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2.E: Funções com valor vetorial (exercícios)


13.1: Funções com valor vetorial e curvas de espaço

Dê as funções de componente ( mathrm {x = f (t)} ) e ( mathrm {y = g (t)} ) para a função de valor vetorial ( mathrm {r (t) = 3 sec t mathbf {i} +2 tan t mathbf {j}} ).

( mathrm {f (t) = 3 sec t, g (t) = 2 tan t} )

Dado ( mathrm {r (t) = 3 sec t mathbf {i} +2 tan t mathbf {j}} ), encontre os seguintes valores (se possível).

  1. ( mathrm {r ( frac { pi} {4})} )
  2. ( mathrm {r ( pi)} )
  3. ( mathrm {r ( frac { pi} {2})} )

Esboce a curva da função de valor vetorial ( mathrm {r (t) = 3 sec t mathbf {i} +2 tan t mathbf {j}} ) e dê a orientação da curva. Esboce assíntotas como um guia para o gráfico.

Avalie ( mathrm { lim limits_ {t to 0} ⟨e ^ t mathbf {i} + frac { sin t} {t} mathbf {j} + e ^ {- t} mathbf {k}⟩} )

Dada a função de valor vetorial ( mathrm {r (t) = ⟨ cos t, sin t⟩} ) encontre os seguintes valores:

  1. ( mathrm { lim limits_ {t to frac { pi} {4}} r (t)} )
  2. ( mathrm {r ( frac { pi} {3})} )
  3. É ( mathrm {r (t)} ) contínuo em ( mathrm {t = frac { pi} {3}} )?
  4. Gráfico ( mathrm {r (t)} ).

uma. ( mathrm {⟨ frac { sqrt {2}} {2}, frac { sqrt {2}} {2}} )⟩, b. ⟨ ( Mathrm { frac {1} {2}, frac { sqrt {3}} {2}} )⟩, c. Sim, o limite como t aproxima-se ( mathrm { frac { pi} {3}} ) é igual a ( mathrm {r ( frac { pi} {3})} ), d.

Dada a função de valor vetorial ( mathrm {r (t) = ⟨t, t ^ 2 + 1⟩} ), encontre os seguintes valores:

  1. ( mathrm { lim limits_ {t to -3} r (t)} )
  2. ( mathrm {r (−3)} )
  3. É ( mathrm {r (t)} ) contínuo em ( mathrm {x = −3} )?
  4. ( mathrm {r (t + 2) −r (t)} )

Seja ( mathrm {r (t) = e ^ t mathbf {i} + sin t mathbf {j} + ln t mathbf {k}} ). Encontre os seguintes valores:

  1. ( mathrm {r ( frac { pi} {4})} )
  2. ( mathrm { lim limits_ {t to frac { pi} {4}} r (t)} )
  3. É ( mathrm {r (t)} ) contínuo em ( mathrm {t = t = frac { pi} {4}} )?

uma. ⟨ ( Mathrm {e ^ { frac { pi} {4}}, frac { sqrt {2}} {2}, ln ( frac { pi} {4})} )⟩ ; b. ⟨ ( Mathrm {e ^ { frac { pi} {4}}, frac { sqrt {2}} {2}, ln ( frac { pi} {4})} )⟩ ; c. sim

Encontre o limite das seguintes funções com valor vetorial no valor indicado de t.

( mathrm { lim limits_ {t to 4} ⟨ sqrt {t − 3}, frac { sqrt {t} −2} {t − 4}, tan ( frac { pi} {t})⟩} )

( mathrm { lim limits_ {t to frac { pi} {2}} r (t)} ) para ( mathrm {r (t) = e ^ t mathbf {i} + sin t mathbf {j} + ln t mathbf {k}} )

( mathrm {⟨e ^ { frac { pi} {2}}, 1, ln ( frac { pi} {2})⟩} )

( mathrm { lim limits_ {t to infty} ⟨e ^ {- 2t}, frac {2t + 3} {3t − 1}, arctan (2t)⟩} )

( mathrm { lim limits_ {t to e ^ 2} ⟨t ln (t), frac { ln t} {t ^ 2}, sqrt { ln (t ^ 2)⟩ }} )

( mathrm {2e ^ 2 mathbf {i} + frac {2} {e ^ 4} mathbf {j} +2 mathbf {k}} )

( mathrm { lim limits_ {t to frac { pi} {6}} ⟨ cos 2t, sin 2t, 1⟩} )

( mathrm { lim limits_ {t to infty} r (t)} ) para ( mathrm {r (t) = 2e ^ {- t} mathbf {i} + e ^ {- t} mathbf {j} + ln (t − 1) mathbf {k}} )

O limite não existe porque o limite de ( mathrm { ln (t − 1)} ) como t aproxima-se do infinito não existe.

Descreva a curva definida pela função de valor vetorial ( mathrm {r (t) = (1 + t) mathbf {i} + (2 + 5t) mathbf {j} + (- 1 + 6t) mathbf {k}} ).

Encontre o domínio das funções com valor vetorial.

Domínio: ( mathrm {r (t) = ⟨t ^ 2, tan t, ln t⟩} )

( mathrm {t> 0, t ≠ (2k + 1) frac { pi} {2}} ), onde k é um inteiro

Domínio: ( mathrm {r (t) = ⟨t ^ 2, sqrt {t − 3}, frac {3} {2t + 1}⟩} )

Domínio: ( mathrm {r (t) = ⟨ csc (t), frac {1} { sqrt {t − 3}}, ln (t − 2)⟩} )

( mathrm {t> 3, t ≠ n pi} ), onde n é um inteiro

Seja ( mathrm {r (t) = ⟨ cos t, t, sin t⟩} ) e use-o para responder às seguintes questões.

Para quais valores de t é ( mathrm {r (t)} ) contínuo?

Esboce o gráfico de ( mathrm {r (t)} ).

Encontre o domínio de ( mathrm {r (t) = 2e ^ {- t} mathbf {i} + e ^ {- t} mathbf {j} + ln (t − 1) mathbf {k} } ).

Para quais valores de t é ( mathrm {r (t) = 2e_S ^ {- t} mathbf {i} + e ^ {- t} mathbf {j} + ln (t − 1) mathbf {k}} ) contínuo?

Tudo t de modo que ( mathrm {t∈ (1, infty)} )

Elimine o parâmetro t, escreva a equação em coordenadas cartesianas e, a seguir, esboce os gráficos das funções com valor vetorial. (Dica: Vamos ( mathrm {x = 2t} ) e ( mathrm {y = t ^ 2} ) Resolver a primeira equação para x em termos de t e substitua este resultado na segunda equação.)

( mathrm {r (t) = 2t mathbf {i} + t ^ 2 mathbf {j}} )

( mathrm {r (t) = t ^ 3 mathbf {i} + 2t mathbf {j}} )

( mathrm {y = 2 sqrt [3] {x}} ), uma variação da função de raiz cúbica

( mathrm {r (t) = 2 ( sinh t) mathbf {i} +2 ( cosh t) mathbf {j}, t> 0} )

( mathrm {r (t) = 3 (custo) i + 3 (sint) j} )

( mathrm {x ^ 2 + y ^ 2 = 9} ), um círculo centrado em ( mathrm {(0,0)} ) com raio 3 e uma orientação anti-horária

( mathrm {r (t) = ⟨3 sin t, 3 cos t⟩} )

Use um utilitário gráfico para esboçar cada uma das seguintes funções com valor vetorial:

[T] ( mathrm {r (t) = 2 cos t ^ 2 mathbf {i} + (2− sqrt {t}) mathbf {j}} )

[T] ( mathrm {r (t) = ⟨e ^ { cos (3t)}, e ^ {- sin (t)}⟩} )

[T] ( mathrm {r (t) = ⟨2− sin (2t), 3 + 2 cos t⟩} )

Encontre uma função com valor vetorial que trace a curva fornecida na direção indicada.

( mathrm {4x ^ 2 + 9y ^ 2 = 36} ); sentido horário e anti-horário

( mathrm {r (t) = ⟨t, t ^ 2⟩} ); da esquerda para a direita

Da esquerda para a direita, ( mathrm {y = x ^ 2} ), onde t aumenta

A linha através P e Q Onde P é ( mathrm {(1,4, −2)} ) e Q é ( mathrm {(3,9,6)} )

Considere a curva descrita pela função de valor vetorial ( mathrm {r (t) = (50e ^ {- t} cos t) mathbf {i} + (50e ^ {- t} sin t) mathbf {j} + (5−5e ^ {- t}) mathbf {k}} ).

Qual é o ponto inicial do caminho correspondente a ( mathrm {r (0)} )?

( mathrm {(50,0,0)} )

O que é ( mathrm { lim limits_ {t to infty} r (t)} )?

[T] Use a tecnologia para esboçar a curva.

Elimine o parâmetro t para mostrar que ( mathrm {z = 5− frac {r} {10}} ) onde ( mathrm {r = x ^ 2 + y ^ 2} ).

[T] Seja ( mathrm {r (t) = cos t mathbf {i} + sin t mathbf {j} +0,3 sin (2t) mathbf {k}} ). Use a tecnologia para representar graficamente a curva (chamada de curva da montanha-russa) no intervalo ( mathrm {[0,2 pi)} ). Escolha pelo menos duas vistas para determinar os picos e vales.

[T] Use o resultado do problema anterior para construir uma equação de uma montanha-russa com uma queda acentuada do pico e uma inclinação acentuada do "vale". Em seguida, use a tecnologia para representar graficamente a equação.

Use os resultados dos dois problemas anteriores para construir uma equação de um caminho de uma montanha-russa com mais de dois pontos de inflexão (picos e vales).

Uma possibilidade é ( mathrm {r (t) = cos t mathbf {i} + sin t mathbf {j} + sin (4t) mathbf {k}} ). Aumentando o coeficiente de t no terceiro componente, o número de pontos de inflexão aumentará.

  1. Represente graficamente a curva ( mathrm {r (t) = (4 + cos (18t)) cos (t) mathbf {i} + (4+ cos (18t) sin (t)) mathbf {j} +0,3 sin (18t) mathbf {k}} ) usando dois ângulos de visão de sua escolha para ver a forma geral da curva.
  2. A curva se parece com um “slinky”?
  3. Que mudanças na equação devem ser feitas para aumentar o número de bobinas do slinky?

13.2: Cálculo de funções com valor vetorial

Calcule as derivadas das funções com valor vetorial.

( mathrm {r (t) = t ^ 3 mathbf {i} + 3t ^ 2 mathbf {j} + frac {t ^ 3} {6} mathbf {k}} )

( mathrm {⟨3t ^ 2,6t, frac {1} {2} t ^ 2⟩} )

( mathrm {r (t) = sin (t) mathbf {i} + cos (t) mathbf {j} + e ^ t mathbf {k}} )

( mathrm {r (t) = e ^ {- t} mathbf {i} + sin (3t) mathbf {j} +10 sqrt {t} mathbf {k}} ). Um esboço do gráfico é mostrado aqui. Observe a natureza periódica variável do gráfico.

( mathrm {⟨− e ^ {- t}, 3 cos (3t), 5t⟩} )

( mathrm {r (t) = e ^ t mathbf {i} + 2e ^ t mathbf {j} + mathbf {k}} )

( mathrm {r (t) = mathbf {i} + mathbf {j} + mathbf {k}} )

( mathrm {⟨0,0,0⟩} )

( mathrm {r (t) = te ^ t mathbf {i} + t ln (t) mathbf {j} + sin (3t) mathbf {k}} )

( mathrm {r (t) = frac {1} {t + 1} mathbf {i} + arctan (t) mathbf {j} + ln t ^ 3 mathbf {k}} )

( mathrm {⟨ frac {−1} {(t + 1) ^ 2}, frac {1} {1 + t ^ 2}, frac {3} {t}⟩} )

( mathrm {r (t) = tan (2t) mathbf {i} + sec (2t) mathbf {j} + sin ^ 2 (t) mathbf {k}} )

( mathrm {r (t) = 3 mathbf {i} +4 sin (3t) mathbf {j} + t cos (t) mathbf {k}} )

( mathrm {⟨0,12 cos (3t), cos t − t sin t⟩} )

( mathrm {r (t) = t ^ 2 mathbf {i} + te ^ {- 2t} mathbf {j} −5e ^ {- 4t} mathbf {k}} )

Para os problemas a seguir, encontre um vetor tangente no valor indicado de t.

( mathrm {r (t) = t mathbf {i} + sin (2t) mathbf {j} + cos (3t) mathbf {k}} ); ( mathrm {t = frac {π} {3}} )

( mathrm { frac {1} { sqrt {2}} ⟨1, −1,0⟩} )

( mathrm {r (t) = 3t ^ 3 mathbf {i} + 2t ^ 2 mathbf {j} + frac {1} {t} mathbf {k}; t = 1} )

( mathrm {r (t) = 3e ^ t mathbf {i} + 2e ^ {- 3t} mathbf {j} + 4e ^ {2t} mathbf {k}; t = ln (2)} )

( mathrm { frac {1} { sqrt {1060.5625}} ⟨6, −34,32⟩} )

( mathrm {r (t) = cos (2t) mathbf {i} +2 sin t mathbf {j} + t ^ 2 mathbf {k}; t = frac {π} {2} } )

Encontre o vetor tangente unitário para as seguintes curvas parametrizadas.

( mathrm {r (t) = 6 mathbf {i} + cos (3t) mathbf {j} +3 sin (4t) mathbf {k}, 0≤t <2π} )

( mathrm { frac {1} { sqrt {9sin ^ 2 (3t) +144 cos ^ 2 (4t)}} ⟨0, −3 sin (3t), 12 cos (4t)⟩} )

( mathrm {r (t) = cos t mathbf {i} + sin t mathbf {j} + sin t mathbf {k}, 0≤t <2π} ). Duas vistas desta curva são apresentadas aqui:

( mathrm {r (t) = 3 cos (4t) mathbf {i} +3 sin (4t) mathbf {j} + 5t mathbf {k}, 1≤t≤2} )

( mathrm {T (t) = - frac {12} {13} sin (4t) mathbf {i} + frac {12} {13} cos (4t) mathbf {j} + frac {5} {13} mathbf {k}} )

( mathrm {r (t) = t mathbf {i} + 3t mathbf {j} + t ^ 2 mathbf {k}} )

Seja ( mathrm {r (t) = t mathbf {i} + t ^ 2 mathbf {j} −t ^ 4 mathbf {k}} ) e ( mathrm {s (t) = sin (t) mathbf {i} + e ^ t mathbf {j} + cos (t) mathbf {k}} ) Aqui está o gráfico da função:

Encontre o seguinte.

( mathrm { frac {d} {dt} [r (t ^ 2)]} )

( mathrm {⟨2t, 4t ^ 3, −8t ^ 7⟩} )

( mathrm { frac {d} {dt} [t ^ 2⋅s (t)]} )

( mathrm { frac {d} {dt} [r (t) ⋅s (t)]} )

( mathrm { sin (t) + 2te ^ t − 4t ^ 3 cos (t) + tcos (t) + t ^ 2e ^ t + t ^ 4sin (t)} )

Calcule a primeira, a segunda e a terceira derivadas de ( mathrm {r (t) = 3t mathbf {i} +6 ln (t) mathbf {j} + 5e ^ {- 3t} mathbf {k} } ).

Encontre ( mathrm {r '(t) ⋅r' '(t) ; para ; r (t) = - 3t ^ 5 mathbf {i} + 5t mathbf {j} + 2t ^ 2 mathbf {k}.} )

( mathrm {900t ^ 7 + 16t} )

A função de aceleração, velocidade inicial e posição inicial de uma partícula são

( mathrm {a (t) = - 5 cos t mathbf {i} −5 sin t mathbf {j}, v (0) = 9 mathbf {i} +2 mathbf {j}, e ; r (0) = 5 mathbf {i}.} ) Encontre ( mathrm {v (t) ; e ; r (t)} ).

O vetor posição de uma partícula é ( mathrm {r (t) = 5 sec (2t) mathrm {i} −4tan (t) mathrm {j} + 7t ^ 2 mathrm {k}} ) .

  1. Represente graficamente a função de posição e exiba uma visualização do gráfico que ilustra o comportamento assintótico da função.
  2. Encontre a velocidade como t aproxima-se, mas não é igual a ( mathrm { frac {π} {4}} ) (se existir).
  1. Indefinido ou infinito

Encontre a velocidade e a velocidade de uma partícula com a função posição ( mathrm {r (t) = ( frac {2t − 1} {2t + 1}) mathbf {i} + ln (1−4t ^ 2) mathbf {j}} ). A velocidade de uma partícula é a magnitude da velocidade e é representada por ( mathrm {‖r ′ (t) ‖} ).

Uma partícula se move em um caminho circular de raio b de acordo com a função ( mathrm {r (t) = b cos ( omega t) mathbf {i} + b sin ( omega) mathbf {j},} ) onde ( mathrm { omega} ) é a velocidade angular, ( mathrm { frac {d theta} {dt}} ).

Encontre a função de velocidade e mostre que ( mathrm {v (t)} ) é sempre ortogonal a ( mathrm {r (t)} ).

( mathrm {r '(t) = - b omega sin ( omega t) mathbf {i} + b omega cos ( omega t) mathbf {j}} ). Para mostrar a ortogonalidade, observe que ( mathrm {r '(t) ⋅r (t) = 0} ).

Mostre que a velocidade da partícula é proporcional à velocidade angular.

Avalie ( mathrm { frac {d} {dt} [u (t) vezes u ′ (t)]} ) dado ( mathrm {u (t) = t ^ 2 mathbf {i} - 2t mathbf {j} + mathbf {k}} ).

( mathrm {0 mathbf {i} +2 mathbf {j} + 4t mathbf {j}} )

Encontre a antiderivada de ( mathrm {r '(t) = cos (2t) mathbf {i} −2 sin t mathbf {j} + frac {1} {1 + t ^ 2} mathbf {k}} ) que satisfaz a condição inicial ( mathrm {r (0) = 3 mathbf {i} −2 mathbf {j} + mathbf {k}} ).

Avalie ( mathrm { int_0 ^ 3 ”ti + t ^ 2j ”dt} ).

( mathrm { frac {1} {3} (10 ^ { frac {3} {2}} - 1)} )

Um objeto começa do repouso no ponto ( mathrm {P (1,2,0)} ) e se move com uma aceleração de ( mathrm {a (t) = mathbf {j} +2 mathbf {k },} ) onde ( mathrm {‖a (t) ‖} ) é medido em pés por segundo por segundo. Encontre a localização do objeto após ( mathrm {t = 2} ) seg.

Mostre que se a velocidade de uma partícula viajando ao longo de uma curva representada por uma função de valor vetorial é constante, então a função de velocidade é sempre perpendicular à função de aceleração.

( begin {align} mathrm {‖v (t) ‖ ;} & mathrm {= k} mathrm {v (t) · v (t) ;} & mathrm {= k} mathrm {ddt (v (t) · v (t)) ;} & mathrm {= frac {d} {dt} k = 0} mathrm {v (t) · v ′ ( t) + v ′ (t) · v (t) ;} & mathrm {= 0} mathrm {2v (t) · v ′ (t) ;} & mathrm {= 0} mathrm {v (t) · v ′ (t) ;} & mathrm {= 0} end {alinhar} )

A última afirmação implica que a velocidade e a aceleração são perpendiculares ou ortogonais.

Dado ( mathrm {r (t) = t mathbf {i} + 3t mathbf {j} + t ^ 2 mathbf {k}} ) e ( mathrm {u (t) = 4t mathbf {i} + t ^ 2 mathbf {j} + t ^ 3 mathbf {k}} ), encontre ( mathrm { frac {d} {dt} (r (t) vezes u (t) )} ).

Dado ( mathrm {r (t) = ⟨t + cos t, t− sin t⟩} ), encontre a velocidade e a velocidade a qualquer momento.

( mathrm {v (t) = ⟨1− sin t, 1− cos t⟩, velocidade = −v (t) ‖ = sqrt {4−2 ( sin t + cos t)}} )

Encontre o vetor velocidade para a função ( mathrm {r (t) = ⟨e ^ t, e ^ {- t}, 0⟩} ).

Encontre a equação da reta tangente à curva ( mathrm {r (t) = ⟨e ^ t, e ^ {- t}, 0⟩} ) em ( mathrm {t = 0} ).

( mathrm {x − 1 = t, y − 1 = −t, z − 0 = 0} )

Descreva e esboce a curva representada pela função de valor vetorial ( mathrm {r (t) = ⟨6t, 6t − t ^ 2⟩} ).

Localize o ponto mais alto da curva ( mathrm {r (t) = ⟨6t, 6t − t ^ 2⟩} ) e forneça o valor da função neste ponto.

( mathrm {r (t) = ⟨18,9⟩} ) em ( mathrm {t = 3} )

O vetor de posição de uma partícula é ( mathrm {r (t) = t mathbf {i} + t ^ 2 mathbf {j} + t ^ 3 mathbf {k}} ). O gráfico é mostrado aqui :

Encontre o vetor de velocidade a qualquer momento.

Encontre a velocidade da partícula no tempo ( mathrm {t = 2} ) sec.

( mathrm { sqrt {593}} )

Encontre a aceleração no tempo ( mathrm {t = 2} ) sec.

Uma partícula viaja ao longo do caminho de uma hélice com a equação ( mathrm {r (t) = cos (t) mathbf {i} + sin (t) mathbf {j} + t mathbf {k} } ). Veja o gráfico apresentado aqui:

Encontre o seguinte:

Velocidade da partícula a qualquer momento

( mathrm {v (t) = ⟨− sin t, cos t, 1⟩} )

Velocidade da partícula a qualquer momento

Aceleração da partícula a qualquer momento

( mathrm {a (t) = - cos t mathbf {i} - sin t mathbf {j} +0 mathbf {j}} )

Encontre o vetor tangente unitário para a hélice.

Uma partícula viaja ao longo do caminho de uma elipse com a equação ( mathrm {r (t) = cos t mathbf {i} +2 sin t mathbf {j} +0 mathbf {k}} ) . Encontre o seguinte:

Velocidade da partícula

( mathrm {v (t) = ⟨− sin t, 2 cos t, 0⟩} )

Velocidade da partícula em ( mathrm {t = frac {π} {4}} )

Aceleração da partícula em ( mathrm {t = frac {π} {4}} )

( mathrm {a (t) = ⟨− frac { sqrt {2}} {2}, - sqrt {2}, 0⟩} )

Dada a função de valor vetorial ( mathrm {r (t) = ⟨ tan t, sec t, 0⟩} ) (o gráfico é mostrado aqui), encontre o seguinte:

Velocidade

Velocidade

( mathrm {‖v (t) ‖ = sqrt { sec ^ 4 t + sec ^ 2 t tan ^ 2 t} = sqrt { sec ^ 2 t ( sec ^ 2 t + tan ^ 2 t)}} )

Aceleração

Encontre a velocidade mínima de uma partícula viajando ao longo da curva ( mathrm {r (t) = ⟨t + cos t, t− sin t⟩} ) mathrm {t∈ [0,2π)} ).

2

Dado ( mathrm {r (t) = t mathbf {i} +2 sin t mathbf {j} +2 cos t mathbf {k}} ) e ( mathrm {u (t) = frac {1} {t} mathbf {i} +2 sin t mathbf {j} +2 cos t mathbf {k}} ), encontre o seguinte:

( mathrm {r (t) vezes u (t)} )

( mathrm { frac {d} {dt} (r (t) vezes u (t))} )

( mathrm {⟨0,2 sin t (t− frac {1} {t}) - 2 cos t (1+ frac {1} {t ^ 2}), 2 sin t (1 + frac {1} {t ^ 2}) + 2 cos t (t− frac {2} {t})⟩} )

Agora, use a regra do produto para a derivada do produto vetorial de dois vetores e mostre que esse resultado é o mesmo que a resposta do problema anterior.

Encontre o vetor tangente unitário T(t) para as seguintes funções com valor vetorial.

( mathrm {r (t) = ⟨t, frac {1} {t}⟩} ). O gráfico é mostrado aqui:

( mathrm {T (t) = ⟨ frac {t ^ 2} { sqrt {t ^ 4 + 1}}, frac {-1} { sqrt {t ^ 4 + 1}⟩}} )

( mathrm {r (t) = ⟨t cos t, t sin t⟩} )

( mathrm {r (t) = ⟨t + 1,2t + 1,2t + 2⟩} )

( mathrm {T (t) = frac {1} {3} ⟨1,2,2⟩} )

Avalie os seguintes integrais:

( mathrm { int (e ^ t mathbf {i} + sin t mathbf {j} + frac {1} {2t − 1} mathbf {k}) dt} )

( mathrm { int_0 ^ 1 r (t) dt} ), onde ( mathrm {r (t) = ⟨ sqrt [3] {t}, frac {1} {t + 1}, e ^ {- t}⟩} )

( mathrm { frac {3} {4} mathbf {i} + ln (2) mathbf {j} + (1− frac {1} {e}) mathbf {j}} )

13.3: Comprimento do Arco e Curvatura

Exercícios

Encontre o comprimento do arco da curva no intervalo determinado.

( mathrm {r (t) = t ^ 2 mathbf {i} + 14t mathbf {j}, 0≤t≤7} ). Esta parte do gráfico é mostrada aqui:

( mathrm {r (t) = t ^ 2 mathbf {i} + (2t ^ 2 + 1) mathbf {j}, 1≤t≤3} )

( mathrm {8 sqrt {5}} )

( mathrm {r (t) = ⟨2 sin t, 5t, 2 cos t⟩, 0≤t≤π} ). Esta parte do gráfico é mostrada aqui:

( mathrm {r (t) = ⟨t ^ 2 + 1,4t ^ 3 + 3⟩, −1≤t≤0} )

( mathrm { frac {1} {54} (37 ^ {3/2} −1)} )

( mathrm {r (t) = ⟨e ^ {- t cos t}, e ^ {- t sin t}⟩} ) no intervalo ( mathrm {[0, frac {π} {2}]} ). Aqui está a parte do gráfico no intervalo indicado:

Encontre o comprimento de uma volta da hélice dada por ( mathrm {r (t) = frac {1} {2} cos t mathbf {i} + frac {1} {2} sin t mathbf {j} + sqrt { frac {3} {4}} t mathbf {k}.} )

Comprimento ( mathrm {= 2π} )

Encontre o comprimento do arco da função com valor vetorial ( mathrm {r (t) = - t mathbf {i} + 4t mathbf {j} + 3t mathbf {k}} ) sobre ( mathrm { [0,1]} ).

Uma partícula viaja em um círculo com a equação do movimento ( mathrm {r (t) = 3 cos t mathbf {i} +3 sin t mathbf {j} +0 mathbf {k}} ) . Encontre a distância percorrida ao redor do círculo pela partícula.

( mathrm {6π} )

Configure uma integral para encontrar a circunferência da elipse com a equação ( mathrm {r (t) = cos t mathbf {i} +2 sin t mathbf {j} +0 mathbf {k}. } )

Encontre o comprimento da curva ( mathrm {r (t) = ⟨ sqrt {2} t, e ^ t, e ^ {- t}⟩} ) no intervalo ( mathrm {0≤t≤ 1} ). O gráfico é mostrado aqui:

( mathrm {e− frac {1} {e}} )

Encontre o comprimento da curva ( mathrm {r (t) = ⟨2 sin t, 5t, 2 cos t⟩} ) para ( mathrm {t∈ [−10,10]} ).

A função de posição para uma partícula é ( mathrm {r (t) = a cos (ωt) mathbf {i} + b sin (ωt) mathbf {j}} ). Encontre o vetor tangente unitário e o vetor normal unitário em ( mathrm {t = 0.} )

( mathrm {T (0) = mathbf {j}, N (0) = - mathbf {i}} )

Dado ( mathrm {r (t) = a cos (ωt) mathbf {i} + b sin (ωt) mathbf {j}} ), encontre o vetor binormal ( mathrm {B (0 )} ).

Dado ( mathrm {r (t) = ⟨2e ^ t, e ^ t cos t, e ^ t sin t⟩} ), determine o vetor tangente ( mathrm {T (t)} ) .

( mathrm {T (t) = ⟨2e ^ t, e ^ t cos t − e ^ t sin t, e ^ t cos t + e ^ t sin t⟩} )

Dado ( mathrm {r (t) = ⟨2e ^ t, e ^ t cos t, e ^ t sin t⟩} ), determine o vetor tangente unitário ( mathrm {T (t)} ) avaliado em ( mathrm {t = 0} ).

Dado ( mathrm {r (t) = ⟨2e ^ t, e ^ t cos t, e ^ t sin t⟩} ), encontre o vetor normal unitário ( mathrm {N (t)} ) avaliado em ( mathrm {t = 0} ), ( mathrm {N (0)} ).

( mathrm {N (0) = ⟨ frac { sqrt {2}} {2}, 0, frac { sqrt {2}} {2}⟩} )

Dado ( mathrm {r (t) = ⟨2e ^ t, e ^ t cos t, e ^ t sin t⟩} ), encontre o vetor normal unitário avaliado em ( mathrm {t = 0} ).

Dado ( mathrm {r (t) = t mathbf {i} + t ^ 2 mathbf {j} + t mathbf {k}} ), encontre o vetor tangente unitário ( mathrm {T (t )} ). O gráfico é mostrado aqui:

( mathrm {T (t) = frac {1} { sqrt {4t ^ 2 + 2}} <1,2t, 1>} )

Encontre o vetor tangente unitário ( mathrm {T (t)} ) e o vetor normal unitário ( mathrm {N (t)} ) em ( mathrm {t = 0} ) para a curva plana ( mathrm {r (t) = ⟨t ^ 3−4t, 5t ^ 2−2⟩} ). O gráfico é mostrado aqui:

Encontre o vetor tangente unitário ( mathrm {T (t)} ) para ( mathrm {r (t) = 3t mathbf {i} + 5t ^ 2 mathbf {j} + 2t mathbf {k} } )

( mathrm {T (t) = frac {1} { sqrt {100t ^ 2 + 13}} (3 mathbf {i} + 10t mathbf {j} +2 mathbf {k})} )

Encontre o vetor normal principal para a curva ( mathrm {r (t) = ⟨6 cos t, 6 sin t⟩} ) no ponto determinado por ( mathrm {t = π / 3} ) .

Encontre ( mathrm {T (t)} ) para a curva ( mathrm {r (t) = (t ^ 3−4t) mathbf {i} + (5t ^ 2−2) mathbf {j }} ).

( mathrm {T (t) = frac {1} { sqrt {9t ^ 4 + 76t ^ 2 + 16}} ([3t ^ 2−4] mathbf {i} + 10t mathbf {j} )} )

Encontre ( mathrm {N (t)} ) para a curva ( mathrm {r (t) = (t ^ 3−4t) mathbf {i} + (5t ^ 2−2) mathbf {j }} ).

Encontre o vetor normal unitário ( mathrm {N (t)} ) para ( mathrm {r (t) = ⟨2sint, 5t, 2cost⟩} ).

( mathrm {N (t) = ⟨− sint, 0, −custo⟩} )

Encontre o vetor tangente unitário ( mathrm {T (t)} ) para ( mathrm {r (t) = ⟨2 sin t, 5t, 2 cos t⟩} ).

Encontre a função de comprimento de arco ( mathrm {s (t)} ) para o segmento de linha dado por ( mathrm {r (t) = ⟨3−3t, 4t⟩} ). Escreva r como um parâmetro de s.

Função de comprimento de arco: ( mathrm {s (t) = 5t} ); r como um parâmetro de s: ( mathrm {r (s) = (3− frac {3s} {5}) mathbf {i} + frac {4s} {5} mathbf {j}} )

Parametrize a hélice ( mathrm {r (t) = cos t mathbf {i} + sin t mathbf {j} + t mathbf {k}} ) usando o parâmetro de comprimento de arco s, de ( mathrm {t = 0} ).

Parametrize a curva usando o parâmetro de comprimento de arco s, no ponto em que ( mathrm {t = 0} ) para ( mathrm {r (t) = e ^ t sin t mathbf {i} + e ^ t cos t mathbf {j }} )

( mathrm {(s) = (1+ frac {s} { sqrt {2}}) sin ( ln (1+ frac {s} { sqrt {2}})) mathbf { i} + (1+ frac {s} { sqrt {2}}) cos [ ln (1+ frac {s} { sqrt {2}})] mathbf {j}} )

Encontre a curvatura da curva ( mathrm {r (t) = 5 cos t mathbf {i} +4 sin t mathbf {j}} ) em ( mathrm {t = π / 3} ). (Observação: O gráfico é uma elipse.)

Encontre o x-coordenada em que a curvatura da curva ( mathrm {y = 1 / x} ) é um valor máximo.

O valor máximo da curvatura ocorre em ( mathrm {x = sqrt [4] {5}} ).

Encontre a curvatura da curva ( mathrm {r (t) = 5 cos t mathbf {i} +5 sin t mathbf {j}} ). A curvatura depende do parâmetro t?

Encontre a curvatura (κ ) para a curva ( mathrm {y = x− frac {1} {4} x ^ 2} ) no ponto ( mathrm {x = 2} ).

( mathrm { frac {1} {2}} )

Encontre a curvatura (κ ) para a curva ( mathrm {y = frac {1} {3} x ^ 3} ) no ponto ( mathrm {x = 1} ).

Encontre a curvatura κκ da curva ( mathrm {r (t) = t mathbf {i} + 6t ^ 2 mathbf {j} + 4t mathbf {k}} ). O gráfico é mostrado aqui:

( mathrm {κ≈ frac {49.477} {(17 + 144t ^ 2) ^ {3/2}}} )

Encontre a curvatura de ( mathrm {r (t) = ⟨2 sin t, 5t, 2 cos t⟩} ).

Encontre a curvatura de ( mathrm {r (t) = sqrt {2} t mathbf {i} + e ^ t mathbf {j} + e ^ {- t} mathbf {k}} ) em ponto ( mathrm {P (0,1,1)} ).

( mathrm { frac {1} {2 sqrt {2}}} )

Em que ponto a curva ( mathrm {y = e ^ x} ) tem curvatura máxima?

O que acontece com a curvatura como ( mathrm {x → ∞} ) para a curva ( mathrm {y = e ^ x} )?

A curvatura se aproxima de zero.

Encontre o ponto de curvatura máxima na curva ( mathrm {y = ln x} ).

Encontre as equações do plano normal e do plano osculante da curva ( mathrm {r (t) = ⟨2 sin (3t), t, 2 cos (3t)⟩} ) no ponto ( mathrm {(0, π, −2)} ).

( mathrm {y = 6x + π} ) e ( mathrm {x + 6 = 6π} )

Encontre as equações dos círculos osculantes da elipse ( mathrm {4y ^ 2 + 9x ^ 2 = 36} ) nos pontos ( mathrm {(2,0)} ) e ( mathrm {(0 , 3)} ).

Encontre a equação para o plano osculante no ponto ( mathrm {t = π / 4} ) na curva ( mathrm {r (t) = cos (2t) mathbf {i} + sin (2t ) mathbf {j} + t} ).

( mathrm {x + 2z = frac {π} {2}} )

Encontre o raio de curvatura de ( mathrm {6y = x ^ 3} ) no ponto ( mathrm {(2, frac {4} {3}).} )

Encontre a curvatura em cada ponto ( mathrm {(x, y)} ) na hipérbole ( mathrm {r (t) = ⟨a cosh (t), b sinh (t)⟩} ) .

( mathrm { frac {a ^ 4b ^ 4} {(b ^ 4x ^ 2 + a ^ 4y ^ 2) ^ {3/2}}} )

Calcule a curvatura da hélice circular ( mathrm {r (t) = r sin (t) mathbf {i} + r cos (t) mathbf {j} + t mathbf {k}} ) .

Encontre o raio de curvatura de ( mathrm {y = ln (x + 1)} ) no ponto ( mathrm {(2, ln 3)} ).

( mathrm { frac {10 sqrt {10}} {3}} )

Encontre o raio de curvatura da hipérbole ( mathrm {xy = 1} ) no ponto ( mathrm {(1,1)} ).

Uma partícula se move ao longo da curva plana C descrita por ( mathrm {r (t) = t mathbf {i} + t ^ 2 mathbf {j}} ). Resolva os seguintes problemas.

Encontre o comprimento da curva no intervalo ( mathrm {[0,2]} ).

( mathrm { frac {38} {3}} )

Encontre a curvatura da curva plana em ( mathrm {t = 0,1,2} ).

Descreva a curvatura como t aumenta de ( mathrm {t = 0} ) para ( mathrm {t = 2} ).

A curvatura está diminuindo nesse intervalo.

A superfície de uma xícara grande é formada girando o gráfico da função ( mathrm {y = 0,25x ^ {1,6}} ) de ( mathrm {x = 0} ) para ( mathrm {x = 5} ) sobre o y-eixo (medido em centímetros).

[T] Use a tecnologia para representar graficamente a superfície.

Encontre a curvatura (κ ) da curva de geração em função de x.

( mathrm {κ = frac {6} {x ^ {2/5} (25 + 4x ^ {6/5})}} )

[T] Use a tecnologia para representar graficamente a função de curvatura.

13.4: Movimento no Espaço

aN = a⋅N = ‖v × a‖‖v‖ = ‖a‖2 − aT −−−−−−−−−−− −aN = a · N = ‖v × a‖‖v‖ = ‖a‖2 −aT2

Dado r (t) = (3t2−2) i + (2t − sin (t)) j, r (t) = (3t2−2) i + (2t − sin (t)) j, encontre a velocidade do movimento de uma partícula ao longo desta curva.

v (t) = (6t) i + (2 − cos (t)) jv (t) = (6t) i + (2 − cos (t)) j

Dado r (t) = (3t2−2) i + (2t − sin (t)) j, r (t) = (3t2−2) i + (2t − sin (t)) j, encontre o vetor de aceleração de uma partícula movendo-se ao longo da curva no exercício anterior.

Dadas as seguintes funções de posição, encontre a velocidade, aceleração e velocidade em termos do parâmetro t.

r (t) = ⟨3custo, 3sint, t2⟩r (t) = ⟨3custo, 3sint, t2⟩

v (t) = ⟨− 3sint, 3custo, 2t⟩, v (t) = ⟨− 3sint, 3custo, 2t⟩, a (t) = ⟨− 3custo, −3sint, 2⟩, a (t) = ⟨− 3custo, −3sint, 2⟩, velocidade = 9 + 4t2 −−−−−−− √velocidade = 9 + 4t2

r (t) = e − ti + t2j + tantkr (t) = e − ti + t2j + tantk

r (t) = 2custoj + 3sintk.r (t) = 2custoj + 3sintk. O gráfico é mostrado aqui:

v (t) = - 2sintj + 3custo, v (t) = - 2sintj + 3custo, a (t) = - 2custoj − 3sintk, a (t) = - 2custoj − 3sintk, velocidade = 4sin2 (t) + 9cos2 (t ) −−−−−−−−−−−−−−−−− √speed = 4sin2 (t) + 9cos2 (t)

Encontre a velocidade, aceleração e velocidade de uma partícula com a função de posição fornecida.

r (t) = ⟨t2−1, t⟩r (t) = ⟨t2−1, t⟩

r (t) = ⟨et, e − t⟩r (t) = ⟨et, e − t⟩

v (t) = eti − e − tj, v (t) = eti − e − tj, a (t) = eti + e − tj, a (t) = eti + e − tj, ∥v (t) ∥ e2t + e − 2t −−−−−−−− √‖v (t) ‖e2t + e − 2t

r (t) = ⟨sint, t, cost⟩.r (t) = ⟨sint, t, cost⟩. O gráfico é mostrado aqui:

A função posição de um objeto é dada por r (t) = ⟨t2,5t, t2−16t⟩.r (t) = ⟨t2,5t, t2−16t⟩. A que horas a velocidade é mínima?

t = 4t = 4

Seja r (t) = rcosh (ωt) i + rsinh (ωt) j.r (t) = rcosh (ωt) i + rsinh (ωt) j. Encontre os vetores de velocidade e aceleração e mostre que a aceleração é proporcional a r (t) .r (t).

Considere o movimento de um ponto na circunferência de um círculo rolante. Conforme o círculo rola, ele gera o ciclóide r (t) = (ωt − sin (ωt)) i + (1 − cos (ωt)) j, r (t) = (ωt − sin (ωt)) i + (1− cos (ωt)) j, onde ωω é a velocidade angular do círculo eb é o raio do círculo:

Encontre as equações para a velocidade, aceleração e velocidade da partícula a qualquer momento.

v (t) = (ω − ωcos (ωt)) i + (ωsin (ωt)) j, v (t) = (ω − ωcos (ωt)) i + (ωsin (ωt)) j,

a (t) = (ω2sin (ωt)) i + (ω2cos (ωt)) j, a (t) = (ω2sin (ωt)) i + (ω2cos (ωt)) j,

velocidade = ω2−2ω2cos (ωt) + ω2cos2 (ωt) + ω2sin2 (ωt) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −√ = 2ω2 (1 − cos (ωt)) −−−−−−−−−−−−−− √velocidade = ω2−2ω2cos (ωt) + ω2cos2 (ωt) + ω2sin2 (ωt) = 2ω2 (1 − cos (ωt))

Uma pessoa em uma asa-delta está espiralando para cima como resultado do ar que sobe rapidamente em um caminho tendo o vetor de posição r (t) = (3custo) i + (3sint) j + t2k.r (t) = (3custo) i + (3sint ) j + t2k. O caminho é semelhante ao de uma hélice, embora não seja uma hélice. O gráfico é mostrado aqui:

Encontre as seguintes quantidades:

Os vetores de velocidade e aceleração

A velocidade do planador a qualquer momento

∥v (t) ∥ = 9 + 4t2 −−−−−− √‖v (t) ‖ = 9 + 4t2

Os tempos, se houver, em que a aceleração do planador é ortogonal à sua velocidade

Dado que r (t) = ⟨e − 5tsint, e − 5tcost, 4e − 5t⟩r (t) = ⟨e − 5tsint, e − 5tcost, 4e − 5t⟩ é o vetor posição de uma partícula em movimento, encontre o seguinte quantidades:

A velocidade da partícula

v (t) = ⟨e − 5t (custo − 5sint), - e − 5t (sint + 5cost), - 20e − 5t⟩v (t) = ⟨e − 5t (custo − 5sint), - e − 5t ( sint + 5cost), - 20e − 5t⟩

A velocidade da partícula

A aceleração da partícula

a (t) = ⟨e − 5t (−sint − 5custo) −5e − 5t (custo − 5sint), a (t) = ⟨e − 5t (−sint − 5custo) −5e − 5t (custo-5sint), −e − 5t (custo − 5sint) + 5e − 5t (sint + 5custo), 100e − 5t⟩ − e − 5t (custo − 5sint) + 5e − 5t (sint + 5custo), 100e − 5t⟩

Encontre a velocidade máxima de um ponto na circunferência de um pneu de automóvel com raio de 1 pé quando o automóvel estiver viajando a 55 mph.

Um projétil é lançado para o ar do nível do solo com uma velocidade inicial de 500 m / s em um ângulo de 60 ° com a horizontal. O gráfico é mostrado aqui:

A que horas o projétil atinge a altura máxima?

44,185 s

Qual é a altura máxima aproximada do projétil?

A que horas é atingido o alcance máximo do projétil?

t = 88,37t = 88,37 s

Qual é o alcance máximo?

Qual é o tempo total de vôo do projétil?

88,37 s

Um projétil é disparado a uma altura de 1,5 m acima do solo com uma velocidade inicial de 100 m / seg e um ângulo de 30 ° acima da horizontal. Use essas informações para responder às seguintes perguntas:

Determine a altura máxima do projétil.

Determine o alcance do projétil.

O alcance é de aproximadamente 886,29 m.

Uma bola de golfe é atingida na direção horizontal da borda superior de um edifício de 30 metros de altura. Quão rápido a bola deve ser lançada para pousar a 150 metros de distância?

Um projétil é disparado do nível do solo em um ângulo de 8 ° com a horizontal. O projétil deve ter um alcance de 50 m. Encontre a velocidade mínima necessária para atingir este intervalo.

v = 42,16v = 42,16 m / s

Prove que um objeto que se move em linha reta a uma velocidade constante tem uma aceleração zero.

A aceleração de um objeto é dada por a (t) = tj + tk.a (t) = tj + tk. A velocidade em t = 1t = 1 seg é v (1) = 5jv (1) = 5j e a posição do objeto em t = 1t = 1 seg é r (1) = 0i + 0j + 0k.r (1) = 0i + 0j + 0k. Encontre a posição do objeto a qualquer momento.

r (t) = 0i + (16t3 + 4,5t − 143) j + (t36−12t + 13) kr (t) = 0i + (16t3 + 4,5t − 143) j + (t36−12t + 13) k

Encontre r (t) r (t) dado que a (t) = - 32j, a (t) = - 32j, v (0) = 6003√i + 600j, v (0) = 6003i + 600j e r ( 0) = 0.r (0) = 0.

Encontre as componentes tangencial e normal da aceleração para r (t) = acos (ωt) i + bsin (ωt) jr (t) = acos (ωt) i + bsin (ωt) j em t = 0.t = 0.

aT = 0, aT = 0, aN = aω2aN = aω2

Dado r (t) = t2i + 2tjr (t) = t2i + 2tj e t = 1, t = 1, encontre as componentes tangencial e normal da aceleração.

Para cada um dos problemas a seguir, encontre os componentes tangencial e normal da aceleração.

r (t) = ⟨etcost, etsint, et⟩.r (t) = ⟨etcost, etsint, et⟩. O gráfico é mostrado aqui:

aT = 3√et, aT = 3et, aN = 2√etaN = 2et

r (t) = ⟨cos (2t), sin (2t), 1⟩r (t) = ⟨cos (2t), sin (2t), 1⟩

r (t) = ⟨2t, t2, t33⟩r (t) = ⟨2t, t2, t33⟩

aT = 2t, aT = 2t, aN = 4 + 2t2aN = 4 + 2t2

r (t) = ⟨23 (1 + t) 3 / 2,23 (1 − t) 3 / 2,2√t⟩r (t) = ⟨23 (1 + t) 3 / 2,23 (1− t) 3 / 2,2t⟩

r (t) = ⟨6t, 3t2,2t3⟩r (t) = ⟨6t, 3t2,2t3⟩

aT6t + 12t31 + t4 + t2√, aT6t + 12t31 + t4 + t2, aN = 61 + 4t2 + t41 + t2 + t4 −−−−−− √aN = 61 + 4t2 + t41 + t2 + t4

r (t) = t2i + t2j + t3kr (t) = t2i + t2j + t3k

r (t) = 3cos (2πt) i + 3sin (2πt) jr (t) = 3cos (2πt) i + 3sin (2πt) j

aT = 0, aT = 0, aN = 23√πaN = 23π

Encontre a função com valor de vetor de posição r (t), r (t), dado que a (t) = i + etj, a (t) = i + etj, v (0) = 2j, v (0) = 2j e r (0) = 2i.r (0) = 2i.

A força em uma partícula é dada por f (t) = (custo) i + (sint) j.f (t) = (custo) i + (sint) j. A partícula está localizada no ponto (c, 0) (c, 0) em t = 0.t = 0. A velocidade inicial da partícula é dada por v (0) = v0j.v (0) = v0j. Encontre o caminho da partícula de massa m. (Lembre-se, F = m⋅a.) F = m · a.)

r (t) = (- 1mcusto + c + 1m) i + (- sintm + (v0 + 1m) t) jr (t) = (- 1mcusto + c + 1m) i + (- sintm + (v0 + 1m) t) j

Um automóvel que pesa 2.700 lb faz uma curva em uma estrada plana enquanto viaja a 56 pés / s. Se o raio da curva for de 70 pés, qual é a força de atrito necessária para evitar que o carro derrape?

Usando as leis de Kepler, pode-se mostrar que v0 = 2GMr0 −−−− √v0 = 2GMr0 é a velocidade mínima necessária quando θ = 0θ = 0 para que um objeto escape da atração de uma força central resultante da massa M. Use este resultado para encontrar a velocidade mínima quando θ = 0θ = 0 para uma cápsula espacial escapar da atração gravitacional da Terra se a sonda estiver a uma altitude de 300 km acima da superfície da Terra.

10,94 km / s

Encontre o tempo em anos que o planeta anão Plutão leva para fazer uma órbita em torno do Sol, dado que a = 39,5a = 39,5 A.U.

Suponha que a função de posição para um objeto em três dimensões seja dada pela equação r (t) = tcos (t) i + tsin (t) j + 3tk.r (t) = tcos (t) i + tsin (t) j + 3tk.

Mostre que a partícula se move em um cone circular.

Encontre o ângulo entre os vetores de velocidade e aceleração quando t = 1,5.t = 1,5.

Encontre os componentes tangencial e normal da aceleração quando t = 1,5.t = 1,5.

aT = 0,43m / s2, aT = 0,43m / s2,

aN = 2,46m / s2aN = 2,46m / s2

Exercícios de revisão de capítulo

Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta com uma prova ou contra-exemplo.

Uma equação paramétrica que passa pelos pontos P e Q pode ser dada por r (t) = ⟨t2,3t + 1, t − 2⟩, r (t) = ⟨t2,3t + 1, t − 2⟩, onde P (1,4, −1) P (1,4, −1) e Q (16,11,2) .Q (16,11,2).

ddt [u (t) × u ​​(t)] = 2u ′ (t) × u ​​(t) ddt [u (t) × u ​​(t)] = 2u ′ (t) × u ​​(t)

Falso, ddt [u (t) × u ​​(t)] = 0ddt [u (t) × u ​​(t)] = 0

A curvatura de um círculo de raio rr é constante em todos os lugares. Além disso, a curvatura é igual a 1 / r.1 / r.

A velocidade de uma partícula com função de posição r (t) r (t) é (r ′ (t)) / (| r ′ (t) |). (R ′ (t)) / (| r ′ (t) ) |).

Falso, é | r ′ (t) || r ′ (t) |

Encontre os domínios das funções com valor vetorial.

r (t) = ⟨sin (t), ln (t), t√⟩r (t) = ⟨sin (t), ln (t), t⟩

r (t) = ⟨et, 14 − t√, sec (t) ⟩r (t) = ⟨et, 14 − t, sec (t)⟩

t <4, t <4, t ≠ nπ2t ≠ nπ2

Esboce as curvas para as seguintes equações vetoriais. Use uma calculadora, se necessário.

[T] r (t) = ⟨t2, t3⟩r (t) = ⟨t2, t3⟩

[T] r (t) = ⟨sin (20t) e − t, cos (20t) e − t, e − t⟩r (t) = ⟨sin (20t) e − t, cos (20t) e − t, e− t⟩

Encontre uma função vetorial que descreva as seguintes curvas.

Intersecção do cilindro x2 + y2 = 4x2 + y2 = 4 com o plano x + z = 6x + z = 6

Intersecção do cone z = x2 + y2 −−−−−− √z = x2 + y2 e plano z = y − 4z = y − 4

r (t) = ⟨t, 2 − t28, −2 − t28⟩r (t) = ⟨t, 2 − t28, −2 − t28⟩

Encontre as derivadas de u (t), u (t), u ′ (t), u ′ (t), u ′ (t) × u ​​(t), u ′ (t) × u ​​(t), u ( t) × u ​​′ (t), u (t) × u ​​′ (t) e u (t) ⋅u ′ (t) .u (t) · u ′ (t). Encontre o vetor tangente unitário.

u (t) = ⟨et, e − t⟩u (t) = ⟨et, e − t⟩

u (t) = ⟨t2,2t + 6,4t5−12⟩u (t) = ⟨t2,2t + 6,4t5−12⟩

u ′ (t) = ⟨2t, 2,20t4⟩, u ′ (t) = ⟨2t, 2,20t4⟩, u ′ ′ (t) = ⟨2,0,80t3⟩, u ″ (t) = ⟨ 2,0,80t3⟩, ddt [u ′ (t) × u ​​(t)] = ⟨− 480t3−160t4,24 + 75t2,12 + 4t⟩, ddt [u ′ (t) × u ​​(t)] = ⟨− 480t3−160t4,24 + 75t2,12 + 4t⟩, ddt [u (t) × u ​​′ (t)] = ⟨480t3 + 160t4, −24−75t2, −12−4t⟩, ddt [u (t) ) × u ​​′ (t)] = ⟨480t3 + 160t4, −24−75t2, −12−4t⟩, ddt [u (t) ⋅u ′ (t)] = 720t8−9600t3 + 6t2 + 4, ddt [u (t) · u ′ (t)] = 720t8−9600t3 + 6t2 + 4, vetor tangente unitário: T (t) = 2t400t8 + 4t2 + 4√i + 2400t8 + 4t2 + 4√j + 20t4400t8 + 4t2 + 4√ kT (t) = 2t400t8 + 4t2 + 4i + 2400t8 + 4t2 + 4j + 20t4400t8 + 4t2 + 4k

Avalie os seguintes integrais.

∫ (tan (t) sec (t) i − te3tj) dt∫ (tan (t) sec (t) i − te3tj) dt

∫14u (t) dt, ∫14u (t) dt, com u (t) = ⟨ln (t) t, 1t√, sin (tπ4) ⟩u (t) = ⟨ln (t) t, 1t, sin (tπ4)⟩

ln (4) 22i + 2j + 2 (2 + 2√) πkln (4) 22i + 2j + 2 (2 + 2) πk

Encontre o comprimento para as seguintes curvas.

r (t) = ⟨3 (t), 4cos (t), 4sin (t) ⟩r (t) = ⟨3 (t), 4cos (t), 4sin (t)⟩ para 1≤t≤41≤t ≤4

r (t) = 2i + tj + 3t2kr (t) = 2i + tj + 3t2k para 0≤t≤10≤t≤1

37√2 + 112sinh − 1 (6) 372 + 112sinh − 1 (6)

Reparameterize as seguintes funções com respeito ao comprimento do arco medido de t = 0t = 0 na direção do aumento de t.t.

r (t) = 2ti + (4t − 5) j + (1−3t) kr (t) = 2ti + (4t − 5) j + (1−3t) k

r (t) = cos (2t) i + 8tj − sin (2t) kr (t) = cos (2t) i + 8tj − sin (2t) k

r (t (s)) = cos (2s65√) i + 8s65√j − sin (2s65√) kr (t (s)) = cos (2s65) i + 8s65j − sin (2s65) k

Encontre a curvatura para as seguintes funções vetoriais.

r (t) = (2sint) i − 4tj + (2custo) kr (t) = (2sint) i − 4tj + (2custo) k

r (t) = 2√eti + 2√e − tj + 2tkr (t) = 2eti + 2e − tj + 2tk

e2t (e2t + 1) 2e2t (e2t + 1) 2

Encontre o vetor tangente unitário, o vetor normal unitário e o vetor binormal para r (t) = 2costi + 3tj + 2sintk.r (t) = 2costi + 3tj + 2sintk.

Encontre as componentes de aceleração tangencial e normal com o vetor posição r (t) = ⟨custo, sint, et⟩.r (t) = ⟨custo, sint, et⟩.

aT = e2t1 + e2t√, aT = e2t1 + e2t, aN = 2e2t + 4e2tsintcost + 1√1 + e2t√aN = 2e2t + 4e2tsintcost + 11 + e2t

Um carro de roda gigante está se movendo a uma velocidade constante vv e tem um raio r.r constante. Encontre a aceleração tangencial e normal do carro com roda gigante.

A posição de uma partícula é dada por r (t) = ⟨t2, ln (t), sin (πt)⟩, r (t) = ⟨t2, ln (t), sin (πt)⟩, onde tt é medido em segundos e rr é medido em metros. Encontre as funções de velocidade, aceleração e velocidade. Quais são a posição, velocidade, velocidade e aceleração da partícula em 1 segundo?

v (t) = ⟨2t, 1t, cos (πt) ⟩v (t) = ⟨2t, 1t, cos (πt)⟩ m / seg, a (t) = ⟨2, −1t2, −sin (πt) ⟩M / s2, a (t) = ⟨2, −1t2, −sin (πt) ⟩m / s2, velocidade = 4t2 + 1t2 + cos2 (πt) −−−−−−−−−−−−−−−− −√velocidade = 4t2 + 1t2 + cos2 (πt) m / s; em t = 1, t = 1, r (1) = ⟨1,0,0⟩r (1) = ⟨1,0,0⟩ m, v (1) = ⟨2, −1,1⟩v ( 1) = ⟨2, −1,1⟩ m / s, a (1) = ⟨2, −1,0⟩a (1) = ⟨2, −1,0⟩ m / s2, e velocidade = 6√ velocidade = 6 m / s

Os problemas a seguir consideram o lançamento de uma bala de canhão. A bala de canhão é disparada para fora do canhão com um ângulo θθ e velocidade inicial v0.v0. A única força atuando na bala de canhão é a gravidade, então começamos com uma aceleração constante a (t) = - gj.a (t) = - gj.

Encontre a função do vetor velocidade v (t) .v (t).

Encontre o vetor posição r (t) r (t) e a representação paramétrica para a posição.

r (t) = v0t − g2t2j, r (t) = v0t − g2t2j, r (t) = ⟨v0 (cosθ) t, v0 (sinθ) t, −g2t2⟩r (t) = ⟨v0 (cosθ) t , v0 (sinθ) t, −g2t2⟩

Em que ângulo você precisa disparar a bala de canhão para que a distância horizontal seja maior? Qual é a distância total que ela viajaria?


Calculus Early Transcendentals 9º

Expresse as equações paramétricas como uma única equação vetorial da forma
$
mathbf= x (t) mathbf+ y (t) mathbf quad text quad mathbf= x (t) mathbf+ y (t) mathbf+ z (t) mathbf
$
$
x = 3 cos t, y = t + sin t
$

Problema 6

Expresse as equações paramétricas como uma única equação vetorial da forma
$
mathbf= x (t) mathbf+ y (t) mathbf quad text quad mathbf= x (t) mathbf+ y (t) mathbf+ z (t) mathbf
$
$
x = 2 t, quad y = 2 sin 3 t, quad z = 5 cos 3 t
$

Problema 7

Encontre as equações paramétricas que correspondem à equação vetorial fornecida.
$
mathbf= 3 t ^ <2> mathbf-2 mathbf
$

Problema 8

Encontre as equações paramétricas que correspondem à equação vetorial fornecida.
$
mathbf= (2 t-1) mathbf-3 sqrt mathbf+ sin 3 t mathbf
$

Problema 9

Descreva o gráfico da equação.
$
mathbf= (3-2 t) mathbf+5 t mathbf
$

Problema 10

Descreva o gráfico da equação.
$
mathbf= 2 sin 3 t mathbf-2 cos 3 t mathbf
$

Problema 11

Descreva o gráfico da equação.
$
mathbf= 2 t mathbf-3 mathbf+ (1 + 3 t) mathbf
$

Problema 12

Descreva o gráfico da equação.
$
mathbf= 3 mathbf+2 cos t mathbf+2 sin t mathbf
$

Problema 13

Descreva o gráfico da equação.
$
mathbf= 2 cos t mathbf-3 sin t mathbf+ mathbf
$

Problema 14

Descreva o gráfico da equação.
$
mathbf= -3 mathbf+ left (1-t ^ <2> right) mathbf+ t mathbf
$

Problema 15

(a) Encontre a inclinação da linha no espaço 2 que é representada
pela equação vetorial $ mathbf= (1-2 t) mathbf- (2-3 t) mathbf$.
(b) Encontre as coordenadas do ponto onde a linha
$
mathbf= (2 + t) mathbf+ (1-2 t) mathbf+3 t mathbf
$
cruza o plano $ x z $.

Problema 16

(a) Encontre o $ y $ -intercepto da linha no espaço 2 que é representado pela equação vetorial $ mathbf= (3 + 2 t) mathbf+5 t mathbf$.
(b) Encontre as coordenadas do ponto onde a linha
$
mathbf= t mathbf+ (1 + 2 t) mathbf-3 t mathbf
$
cruza o plano $ 3 x-y-z = 2 $

Problema 17

Esboce o segmento de linha representado por cada vetor
equação.
$
começar < text <(a)> mathbf= (1-t) mathbf+ t mathbf 0 leq t leq 1> < text <(b)> mathbf= (1-t) ( mathbf+ mathbf) + t ( mathbf- mathbf) 0 leq t leq 1> end
$

Problema 18

Esboce o segmento de linha representado por cada vetor
equação.
$
começar < text <(a)> mathbf= (1-t) ( mathbf+ mathbf) + t mathbf 0 leq t leq 1> < text <(b)> mathbf= (1-t) ( mathbf+ mathbf+ mathbf) + t ( mathbf+ mathbf) 0 leq t leq 1> end
$

Problema 19

Escreva uma equação vetorial para o segmento de linha de P a Q.
(Figura não pode ser copiada)

Problema 20

Escreva uma equação vetorial para o segmento de linha de P a Q.
(Figura não pode ser copiada)

Problema 21

Esboce o gráfico de r (t) e mostre a direção de aumento de t.
$
mathbf(t) = 2 mathbf+ t mathbf
$

Problema 22

Esboce o gráfico de r (t) e mostre a direção de aumento de t.
$
mathbf(t) = langle 3 t-4,6 t + 2 rangle
$

Problema 23

Esboce o gráfico de r (t) e mostre a direção de aumento de t.
$
mathbf(t) = (1+ cos t) mathbf+ (3- sin t) mathbf quad 0 leq t leq 2 pi
$

Problema 24

Esboce o gráfico de r (t) e mostre a direção de aumento de t.
$
mathbf(t) = langle 2 cos t, 5 sin t rangle 0 leq t leq 2 pi
$

Problema 25

Esboce o gráfico de r (t) e mostre a direção do aumento de t.
$
mathbf(t) = cosh t mathbf+ sinh t mathbf quad
$

Problema 26

Esboce o gráfico de r (t) e mostre a direção de aumento de t.
$
mathbf(t) = sqrt mathbf+ (2 t + 4) mathbf
$

Problema 27

Esboce o gráfico de r (t) e mostre a direção de aumento de t.
$
mathbf(t) = 2 cos t mathbf+2 sin t mathbf+ t mathbf
$

Problema 28

Esboce o gráfico de r (t) e mostre a direção de aumento de t.
$
mathbf(t) = 9 cos t mathbf+4 sin t mathbf+ t mathbf
$

Problema 29

Esboce o gráfico de r (t) e mostre a direção de aumento de t.
$
mathbf(t) = t mathbf+ t ^ <2> mathbf+2 mathbf
$

Problema 30

Esboce o gráfico de r (t) e mostre a direção de aumento de t.
$
mathbf(t) = t mathbf+ t mathbf+ sin t mathbf quad 0 leq t leq 2 pi
$

Problema 31

Verdadeiro – Falso Determine se a afirmação é verdadeira ou
falso. Explique sua resposta.
O domínio natural de uma função com valor vetorial é a união
dos domínios de suas funções componentes.

Problema 32

Verdadeiro – Falso Determine se a afirmação é verdadeira ou
falso. Explique sua resposta.
Se $ mathbf(t) = langle x (t), y (t) rangle $ é uma função com valor vetorial no espaço 2,
então o gráfico de $ mathbf(t) $ é uma superfície em 3 espaços.

Problema 33

Verdadeiro – Falso Determine se a afirmação é verdadeira ou
falso. Explique sua resposta.
Se $ mathbf_ <0> $ e $ mathbf_ <1> $ são vetores em 3 espaços, então o gráfico do
função com valor vetorial
$
mathbf(t) = (1-t) mathbf_ <0> + t mathbf_ <1> quad (0 leq t leq 1)
$
é o segmento de linha reta que une os pontos terminais de $ mathbf_<0>$
e $ mathbf_ <1>.$

Problema 34

Verdadeiro – Falso Determine se a afirmação é verdadeira ou
falso. Explique sua resposta.
O gráfico de $ mathbf(t) = langle 2 cos t, 2 sin t, t rangle $ é uma hélice circular.

Problema 35

Esboce a curva de intersecção das superfícies e encontre
equações paramétricas para a interseção em termos de parâmetro
x = t. Verifique seu trabalho com um utilitário gráfico, gerando
a curva paramétrica no intervalo? 1? t? 1
$
z = x ^ <2> + y ^ <2>, x-y = 0
$

Problema 36

Esboce a curva de intersecção das superfícies e encontre
equações paramétricas para a interseção em termos de parâmetro
x = t. Verifique seu trabalho com um utilitário gráfico, gerando
a curva paramétrica no intervalo? 1? t? 1
$
y + x = 0, z = sqrt <2-x ^ <2> -y ^ <2>>
$

Problema 37

Esboce a curva de intersecção das superfícies e encontre
uma equação vetorial para a curva em termos do parâmetro x = t.
$
9 x ^ <2> + y ^ <2> +9 z ^ <2> = 81, y = x ^ <2> quad (z & gt0)
$

Problema 38

Esboce a curva de intersecção das superfícies e encontre
uma equação vetorial para a curva em termos do parâmetro x = t.
$
y = x, x + y + z = 1
$

Problema 39

Mostre que o gráfico de
$
mathbf= t sin t mathbf+ t cos t mathbf+ t ^ <2> mathbf
$
encontra-se no parabolóide $ z = x ^ <2> + y ^ <2> $

Problema 40

Mostre que o gráfico de
$
mathbf= t mathbf+ frac <1 + t> mathbf+ frac <1-t ^ <2>> mathbf, quad t & gt0
$
encontra-se no plano $ x-y + z + 1 = 0 $

Problema 41

$
mathbf= sin t mathbf+2 cos t mathbf+ sqrt <3> sin t mathbf
$
é um círculo e encontre seu centro e raio. [Dica: Mostrar
que a curva está tanto em uma esfera quanto em um plano. $] $

Problema 42

Mostre que o gráfico de
$
mathbf= 3 cos t mathbf+3 sin t mathbf+3 sin t mathbf
$
é uma elipse, e encontre os comprimentos da maior e menor
machados. [Dica: mostre que o gráfico está em uma forma circular
cilindro e um plano e use o resultado no Exercício 42 de
Seção $ 10.4.] $

Problema 43

Para a hélice $ mathbf= a cos t mathbf+ a sin t mathbf+ c t mathbf, $ encontre o
valor de $ c (c & gt0) $ de modo que a hélice fará um comp
curva completa a uma distância de 3 unidades medidas ao longo do
Eixo $ z $.

Problema 44

Quantas revoluções a hélice circular
$ mathbf= a cos t mathbf+ a sin t mathbf+0,2 t mathbf$
fazer a uma distância de 10 unidades medidas ao longo do eixo $ z $?

Problema 45

Mostre que a curva $ mathbf= t cos t mathbf+ t sin t mathbf+ t mathbf, t geq 0 $
encontra-se no cone $ z = sqrt+ y ^ <2>>. $ Descreva a curva.

Problema 46

Descreva a curva $ mathbf= a cos t mathbf+ b sin t mathbf+ c t mathbf, $ onde
$ a, b, $ e $ c $ são constantes positivas tais que $ a neq b $

Problema 47

Em cada parte, combine a equação vetorial com uma das
gráficos que acompanham e explique o seu raciocínio.
$
começar < text <(a)> mathbf= t mathbf-t mathbf+ sqrt <2-t ^ <2>> mathbf> < text <(b)> mathbf= sin pi t mathbf-t mathbf+ t mathbf> < text <(c)> mathbf= sin t mathbf+ cos t mathbf+ sin 2 t mathbf> < text <(d)> mathbf= frac <1> <2> t mathbf+ cos 3 t mathbf+ sin 3 t mathbf> end
$

Problema 48

Verifique suas conclusões no Exercício 47, gerando o
curvas com um utilitário gráfico. [Nota: Seu utilitário gráfico
pode ver a curva de um ponto de vista diferente. Leitura
a documentação do seu utilitário gráfico para determinar
como controlar o ponto de vista e ver se você pode gerar um
fac-símile razoável dos gráficos mostrados na figura por ad-
justificando o ponto de vista e escolhendo o intervalo de $ t $ -valores
adequadamente. $] $

Problema 49

(a) Encontre equações paramétricas para a curva de interseção
do cilindro circular $ x ^ <2> + y ^ <2> = 9 $ e o parabólico
cilindro $ z = x ^ <2> $ em termos de um parâmetro $ t $ para o qual $ x = 3 cos t $
(b) Use um recurso gráfico para gerar a curva de interseção na parte (a).

Problema 50

(a) Esboce o gráfico de
$
mathbf(t) = left langle 2 t, frac <2> <1 + t ^ <2>> right rangle
$
(b) Prove que a curva na parte (a) também é o gráfico da
função
$ y = frac <8> <4 + x ^ <2>> $
[Os gráficos de $ y = a ^ <3> / left (a ^ <2> + x ^ <2> right), $
[Os gráficos de y = a3 / (a2 + x2), onde a denota a

constantes, foram estudados pela primeira vez pelo matemático francês
cian Pierre de Fermat, e mais tarde pelo matemático italiano
maticians Guido Grandi e Maria Agnesi. Qualquer tal

curve agora é conhecida como uma "bruxa de Agnesi". Existem
uma série de teorias para a origem deste nome. Algum
sugerem que houve um erro de tradução de Grandi ou
Agnesi de algum nome latino menos colorido para italiano.
Outros colocam a culpa em uma tradução para o Inglês de
Tratado de Agnesi de 1748, Instituições Analíticas.]

Problema 51

Escrevendo Considere a curva $ C $ de intersecção do cone
$ z = sqrt+ y ^ <2>> $ e o plano $ z = y + 2. $ Sketch e iden-
tifique a curva $ C, $ e descreva um procedimento para encontrar um
função com valor vetorial $ mathbf(t) $ cujo gráfico é $ C $.

Problema 52

Escrita Suponha que $ mathbf_ <1> (t) $ e $ mathbf_ <2> (t) $ têm valor vetorial
funções em 2 espaços. Explique por que resolver a equação
$ mathbf_ <1> (t) = mathbf_ <2> (t) $ pode não produzir todos os pontos onde o
gráficos dessas funções se cruzam.


2.E: Funções com valor vetorial (exercícios)

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Presumivelmente, o que você deseja é uma função $ C ^ infty $ em $ mathbb R $, diferente de zero em $ (- 1,1) $ e zero em outros lugares. É conveniente usar algo envolvendo a função exponencial porque é diferente de zero em todos os lugares, mas vai mais rápido do que qualquer polinômio em $ - infty $ e é fácil de diferenciar. Se você realmente deseja evitar a função exponencial, pode tentar algo como $ frac <1>$ para $ -1 & lt x & lt 1 $ onde $ I_0 $ é uma função de Bessel modificada de ordem $.

Há um exemplo ainda mais simples neste livro de Loring Tu.

Você simplesmente começa com $ f (t) = left < begin 0 & ampt leqslant 0 e ^ <- 1 / t> & ampt & gt0 end right .. $ Então você define $ g (t) = frac$ e desloque-o para a direita criando $ h (t) = g (t-1). $ Para torná-lo simétrico, você coloca $ k (t) = h (t ^ 2) $ e, finalmente, para torná-lo semelhante a uma saliência função que você coloca $ rho (t) = 1-k (t). $ Será parecido com isto

Como você pode ver na foto, Loring Tu cobriu um caso mais geral (ele até generalizou essa construção para variedades suaves de dimensão arbitrária).

Para mais detalhes e fotos, acesse o livro Tus.

BÔNUS Criei gráficos das funções $ f, g, h, k, rho $ nesta folha de geogebra. Apreciar.

Todos esses envolvem quebrar o domínio por desigualdades e, sejam visíveis ou não, envolvem algo não mais simples do que a função exponencial. A versão original de um lado é $ f (x) = e ^ <-1 / x> mbox x & gt 0 $ mas $ f (x) = 0 mbox x leq 0. $

Você pode obter um aumento com isso pela multiplicação com $ g (x) = f (1 + x) cdot f (1 - x) $

Você obtém uma função de etapa suavizada de $ h (x) = int _ <- infty> ^ x g (t) dt $

Você obtém uma função de aumento de platô, constante no meio, de $ p (x) = h (x + A) cdot h (A -x) $ para algum $ A & gt 1. $

Podemos provar algumas propriedades desse tipo de coisa. Não tem singularidade removível nos pontos onde não é analítico real, na melhor das hipóteses tem uma singularidade essencial ou possivelmente nem mesmo é definida em nenhuma vizinhança do ponto em $ mathbb C.

Veja como você pode gerar quantos tipos diferentes de funções de aumento quiser, para qualquer definição de "tipo" que você possa ter:

  1. Comece com qualquer função $ f (x) $ que cresce mais rápido do que todos os polinômios, ou seja, $ forall N, lim_ frac= 0 $. Exemplo: $ e ^ x $.
  2. Então considere a função $ g (x) = frac1$. Esta é uma função mais plana do que todos os polinômios próximos de zero, ou seja, $ forall N, lim_ frac= 0 $. Este é um a suave não analítico função. Para nosso exemplo, obtemos $ e ^ <- 1 / x> $.
  3. Considere a função $ h (x) = g (1 + x) g (1-x) $. Isso, depois de zerar coisas fora do intervalo $ (- 1,1) $, é um função de colisão. Para nosso exemplo, $ e ^ <2 / (x ^ 2-1)> $.
  4. Dimensione e transforme ao seu gosto.

Basta fazer isso com diferentes "tipos" de funções de crescimento $ f $, e você obterá diferentes "tipos" de funções de aumento $ h $. Portanto, aqui estão algumas funções que eu poderia gerar com este método - tente adivinhar de quais funções elas são:

E quanto mais rapidamente seu $ f (x) $ cresce, mais bonita sua função de aumento $ h (x) $ parece.

Aqui está um miniaplicativo Desmos para tentar fazer isso com diferentes funções $ f $: desmos.com/calculator/ccf2goi9bj.

Se você estiver interessado em funções não analíticas suaves, dê uma olhada em meu post O que há com e ^ (- 1 / x)? Sobre funções não analíticas suaves: parte I.

Mesmo que isso não tenha sido especificamente solicitado pela pergunta do OP, dois recursos que algumas pessoas estão procurando em uma função de aumento são:

  1. um "platô" superior quase plano, como na resposta de @FallenApart
  2. uma função simples o suficiente para que possamos lembrar.

Aqui está uma maneira simples de fazer isso: $ f (x) = begin 0, forall x notin] -1,1 [ exp left ( frac <1>-1> right), forall x in] -1,1 [ end $ com $ n in mathbb$. Por $ n in <1,2,3. 20 > $ isso se parece com isto:

Juan Arias de Reyna (2017) mostra a existência de uma função bump com as características que mencionou. O artigo está no arXiv (1702.05442 [math.CA]). Especificamente, como ele diz, é uma função suave $ varphi $ tal que

(a) $ mathrm( varphi) = [-1,1] $,

(b) $ varphi (t) & gt 0 $ para qualquer $ t in (-1, 1) $,

(c) $ varphi (0) = 1 $,

(d) e há uma constante $ k & gt 0 $ tal que para qualquer $ t in mathbb$

$ varphi '(t) = k ( varphi (2t + 2) - varphi (2t-1)) $

Ou seja, uma função que não é nula em torno de zero é 1 no zero, e satisfaz essa condição engraçada. Que condição, na verdade, vem da intuição de que a derivada de tal função bump parece duas cópias transformadas da função original.

Embora não haja uma fórmula simples para a função, o autor fornece quatro expressões diferentes para ela.

  1. Como uma integral de uma série de potências (envolvendo sua transformada de Fourier)
  2. como um limite para uma sequência de funções definidas por convolução
  3. como "um limite de uma sequência de funções de etapa"
  4. como a medida de um subconjunto de $ [0,1] ^ < mathbb> $ parametrizado por seu argumento - também, esta forma de olhar para a função permite interpretá-la como uma probabilidade, ou uma medida em si mesma (consulte o artigo para obter detalhes).

Tudo isso é bastante complexo, mas a função proposta tem a vantagem de ser inteiramente construtiva, ao contrário das usuais. Lembre-se de que dividir a linha com base nas desigualdades geralmente não é construtivo (embora, neste caso, possam ser).

Seja $ a & lt b $. Tentaremos construir uma $ C ^ < infty> $ function $ f: mathbb to mathbb $ que é $ & gt 0 $ em $ (a, b) $ e $ 0 $ em qualquer outro lugar.

[Observe que qualquer $ f $ é ligeiramente bizarro: Por exemplo, todos os derivados do lado esquerdo $ f ^ <(j)> (a ^ <->) $ são $ 0 $, então todos $ f ^ <(j)> (a ) $ são $ 0 $. Portanto, todos os polinômios de Taylor $ P_n (x) = f (a) + f '(a) (x-a) + ldots + frac(a)> (x-a) ^ n $ sobre $ a $ são zero, embora $ f $ seja diferente de zero (como uma função) em cada $ (a- delta, a + delta) $]

É suficiente encontrar $ F_1, F_2 $ não necessariamente distintos que são $ C ^ < infty> $ em $ mathbb $, $ & gt 0 $ em $ (0, infty) $ e $ 0 $ em qualquer outro lugar [porque então $ F_1 (xa) F_2 (bx) $ funcionaria: é $ 0 $ quando $ x leq a $ ou $ x geq b $, é $ C ^ infty $ e é $ & gt 0 $ em $ (a, b) $].

Portanto, podemos procurar $ h: (0, infty) to mathbb_ <& gt0> $ que é $ C ^ infty $ em $ (0, infty) $ e onde cada um de $ h (t), dfrac, dfrac(t)>, dfrac(t)>, ldots $ vai para $ 0 $ como $ t para 0 ^ + $ [porque então a função, dada por $ h $ em $ (0, infty) $ e $ 0 $ em qualquer outro lugar, seria infinitamente diferenciável em $ 0 $ e um $ F_j $ válido].

Procurando h válido (veja a resposta de Sudhir acima):

Seja $ H: (0, infty) to mathbb_ <& gt0> $ be $ C ^ infty $ em $ (0, infty) $ e com $ lim_ dfrac = 0 $ para cada $ m $.

Então $ h (t): = dfrac <1>)> $ funcionaria:

Também cada $ dfrac <1> left [ left ( dfrac

right) ^ j dfrac <1>)> right] $ ($ j = 0, 1, ldots $) é um $ mathbb$ -combination, de termos parecidos com $ dfrac <1>)^> dfrac <1><>> $ ($ k_1, k_2 $ inteiros positivos), e cada termo aqui vai para $ 0 $ como $ t para 0 ^ + $.

Teorema: Seja $ a & lt b $. Deixe as funções $ H_1, H_2: (0, infty) to mathbb_ <& gt0> $ be $ C ^ infty $ em $ (0, infty) $ com $ lim_ dfrac = lim_ dfrac = 0 $ para cada $ m $.
Então a função $ f (t) $, dada por $ dfrac <1>) H_2 ( frac <1>)> $ em $ (a, b) $ e $ 0 $ em qualquer outro lugar, é $ C ^ infty $ em $ mathbb $ (e é $ & gt 0 $ em $ (a, b) $ e $ 0 $ em qualquer outro lugar).

Um exemplo: Seja $ a & lt b $. Colocando $ H_1 (x) = dfrac<>> $ e $ H_2 (x) = dfrac $, vemos: a função, dada por $ dfrac <1> <(ta) ^ 3 (bt) ^ 2> e ^ <- frac <1> <(ta) ^ 2 >> e ^ <- frac <1>> $ em $ (a, b) $ e $ 0 $ em qualquer outro lugar, é $ C ^ infty $ em $ mathbb $ .


2.E: Funções com valor vetorial (exercícios)

Expresso [ begin x_1 & # 39 & amp = 2tx_1 + e ^ tx_2 x_2 & # 39 & amp = 3x_1 - 3t x_2 fim] com (x_1 (0) = -5 ) e (x_2 (0) = 2 ) como uma equação vetorial com uma condição inicial do vetor.

Solução

Usando a definição de multiplicação de matrizes, podemos facilmente concluir [ xBld ^ prime = begin 2t & amp e ^ t 3 & amp -3t end xBld ] com condição inicial ( xBld (0) = begin -5 2 fim) .

Exercício 2

Considere o sistema [ begin x & # 39 & amp = 2x + y - z y & # 39 & amp = x-3y + 5z z & # 39 & amp = 4x -7y + z. end] Escreva este sistema como uma equação vetorial.

Solução

Usando a definição de multiplicação de matrizes é facilmente visto que [ frac < dee> < dt> begin x y z end = begin 2 & amp 1 & amp -1 1 & amp -3 & amp 5 4 & amp -7 & amp 1 end começar x y z end]

Exercício 3

Considere a equação vetorial (< bf x> & # 39 = begin 4t & amp 6t ^ 2 2 & amp t ^ 3 end < bf x> + begin e ^ t e ^ <-t> end). Escreva esta equação como um sistema de 2 equações.

Solução

Escrevendo ( xBld = begin x_1 x_2 end). Vemos pela definição de multiplicação de matrizes que [ begin x_1 ^ prime & amp = 4tx_1 + 6t ^ 2x_2 + e ^ t x_2 ^ prime & amp = 2x_1 + t ^ 3x_2 + e ^ <-t>. end]

Para os Problemas 4-7, reformule as equações diferenciais lineares de ordem superior como um sistema linear de equações de primeira ordem. Encontre a matriz de coeficientes ( ABld (t) ) e forçando ( fBld (t) ). Se o problema for um problema de valor inicial, certifique-se de declarar a condição inicial.

Exercício 4

Solução

Defina [ xBld = begin x_1 x_2 end = begin u u ^ prime end] Tomando a derivada de ambos os lados e usando o sistema linear, encontramos [ xBld ^ prime = begin x_2 -3tx_1 + e ^ fim = begin 0 & amp 1 -3t & amp 0 end xBld + begin 0 e ^ t fim.]

Exercício 5

Solução

Defina [ xBld = begin x_1 x_2 x_3 end = begin y y ^ prime y ^ < prime prime> end. ] Tomando a derivada de ambos os lados e usando o sistema linear, encontramos [ xBld ^ prime = begin x_2 x_3 -2x_3 + tx_2 - x_1 end = begin 0 & amp 1 & amp 0 0 & amp 0 & amp 1 -1 & amp t & amp -2 end xBld. ]

Exercício 6

Solução

Exercício 7

Solução

Defina [ xBld = begin x_1 x_2 x_3 x_4 end = begin y y ^ prime y ^ < prime prime> y ^ < prime prime prime> end. ] Tomando a derivada de ambos os lados e usando os EDOs, vemos [ xBld ^ prime = begin x_2 x_3 x_4 -t ^ 2x_4 - cos <(t)> x_3 - t ^ 2 sin <(t)> x_1 + te ^ fim= ABld (t) xBld + fBld (t). ] Onde [ ABld (t) = begin 0 & amp 1 & amp 0 & amp 0 0 & amp 0 & amp 1 & amp 0 0 & amp 0 & amp 0 & amp 1 -t ^ 2 sin <(t)> & amp 0 & amp- cos <(t)> & amp -t ^ 2 end] e o forçamento é [ fBld (t) = begin 0 0 0 te ^ fim.]

Exercício 8

Considere a equação de segunda ordem (y & # 39 & # 39 + p (t) y & # 39 + q (t) y = g (t) ) com condições iniciais (y & # 39 (0) = 1 ) e (y (0) = 2 ). Deixe (x_1 = y ) e (x_2 = y & # 39 ), e então expresse esta equação de segunda ordem como um sistema de duas equações de primeira ordem. Certifique-se de incluir a condição inicial do seu sistema.

Solução

Como um sistema, teríamos [ begin x_1 & # 39 & amp = x_2 x_2 & # 39 & amp = -q (t) x_1-p (t) x_2 + g (t) fim] com condições iniciais (x_1 (0) = 2 ) e (x_2 (0) = 1 ). Como uma equação vetorial, isso pode ser escrito como [ xBld ^ prime = begin 0 & amp 1 -q (t) & amp -p (t) end < bf x> + begin 0 g (t) fim, ] com condição inicial ( xBld (0) = begin 2 1 fim) .

Exercício 9

Considere a equação de enésima ordem (y ^ <(n)> + a_1 (t) y ^ <(n-1)> + a_2 (t) y ^ <(n-2)> + pontos + a_(t) y & # 39 + a_n (t) y = g (t) ) com condições iniciais (y ^ <(i)> (0) = b_) para (i = 0, pontos, n-1 ). Expresse esta equação de enésima ordem como um sistema de (n ) equações de primeira ordem. Certifique-se de incluir a condição inicial do seu sistema.

Solução

Conforme mostrado no texto, se definirmos [ xBld = begin x_1 x_2 vdots x_n end = begin y y ^ prime vdots y ^ <(n-1)>, end] o sistema correspondente é então [ xBld ^ prime = begin 0 & amp 1 & amp 0 & amp cdots & amp 0 0 & amp ddots & amp ddots & amp ddots & amp vdots vdots & amp ddots & amp 0 & amp 1 & amp 0 0 & amp cdots & amp 0 & amp 0 & amp 1 -a_n (t) & amp cdots & amp -a_3 (t) & amp a_2 (t) & amp -a_1 (t) end < bf x> + begin 0 0 vdots 0 g (t) end, quad text xBld (0) = begin b_1 b_2 vdots b_n end.]

Exercício 10

ótulo Dois pêndulos suspensos de comprimento ( ell ) e massa (m_1 ) e (m_2 ) são acoplados por uma mola. Sejam ( theta_1 ) e ( theta_2 ) o deslocamento angular de cada pêndulo de sua posição de repouso. Para ângulos pequenos, as equações de movimento são aproximadas pelo seguinte sistema linear [ begin m_1 ell theta_1 ^ < prime prime> & amp = - m_1 g theta_1 - k ell ( theta_1 - theta_2) m_2 ell theta_2 ^ < prime prime> & amp = - m_2 g theta_2 + k ell ( theta_1 - theta_2). fim] Escreva isso como um sistema linear de primeira ordem. Encontre a matriz de coeficiente correspondente ( ABld ) e o forçamento ( fBld ).

Solução

Escreva as equações na forma normal [ begin theta_1 ^ < prime prime> & amp = - frac < ell> theta_1 - frac( theta_1 - theta_2) theta_2 ^ < prime prime> & amp = - frac < ell> theta_2 + frac( theta_1 - theta_2). fim] Defina [ xBld = begin x_1 x_2 x_3 x_4 end = begin theta_1 theta_1 ^ prime theta_2 theta_2 ^ prime end] Pegando a derivada em ambos os lados e usando os EDOs, encontramos [ xBld ^ prime = begin x_2 - frac< ell> x_1 - frac(x_1 - x_3) x_4 - frac < ell> x_3 + frac(x_1 - x_3) fim= begin 0 & amp 1 & amp 0 & amp 0 - frac < ell> - frac & amp 0 & amp frac & amp 0 0 & amp 0 & amp 0 & amp 1 frac & amp 0 & amp - frac < ell> - frac & amp 0 end xBld. ]

Para os problemas 11-12, determine o maior intervalo em que existe uma solução única para os seguintes problemas de valor inicial para sistemas de primeira ordem.

Exercício 11

Solução

Observe que os coeficientes não são definidos quando (t leq-1 ), (t & gt3 ), (t = (n + frac <1> <2>) pi / 2 ) e (t = 5 ). O maior intervalo que contém o tempo inicial (t = 0 ) onde todas as funções são contínuas é, portanto, ((- 1, pi / 2) ).

Exercício 12

Solução

Os coeficientes e forçantes deste sistema não são definidos sempre que (t & lt0 ) ou quando (t = 2 ). Portanto, o maior intervalo contendo o tempo inicial (t = 1 ) é (0,2) ).

Exercício 13

Considere o sistema diferencial [ frac < dee> < dt> begin x y end = begin 3 & amp 1 2 & amp 2 end começar x y end]

Mostre que ( começare ^ <4t> e ^ <4t> end) e ( begin-e ^ 2e ^fim) são ambas as soluções para este sistema.

Dê uma matriz fundamental para este sistema.

Dê uma solução geral para este sistema na forma vetorial.

Calcule a matriz fundamental natural para este sistema associado a (t = 0 ).

Resolva o problema do valor inicial para este sistema com (x (0) = -2 ) e (y (0) = 3 ).

Solução

Essas soluções formam um conjunto fundamental, uma vez que o Wronskian é [ det begin e ^ <4t> & amp -e ^ t e ^ <4t> & amp 2e ^ fim = 3e ^ <5t> neq 0. ] Uma matriz fundamental para este sistema é, portanto, dada por [ PsiBld (t) = begin e ^ <4t> & amp -e ^ t e ^ <4t> & amp 2e ^ fim.]

Uma solução geral é dada por [ xBld (t) = PsiBld (t) cBld = c_1 begine ^ <4t> e ^ <4t> end + c_2 begin -e ^ 2e ^fim.]

Podemos obter a matriz natural fundamental ( PhiBld (t) ) dada nossa matriz fundamental ( PsiBld (t) ) por ( PhiBld (t) = PsiBld (t) PsiBld (0) ^ < -1> ). Obtemos [ PhiBld (t) = begin e ^ <4t> & amp -e ^ t e ^ <4t> & amp 2e ^ t end frac <1> <3> begin 2 & amp 1 -1 & amp 1 end = frac <1> <3> begin 2e ^ <4t> + e ^ t & amp e ^ <4t> - e ^ t 2e ^ <4t> -2 e ^ t & amp e ^ <4t> + 2e ^ t end.]

A solução para o problema do valor inicial é [ xBld (t) = PhiBld (t) xBld ^ I = frac <1> <3> begin 2e ^ <4t> + e ^ t & amp e ^ <4t> - e ^ t 2e ^ <4t> -2 e ^ t & amp e ^ <4t> + 2e ^ t end começar -2 3 fim = frac <1> <3> begin -e ^ <4t> -5e ^ t -e ^ <4t> + 10e ^ t end]

Exercício 14

Considere o sistema diferencial [ frac < dee> < dt> begin x y end= begin 1 & amp - cos <(t)> cos <(t)> & amp 1 end começar x y end]

Mostre que ambos ( começame ^ t cos ( sin (t)) e ^ t sin ( sin (t)) end) e ( begin-e ^ t sin ( sin (t)) e ^ t cos ( sin (t)) end) são ambas as soluções para este sistema.

Dê uma matriz fundamental para este sistema.

Escreva uma solução geral para este sistema na forma vetorial.

Calcule a matriz fundamental natural deste sistema associado a (t = 0 ).

Resolva o problema do valor inicial para este sistema com (x (0) = 1 ), (y (0) = 0 ).

Solução

Essas soluções formam um conjunto fundamental, uma vez que o Wronskian é [ det begin e ^ t cos <( sin <(t)>)> & amp -e ^ t sin <( sin <(t)>)> e ^ t sin <( sin <(t)> )> & amp e ^ t cos <( sin <(t)>)> end = e ^ <2t> neq 0. ] Uma matriz fundamental para este sistema é, portanto, dada por [ PsiBld (t) = begin e ^ t cos <( sin <(t)>)> & amp -e ^ t sin <( sin <(t)>)> e ^ t sin <( sin <(t)> )> & amp e ^ t cos <( sin <(t)>)> end.]

Uma vez que ( PsiBld (0) = IBld ) nossa matriz fundamental dada na parte (b) é na verdade a matriz fundamental natural [ PhiBld (t) = PsiBld (t) = begin e ^ t cos <( sin <(t)>)> & amp -e ^ t sin <( sin <(t)>)> e ^ t sin <( sin <(t)> )> & amp e ^ t cos <( sin <(t)>)> end.]

Exercício 15

Considere o sistema diferencial [ frac < dee> < dt> begin x y end = begin 2t & amp -e ^ e ^ <-t ^ 2> & amp 0 end começar x y end]

Mostre que ambos ( começame ^ cos <(t)> sin <(t)> end) e ( begine ^ sin <(t)> - cos <(t)> end) são soluções para o sistema acima.

Dê uma matriz fundamental para este sistema.

Escreva uma solução geral para este sistema na forma vetorial.

Calcule a matriz fundamental natural deste sistema associado a (t = 0 ).

Resolva o problema do valor inicial para este sistema com (x (0) = -1 ), (y (0) = 3 ).

Solução

Podemos ver que essas soluções formam um conjunto fundamental, uma vez que o Wronskian é [ det begin e ^ cos <(t)> & amp e ^ sin <(t)> sin <(t)> & amp - cos <(t)> end = -e ^ neq 0. ] Portanto, uma matriz fundamental para este sistema é dada por [ PsiBld (t) = begin e ^ cos <(t)> & amp e ^ sin <(t)> sin <(t)> & amp - cos <(t)> end.]

Uma solução geral é [ xBld (t) = PsiBld (t) cBld = c_1 begin e ^ cos <(t)> sin <(t)> end + c_2 begin e ^ sin <(t)> - cos <(t)> end]

Podemos obter a matriz natural fundamental ( PhiBld (t) ) dada nossa matriz fundamental ( PsiBld (t) ) por ( PhiBld (t) = PsiBld (t) PsiBld (0) ^ < -1> ). Obtemos [ PhiBld (t) = begin e ^ cos <(t)> & amp e ^ sin <(t)> sin <(t)> & amp - cos <(t)> end começar 1 & amp 0 0 & amp -1 end= begin e ^ cos <(t)> & amp -e ^ sin <(t)> sin <(t)> & amp cos <(t)> end.]

A solução para o problema do valor inicial é [ xBld (t) = PhiBld (t) xBld ^ I = begin e ^ cos <(t)> & amp -e ^ sin <(t)> sin <(t)> & amp cos <(t)> end começar -1 3 fim = begin -e ^ cos <(t)> - 3e ^ sin <(t)> 3 cos <(t)> - sin <(t)> end]

Exercício 16

Considere o sistema diferencial [ frac < dee> < dt> begin x y end = frac <1> <1 + t ^ 2> begin (1 + t) ^ 2 e amp 2 (1 + t ^ 2) ^ 2 2 e amp 1 + t ^ 2 end começar x y end]

Mostre que ambos ( começam(1 + t ^ 2) e ^ <3t> e ^ <3t> end) e ( begin(1 + t ^ 2) e ^ <-t> -e ^ <-t> end) são soluções para o sistema acima.

Dê uma matriz fundamental para este sistema.

Escreva uma solução geral para este sistema na forma vetorial.

Calcule a matriz fundamental natural deste sistema associado a (t = 0 ).

Resolva o problema do valor inicial para este sistema com (x (0) = -4 ), (y (0) = 2 ).

Solução

Estas soluções formam um conjunto fundamental desde [ det begin (1 + t ^ 2) e ^ <3t> & amp (1 + t ^ 2) e ^ <-t> e ^ <3t> & amp -e ^ <-t> end] Portanto, uma matriz fundamental para este sistema é dada por [ PsiBld (t) = begin (1 + t ^ 2) e ^ <3t> & amp (1 + t ^ 2) e ^ <-t> e ^ <3t> & amp -e ^ <-t> end.]

Uma solução geral é [ xBld (t) = PsiBld cBld = c_1 begin (1 + t ^ 2) e ^ <3t> e ^ <3t> end + c_2 begin (1 + t ^ 2) e ^ <-t> e ^ <-t> end.]

Podemos obter a matriz natural fundamental ( PhiBld (t) ) de nossa matriz fundamental ( PsiBld (t) ), pela fórmula ( PhiBld (t) = PsiBld (t) PsiBld (0 ) ^ <-1> ). Encontramos [ begin PhiBld (t) & amp = begin (1 + t ^ 2) e ^ <3t> & amp (1 + t ^ 2) e ^ <-t> e ^ <3t> & amp e ^ <-t> end começar 1 & amp 1 1 & amp -1 end & amp = begin (1 + t ^ 2) (e ^ <3t> + e ^ <-t>) & amp (1 + t ^ 2) (e ^ <3t> - e ^ <-t>) e ^ <3t> + e ^ <-t> & amp e ^ <3t> - e ^ <-t> end fim]

Para os problemas 17-20, mostre que as seguintes soluções com valores vetoriais para um sistema linear formam um conjunto fundamental. Encontre o sistema linear que eles resolvem.

Exercício 17

Solução

Vemos que essas soluções formam um conjunto fundamental, uma vez que seu Wronskian [W (t) = det begin cos <(t)> & amp - sin <(t)> sin <(t)> + cos <(t)> & amp cos <(t)> - sin <(t)> fim= 1 neq 0. ] Para encontrar o sistema linear que este conjunto fundamental resolve, usamos uma matriz fundamental [ PsiBld (t) = begin cos <(t)> & amp - sin <(t)> sin <(t)> + cos <(t)> & amp cos <(t)> - sin <(t)> fim, ] e, portanto, a matriz de coeficientes ( ABld (t) ) é dada por [ begin ABld (t) & amp = PsiBld ^ < prime> (t) PsiBld ^ <-1> (t) & amp = begin - sin <(t)> & amp - cos <(t)> cos <(t)> - sin <(t)> & amp - sin <(t)> - cos <(t) > end começar cos <(t)> - sin <(t)> & amp sin <(t)> - sin <(t)> - cos <(t)> & amp cos <(t)> fim & amp = begin 1 e amp -1 2 e amp -1 end fim]

Exercício 18

Solução

Vemos que essas soluções formam um conjunto fundamental, uma vez que seu Wronskian [W (t) = det begin e ^ t & amp -e ^ <-2t> e ^ t & amp 3e ^ <-2t> end= 4e ^ <-t> neq 0. ] Para encontrar o sistema linear que este conjunto fundamental resolve, usamos uma matriz fundamental [ PsiBld (t) = begin e ^ t & amp -e ^ <-2t> e ^ t & amp 3e ^ <-2t> end] e, portanto, a matriz de coeficientes ( ABld (t) ) é dada por [ begin ABld (t) & amp = PsiBld ^ < prime> (t) PsiBld ^ <-1> (t) & amp = begin e ^ t & amp 2e ^ <-2t> e ^ t & amp -6e ^ <-2t> end frac <1> <4> begin 3e ^ <-t> & amp e ^ <-t> -e ^ <2t> & amp e ^ <2t> end & amp = frac <1> <4> begin 1 & amp 3 9 & amp -5 end. fim]

Exercício 19

Solução

Vemos que essas soluções formam um conjunto fundamental, uma vez que seu Wronskian [W (t) = det begin 2te ^ <2t> & amp -2e ^ <-3t> 1-te ^ <2t> & amp e ^ <-3t> end= 2e ^ <-3t> neq 0. ] Para encontrar o sistema linear que este conjunto fundamental resolve, usamos uma matriz fundamental [ PsiBld (t) = begin 2te ^ <2t> & amp -2e ^ <-3t> 1-te ^ <2t> & amp e ^ <-3t> end] e, portanto, a matriz de coeficientes ( ABld (t) ) é dada por [ begin ABld (t) & amp = PsiBld ^ < prime> (t) PsiBld ^ <-1> (t) & amp = begin 2e ^ <2t> + 4te ^ <2t> & amp 6e ^ <-3t> -e ^ <2t> - 2te ^ <2t> & amp -3e ^ <-3t> end frac <1> <2> begin 1 & amp 2 te ^ <5t> -1e ^ <3t> & amp 2te ^ <5t> end & amp = begin (1 + 5t) e ^ <2t> - 3 & amp (2 + 10t) e ^ <2t> - frac <1> <2> (1 + 5t) e ^ <2t> + frac <1> <2> & amp - (1 + 5t) e <2t> end. fim]

Exercício 20

Solução

Vemos que essas soluções formam um conjunto fundamental desde seu Wronskian [ begin W (t) & amp = det begin 1 & amp t + 1 & amp frac <1> <2> t ^ 2 + t +1 0 & amp 1 & amp t + 1 2 & amp 2t + 2 & amp (t + 1) ^ 2 ende ^ <3t> & amp = e ^ <9t> ((t + 1) ^ 2 + 2 (t + 1) ^ 2 - t ^ 2-2t -2 - 2 (t + 1) ^ 2) & amp = -e ^ <9t> neq 0 end] Para encontrar o sistema linear que este conjunto fundamental resolve, usamos uma matriz fundamental [ PsiBld (t) = begin 1 & amp t + 1 & amp frac <1> <2> t ^ 2 + t +1 0 & amp 1 & amp t + 1 2 & amp 2t + 2 & amp (t + 1) ^ 2 ende ^ <3t> ] e, portanto, a matriz de coeficiente ( ABld (t) ) é dada por ( ABld (t) = PsiBld ^ prime (t) PsiBld ^ <-1> (t) ). Pode-se calcular o inverso como [ PsiBld ^ <-1> (t) = begin (t + 1) ^ 2 & amp -t-1 & amp - frac <1> <2> t ^ 2 -t -2t -2 & amp 1 & amp t + 1 2 & amp 0 & amp -1 ende ^ <-3t> ] e a derivada [ PsiBld ^ < prime> (t) = begin 3 & amp 3t + 4 & amp frac <3> <2> t ^ 2 + 4t + 4 0 & amp 3 & amp 3t + 4 6 & amp 6t +8 & amp 3t ^ 2 + 8t + 5 end. ] Portanto, após algum trabalho, [ começar ABld (t) & amp = begin 3 & amp 3t + 4 & amp frac <3> <2> t ^ 2 + 4t + 4 0 & amp 3 & amp 3t + 4 6 & amp 6t +8 & amp 3t ^ 2 + 8t + 5 end começar 3 & amp 3t + 4 & amp frac <3> <2> t ^ 2 + 4t + 4 0 & amp 3 & amp 3t + 4 6 & amp 6t +8 & amp 3t ^ 2 + 8t + 5 end & amp = begin 3 & amp 1 & amp 0 2 & amp 3 & amp -1 0 & amp 2 & amp 3 end. fim]

Exercício 21

Seja ( PhiBld (t) ) a matriz natural fundamental associada a (t_I ) para o sistema [ frac < dee xBld> < dt> = ABld xBld, ] onde ( ABld ) é uma matriz constante. Mostre que ( PhiBld (t) ) e ( ABld ) comutam, ou seja, [ PhiBld (t) ABld = ABld PhiBld (t). ] Dica: Mostre que ( PhiBld (t) ABld ) mostra que ( ABld PhiBld (t) ) resolve o mesmo problema de valor inicial.

Solução

Tomando as derivadas de tempo de ( PhiBld (t) ABld ) e ( ABld PhiBld (t) ), encontramos [ begin ( PhiBld ABld) ^ prime & amp = PhiBld ^ prime ABld = ABld ( PhiBld ABld) ( ABld PhiBld) ^ prime & amp = ABld PhiBld ^ prime = ABld ( ABld PhiBld). fim] No entanto, por definição ( PhiBld (t_I) = IBld ), e assim ( PhiBld (t_I) ABld = ABld PhiBld (t_I) = ABld ). Portanto, pela unicidade do problema inicial com valor de matriz, concluímos que [ ABld PhiBld (t) = PhiBld (t) ABld. ]

Exercício 22

Seja ( PsiBld (t) ) uma matriz fundamental para o sistema [ frac < dee xBld> < dt> = ABld (t) xBld. ] Para qualquer matriz constante ( CBld ) de forma que ( det ( CBld) neq 0 ), mostre que ( PsiBld CBld ) também é uma matriz fundamental, mas que ( CBld PsiBld ) pode não ser. Como deve ( CBld ) e ( ABld (t) ) estar relacionados para que ( CBld PsiBld ) se torne uma matriz fundamental?

Solução

Uma matriz fundamental ( PsiBld ) deve satisfazer a equação diferencial [ notag PsiBld ^ prime = ABld (t) PsiBld ] e ter ( det <( PsiBld)> neq 0 ) . Ao multiplicar a equação acima à direita em ambos os lados por ( CBld ), encontramos [ notag ( PsiBld CBld) ^ < prime> = ABld (t) ( PsiBld CBld), ] e usando as propriedades do determinante ( det ( PsiBld CBld) = det <( PsiBld)> det <( CBld)> neq 0 ). Portanto, ( PsiBld CBld ) também é uma matriz fundamental. No entanto, tomando a derivada de ( CBld PsiBld ), encontramos [ notag ( CBld PsiBld) ^ prime = CBld ABld (t) PsiBld neq ABld (t) ( CBld PsiBld). ] Podemos ver então que se ( ABld (t) ) e ( CBld ) comutarem, isto é ( ABld (t) CBld = CBld ABld (t) ) , então ( CBld PsiBld ) será uma matriz fundamental.

Exercício 23

Sejam ( PsiBld_1 ) e ( PsiBld_2 ) duas matrizes fundamentais de [ frac < dee xBld> < dt> = ABld (t) xBld. ] Mostre que existe uma constante ( CBld ), ( det <( CBld)> neq 0 ), de modo que ( PsiBld_1 = PsiBld_2 CBld ).
Dica: mostre que (( PsiBld_2 ^ <-1> PsiBld_1) ^ prime = ZeroBld ) e use a regra do produto para matrizes (( ABld BBld) ^ prime = ABld ^ prime BBld + ABld BBld ^ prime ) (veja os exercícios no suplemento sobre matrizes e vetores).

Solução

Vemos por computação direta que [ notag begin ABld PsiBld_1 = PsiBld_1 ^ prime & amp = ( PsiBld_2 PsiBld_2 ^ <-1> PsiBld_1) ^ prime & amp = PsiBld_2 ^ prime ( PsiBld_2 ^ <-1> PsiBld_1) + PsiBld_2 ( PsiBld_2 ^ <-1> PsiBld_1) ^ prime & amp = ABld PsiBld_2 PsiBld_2 ^ <-1> PsiBld_1 + PsiBld_2 ( PsiBld_2 ^ <-1> PsiBld_1) ^ prime & amp = ABld PsiBld_1 + PsiBld_2 ( PsiBld_2 ^ <-1> PsiBld_1) ^ prime. fim] Subtraindo ( ABld PsiBld_1 ) de ambos os lados, obtemos [ notag PsiBld_2 ( PsiBld_2 ^ <-1> PsiBld_1) ^ prime = ZeroBld. ] Desde ( PsiBld_2 ) é invertível, podemos concluir [ notag ( PsiBld_2 ^ <-1> PsiBld_1) ^ prime = ZeroBld. ] e, portanto, há uma matriz constante ( CBld ) tal que ( PsiBld_2 ^ <-1> PsiBld_1 = CBld ) e [ notag det <( CBld)> = frac < det <( PsiBld_1) >> < det <( PsiBld_2) >> neq 0. ]

Exercício 24

O problema anterior implica que se ( PsiBld_1 ) e ( PsiBld_2 ) são matrizes fundamentais de [ frac < dee xBld> < dt> = ABld (t) xBld, ] então seus Wronskians (W_1 (t) = det <( PsiBld_1 (t))> ), (W_2 (t) = det <( PsiBld_2 (t))> ) diferem por um múltiplo constante (c neq 0 ), uma vez que [W_1 (t) = det <( PsiBld_1 (t))> = det <( CBld)> det <( PsiBld_2 (t))> = cW_2 (t) . ] Use o Teorema Wronskian de Liouville para chegar à mesma conclusão.

Solução

O Teorema Wronskiano de Liouville afirma que dada qualquer solução fundamental ( PsiBld (t) ) para [ frac < dee xBld> < dt> = ABld (t) xBld ], então o Wronskiano (W ( t) = det <( PsiBld (t))> ) deve satisfazer [ frac < dee> < dt> W (t) = tr left ( ABld (t) right) W ( t). ] Sejam ( PsiBld_1 (t) ) e ( PsiBld_2 (t) ) duas soluções fundamentais para o sistema acima, e sejam (W_1 (t) ), (W_2 (t) ) ) ser seus Wronskians. Mostraremos que (W_1 (t) / W_2 (t) ) é constante. Na verdade, tomando sua derivada e usando o Teorema Wronskiano de Liouville, encontramos [ begin left ( frac right) ^ prime & amp = frac - frac & amp = tr left ( ABld right) left ( frac - frac direita) = 0. fim] Portanto, concluímos que existe um (c neq 0 ) tal que (W_1 (t) = cW_2 (t) ).

Exercício 25

Considere a equação diferencial linear de ordem homogênea (n ^ < mathrm th> ) na forma normal [ frac < dee ^ n y> < dt> + a_1 (t) frac < dee ^y> < dt> + ldots + a_(t) frac < dee y> < dt> + a_n (t) y = 0, ] e seu sistema linear de primeira ordem (n ) -dimensional equivalente [ frac < dee xBld> < dt> = ABld (t) xBld. ] Mostre o Teorema Wronskiano de Abel para a equação de ordem (n ^ < mathrm th> ) usando o Teorema Wronskiano de Liouville para o sistema linear de primeira ordem.

Solução

O sistema linear de ordem (n ^ < mathrm th> ) pode ser escrito como um sistema linear de primeira ordem (n ) -dimensional [ frac < dee xBld> < dt> = ABld (t ) xBld, qquad text xBld = begin x_1 x_2 vdots x_n end = begin y y ^ prime vdots y ^ <(n-1)> end, ] e [ ABld (t) = begin 0 & amp 1 & amp 0 & amp cdots & amp 0 0 & amp ddots & amp ddots & amp ddots & amp vdots vdots & amp ddots & amp 0 & amp 1 & amp 0 0 & amp cdots & amp 0 & amp 0 & amp 1 -a_n (t) & amp cdots & amp -a_3 (t) & amp a_2 (t) & amp -a_1 (t) end] Se (Y_1, Y_2, ldots Y_n ) forem (n ) soluções linearmente independentes para o (n ^ < mathrm th> ) sistema linear de ordem, então, correspondentemente, [ xBld_1 = begin Y_1 Y_1 ^ prime vdots Y ^ <(n-1)> _ 1 fim, quad xBld_2 = begin Y_2 Y_2 ^ prime vdots Y ^ <(n-1)> _ 2 end, quad ldots xBld_n = begin Y_n Y_n ^ prime vdots Y ^ <(n-1)> _ n fim] são um conjunto fundamental de soluções. Além disso, os Wronskians definem a mesma quantidade [W [Y_1, Y_2, ldots, Y_n] (t) = W [ xBld_1, xBld_2, ldots, xBld_n] (t). ] Portanto, desde ( tr left ( ABld (t) right) = -a_1 (t) ), Wronskian de Liouvilles imediatamente implica [ frac < dee> < dt> W [Y_1, Y_2, ldots Y_n] (t) = -a_1 (t) W [Y_1, Y_2, ldots Y_n] (t), ] que é apenas o Teorema Wronskiano de Abel.


Limites de funções com valor vetorial

Vejamos alguns exemplos de avaliação de limites de funções com valor vetorial. Considere a função com valor vetorial $ vec(t) = (t ^ 2 - 1, t + 1, e ^ t) $ e suponha que quiséssemos calcular $ lim_ vec(t) $. Para calcular esse limite, tudo o que precisamos fazer é calcular os limites dos componentes.

Para outro exemplo, considere a função com valor vetorial $ vec(t) = left ( frac, frac, t ^ 2 + 3 right) $ e suponha que quiséssemos calcular $ lim_ vec(t) $. Para calcular esse limite, calcularemos todos os limites dos componentes novamente, porém, desta vez, os limites são um pouco mais complicados de calcular. Felizmente, já aprendemos várias regras para avaliar limites.

Por $ lim_ frac$ usaremos a regra de L'Hospital, e assim $ lim_ frac overset = lim_ frac <1>= 1$ .

Por $ lim_ frac$, podemos usar substituição direta e, portanto, $ lim_ frac = -1$ .

Agora $ lim_ t ^ 2 + 3 $ também é fácil de calcular por substituição direta e, portanto, $ lim_ t ^ 2 + 3 = 3 $.

Assim, temos que $ lim_ vec(t) = (1, -1, 3) $.

O teorema a seguir nos dá uma definição formal para dizer uma função com valor vetorial $ vec(t) $ tem limite $ vec$ em $ t = a $, que é análogo aos limites de funções com valor real.


  1. Se $ f: mathbb R to mathbb R $ é contínuo e idempotente então $ I = f ( mathbb R) $ é um intervalo fechado e $ f (x) = x $ para todos $ x em I $.
  2. Se $ f $ também é diferenciável e não constante, então $ I = mathbb R $, ou seja, $ f (x) = x $ para todos os $ x in mathbb R $.

Prova de 1.: Se $ f $ é contínuo e idempotente, então $ I = f ( mathbb R) $ é um intervalo apenas por continuidade junto com o IVT. Se $ A = $, então $ A $ é um conjunto fechado por continuidade, $ A subseteq I $ porque cada $ x em A $ é igual a $ f (x) em I $, e $ I subseteq A $ por idempotência. Assim, $ I = A $, confirmando que $ I $ é um fechado intervalo em que $ f $ é a função de identidade.

Prova de 2.: Suponha que $ f $ seja contínuo e idempotente, mas não constante e nem a função de identidade. Então $ I $ não é $ mathbb R $, não é um singleton, então por 1. $ I $ é um intervalo fechado não trivial que é limitado acima ou abaixo (ou ambos). Suponha que $ I $ seja limitado acima e seja $ b = sup (I) = max (I) $, a última igualdade mantida por fechamento de $ I $. Como $ I $ é um intervalo não trivial, $ I $ contém $ (a, b] $ para algum $ a & ltb $. Segue-se que $ f $ não é diferenciável em $ x = b $, porque $ lim limits_ dfrac= 1 $, mas para todos $ h & gt0 $, $ dfrac leq 0 $. Se $ f $ é limitado abaixo, um argumento semelhante se aplica para mostrar que $ f $ não é diferenciável em $ inf (I) = min (I) $. Por contraposição, isso confirma que se $ f $ é idempotente, diferenciável e não constante, então $ I = mathbb R $, ou seja, $ f (x) = x $ para todos $ x in mathbb R $.

No caso em que $ f $ é contínuo e não constante ou a função de identidade, o gráfico de $ f $ consiste em um segmento de reta fechada ou raio na reta $ y = x $, tendo a forma $ <(x, x ): x in f ( mathbb R) > $, então se estende continuamente de uma maneira que é arbitrária, desde que os valores de $ y $ permaneçam em $ I = f ( mathbb R) = f (I) $. Este é um caso especial da descrição mais geral de Jair Taylor, onde $ S $ deve ser um intervalo e o mapa montado deve ser contínuo.

Para um determinado intervalo limitado $ [a, b] $, $ a & ltb $, uma fórmula para uma função idempotente contínua $ f $ tendo $ [a, b] = f ( mathbb R) $ é $ f (x) = fraturaarcsinleft(sinleft(frac right) right) + frac<2>,$

uma função de onda triangular obtida dilatando e deslocando o exemplo $ arcsin ( sin (x)) $ dado na resposta de Jair Taylor. Para obter raios fechados arbitrários, você pode deslocar e refletir $ y = | x | $ para obter $ y = pm | x-h | + h $.


Kronecker

Suponha que [f (t) = sum_r a_r e ^ ] Se os valores próprios $ theta_r $ são racionais, então $ f (t) $ é periódico. Caso contrário, o conjunto de autovalores tem uma base sobre os racionais, digamos $ seq theta1d $. Pelo teorema de Kronecker os pontos [(e ^, ldots, e ^), qquad m in ints ] são densos no toro $ d $ -dimensional. Se $ varphi $ é uma combinação linear racional de elementos básicos, existem inteiros $ c $ e $ seq c1k $ [c varphi = sum_^ k c_r theta_r ] Suponha que $ m $ seja escolhido de forma que os números $ m theta_r $ para $ r = 1, ldots, k $ estejam dentro de $ epsilon $ de um múltiplo inteiro de $ 2c pi $, então $ m varphi $ está próximo de um múltiplo inteiro de $ 2 pi $. Segue-se que, para cada $ epsilon $ positivo existe um inteiro positivo $ m $ tal que $ | U (m) -I | le epsilon $.


Documentação do tipo de enumeração

Denote qual norma / integral deve ser calculada pela função integrate_difference () em cada célula e compute_global_error () para todo o domínio. Vamos (f: Omega rightarrow mathbb^ c ) ser uma função de elemento finito com (c ) componentes onde componente (c ) é denotado por (f_c ) e ( hat) ser a função de referência (os argumentos fe_function e exact_solution para integrate_difference ()). Deixe (e_c = hat_c - f_c ) ser a diferença ou erro entre os dois. Além disso, deixe (w: Omega rightarrow mathbb^ c ) é a função de peso de integrate_difference (), que é assumido como igual a um se não for fornecido. Finalmente, seja (p ) o argumento expoente (para (L_p ) - normas).

A seguir, denotamos por (E_K ) o erro local calculado por integrate_difference () na célula (K ), enquanto (E ) é o erro global calculado por compute_global_error (). Observe que as integrais são aproximadas por quadratura da maneira usual:

[ int_A f (x) dx approx sum_q f (x_q) omega_q. ]

Da mesma forma para suprema sobre uma célula (T ):

[ e aí_ | f (x) | dx approx max_q | f (x_q) |. ]

A função ou diferença de funções está integrada em cada célula (K ):

[E_K = int_K sum_c ( hat_c - f_c) , w_c = int_K sum_c e_c , w_c ]

[E = sum_K E_K = int_ Omega sum_c ( hat_c - f_c) , w_c ]

[E = int_ Omega ( hat - f) = int_ Omega e. ]

Nota: Isso difere do que é normalmente conhecido como a média de uma função por um fator de ( frac <1> <| Omega |> ). Para calcular a média, você também pode usar compute_mean_value (). Finalmente, preste atenção ao sinal: if ( hat= 0 ), isso calculará o negativo da média de (f ).

O valor absoluto da função é integrado:

[E_K = int_K sum_c | e_c | , Banheiro ]

[E = sum_K E_K = int_ Omega sum_c | e_c | Banheiro, ]

O quadrado da função é integrado e a raiz quadrada do resultado é calculada em cada célula:

O valor absoluto da potência (p ) - ésima é integrado e a raiz (p ) - ésima é calculada em cada célula. O expoente (p ) é o argumento expoente de integrate_difference () e compute_mean_value ():

[E_K = left ( int_K sum_c | e_c | ^ p , w_c right) ^ <1 / p> ]

O valor absoluto máximo da função:

[E_K = sup_K max_c | e_c | , Banheiro ]

[E = max_K E_K = sup_ Omega max_c | e_c | , Banheiro ]

L2_norm da divergência de um campo vetorial. Espera-se que a função (f ) tenha (c geq text) componentes e o primeiro dim serão usados ​​para calcular a divergência:

O quadrado desta norma é o quadrado de L2_norm mais o quadrado de H1_seminorm:

[E_K = left ( int_K sum_c | nabla e_c | ^ p , w_c right) ^ <1 / p> ]

[E = left ( sum_K E_K ^ p right) ^ <1 / p> = left ( int_ Omega sum_c | nabla e_c | ^ p , w_c right) ^ <1 / p> ]

O mesmo que o H1_norm, mas usando L p :

[E_K = left ( int_K sum_c (| e_c | ^ p + | nabla e_c | ^ p) , w_c right) ^ <1 / p> ]

[E = left ( sum_K E_K ^ p right) ^ <1 / p> = left ( int_ Omega sum_c (| e_c | ^ p + | nabla e_c | ^ p) , w_c direita) ^ <1 / p> ]

[E_K = sup_K max_c | nabla e_c | , Banheiro ]

[E = max_K E_K = sup_ Omega max_c | nabla e_c | , Banheiro ]

[E_K = sup_K max_c | e_c | , w_c + sup_K max_c | nabla e_c | , Banheiro. ]

A norma global não é implementada em compute_global_error (), porque é impossível calcular a soma das normas globais a partir dos valores (E_K ). Como uma solução alternativa, você pode calcular o Linfty_norm global e W1infty_seminorm separadamente e, em seguida, adicioná-los para obter (com (w equiv 1 )):

Definição na linha 53 do arquivo vector_tools_common.h.


Derivado de um nfunção vetorial dimensional

Se os valores de uma função f mentir em um espaço vetorial de dimensão infinita X, como um espaço Hilbert, então f pode ser chamado de função vetorial de dimensão infinita.

Funções com valores em um espaço de Hilbert

Se o argumento de f é um número real e X é um espaço de Hilbert, então a derivada de f em um ponto t pode ser definido como no caso de dimensão finita:

A maioria dos resultados do caso de dimensão finita também se aplica ao caso de dimensão infinita, mutatis mutandis. A diferenciação também pode ser definida para funções de várias variáveis ​​(por exemplo, t & # x2208 R n < displaystyle t in mathbb ^> ou mesmo t & # x2208 Y < displaystyle t in Y>, onde Y é um espaço vetorial de dimensão infinita).

N.B. Se X é um espaço de Hilbert, então pode-se facilmente mostrar que qualquer derivada (e qualquer outro limite) pode ser calculada componente a

No entanto, a existência de uma derivada componente não garante a existência de uma derivada, já que a convergência componente em um espaço de Hilbert não garante convergência com respeito à topologia real do espaço de Hilbert.


Assista o vídeo: Introdução às Funções Vetoriais: LIMITE 1 (Outubro 2021).