & # 8221 (João 17:21 cf. João 14:23) e plural & # 8220are & # 8221 (esmen, João 10:30) ao falar do Pai e do Filho. A matemática (c) é eterna porque o Pai, o Filho e o Espírito Santo (3!) São eternos (João 1: 1,17: 5; Hb 9:14). E a natureza numérica eterna de Deus é manifestada na criação tanto quanto Seu amor, sabedoria e justiça são manifestados.

Seguindo o & # 8220 padrão & # 8221 de Sua própria pluralidade, Ele cria o mundo como uma pluralidade: & # 82200 Senhor, como múltiplo [Heb., Muitas] são tuas obras! Com sabedoria os fizeste toda a terra está cheia de tuas criaturas & # 8221 (Salmos 104: 24). Este versículo rastreia a natureza plural das obras de Deus até a Sua sabedoria. E, em última análise, a sabedoria de Deus encontra encarnação em Jesus Cristo, & # 8220em quem estão escondidos todos os tesouros da sabedoria e do conhecimento '(Colossenses 2: 3), & # 8220 a quem Deus fez nossa sabedoria, nossa justiça e santificação e redenção & # 8221 (I Cor. 1:30). Jesus faz o Seu convite na linguagem anteriormente usada, no Eclesiástico, por sabedoria personificada

(Mat.11: 25-30 cp. Sir. 24:25 [19] 51: 23-26). 33 Porque desde o princípio o Filho é a sabedoria pessoal de Deus. Deus não precisa consultar ninguém (Is 40: 13-14). Assim, temos razão em dizer que a pluralidade deste mundo (as obras de Deus) encontra sua base na pluralidade da comunhão do Pai e do Filho. E Salmos 104: 24 também aponta para uma origem para unidade neste mundo quando fala da sabedoria do 1 Senhor. Porque existe um Senhor, existe uma consistência interna em tudo o que Ele faz. A sabedoria se expressa no governo ordenado, na justiça, no amor e no ódio proporcionados (Pv 8: 13-17).

Ao dizer & # 82201 + 1 = 2 & # 8221, estamos declarando uma verdade sobre a Trindade: uma verdade sobre a Sabedoria de Deus e, então, secundariamente, uma verdade sobre o mundo que Ele governa. (Observe, no entanto, que uma vez que a Trindade e a Sabedoria de Deus são incompreensíveis, a matemática própria de Deus, por assim dizer, não é acessível a nós em toda a sua plenitude. Não podemos presumir que nossa matemática (b) é necessariamente tudo verdadeiro ou exatamente equivalente a Deus & # 8217s & # 8220matemática. & # 8221) Quão longe isso está de uma visão & # 8220neutralista & # 8221 da matemática, que supõe que a matemática não tem nada a ver com Deus!

Desse ponto de vista, as filosofias anti-teístas da matemática podem ser classificadas como versões matemáticas de antigas heresias. Um estrito a priori visão da matemática (§12), enfatizando que a verdade matemática (b) devoseja o que é, é culpado de nivelar a distinção entre a mente divina e a humana. O que é a priori pois Deus - ou seja, matemática (c) - não é a priori para nós. Não podemos raciocinar infalivelmente para resultados matemáticos, porque a mente de Deus é diferente da nossa. O processo de nivelamento termina dizendo que Deus deve se conformar com a nossa a priori matemática, resultando em Tri-teísmo.

Em seguida, um estrito a posteriori visão da matemática (§13), enfatizando o caráter contingente das verdades matemáticas (§16), é culpado de ignorar a estabilidade da natureza numérica de Deus. Essa visão termina dizendo que Deus não é matemático, resultando em monismo místico.

Finalmente, uma visão convencionalista da matemática (§14), enfatizando o papel da postulação humana na matemática, é culpada de ignorar o papel de Deus na determinação da estrutura matemática. Essa visão, então, termina em negar efetivamente a atividade de Deus no mundo, ou seja, o ateísmo prático. Talvez a disposição de nossa época para o ateísmo prático seja um fator importante

por trás da preferência generalizada por alguma visão convencionalista. 34

Devemos também observar que a visão bíblica resolve, de forma nítida, o problema do significado de & # 82162 + 2 = 4 & # 8217 em relação a outras verdades (§16). & # 82162 + 2 = 4 & # 8217 encontra seu significado último e integração na plenitude imutável da Fraternidade Trinitária Divina. Porque Deus é imutável, a verdade de & # 82162 + 2 = 4 & # 8217 não é alterada pela próxima descoberta humana.

20. Modalidade

Quais são os traços característicos da verdade matemática, em oposição a outros tipos de verdade? Como a matemática está relacionada a outras ciências? Ao responder a essas perguntas, devemos naturalmente nos afastar mais do testemunho direto da Bíblia. No entanto, a Bíblia parece nos apresentar uma base para uma divisão preliminar das ciências em Gênesis 1: 28-30. Lá, Deus divide Sua criação em quatro grupos principais: mineral, vegetal, animal e homem e instrui Adão sobre algumas das características e funções de cada grupo. Ao estudar esses traços característicos, Adam faria inícios nas ciências da física, da biologia, da zoologia e da antropologia. Veja o Diagrama 1.

Com o passar do tempo, esperamos que novas divisões importantes sejam marcadas dentro dessas ciências.Para uma análise detalhada das principais divisões, remetemos o leitor à obra da filosofia de Amsterdã e do autor. 35 Para nossos propósitos presentes, vamos nos limitar a uma divisão da física. Coisas físicas compartilham com plantas, animais e o homem não apenas as chamadas características físicas (relações de força, rigidez ou não rigidez, energia, etc.), mas também características cinemáticas (velocidade, mobilidade), características espaciais (extensão, área ou volume, forma), recursos quantitativos (quantos?) e recursos agregativos (sendo membros potenciais de vários agregados (ou coleções). Assim, obtemos o Diagrama 2. As últimas quatro ciências do Diagrama 2, em conjunto, compreendem a matemática.

Agora é fácil ver que a unidade e a pluralidade das ciências surgem

características ou aspectos reino atividades em Gênesis 1: 28-30 Ciência
antropológico homens domínio (28) antropologia
zoótico animais locomoção, respiração zoologia
biótico plantas verde, servindo como alimento (30b) biologia
fisica minerais, coisas físicas suporte físico (30a)
área espacial (28)
física

características ou aspectos atividade Ciência
fisica tendo energia física
cinemático em movimento cinemática
espacial tendo extensão geometria
quantitativo tendo número aritmética, álgebra elementar
agregativo sendo distinto agorologia = teoria dos conjuntos elementares

da mesma Fonte básica que a unidade e pluralidade dentro da matemática: da natureza de Deus e Seu plano. Em particular, as propriedades cinemáticas, espaciais e agregativas deste mundo podem ser rastreadas até a natureza de Deus, de uma maneira semelhante ao que já fizemos para o aspecto quantitativo. Como Deus tem uma natureza numérica (a Trindade), Ele tem uma natureza cinemática, espacial e agregativa. Claro, ao usar uma linguagem sobre a natureza de Deus, devemos ter cautela. Deus como Criador é, em última análise, incompreensível para a criatura. Nenhum homem pode entender tudo sobre Deus. Assim, esperamos que a natureza agregativa, quantitativa, espacial e cinemática de Deus seja, de alguma forma, incompreensível para nós. As analogias criadas inevitavelmente se rompem, porque são apenas finito imagens do Infinito. No caso da natureza numérica de Deus, isso é óbvio. Deus é três pessoas, mas ao mesmo tempo Um Deus. Jesus pode dizer: & # 8220 Eu e o Pai são um& # 8221 (João 10:30). Nenhuma coisa criada é três e ao mesmo tempo uma da mesma maneira sublime. Veremos também que a natureza agregativa, espacial e cinemática de Deus não é estritamente análoga a nada neste mundo criado. Essa, talvez, tenha sido uma das razões pelas quais as pessoas (erroneamente) tendem a negar que a natureza de Deus tenha algo a ver com espaço ou cinemática.

Primeiro, Deus tem um agregativo natureza, no sentido de que as várias Pessoas da Trindade, e Seus atributos, são distinto um do outro. Este é o fundamento eterno para a ciência da teoria dos conjuntos. & # 8220 Não se perturbem seus corações, creiam em Deus, creiam tb em mim & # 8221 (João 14: 1). “E eu vou orar ao Pai, e ele vai dar-lhe outro Conselheiro, para estar com você para sempre & # 8221 (14:16). & # 8220Quem não me ama não guarda minhas palavras e a palavra que você ouve é não meu, mas o Pai & # 8217s que me enviou & # 8221 (14:24). Os nomes pessoais Pai, Filho e Espírito já implicam que existem & # 8220agregados & # 8221 distintos na Divindade. A incompreensibilidade da natureza agregativa de Deus é expressa por fatos como a habitação mútua de membros da Trindade e a interpenetração de atributos. & # 8220Você não acredita que eu estou no Pai e que o Pai está em mim? As palavras que vos digo, não falo por minha própria autoridade, mas o Pai que habita em mim faz as suas obras. Acredite em mim que estou no Pai e o Pai em mim ou então acredite em mim por causa do
obras próprias & # 8221 (João 14: 10-11). De alguma forma, descobrimos que todos os membros da Trindade participam, em seus próprios caminhos, mesmo nas obras que associamos de forma mais distinta a um membro particular da Trindade. Em certo sentido, os membros da Trindade são não distinto, porque há apenas um Senhor (Deuteronômio 6: 4-5).

Em segundo lugar, Deus tem uma natureza espacial. Isso se expressa, primeiro, nos ensinamentos sobre Deus & # 8217s enchendo o céu e a terra: & # 8220Pode um homem se esconder em lugares secretos para que eu não possa vê-lo: diz o Senhor. Eu não preenchercéu e terra? diz o Senhor & # 8221 (Jer. 23:24). & # 8220Dentro nele vivemos, nos movemos e existimos & # 8221 (Atos 17:28). Veja também 1 Reis 8: 23,27 Isaías 66: 1-2 Atos 7: 46-50 e passagens que tratam de Deus & # 8217s habitação com Seu povo, Deuteronômio 4: 7,39 Isaías 57:15 66: 2 I Coríntios 6:19 Romanos 8: 9-11. Observe a forte ênfase no fato de que o espaço não oferece resistência ou problema ao governo de Deus, mas sim que Deus é o Senhor do espaço, fazendo o que Lhe agrada dentro dele.

Ainda assim, pode ser questionado se as expressões acima das Escrituras expressam apenas Deus & # 8217s relação para o mundo criado, sem implicar nada sobre o que Deus é em si mesmo, ou era antes do mundo começar. Algumas expressões das Escrituras parecem ir além do mundo criado para a eternidade. & # 8220Olhe desde o céu e veja, desde o teu santo e glorioso habitação& # 8221 (Isa. 63:15). & # 8220 Pois assim diz o Altíssimo e Sublime que habita eternidade, cujo nome é Santo: Eu habito no lugar alto e santo, & # 8230 & # 8221 (57:15). Essas passagens dizem que Deus não era sem um & # 8220lugar de habitação & # 8221 ou & # 8220habitação & # 8221 antes do início do mundo. 36 Na verdade, o eterno

a estabilidade da própria & # 8220 habitação de Deus & # 8221 constitui a base para que Ele seja a habitação do crente & # 8217: & # 8220 Senhor, tu tens sido a nossa morada Lugar, colocar Em tudo gerações. Antes que as montanhas surgissem, ou antes que você tivesse formado a terra e o mundo, mesmo de eternidade a eternidade é Deus & # 8221 (Salmos 90: 1-2).

Da mesma forma, algumas das passagens que falam das relações da Trindade falam distintamente espacial termos. Existem expressões de habitação (João 14: 10-11 Colossenses 1:19 2: 9) expressões de relacionamento face a face: & # 8220 No princípio era o Verbo, e o Verbo era com Deus, e a Palavra era Deus & # 8221 (João 1: 1). & # 8220 Ninguém jamais viu Deus o único Filho, que é no seio de o Pai, ele o fez conhecido ”(João 1:18) e expressões de & # 8220procedendo & # 8221: & # 8220Mas quando o Conselheiro vier, a quem devo enviar para você a partir de o Pai, mesmo o Espírito da verdade, que procede de o Pai, ele dará testemunho de mim & # 8221 (João 15:26). Mais uma vez, encontramos relações intratrinitárias incompreensíveis, pois, se o Pai e o Filho preenchem todos e estão em todos (Ef 1:23 4: 6 Jr 23:24), o Espírito dificilmente pode proceder do Pai. em qualquer sentido facilmente compreensível.

Mas, em vez de exigir que Deus corresponda às nossas idéias derivadas deste criada mundo, devemos ver que, inversamente, o & # 8220space & # 8221 de nossa matemática (b) é derivado da impressão, em coisas finitas, do governo governante de Deus. A extensão espacial e física deste mundo é usada nas Escrituras como um indicador para a imensidão original e incriada de Deus (Is 40: 12,26 Sl 104: 25).

Terceiro, Deus tem uma natureza cinemática. Queremos dizer isso no sentido de que o próprio Deus eterno atividade, His & # 8220motion & # 8221 se você preferir, forma a base metafísica e a origem da atividade e movimento criados. & # 8220Ele [o Filho] reflete a glória de Deus e carrega a própria marca de sua natureza, defendendo o universo [literalmente, suportando todas as coisas por sua palavra de poder] & # 8221 (Heb. 1: -3). & # 8220 Nele, de acordo com o propósito daquele que realiza todas as coisasde acordo com o conselho de sua vontade & # 8221 (Ef 1:11). A atividade do Senhor é expressa de uma grande variedade de maneiras: Ele vive (Deuteronômio 32: 39-42 Isaías 8:19), Ele descansa (atividade & # 8220física & # 8221 ?: Gênesis 2: 1-3) , Ele é movido (atividade emocional: Gênesis 6: 6), Ele fala (atividade lingual: Salmos 33: 9 147: 4 Deuteronômio 4: 12-13),
Ele julga (atividade jurídica: Salmos 75: 2-8).

Sem dúvida, a maioria dessas descrições se concentra na relação de Deus com este mundo criado, ao invés do que & # 8220 Ele é em si mesmo. & # 8221 Mas as atividades dentro da Trindade não podem ser reduzidas a apenas atividades dentro do mundo criado, sem cair no modalismo. Por exemplo, & # 8220 Deus é amor & # 8221 (I João 4:16), e o Pai amavam o Filho mesmo antes da fundação do

mundo (João 3:35 Prov. 8: 30-31 Col. 1: 13-16). Da mesma forma, para usar outra imagem da Escritura, o Pai foi Falando por toda a eternidade, na comunhão trinitária (João 1: 1-2). A própria atividade eterna de Deus e o "movimento" de falar e amar é o que causa os movimentos e, portanto, o caráter cinemático deste mundo: & # 8220 Ele envia seus comando para a terra dele palavra corre rapidamente. Ele dá a neve como lã e espalha a geada como cinzas. Ele lança seu gelo como pedaços que podem resistir ao seu resfriado? Ele envia seu palavrae os derrete faz soprar o vento e correr as águas. Ele & gtdeclara seu palavra a Jacó, seus estatutos e ordenanças a Israel. Ele não tratou assim com qualquer outra nação - eles não conhecem suas ordenanças. Louvado seja o Senhor! & # 8221 (Salmos 147: 3,5-20). Observe a conexão de Sua palavra com os movimentos das coisas físicas e com Seu amor por Israel, Seu filho (um amor que se realiza em Seu amor pelo único Filho).

Mais uma vez, como no caso de outros aspectos da natureza de Deus, a natureza “cinemática” de Deus é incompreensível. Ao mesmo tempo em que Deus é tão ativo, Ele também é imutável (Mal. 3: 6, Salmos 102: 27). A palavra dele é fixo(Sal 119: 89) ela nunca passa (Lucas 21:33). Assim, o próprio Deus forma o fundamento, não apenas para a mudança no mundo (Ele decreta por Sua própria atividade), mas também para a estabilidade do mundo (Ele e Seus decretos não mudam).

21. Estruturalmente

Qual é a relação entre as quatro subdivisões principais da matemática (Diagrama 2)? Entre a matemática e as outras ciências? Existe, de fato, alguma relação constante (§17)? Essas questões devem, em última análise, ser respondidas nos mesmos termos que nossas questões anteriores sobre unidade e pluralidade (§§16,19). As ciências encontram sua unidade na Sabedoria pessoal de Deus (Sl 104: 24). & # 8220Ele é antes de todas as coisas e todas as coisas subsistem & # 8221 (Colossenses 1:17). É por isso que a matemática se aplica à física. É por isso que as leis fundamentais da física têm uma forma tão simples. Acreditamos que a matemática continuará a encontrar aplicação à física, não por causa de uma fé cega (§17), mas pela convicção de que as leis da física e da matemática são simplesmente duas maneiras pelas quais Cristo governa de forma abrangente o universo.

Podemos fazer perguntas semelhantes sobre as principais divisões dentro da matemática. Por que os teoremas em álgebra elementar e teoria dos conjuntos se aplicam à geometria e cinemática? Por que, por exemplo, alguém deveria ser capaz de provar a igualdade dos ângulos da base de um triângulo isósceles qualquer por meios geométricos diretos, ou por um algébrico cálculo em geometria analítica dos cossenos dos ângulos de base? Da mesma forma, o trabalho aritmético e teórico dos números pode ser feito qualquer em termos diretos, quantitativos, ou em termos teóricos de conjuntos (começando, digamos, dos axiomas do conjunto de Zermelo-Fraenkel

teoria). A área sob as curvas pode ser calculada, qualquer por aproximação geométrica direta, ou por cálculo algébrico de uma integral definida, cuja definição envolve um fundamentalmente cinemático processo de limite. Os raciocínios em diferentes partes da matemática (agorologia = teoria dos conjuntos elementares, aritmética, geometria, cinemática [incluindo cálculo diferencial e integral]) concordam uns com os outros por causa da unidade de Deus. As mudanças entre as quatro principais divisões da matemática exploram constantemente o fato de que essas ciências têm sua origem na 1 Sabedoria de Deus.

Porque Deus contém unidade e pluralidade em Si mesmo, não há necessidade de nós, na estrutura cristã, recorrer às tentativas fúteis de reducionismo que discutimos no §17. Na verdade, os reducionismos do §17 podem ser vistos como uma espécie de versão matemática de uma antiga heresia: o gnosticismo. Por que devemos dizer isso? Bem, ao explorar a matemática, estamos explorando a natureza do governo de Deus sobre o universo, ou seja, estamos explorando a natureza do próprio Deus. Um reducionismo, portanto, em última análise equivale a uma tentativa de derivar alguns aspectos1 da natureza de Deus de outros aspectos2, uma tentativa de dizer que os últimos aspectos2 da natureza de Deus são mais fundamentais. Os aspectos2, são então, de alguma forma, o que & # 8220 realmente existe & # 8221 em oposição à única existência aparente de aspectos1. Eu classifico isso como uma heresia do tipo gnóstico, porque o gnosticismo desenvolve uma teoria das emanações pela qual certas divindades inferiores derivam seu ser de emanações da Divindade última. Essa derivação gnóstica do ser não é tão diferente da derivação atual dos aspectos.

B. Uma epistemologia cristã da matemática, fundada no conhecimento de Deus

22. A imagem de Deus é um fundamento matemático a priori

Como conhecemos e discutimos a matemática (b), isto é, os pensamentos e o conhecimento dos matemáticos humanos? Aqui, pela primeira vez, devemos nos concentrar na visão cristã do homem. Como o homem se encaixa na imagem da matemática? Não podemos ter outro ponto de partida a não ser a & # 8220 definição & # 8221 do homem fornecida pelas Escrituras: o homem é a imagem de Deus (Gn.1: 26-30 cf. Gn. 2: 7 I Cor. 11: 7). Como tal, seu discurso é imitar receptivamente, em um nível finito, as obras (nomeando, Gênesis 2:19 1: 4 governando, Gênesis 1:28 Salmos 22:28 melhorando, Gênesis 2:15 1:31 ), e descanso (Gênesis 2: 2 Êxodo 20:11) de Deus. A mente do homem é criada com o potencial, então, de compreender Deus (embora não exaustivamente). Ele tem a capacidade de compreender os aspectos agregativos, quantitativos, espaciais e cinemáticos do governo de Deus, visto que ele mesmo é um governante como Deus. Assim, ele pode generalizar com confiança de 2 + 2 = 4, etc., para 2.123.955 + 644.101 = 2.768.056.

Aqui temos o primeiro passo para uma resposta cristã à questão epistemológica

problema de a priori / a posteriori (§§12-15). O a priori capacidade do homem & # 8217s criada a natureza realmente corresponde ao a posteriori do que está & # 8220 lá fora, & # 8221 porque o homem é a imagem dAquele que ordenou o que está & # 8220 lá fora. & # 8221 Ao mesmo tempo, o raciocínio matemático do homem nem sempre está certo, suas expectativas intuitivas nem sempre se cumprem (cf. exemplos no § 12), porque o homem é imagem de Deus infinito. Visto que Deus é incompreensível, Sua matemática às vezes nos confunde, e é de se esperar que assim seja. A prova de Gödel & # 8217s (§15) talvez articule uma instância específica de uma limitação principal do conhecimento do homem & # 8217s em comparação com Deus & # 8217s.

23. A revelação é uma base para a matemática a posteriori

Em seguida, devemos perguntar como um homem conhece verdades matemáticas que ele não sabia antes. Este, pode-se dizer, é o a posteriori lado da matemática. A Bíblia responde que Deus revela aos homens tudo o que eles sabem: & # 8220Aquele que ensina o conhecimento aos homens, o Senhor, conhece os pensamentos
do homem, que eles são apenas um sopro. Bem-aventurado o homem a quem castigas, ó Senhor, e a quem ensinas de acordo com a tua lei & # 8221 (Salmos 94: 10b-12). & # 8220Mas é o espírito do homem, o sopro do Todo-Poderoso, que o faz entender. Não são os velhos que são sábios, nem os idosos que entendem o que é certo & # 8221 (Jó 32: 8-9 cf. Prov. 8). A instrução do Senhor às vezes vem, é claro, por meio de revelação & # 8220natural & # 8221 (Sal.19 Isa. 40:26 51: 6 Prov. 30: 24-28). Assim, podemos fazer justiça à verdadeira novidade que às vezes é encontrada em um novo teorema matemático.

Observe que, na estrutura cristã, o a priori da natureza do homem e da a posteriori do universo de Deus e Sua revelação complementam em vez de competir um com o outro.

24. Excurso nas limitações da matemática humana

Este é talvez um bom ponto para explorar mais profundamente a relação entre a matemática humana e a divina & # 8220. & # 8221 Quando Deus se revela, Ele se revela verdadeiramente, mas não exaustivamente. Essa é uma limitação. No caso da matemática, nosso conhecimento também é limitado pelo fato de que vemos os efeitos dos decretos de Deus e governamos sobre um finito mundo, sem ter acesso direto (exceto no caso de declarações das Escrituras) a esses decretos e que se regem.

Veja o caso da geometria. Embora Deus tenha uma natureza espacial (§20), seria uma blasfêmia dizer que Ele tem as propriedades do espaço euclidiano (ou não euclidiano). Nossos próprios sistemas matemáticos (euclidianos ou não euclidianos) não são, de alguma forma, idênticos ao seu & # 8220sistema. & # 8221 Devemos dizer, creio eu, que as geometrias euclidiana e não euclidiana são Ambas exposições (revelações) de como Deus pode governar o mundo para ambas as descobertas ou construções da mente humana no imagem de Deus.

Presumivelmente, Deus pode ter criado um universo com uma geometria euclidiana ou não euclidiana ou alguma outra geometria. Assim, a variedade de geometrias, longe de constituir um obstáculo ao ponto de vista cristão, é simplesmente uma ilustração da liberdade de Deus.

A geometria euclidiana (como um sistema de afirmações) é o Criador ou a criatura? Em certo sentido, ambos. O argumento acima mostra que, em certo sentido, a geometria é relativa a este mundo (e, portanto, criada). Agora, considere a afirmação G de que entre quaisquer dois pontos distintos existe exatamente uma linha reta. (Ou, igualmente, que a soma dos ângulos em um triângulo é 180 °.) Suponha que G seja realmente verdadeiro em nosso mundo. Então, é correto dizer que G expressa uma das leis da criação de Deus. G é uma daquelas coisas que Deus ordenou que sejam verdadeiras para este mundo (Lam. 3:37).Afinal, não podemos imaginar que G possa ser verdadeiro por qualquer outra razão que não seja porque Deus o ordenou. Ele é o Senhor! Como poderíamos conhecer G de qualquer outra forma que não refletindo (§22) o conhecimento original do próprio Deus & # 8217 que G? Além disso, os decretos de Deus, Seu discurso, Sua Palavra (Isaías 46: 9-12) dizem quem é Deus é (João 1: 1). G diz quem é Deus. No entanto, G não é em todos os sentidos idêntico a Deus.

A solução para este paradoxo provavelmente deve ser paralela ao fenômeno da Encarnação. Jesus é Deus, mas Deus na carne. A bíblia é Deus falando em hebraico, aramaico e grego. É apropriado, em paralelo, dizer que G é uma descrição de Deus governando este finito mundo espacial? Eu penso que sim. G participa de características do finito e criado (inclui
referência a pontos, linhas e graus) e de características do Infinito (é imutável). Às vezes (como de fato é o caso da Encarnação), o criado e o Incriado não podem ser facilmente distinguidos.

25. A unidade da raça e o dom da linguagem são os alicerces da ciência pública

A existência de uma ciência da matemática depende da capacidade dos homens de se comunicarem uns com os outros e da disponibilidade de um meio de comunicação. Ambos os fatores remontam à criação. Os homens têm uma origem racial (Atos 17:26), eles compartilham uma natureza comum (a
imagem de Deus, Gênesis 1: 26-27 5: 1-3), e eles receberam o dom da linguagem como parte de seu equipamento para cumprir o mandato cultural (Gênesis 2: 19-23). Isso nos fornece bases adequadas para acreditar hoje que os outros nos compreendem e que nossa linguagem é adequada à tarefa cultural que Deus nos deu (cf. §26).

Temos também uma resposta à nossa pergunta anterior, §1, por que a ciência tem tanto acordo apesar das diferenças religiosas. Os homens não podem deixar de ser à imagem de Deus, mesmo que se rebelem contra Ele (Gn 3: 5,22). Eles ou imitam a Deus em obediência ou O imitam ao tentar se tornar seu próprio senhor. Nem podem escapar do impulso de cumprir, em alguns

moldar o mandato cultural de Gênesis 1: 28-30. Assim, apesar de si mesmos, eles reconhecem Deus de alguma forma, “imitando-o”. É a situação descrita em Romanos 1: 18-22 Tiago 2:19.

Conseqüentemente, os não-cristãos, à imagem de Deus, podem e fazem contribuições significativas para a matemática. Eles podem saber muitas verdades matemáticas. Como vimos nos §§ 19-21, ao conhecer a verdade matemática, eles sabem algo de Deus (embora não exaustivamente e, em alguns lugares, erroneamente). No entanto, seu & # 8220conhecimento & # 8221 não é mais benéfico para eles do que o conhecimento dos demônios (Tiago 2:19). Portanto, cristãos e ateus, na verdade todos os tipos de pessoas religiosas, compartilham verdades matemáticas, mas para todos os não-cristãos é apenas Apesar de seu sistema. Isto é Porque cristandade é verdadeiro, Porque Deus é quem Ele é, Porque o homem é a imagem de Deus, o não-cristão sabe de tudo. 37 O suposto & # 8220 terreno comum & # 8221 da verdade matemática compartilhada prova exatamente o oposto do que o neutralista supõe que ele prove.

26. Uma ética cristã da matemática, fundada na justiça de Deus

Finalmente, damos um breve esboço de como a ética bíblica se aplica ao trabalho em matemática. Um cristão reconhece que vive sob o senhorio de Deus, a luz dos comandos presentes de Deus e o julgamento vindouro de Deus. Ele vê que, como no caso de Abraão e da nação de Israel, toda a sua vida - conjugal, política, econômica, social, espacial - deve ser estruturada e determinada por sua relação de aliança com Deus. Toda a vida deve ser uma resposta de serviço a Deus (I Cor. 10:31).

Assim, o trabalho em matemática pode ter relevância para o cristão apenas na medida em que é motivado pelo amor de Deus, ordenado pela lei de Deus e direcionado para a glória de Deus e a consumação de Seu reino. Estes são o motivo, o padrão e o objetivo do trabalho em
matemática 38 (cp. a visão não-cristã em §18).

Para ser mais específico, devemos levar em consideração o fato de que os homens têm uma diversidade de chamados (I Cor. 7: 17-24). Nem todos os homens são chamados para serem especialistas em matemática. Para aquele que se especializa, usando os dons que Deus lhe deu (Lucas 19: 11-26 I Pedro 4:10), como pode
A ética cristã prevalece? Como o motivo, padrão e objetivo bíblicos devem afetá-lo? (a) O matemático deve ser motivado pelo loye de Deus para entender as verdades matemáticas que Deus ordenou para este mundo (e assim entender algo da natureza matemática de Deus, §19), o amor ao próximo também deve motivá-lo a aplicar a matemática à física, economia, etc. (b) O matemático deve

encontre seu padrão no comando de Deus, o programa que Deus deu ao homem para cumprir: & # 8220Seja fecundo e multiplique-se, e encha a terra e a subjugue e tenha domínio. . . & # 8221 (Gênesis 1:28). Parte deste programa é que o homem deve entender as obras de Deus (Gênesis 2: 18-23). (c) O matemático deve trabalhar para a glória de Deus. Ele deve louvar a Deus pela beleza e utilidade que encontra na matemática, pela natureza incompreensível de Deus que ela exibe, pela mente humana que Deus capacitou para compreender a matemática (Sl 145 148). E ele deve se esforçar para mostrar cada vez mais completa e claramente aos outros que & # 8220 dele e por ele e para ele são todas as coisas. Que para ele haja glória eterna. Amém ”(Rom. 11:36).

Pretendemos, com a descrição acima, delinear não apenas o que devem ser as atitudes internas de um matemático & # 8217, mas também o que sua obra, suas palavras e seus escritos devem expressar aberta e veladamente. As palavras de um homem normalmente expressam o que ele é: & # 8220Porque da abundância do coração a boca fala. O homem bom, de seu bom tesouro tira o bem, e o homem mau, de seu tesouro mau tira o mal. Eu lhe digo, no dia do julgamento os homens prestarão contas de cada palavra descuidada que proferirem por sua palavras você será justificado, e por seu palavras você será condenado & # 8221 (Mat. 12: 34b-37). Se um homem está trabalhando para a glória de Deus, ele não será um crente & # 8220secreto & # 8221, o que dirá ao falar matemática. Como isso está longe de uma postura & # 8220neutralista & # 8221! O homem que ignora Deus ao fazer sua tarefa matemática não é neutro, mas rebelde e ingrato para com o Doador de todo o seu conhecimento.

1 As pressuposições antibíblicas de declarações agnósticas de aparência inocente têm sido um alvo para as críticas penetrantes de Van Til & # 8217. Ver, por exemplo, Cornelius Van Til, A Survey of Christian Epistemology, Volume II da série In Defense of Biblical Christianity (Philadelphia: den Dulk Foundation, 1969), pp. 212-213.

1a Contra o postulado da neutralidade, estamos por não significa defender uma “relatividade da verdade” que diria que o que é realmente verdadeiro depende do observador. Pelo contrário, a verdade é (por definição) o que Deus conhece e, portanto, completamente fixada desde o início. Isso nós pressupomos. No entanto, nas Partes I e II, e especialmente na Parte I, queremos nos concentrar no que pessoas acreditar e saber sobre a verdade matemática. Que as verdades que conhecem e o que fazem com elas dependem de suas convicções religiosas.

2 William K. C. Guthrie, A History of Greek Philosophy, Vol. II (Cambridge: na University Press, 1967), p. 30

3 “Deve-se dar atenção ao pensamento, / Aqui não há pluralidade em lugar nenhum / Pela morte ele está condenado à morte / Quem aqui contempla a pluralidade.” Paul Deussen, The Philosophy of the Upanishads, trad., De A. S. Geden (Edimburgo: T. & amp T. Clark, 1906), p. 232, citado de Brih (adâranyaka) 4.4.19. “& # 8230não há pluralidade e nenhuma mudança. A natureza que apresenta a aparência de pluralidade e mudança é uma mera ilusão (mâyâ) ”(ibid., p. 237).

4 & # 8220Há, entretanto, em todo o universo, tanto no céu quanto na terra, nada além do atman: - & # 8216Não há nenhum segundo fora dele, nenhum outro distinto dele. & # 8217 & # 8221 ibid., p. 157, citação de Brih (adâranyaka) 4.3.23-30. Cf. também Sravepalli Radhakrishnan, Indian Philosophy, Vol. 2 (Londres: George Allen & amp Unwin Ltd., 1927), p. 535.

5 Cornelius Van Til, The Defense of the Faith, revisado e resumido (Philadelphia: Presbyterian and Reformed Publishing Co., 1963), pp. 25-26 A Survey of Christian Epistemology, p. 96 e Rousas J. Rushdoony, The One and the Many: Studies in the Philosophy of Order and Ultimacy (Nutley, N. J .: Craig Press, 1971).

6 Thomas S. Kuhn, The Structure of Scientific Revolutions, 2ª ed. (Chicago: University of Chicago Press, 1970), p. 168 e Michael Polanyi, Personal Knowledge: Towards a Post-Critical Philosophy (Londres: Routledge & amp Kegan Paul, 1958), pp. 160-167.

7 Arend Heyting, & # 8220Disputation, & # 8221 in Paul Benacerraf e Hilary Putnam, eds., Pfilosofia da matemática: leituras selecionadas (Englewood Cliffs, N. J .: Prentice-Hall, Inc., 1964), p. 61

8 & # 8220The. . . ponto de vista de que não há não experiente verdades e que a lógica não é um instrumento absolutamente confiável para descobrir verdades, encontrou aceitação em relação à matemática muito mais tarde do que em relação à vida prática e à ciência & # 8221 (itálico meu). Luitzen E. J. Brouwer, & # 8220Consciousness, Philosophy, and Mathematics, & # 8221 in Philosophy of Mathematics, p. 78. Observe a correlação que Brouwer faz entre & # 8220life & # 8221 e & # 8220science & # 8221 por um lado (expressando uma visão de mundo religiosa) e matemática por outro. Em outro lugar, ele reconhece sua dívida filosófica para com Kant, & # 8220 Intuicionismo e Formalismo & # 8221 em ibid., p. 69

9 Arend Heyting, & # 8220Disputation & # 8221 in Philosophy of Mathematics, p. 61

10 Cf. Luitzen E. J. Brouwer, & # 8220 Intuitionism and Formalism, & # 8221 in ibid., p. 77 e Arend Heyting, & # 8220Disputation, & # 8221 in ibid., p. 56, para discussão intuicionista de questões semelhantes a A e B.

11 Para uma avaliação da geometria não euclidiana de um ponto de vista cristão, cf. a discussão em Dirk H. Th. Vollenhoven, De Wijsbegeerte der Wiskunde van Theistisch Standpunt (Amsterdam: Wed. G. Van Soest, 1918), pp. 140-147.

12 Cf., por exemplo, a discussão em John J. C. Smart, ed., Problems of Space and Time (Nova York: The Macmillan Company, 1964).

13 & # 8220 Devemos, seguindo Poincaré, atribuir essas descobertas [do experimento físico] à influência de uma força externa postulada para esse propósito? Ou devemos aceitar nossas descobertas pelo valor de face e aceitar a geometria a que somos conduzidos como uma geometria natural para as ciências físicas? A resposta a esta questão metodológica dependerá em grande parte da universalidade da geometria assim encontrada - se a geometria encontrada em uma situação ou campo do discurso físico pode ser consistentemente estendida a outras - e no final, em parte, na predileção do indivíduo ou de seus colegas ou de sua época. & # 8221 Howard P. Robertson, & # 8220Geometry as a Branch of Physics, & # 8221 in Paul A. Schilpp, ed., Albert Einstein: Philosopher-Scientist (Evanston, Ill .: The Library of Living Philosophers, Inc., 1949), p. 325.

14 Compare a discussão em §3.

15 Errett Bishop, Foundations of Constructive Analysis (Nova York: McGraw-Hill, 1967).

16 Abraham Robinson, Nonstandard Analysis (Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1966).

17 Luitzen E. J. Brouwer, & # 8220Consciousness, Philosophy, and Mathematics, & # 8221 in Philosophy of Mathematics, p. 79

18 A History of Greek Philosophy, vol. I, p. 265.

19 & # 8220Toute 1 & # 8217entreprise de Leibniz consiste à créer une logique de 1 & # 8217innni, não toutes ses doutrines, matemática, físicos, metálicos, teológicas et Morales, ne sont que des aspect divers. & # 8221 - & # 8220Todo o empreendimento de Leibniz consiste em criar uma lógica do infinito, da qual todas as suas doutrinas, matemático, físico, metafísico, teológico, e moral, são apenas aspectos diversos & # 8221 (itálico meu). Emile Bréhier, Histoire de la Philosophie, Tome II (Paris: Presses Universitaires de France, 1968), p. 210.

20 Vollenhoven, De Wijsbegeerte der Wiskunde, p. 188 e Herman Dooyeweerd, A New Critique of Theoretical Thought, Vol. II (Philadelphia: Presbyterian and Reformed Publishing Co., 1969), pp. 45, 87, 340. A filosofia cristã de Dooyeweerd & # 8217 considera as antinomias como uma marca segura do pensamento especulativo que não reconhece os limites da criatura (ibid., p. 38).

21 Aqui, seguimos a prática de Van Til & # 8217s (por exemplo, Uma Pesquisa de Epistemologia Cristã, pp. 210-223) de descrever visões de mundo não-cristãs, sejam & # 8220 neutras, & # 8221 panteístas, deístas ou ateístas, por suas verdadeiras cores. O único teísmo verdadeiro é aquele que adora e serve ao Deus verdadeiro, o Pai de Jesus Cristo (I João 2: 22-24 II João 7-9), reconhecendo-O como Senhor de todos (I Cor. 8: 6 Ef. 1:21 Atos 10:36). Tudo o mais é idolatria (Rom. 1: 22-25). Exploraremos mais a fundo a importância de uma abordagem radicalmente bíblica nos §§ 19-26.

22 & # 8220 Quando dizemos que as proposições analíticas [entre as quais Ayer inclui proposições matemáticas] são desprovidas de conteúdo factual e, conseqüentemente, não dizem nada, não estamos sugerindo que não tenham sentido da mesma forma que os enunciados metafísicos não têm sentido. Pois, embora eles não nos forneçam informações sobre qualquer situação empírica, eles nos iluminam, ilustrando a maneira como nós use certos símbolos& # 8221 (itálico meu). Alfred Jules Ayer, & # 8220The A priori, & # 8221 em Philosophy of Mathematics, p. 295. Este mesmo artigo contém algumas discussões sobre as visões de Mill & # 8217s e Russell & # 8217s do conhecimento matemático.

23 Ludwig Wittgenstein, Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik, herausgegeben und bearbeitet von G. H. von Wright, R. Rhees, G. E. M. Anscombe (Oxford: Basil Blackwell, 1967), pp. 4,6.

24 & # 8220The A priori, & # 8221 em Philosophy of Mathematics, p. 300

25 Cf., por exemplo, Ernest Nagel: & # 8220A escolha entre sistemas alternativos de princípios regulativos [em lógica e matemática] não será arbitrária e terá uma base objetiva; a escolha não será, no entanto, baseada na suposta maior inerente necessidade de um sistema de lógica em detrimento de outro, mas na adequação relativamente maior de um deles como instrumento para alcançar uma certa sistematização do conhecimento. & # 8221 & # 8220Logic Without Ontology, & # 8221 in Philosophy of Mathematics, p. 317.

26 Kurt Gödel, & # 8220Über formal unentscheidbare Sätze der Principia mathematica und verwandter Systeme I, & # 8221 Monatshefte für Mathematik und Physik 38 (1931): 173-198 & # 8220Em proposições formalmente indecidíveis de Principia mathematica e sistemas relacionados de tradução por mathematica B. Meltzer (Edimburgo e Londres: Oliver e Boyd, 1962). Cf. também a generalização de Carnap de que toda aritmética formal é defeituosa. Rudolf Carnap, The Logical Syntax of Language (Nova York: Harcourt, Brace and Company, 1937), §60d.

27 Kenneth L. Pike, Language in Relation to a Unified Theory of the Structure of Human Behavior, 2ª edição revisada (The Hague-Paris: Mouton & amp Co., 1967).

28 Cornelius Van Til, A Survey of Christian Epistemology, pp. 200-201, 94-99, e The Defense of the Faith, 13-14, 41-46.

29 Albert Einstein, p. 285, citado em Science, Philosophy and Religion: A Symposium (Nova York: Harper & amp Row, 1941). Da mesma forma, E. P. Wigner chama essa formulabilidade das leis físicas em termos matemáticos um & # 8220artigo de fé & # 8221 e um & # 8220 milagre. . . que não entendemos nem merecemos. & # 8221 & # 8220The Unreasonable Effect of Mathematics in the Natural Sciences, & # 8221 Communications on Pure and Applied Mathematics, 13 (1960): 10,14.

30 Dooyeweerd, A New Critique, Vol. II, pp. 47, 91, 103, 106, 385, etc. Vollenhoven, De Wijsbegeerte der Wiskunde, pp. 20-138, 200-402 Vollenhoven, & # 8220Problemen en Richtingen in de Wijsbegeerte der Wiskunde, & # 8221 Philosophia Reformata 1 (1936): 162-187 DFM Strauss, & # 8220Number-Concept and Number-Idea, & # 8221 Philosophia Reformata 35 (1970): 156-177 e 36 (1971): 13-42.

31 Cornelius Van Til, Christian Theistic Ethics, vol. III da série Em Defesa do Cristianismo Bíblico (Filadélfia: den Dulk Christian Foundation, 1971).

32 Cornelius Van Til, Uma Introdução à Teologia Sistemática (Filadélfia: Seminário Teológico de Westminster, programa de aula, 1966), pp. 11-12 Dirk H.Th. Vollenhoven, Het Calvinisme en de Reformatie van de Wijsbegeerte (Amsterdam: H. J. Paris, 1933), pp. 50-51.

33 Não acreditamos que Jesus, ou o grande corpo de seus contemporâneos palestinos, de alguma forma pensasse no Eclesiástico, ou em outros livros ditos apócrifos, como a Palavra de Deus. No entanto, essas passagens são interessantes porque mostram que tipo de pensamento estava no ar sobre a questão da sabedoria, e mostram o contexto em que os judeus teriam entendido o chamado de Jesus para & # 8220 vir a ele & # 8221 e & # 8220 tomar seu jugo. & # 8221 Mesmo se pudesse ser mostrado que Jesus está aludindo especificamente ao Eclesiástico (em vez de meramente à tradição da sabedoria judaica da qual o Senhor é um exemplo), isso provaria não mais do que a alusão de Paulo ao grego poetas em Atos 17:28.

34 A filosofia da ideia-lei, ou filosofia de Amsterdã, embora afirme assumir uma postura radicalmente cristã, também é vítima de uma velha heresia-sabelianismo. De acordo com Dooyeweerd, o aspecto numérico, sujeito às leis matemáticas, ocorre apenas como um dos diversos aspectos da ordem cósmica do tempo. A New Critique, vol. I, pp. 3, 24, 29, fn. 31-32. E o tempo cósmico não inclui Deus, o eterno. Ibid., fn. p. 31. Conseqüentemente, as propriedades numéricas não podem ser atribuídas ao próprio Deus. 1 + 1 + 1 = 3, como uma afirmação teórica, não pode falar sobre Deus. & # 8220Os conceitos modais de leis e de sujeito e objeto são essencialmente limitados a um aspecto especial. Ao contrário da Idéia cosmonômica, esses conceitos modais em si não apontam além da diversidade de significado em direção à origem e totalidade transcendentes. & # 8221 Ibid., p. 97Se essas restrições forem tomadas ao pé da letra, elas levam a uma visão decididamente sabelliana (modalística) da Trindade. Cf. artigo do autor & # 8217s, & # 8220Sabellianism in the Philosophy of the Law-Idea, & # 8221 Philosophia Reformata (a aparecer).

35 J. M. Spier, Uma Introdução à Filosofia Cristã, 2ª ed. (Nutley, N. J .: The Craig Press, 1966), pp. 30-130. Spier populariza a taxonomia de A New Critique, vol. II. Cf. também Vern Poythress, & # 8220An Approach to Evangelical Philosophy of Science, & # 8221 Th.M. tese, Seminário Teológico de Westminster, 1974.

36 Não estamos falando aqui de céu no sentido tradicional, visto que o céu é um lugar criado (Atos 4:24 Ne 9: 6). Visto que Deus fez tudo fora de Si mesmo (Colossenses 1:16), Sua eterno habitação não pode ser nada mais do que o próprio Deus. Porque, na comunhão trinitária, Ele mesmo é uma & # 8220habitação & # 8221 perfeita & # 8221 Ele não tem necessidade de criar a fim de fazer para Si uma habitação. Na verdade, podemos nos perguntar se as aspas devem ser colocadas em torno nosso “Habitações”, em vez de Seu: Sua habitação é a original.

37 The Defense of the Faith, pp. 154, 159.

38 Para uma extensa discussão sobre motivo, padrão e objetivo, cf. Ética Teísta Cristã.


Subseqüências de Seqüências de Números Reais

Por exemplo, considere a sequência de números naturais $ (n) = (1, 2, 3,.) $. Uma dessas subsequências dos números naturais é a sequência de todos os números naturais pares $ (2n) = (2, 4, 6,.) $ Onde $ n_1 = 2 $, $ n_2 = 4 $, & # 8230, $ n_k = 2k $ Outra subseqüência dos números naturais é a seqüência de todos os números naturais ímpares $ (2n - 1) = (1, 3, 5,.) $ Onde $ n_1 = 1 $, $ n_2 = 3 $, & # 8230 , $ n_k = 2k - 1 $.

Notamos que em ambos os casos acima, a ordem dos termos dessas subsequências são preservados, uma vez que $ n_1 & lt n_2 & lt. & lt n_k & lt. $. Por exemplo, a sequência $ (4, 2, 6, 8,.) $ NÃO é uma subsequência de $ (n) $, pois $ n_1 = 4 $ e $ n_2 = 2 $ e claramente $ n_1 neq & lt n_2 $.

Vamos agora dar uma olhada em alguns teoremas importantes sobre subseqüências.

  • Prova: Seja $ (a_n) $ uma sequência convergente tal que $ lim_ a_n = A $. Queremos mostrar que $ lim_ uma_ = A $.
  • Como $ (a_n) $ é uma sequência convergente, então $ forall epsilon & gt 0 $ existe um $ N in mathbb$ tal que se $ n ≥ N $ então $ mid a_n - A mid & lt epsilon $. Observamos que, uma vez que $ n_1 & lt n_2 & lt. & lt n_k & lt. $ é uma sequência crescente de números naturais, que também $ n_k ≥ k $. Se escolhermos $ k ≥ N $ então temos que $ n_k ≥ k ≥ N $ e então $ mid a_ - A mid & lt epsilon $ e assim $ lim_ uma_ = A $. $ blacksquare $

O Teorema 1 acima é mais fácil de entender visualmente. Considere a seguinte sequência $ (a_n) $ representada no gráfico abaixo:

Observe que qualquer subsequência da sequência representada no gráfico acima também deve convergir para o mesmo limite $ A $. Isso é mostrado com as duas subseqüências a seguir plotadas. A subsequência à esquerda são todos os termos pares da sequência original, enquanto a subsequência à direita são todos os termos ímpares da sequência original:

Com essa noção em mente, também podemos descrever o cauda de uma sequência para ser uma subsequência especial. Notamos que se $ (a_n) $ é convergente para $ A $, então qualquer $ m $ -cabo de $ (a_n) $ é uma subsequência que também é convergente para o número real $ A $.


2.2: Fatos sobre os limites das sequências - Matemática

  • Uma sequência é um objeto de limite de esquema definido pelo usuário que gera uma sequência de valores numéricos.
  • As sequências são frequentemente usadas em muitos bancos de dados porque muitos aplicativos exigem que cada linha de uma tabela contenha um valor exclusivo e as sequências fornecem uma maneira fácil de gerá-las.
  • A sequência de valores numéricos é gerada em umordem crescente ou decrescente em intervalos definidos e pode ser configurado para reiniciar quando exceder max_value.

Agora insira os valores na tabela

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Verdades e mitos sobre cursos não vinculados a cotas

Verdade: você precisa primeiro se qualificar para um CAMPUS antes de ser selecionado para o programa de graduação.

Seu UPG deve primeiro fazer o corte para um campus UP específico para o qual você se inscreveu, antes de ser considerado para um programa de graduação. Se o seu UPG não chegar ao limite do campus, não há motivo para selecioná-lo para o programa. Portanto, ESCOLHA SEU CAMPUS SABIAMENTE primeiro, o curso é secundário.

Conforme discutido anteriormente na qualificação para um programa de graduação, se você chegou a um campus, mas não chegou ao corte do programa, você receberá o resultado de “Programa de Graduação com Vaga Disponível (DPWAS ou DPAS). O campus para o qual você se qualificou encontrará um programa que pode acomodá-lo.


Assista o vídeo: 04. Limite de Sequências. Cálculo II. (Outubro 2021).