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5.4: Integrais indefinidos e o teorema da mudança líquida - matemática


objetivos de aprendizado

  • Aplique as fórmulas básicas de integração.
  • Explique a importância do teorema da mudança líquida.
  • Use o teorema da mudança líquida para resolver problemas aplicados.
  • Aplique as integrais de funções ímpares e pares.

Nesta seção, usamos algumas fórmulas de integração básicas estudadas anteriormente para resolver alguns problemas-chave aplicados. É importante notar que essas fórmulas são apresentadas em termos de integrais indefinidos. Embora as integrais definidas e indefinidas estejam intimamente relacionadas, existem algumas diferenças importantes a serem lembradas. Uma integral definida é um número (quando os limites de integração são constantes) ou uma única função (quando um ou ambos os limites de integração são variáveis). Uma integral indefinida representa uma família de funções, todas as quais diferem por uma constante. Conforme você se familiariza com a integração, terá uma ideia de quando usar integrais definidas e quando usar integrais indefinidas. Você naturalmente selecionará a abordagem correta para um determinado problema, sem pensar muito sobre isso. No entanto, até que esses conceitos estejam cimentados em sua mente, pense cuidadosamente se você precisa de uma integral definida ou indefinida e certifique-se de usar a notação adequada com base em sua escolha.

Fórmulas Básicas de Integração

Lembre-se das fórmulas de integração fornecidas na seção sobre Antiderivadas e as propriedades de integrais definidos. Vejamos alguns exemplos de como aplicar essas fórmulas e propriedades.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Integrando uma função usando a regra de potência

Use a regra de potência para integrar a função ( displaystyle ∫ ^ 4_1 sqrt {t} (1 + t) , dt ).

Solução

A primeira etapa é reescrever a função e simplificá-la para que possamos aplicar a regra de potência:

[ begin {align *} ∫ ^ 4_1 sqrt {t} (1 + t) , dt & = ∫ ^ 4_1t ^ {1/2} (1 + t) , dt [4pt] & = ∫ ^ 4_1 (t ^ {1/2} + t ^ {3/2}) , dt. end {align *} ]

Agora aplique a regra de potência:

[ begin {align *} ∫ ^ 4_1 (t ^ {1/2} + t ^ {3/2}) , dt & = left. left ( frac {2} {3} t ^ {3/2} + frac {2} {5} t ^ {5/2} right) right | ^ 4_1 [4pt] & = esquerda [ frac {2} {3} (4) ^ {3/2} + frac {2} {5} (4) ^ {5/2} direita] - esquerda [ frac {2} { 3} (1) ^ {3/2} + frac {2} {5} (1) ^ {5/2} right] [4pt] & = frac {256} {15}. end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {1} )

Encontre a integral definida de (f (x) = x ^ 2−3x ) no intervalo ([1,3]. )

Dica

Siga o processo de Exemplo ( PageIndex {1} ) para resolver o problema.

Responder

[ int_1 ^ 3 left (x ^ 2 - 3x right) , dx = - frac {10} {3} nonumber ]

O Teorema da Mudança Líquida

O teorema da mudança líquida considera a integral de um taxa de variação. Diz que quando uma quantidade muda, o novo valor é igual ao valor inicial mais a integral da taxa de variação dessa quantidade. A fórmula pode ser expressa de duas maneiras. O segundo é mais familiar; é simplesmente a integral definida.

Teorema da mudança líquida

O novo valor de uma quantidade variável é igual ao valor inicial mais o integral da taxa de mudança:

[F (b) = F (a) + ∫ ^ b_aF '(x) dx label {Net1} ]

ou

[∫ ^ b_aF '(x) dx = F (b) −F (a). label {Net2} ]

Subtraindo (F (a) ) de ambos os lados da Equação ref {Net1} resulta a Equação ref {Net2}. Uma vez que são fórmulas equivalentes, qual usaremos depende da aplicação.

A importância do teorema da mudança líquida está nos resultados. A alteração líquida pode ser aplicada à área, distância e volume, para citar apenas alguns aplicativos. A variação líquida é responsável por quantidades negativas automaticamente, sem ter que escrever mais de um integral. Para ilustrar, vamos aplicar o teorema da mudança líquida a um velocidade função em que o resultado é deslocamento.

Vimos um exemplo simples disso na seção O Integral Definido. Suponha que um carro esteja se movendo para o norte (direção positiva) a 40 mph entre as 14h00 e 16h, então o carro se move para o sul a 30 mph entre as 16h00 e 17:00 Podemos representar graficamente esse movimento como mostrado na Figura ( PageIndex {1} ).

Assim como fizemos antes, podemos usar integrais definidas para calcular o deslocamento líquido, bem como a distância total percorrida. O deslocamento líquido É dado por

[∫ ^ 5_2v (t) , dt = ∫ ^ 4_240 , dt + ∫ ^ 5_4−30 , dt = 80−30 = 50. enhum número]

Assim, às 17 horas o carro está 50 milhas ao norte de sua posição inicial. O distância total viajado é dado por

[∫ ^ 5_2 | v (t) | , dt = ∫ ^ 4_240 , dt + ∫ ^ 5_430 , dt = 80 + 30 = 110. enhum número]

Portanto, entre 14h00 e às 17h, o carro percorreu um total de 110 milhas.

Para resumir, o deslocamento líquido pode incluir valores positivos e negativos. Em outras palavras, a função de velocidade leva em conta a distância para frente e para trás. Para encontrar o deslocamento líquido, integre a função de velocidade no intervalo. A distância total percorrida, por outro lado, é sempre positiva. Para encontrar a distância total percorrida por um objeto, independentemente da direção, precisamos integrar o valor absoluto da função de velocidade.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Encontrando o deslocamento líquido

Dada uma função de velocidade (v (t) = 3t − 5 ) (em metros por segundo) para uma partícula em movimento do tempo (t = 0 ) ao tempo (t = 3, ) encontre o deslocamento líquido da partícula.

Solução

Aplicando o teorema da mudança líquida, temos

[∫ ^ 3_0 (3t − 5) , dt = left ( frac {3t ^ 2} {2} −5t right) bigg | ^ 3_0 = left [ frac {3 (3) ^ 2 } {2} −5 (3) right] −0 = frac {27} {2} −15 = frac {27} {2} - frac {30} {2} = - frac {3} {2} enhum número]

O deslocamento líquido é (- frac {3} {2} ) m (Figura ( PageIndex {2} )).

Exemplo ( PageIndex {3} ): Encontrando a distância total percorrida

Use Example ( PageIndex {2} ) para encontrar a distância total percorrida por uma partícula de acordo com a função de velocidade (v (t) = 3t − 5 ) m / s em um intervalo de tempo ([0,3 ]. )

Solução

A distância total percorrida inclui os valores positivos e negativos. Portanto, devemos integrar o valor absoluto da função velocidade para encontrar a distância total percorrida.

Para continuar com o exemplo, use duas integrais para encontrar a distância total. Primeiro, encontre a interceptação (t ) - da função, uma vez que é onde ocorre a divisão do intervalo. Defina a equação igual a zero e resolva para (t ). Desse modo,

[ begin {align *} 3t − 5 & = 0 [4pt] 3t & = 5 [4pt] t & = frac {5} {3}. end {align *} ]

Os dois subintervalos são ( left [0, frac {5} {3} right] ) e ( left [ frac {5} {3}, 3 right] ). Para encontrar a distância total percorrida, integre o valor absoluto da função. Como a função é negativa no intervalo ( left [0, frac {5} {3} right] ), temos ( big | v (t) big | = −v (t) ) durante esse intervalo. Acima de ( left [ frac {5} {3}, 3 right] ), a função é positiva, então ( big | v (t) big | = v (t) ). Assim, temos

[ begin {align *} ∫ ^ 3_0 | v (t) | , dt & = ∫ ^ {5/3} _0 − v (t) , dt + ∫ ^ 3_ {5/3} v (t) , dt [4pt]
& = ∫ ^ {5/3} _0 5−3t , dt + ∫ ^ 3_ {5/3} 3t − 5 , dt [4pt]
& = left (5t− frac {3t ^ 2} {2} right) bigg | ^ {5/3} _0 + left ( frac {3t ^ 2} {2} −5t right) bigg | ^ 3_ {5/3} [4pt]
& = left [5 ( frac {5} {3}) - frac {3 (5/3) ^ 2} {2} right] −0+ left [ frac {27} {2} - 15 direita] - esquerda [ frac {3 (5/3) ^ 2} {2} - frac {25} {3} direita] [4pt]
& = frac {25} {3} - frac {25} {6} + frac {27} {2} −15− frac {25} {6} + frac {25} {3} [4pt]
& = frac {41} {6} end {align *} ]

Portanto, a distância total percorrida é ( frac {14} {6} ) m.

Exercício ( PageIndex {2} )

Encontre o deslocamento líquido e a distância total percorrida em metros dada a função velocidade (f (t) = frac {1} {2} e ^ t − 2 ) no intervalo ([0,2] ).

Dica

Siga os procedimentos de Exemplos ( PageIndex {2} ) e ( PageIndex {3} ). Observe que (f (t) ≤0 ) para (t≤ ln 4 ) e (f (t) ≥0 ) para (t≥ ln 4 ).

Responder

Deslocamento líquido: ( frac {e ^ 2−9} {2} ≈ − 0,8055 ) m; distância total percorrida: (4 ln 4−7,5 + frac {e ^ 2} {2} ≈1,740 ) m.

Aplicando o Teorema da Mudança Líquida

O teorema da variação líquida pode ser aplicado ao fluxo e consumo de fluidos, como mostrado no Exemplo ( PageIndex {4} ).

Exemplo ( PageIndex {4} ): Quantos galões de gasolina são consumidos?

Se o motor de um barco a motor der partida em (t = 0 ) e o barco consumir gasolina a uma taxa de (5 − t ^ 3 ) gal / h, quanta gasolina é usada no primeiro (2 ) horas?

Solução

Expresse o problema como uma integral definida, integre e avalie usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Os limites de integração são os pontos finais do intervalo [0,2]. Nós temos

[ begin {align *} ∫ ^ 2_0 left (5 − t ^ 3 right) , dt & = left (5t− frac {t ^ 4} {4} right) ∣ ^ 2_0 [4pt] & = left [5 (2) - frac {(2) ^ 4} {4} right] −0 [4pt] & = 10− frac {16} {4} [ 4pt] & = 6. end {align *} ]

Assim, a lancha gasta (6 ) galões de gás em (2 ) horas.

Exemplo ( PageIndex {5} ): Abridor de Capítulo: Iceboats

Como vimos no início do capítulo, top barco de gelo os pilotos podem atingir velocidades de até cinco vezes a velocidade do vento. Andrew é um barco de gelo intermediário, portanto, ele atinge velocidades iguais a apenas duas vezes a velocidade do vento.

Suponha que Andrew pegue seu iceboat numa manhã em que uma brisa leve (5 ) mph sopra durante toda a manhã. Enquanto Andrew monta seu iceboat, no entanto, o vento começa a aumentar. Durante a primeira meia hora de embarque no iceboard, a velocidade do vento aumenta de acordo com a função (v (t) = 20t + 5. ) Durante a segunda meia hora do passeio de Andrew, o vento permanece estável a (15 ) mph. Em outras palavras, a velocidade do vento é dada por

[v (t) = begin {cases} 20t + 5, & text {for} 0≤t≤ frac {1} {2} 15, & text {for} frac {1} { 2} ≤t≤1 end {cases} nonumber ]

Lembrando que o iceboat de Andrew viaja com o dobro da velocidade do vento, e supondo que ele se mova em linha reta para longe de seu ponto de partida, qual é a distância de Andrew de seu ponto de partida depois de (1 ) hora?

Solução

Para descobrir o quanto Andrew viajou, precisamos integrar sua velocidade, que é o dobro da velocidade do vento. Então

[ text {Distância} = ∫ ^ 1_02v (t) , dt. enhum número]

Substituindo as expressões que recebemos para (v (t) ), obtemos

[ begin {align *} ∫ ^ 1_02v (t) , dt & = ∫ ^ {1/2} _02v (t) , dt + ∫ ^ 1_ {1/2} 2v (t) , dt [4pt]
& = ∫ ^ {1/2} _02 (20t + 5) , dt + ∫ ^ 1_ {1/3} 2 (15) , dt [4pt]
& = ∫ ^ {1/2} _0 (40t + 10) , dt + ∫ ^ 1_ {1/2} 30 , dt [4pt]
& = big [20t ^ 2 + 10t big] bigg | ^ {1/2} _0 + big [30t big] bigg | ^ 1_ {1/2} [4pt]
& = left ( frac {20} {4} +5 right) −0+ (30−15) [4pt]
& = 25. end {align *} ]

Andrew está a 40 km de seu ponto de partida após 1 hora.

Exercício ( PageIndex {3} )

Suponha que, em vez de permanecer estável durante a segunda meia hora da saída de Andrew, o vento comece a diminuir de acordo com a função (v (t) = - 10t + 15. ) Em outras palavras, a velocidade do vento é dada por

[v (t) = begin {cases} 20t + 5, & text {for} 0≤t≤ frac {1} {2} - 10t + 15, & text {for} frac { 1} {2} ≤t≤1 end {casos}. enhum número]

Nessas condições, a que distância está Andrew de seu ponto de partida depois de 1 hora?

Dica

Não se esqueça de que o iceboat de Andrew se move duas vezes mais rápido que o vento.

Responder

(17,5 ) mi

Integrando funções pares e ímpares

Vimos em funções e gráficos que um função par é uma função na qual (f (−x) = f (x) ) para todos (x ) no domínio — isto é, o gráfico da curva permanece inalterado quando (x ) é substituído por (−x ). Os gráficos das funções pares são simétricos em relação ao eixo (y ). A Função estranha é aquele em que (f (−x) = - f (x) ) para todos (x ) no domínio, e o gráfico da função é simétrico em relação à origem.

Integrais de funções pares, quando os limites de integração são de (- a ) a (a ), envolvem duas áreas iguais, porque são simétricas em relação ao eixo (y ). Integrais de funções ímpares, quando os limites de integração são similarmente ([- a, a], ) avaliam a zero porque as áreas acima e abaixo do eixo (x ) - são iguais.

Integrais de funções pares e ímpares

Para funções pares contínuas tais que (f (−x) = f (x), )

[∫ ^ a _ {- a} f (x) , dx = 2∫ ^ a_0f (x) , dx. ]

Para funções ímpares contínuas, tais que (f (−x) = - f (x), )

[∫ ^ a _ {- a} f (x) , dx = 0. ]

Exemplo ( PageIndex {6} ): Integrando uma função par

Integre a função par ( displaystyle ∫ ^ 2 _ {- 2} (3x ^ 8−2) , dx ) e verifique se a fórmula de integração para as funções pares é válida.

Solução

A simetria aparece nos gráficos da Figura ( PageIndex {4} ). O gráfico (a) mostra a região abaixo da curva e acima do eixo (x ). Temos que ampliar bastante este gráfico para ver a região. O gráfico (b) mostra a região acima da curva e abaixo do eixo (x ). A área sinalizada desta região é negativa. Ambas as visualizações ilustram a simetria sobre o eixo (y ) de uma função par. Nós temos

[ begin {align *} ∫ ^ 2 _ {- 2} (3x ^ 8−2) , dx & = left ( frac {x ^ 9} {3} −2x right) ∣ ^ 2 _ {- 2} [4pt]
& = left [ frac {(2) ^ 9} {3} −2 (2) right] - left [ frac {(- 2) ^ 9} {3} −2 (−2) right ] [4pt]
& = left ( frac {512} {3} −4 right) - left (- frac {512} {3} +4 right) [4pt]
& = frac {1000} {3}. end {align *} ]

Para verificar a fórmula de integração para funções pares, podemos calcular a integral de (0 ) a (2 ) e dobrá-la, em seguida, verifique se obtemos a mesma resposta.

[∫ ^ 2_0 (3x ^ 8−2) , dx = left ( frac {x ^ 9} {3} −2x right) bigg | ^ 2_ {0} = frac {512} {3 } −4 = frac {500} {3} nonumber ]

Como (2⋅ frac {500} {3} = frac {1000} {3}, ) verificamos a fórmula para funções pares neste exemplo particular.

Exemplo ( PageIndex {7} ): Integrando uma função ímpar

Avalie a integral definida da função ímpar (- 5 sin x ) no intervalo ([- π, π]. )

Solução

O gráfico é mostrado na Figura ( PageIndex {5} ). Podemos ver a simetria sobre a origem pela área positiva acima do eixo (x ) - sobre ([- π, 0] ), e a área negativa abaixo do eixo (x ) - sobre ([ 0, π]. ) Temos

[ begin {align *} ∫ ^ π _ {- π} −5 sin x , dx & = - 5 (- cos x) bigg | ^ π _ {- π} [4pt] & = 5 cos x , bigg | ^ π _ {- π} [4pt] & = [5 cos π] - [5 cos (−π)] [4pt] & = - 5 - (- 5 ) = 0. end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {4} )

Integre a função ( displaystyle ∫ ^ 2 _ {- 2} x ^ 4 , dx. )

Dica

Integre uma função uniforme.

Responder

( dfrac {64} {5} )

Conceitos chave

  • O teorema da mudança líquida afirma que, quando uma quantidade muda, o valor final é igual ao valor inicial mais a integral da taxa de mudança. A mudança líquida pode ser um número positivo, um número negativo ou zero.
  • A área sob uma função par em um intervalo simétrico pode ser calculada dobrando a área sobre o eixo positivo (x ). Para uma função ímpar, a integral em um intervalo simétrico é igual a zero, porque metade da área é negativa.

Equações Chave

  • Teorema da mudança líquida [F (b) = F (a) + ∫ ^ b_aF '(x) , dx não numérico ] ou [∫ ^ b_aF' (x) , dx = F (b) −F ( a) nonumber ]

Glossário

teorema da mudança líquida
se sabemos a taxa de variação de uma quantidade, o teorema da variação líquida diz que a quantidade futura é igual à quantidade inicial mais a integral da taxa de variação da quantidade

Contribuintes e atribuições

  • Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) com muitos autores contribuintes. Este conteúdo da OpenStax é licenciado com uma licença CC-BY-SA-NC 4.0. Baixe gratuitamente em http://cnx.org.


5.4 Integrais indefinidos e o teorema da mudança líquida

INTEGRAIS INDEFINIDOS
Uma integral indefinida é basicamente a antiderivada da função. Ele não tem limites superior e inferior porque isso o tornaria uma integral finita. Integrais indefinidos precisam do + C!

Tabela de Integrais Indefinidos












Problema de amostra
Encontre a integral indefinida geral

O Integral de uma taxa de mudança é a mudança líquida (deslocamento para funções de posição)


Basicamente, esse teorema afirma que o inteiro de f ou F 'de a a b é a área entre aeb ou a diferença de área da posição de F (a) a F (b).

Isso pode ser aplicado a coisas como:
volume
concentração
densidade
população
custo
velocidade

Então, para uma função de velocidade:
Para calcular o deslocamento, podemos u veja a equação



para calcular a distância total percorrida podemos somar os valores absolutos das áreas de cada setor de cada x int ereto para a próxima interceptação x

Problema de amostra
Uma partícula se move ao longo de uma linha de modo que sua velocidade no tempo t seja

(em)

a) encontre o deslocamento de t = [1,4]
b) encontrar a distância percorrida durante esse período de tempo

Encontrando o deslocamento:


Encontrar a distância total percorrida durante esse período de tempo

A distância total percorrida e o deslocamento são iguais porque a função de posição não passa abaixo do eixo x, portanto, não há áreas negativas. Se houvesse áreas negativas o deslocamento seria um número menor e a distância permaneceria a mesma.


Problemas resolvidos

Clique ou toque em um problema para ver a solução.

Exemplo 1

Exemplo 2

Exemplo 3

Exemplo 4

Exemplo 5

Exemplo 6

Exemplo 7

Exemplo 8

Exemplo 9

Exemplo 10

Exemplo 1.

Para estimar o consumo de combustível, usamos o teorema da variação líquida. Isso produz:

Exemplo 2.

A integral da taxa de mudança de (t = 0 ) para (t = 4 ) é a variação líquida da população de peixes:

Portanto, a população de peixes aumentará em (F = 104 ) milhares.

Exemplo 3.

Seja (T ) o tempo necessário para encher o tanque. Usando integração, temos

Para encontrar o tempo (T, ), devemos resolver a equação quadrática

As raízes da equação são (> = 100, 20 , text. ) A primeira raiz ( = 100 , text) não faz sentido, pois a taxa do fluxo de água torna-se negativa para (T gt 60 , text.)

Assim, a resposta é (T = 20 , text.)

Exemplo 4.

Pelo teorema da mudança líquida,

Onde () e (G ) são as populações inicial e final, respectivamente.

Ao integrar de (t = 0 ) a (T = 36 ) meses, obtemos o aumento total no número de pessoas:

Assim, a população final em (3 ) anos deverá ser

Exemplo 5.

Determine o tempo (T ) que leva para encher a piscina.

Usando o teorema da mudança líquida, encontramos a altura máxima:

Exemplo 6.

Figura 1.

Substituindo (T left (t right) ) na equação por (g left (T right) ), obtemos a taxa de crescimento como uma função explícita do tempo (t: )

Integrando sobre o (12- text) rendimentos do período:

Exemplo 7.

Figura 2.

Primeiro, escrevemos a saída de potência relativa em função do tempo (t: )

Integrar a energia durante o período de (1 ) mês nos dá a energia total produzida para o período. O valor médio da potência é igual à energia dividida pela duração do intervalo de tempo. Por isso,

Exemplo 8.

Assumimos que a dose absorvida de radiação (R left (t right) ) é proporcional à quantidade de material radioativo:

Onde () é a taxa inicial de absorção de radiação.

A quantidade total de dose absorvida é dada pelo integral impróprio:

Vamos agora determinar a quantidade de dose absorvida de radiação para o período de (>. ) O tempo de meia-vida (> ) é definido a partir da condição:

Segue daqui que

Integrando de (t = 0 ) a (t = nT_ <1/2> ) produz

Assim, no momento igual ao tempo de meia-vida, a dose cumulativa absorvida é ( large < frac <1> <2>> normalsize ) da quantidade total. Na hora (2>, ) a dose absorvida já é ( grande < frac <3> <4>> tamanho normal ) da quantidade total, etc.

Esse padrão é típico de qualquer processo descrito pela função de decaimento exponencial.

Exemplo 9.

Usando o teorema da mudança líquida, podemos escrever () na forma

Da mesma forma, podemos expressar o volume de óleo vazado para o (2 text) hora (:)

Portanto, o valor de () é igual a

Exemplo 10.

Figura 4.

Podemos ter certeza de que a mudança líquida no nível de hormônio ao longo do intervalo de (24 - ) horas é igual a zero:

onde (P ) e (Q ) denotam a quantidade total do hormônio, respectivamente, produzido e removido no período.

Agora vamos & # 8217s derivar a expressão para o nível de hormônio (H ) em um tempo arbitrário (T, ) onde (<0 le T le 24>. ) Usando o teorema da mudança líquida, temos

O nível de hormônio (H ) é máximo quando

Embora essa equação seja não linear, podemos notar que (t = 12 ) é sua solução. A taxa total (p left (t right) & # 8211 q left (t right) ) muda o sinal de positivo para negativo neste ponto. Portanto, o nível de hormônio (H ) atinge o valor máximo em (t = 12. )


O Indefinido Integral

O integral indefinida (também chamado de antiderivada, e às vezes o integral primitiva) está relacionado ao integral definida através de teorema fundamental do cálculo - um tópico que exploraremos com alguma profundidade em outra parte desta seção. Nós sabemos que o integral definida nos dará a área da região sob uma curva para uma função contínua em um intervalo fechado. Como tal, é avaliado como um número. A integral indefinida não avaliar para um número. Em vez disso, a integral indefinida é uma função. Na verdade, como veremos, é um todo família de funções com um número infinito de membros.

O nome antiderivada na verdade, descreve muito bem a natureza da integral indefinida. É, em essência, o oposto da derivada. Suponha que temos uma função ƒ (x) para o qual queremos encontrar a integral indefinida. Já estabelecemos que estamos procurando uma função. Acontece que ƒ (x) é realmente o derivado da função que procuramos. Vejamos um exemplo. Suponha que queremos encontrar a integral indefinida da função ƒ (x) = x & thinsp2 + 2x . Nós sabemos que ƒ (x) é a derivada da função que procuramos, mas como invertemos o processo de diferenciação para obter a integral indefinida? Vamos pensar sobre o que tivemos que fazer para obter a derivada em primeiro lugar.

Considere o termo x & thinsp2. Quando diferenciamos um poder de x , nós multiplicamos o coeficiente de x pelo expoente para o qual x é aumentado e, em seguida, diminui o expoente em um. Para reverter o processo, precisamos incrementar o expoente por um e dividir o coeficiente de x pelo novo expoente. O novo expoente de x será, portanto, três (3), e o novo coeficiente de x vai ser um terço ( 1 /3 ) A integral de x & thinsp2 é, portanto, 1 /3 & thinspx & thinsp3. Aplicando o mesmo procedimento ao termo 2x , vemos que a integral de 2x devemos ser x & thinsp2. A função que procuramos - que chamaremos F(x) - será, portanto:

Se isso estiver correto, então encontrar a derivada desta função deve nos dar a função original ƒ (x) = x & thinsp2 + 2x . Aplicando as regras básicas de diferenciação para F(x) irá confirmar que este é o caso:

Em termos gerais, podemos definir a integral indefinida de ƒ (x) como qualquer função F(x) de tal modo que:

Há um problema potencial aqui, no entanto. Considere as seguintes possibilidades para F(x) :

Agora pense em qual será a derivada para cada uma dessas funções. Você certamente descobrirá que todos eles terão a mesma derivada, ou seja,

Por quê? Porque o último termo em todos os casos é um constante. Sempre que diferenciamos uma constante, obtemos zero. Portanto, realmente não importa o termo constante que temos no final de uma função durante a diferenciação. Qualquer coleção de funções que apenas diferem umas das outras por um termo constante terá a mesma derivada. Quando você pensa sobre isso, isso é perfeitamente lógico. Por quê? Porque a derivada de uma função simplesmente nos dá o inclinação dessa função para um determinado valor de x . Adicionar um valor constante a uma função não muda sua inclinação, apenas sua orientação vertical. Podemos ver isso na ilustração abaixo.

Adicionar um termo constante a uma função não altera sua inclinação

Na verdade, há um número infinito de funções que nos darão exatamente a mesma derivada. A única diferença entre eles será o termo constante. Poderíamos, portanto, talvez escrever a integral indefinida da função ƒ (x) = x & thinsp2 + 2x do seguinte modo:

onde o ponto de interrogação representa o valor constante desconhecido. Voltaremos à questão de como lidamos com esse valor desconhecido em breve. Enquanto isso, vamos voltar nossa atenção para a notação que devemos usar aqui para a integral indefinida. Você provavelmente se lembra de como escrever um integral definida para uma função ƒ (x) :

O símbolo integral (esse é o caractere longo no lado esquerdo) nos diz que estamos olhando para uma integral, e os caracteres subscritos e sobrescritos uma e b imediatamente à direita do símbolo de integração estão os limites inferior e superior de integração respectivamente. A função ƒ (x) é o integrando (ou seja, o que estamos integrando), e o dx no final nos diz que x é nosso variável de integração (também pode ser visto como representando incrementos infinitesimalmente pequenos de x ) Agora veja como escrevemos o indeterminado integral de ƒ (x) :

À primeira vista, isso parece o mesmo que a notação para uma integral definida. Observe, no entanto, que os limites superior e inferior de integração estão ausentes. Isso é porque lá é não domínio de integração. Considerando que a integral definida nos leva a um número que representa a área de uma região limitada sob o gráfico de uma função, o integral indefinida é simplesmente outra função - a função que obtemos, de fato, revertendo o processo de diferenciação que nos deu a função ƒ (x) Este processo, que é o inverso da diferenciação, é denominado antidiferenciação (ou integração indefinida).

Ainda precisamos fazer algo sobre o termo constante que se perdeu quando realizamos nossa diferenciação (para simplificar as coisas, vamos trabalhar no pressuposto de que lá estava um termo constante, mesmo que não houvesse). Obviamente, não há como determinar o valor do termo constante. Uma vez eliminado no processo de diferenciação, ele desaparece para sempre. Mas como mostramos essa constante ausente em nossa notação? A resposta é muito simples. Nós apenas usamos a carta C como um espaço reservado. Aqui está como escrevemos a integral indefinida da função ƒ (x) = x & thinsp2 + 2x :

& intx & thinsp2 + 2x dx = 1 /3 & thinspx & thinsp3 + x & thinsp2 + C

A carta C representa todos os valores possíveis da constante ausente, incluindo zero. Nós chamamos C a constante de integração. O dx que segue o integrando é um diferencial. Na verdade, você já deve estar bastante familiarizado com ele pelo seu estudo de cálculo diferencial. É muito importante e deve Nunca ser omitido. Por quê? Bem, para começar, ele nos diz onde a expressão a ser integrada (o integrando) termina. No exemplo acima, sua ausência não causaria realmente um problema, mas considere a seguinte integral indefinida:

& int3x & thinsp2 + 2x dx + 3 = x & thinsp3 + x & thinsp2 + C + 3

Suponha que esquecemos de incluir o dx no lado esquerdo da equação? Obviamente, nossa notação estaria incorreta. De muito mais importância, porém, é o fato de que obteríamos o resposta errada, ou seja,

& int3x & thinsp2 + 2x + 3 = x & thinsp3 + x & thinsp2 + 3x + C

Existem outros bons motivos para sempre incluir o diferencial. Por exemplo, ele nos diz para qual variável estamos integrando (ou seja, se estamos integrando para x , ou para alguma outra variável). Isso é particularmente importante se quisermos nos aventurar nos domínios do cálculo multivariável. Mesmo se nunca formos além do cálculo de variável única, inevitavelmente encontraremos problemas de integração muito mais complexos do que os exemplos que examinamos até agora. Freqüentemente, isso envolverá a manipulação de equações usando operações algébricas que dependem da presença do diferencial.

Juntando tudo que aprendemos até agora, podemos agora expressar a integral indefinida de uma função ƒ (x) do seguinte modo:

Onde F(x) satisfaz a condição de:

Embora falemos sobre o teorema fundamental do cálculo com muito mais detalhes em outro lugar, vale a pena esboçar brevemente o teorema aqui, a fim de lhe dar uma ideia de como integração e diferenciação estão relacionadas, e porque a integral indefinida pode nos ajudar a calcular um integral definida para uma função integrável. O teorema em si está dividido em duas partes. A primeira parte, que às vezes é chamada de primeiro teorema fundamental do cálculo, essencialmente apenas nos diz que integração e diferenciação são o inverso uma da outra. A segunda parte, às vezes chamada de segundo teorema fundamental do cálculo, nos diz que podemos calcular um integral definida para uma função usando um de seus integrais indefinidos (dos quais, lembre-se, há um número infinito).

Já vimos um exemplo de como podemos aplicar a primeira parte do teorema para encontrar a integral indefinida de uma função, simplesmente aplicando a regra de potência para integração. Esta regra é essencialmente a inverso da regra de poder usada na diferenciação. É baseado em Fórmula de quadratura de Cavalieri, que leva o nome de um matemático italiano do século XVII Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1647). A fórmula da regra do poder de integração é a seguinte:

Observe que n não deve ser igual a menos um ( n ≠ -1) porque isso colocaria um zero no denominador do lado direito da fórmula. As cartas uma e C representam o coeficiente constante de x , e a constante de integração, respectivamente. Essa regra por si só nos permite integrar todas as funções polinomiais de uma variável. Tal como acontece com a diferenciação, integramos cada termo separadamente e o sinal de mais ou menos na frente de cada termo não muda. Funções mais complexas exigirão regras adicionais, sobre as quais falaremos em outra parte desta seção. A integração não tem equivalentes para o produto e as regras de quociente usadas na diferenciação. Se encontrarmos um produto ou quociente em um problema de integração, precisamos encontrar outras maneiras de lidar com eles.

A consequência mais importante do segundo teorema fundamental do cálculo é que ele nos dá uma maneira relativamente direta de avaliar uma integral definida para uma função. Em poucas palavras, ele nos diz que se uma função é contínua ao longo de algum intervalo fechado, então o integral definida para esse intervalo (ou domínio de integração) pode ser calculado encontrando os valores do integral indefinida (que é uma função, lembre-se) em cada final do intervalo. A integral definida será a diferença entre esses dois valores. Em outras palavras, se a função F(x) é a integral indefinida da função ƒ (x), e ƒ (x) é contínuo ao longo do intervalo fechado [uma, b] , então:

Vamos tentar um exemplo. Encontraremos a integral definida para a função ƒ (x) = 2x & thinsp5 - 10x & thinsp3 + 5 para -2 & le x & le 2. O gráfico desta função é mostrado abaixo. Como você pode ver, a integral definida terá componentes positivos e negativos.

O gráfico da função ƒ (x) = 2x & thinsp5 - 10x & thinsp3 + 5 para -2 & le x & le 2

Aplicando a regra de potência para integração a cada termo da função, temos o seguinte:

& int2x & thinsp5 dx = 2x & thinsp6 = 1x & thinsp6
63
& int-10x & thinsp3 dx = -10x & thinsp4 = -5x & thinsp4
42
& int5 dx = 5x = 5x
1

A integral indefinida F(x) para a função ƒ (x) = 2x & thinsp5 - 10x & thinsp3 + 5 é, portanto, dado por:

F(x) = & int2x & thinsp5 - 10x & thinsp3 + 5 dx = 1 /3 & thinspx & thinsp6 - 5 /2 & thinspx & thinsp4 + 5x

E a integral definida para a função ƒ (x) = 2x & thinsp5 - 10x & thinsp3 + 5 para -2 & le x & le 2 será:

& int 2 2x & thinsp5 - 10x & thinsp3 + 5 dx = F(2) - F(-2)
-2
& int 2 2x & thinsp5 - 10x & thinsp3 + 5 dx = (21 1 /3 - 40 + 10) - (21 1 /3 - 40 - 10)
-2
& int 2 2x & thinsp5 - 10x & thinsp3 + 5 dx = -8 2 /3 + 28 2 /3 = 20
-2

Qual é a resposta correta. Se você precisar verificar o resultado de seus cálculos, existem muitas calculadoras integrais definidas online que você pode usar, como esta no Império Numérico local na rede Internet:


5.4: Integrais indefinidos e o teorema da mudança líquida - matemática

Siga o processo em [link] para resolver o problema.

O Teorema da Mudança Líquida

O teorema da mudança líquida considera a integral de um taxa de variação . Diz que quando uma quantidade muda, o novo valor é igual ao valor inicial mais a integral da taxa de variação dessa quantidade. A fórmula pode ser expressa de duas maneiras. O segundo é mais familiar, é simplesmente a integral definida.

O novo valor de uma quantidade variável é igual ao valor inicial mais a integral da taxa de mudança:

A importância do teorema da mudança líquida está nos resultados. A alteração líquida pode ser aplicada à área, distância e volume, para citar apenas alguns aplicativos. A variação líquida é responsável por quantidades negativas automaticamente, sem ter que escrever mais de um integral. Para ilustrar, vamos & # 8217s aplicar o teorema da mudança líquida a uma função de velocidade em que o resultado é o deslocamento.

Vimos um exemplo simples disso em The Definite Integral. Suponha que um carro esteja se movendo para o norte (direção positiva) a 40 mph entre as 14h00 e 16h, então o carro se move para o sul a 30 mph entre as 16h00 e 17:00 Podemos representar graficamente este movimento como mostrado em [link].

O gráfico mostra a velocidade em função do tempo para determinado movimento de um carro.

Assim como fizemos antes, podemos usar integrais definidas para calcular o deslocamento líquido, bem como a distância total percorrida. O deslocamento líquido é dado por

Assim, às 17 horas o carro está 50 milhas ao norte de sua posição inicial. A distância total percorrida é dada por

Portanto, entre 14h00 e às 17h, o carro percorreu um total de 110 milhas.

Para resumir, o deslocamento líquido pode incluir valores positivos e negativos. Em outras palavras, a função de velocidade leva em conta a distância para frente e para trás. To find net displacement, integrate the velocity function over the interval. Total distance traveled, on the other hand, is always positive. To find the total distance traveled by an object, regardless of direction, we need to integrate the absolute value of the velocity function.

Applying the net change theorem, we have

The net displacement is − 3 2 − 3 2 m ([link]).

The graph shows velocity versus time for a particle moving with a linear velocity function.

Use [link] to find the total distance traveled by a particle according to the velocity function v ( t ) = 3 t − 5 v ( t ) = 3 t − 5 m/sec over a time interval [ 0 , 3 ] . [ 0 , 3 ] .

The total distance traveled includes both the positive and the negative values. Therefore, we must integrate the absolute value of the velocity function to find the total distance traveled.

To continue with the example, use two integrals to find the total distance. Primeiro, encontre o t-intercept of the function, since that is where the division of the interval occurs. Set the equation equal to zero and solve for t. Desse modo,

So, the total distance traveled is 14 6 14 6 m.

Find the net displacement and total distance traveled in meters given the velocity function f ( t ) = 1 2 e t − 2 f ( t ) = 1 2 e t − 2 over the interval [ 0 , 2 ] . [ 0 , 2 ] .


Matthew Bates

*I originally wrote these notes as a way to prepare for class, but some of you may find them useful nonetheless. Needless to say they are probably riddled with errors, so use them at your own risk.

Meetings

Classes: Monday, Wednesday, and Friday, 13:25-14:15, in LGRT 141.
Office hours: TBA and by appointment. In general feel free to speak to me after class and we can schedule something.

Pré-requisitos

Knowledge of exponential/logarithmic/trigonometric functions, theory of limits and ablity to calculate simple limits, continuity, definition of differentiation, understand differentiation as a rate of change, chain/quotient/product rule, max/min of a function, mean valule theorem, intermediate valule theorem, L'hospital. It is also assumed that you know the definition of the integral in terms of the Riemann sum, althrough we may quickly review this at the begining of the course.

Homework

Homeworks is assigned weekly through WebAssign. If you are having trouble accessing WebAssign then you should tell me. There are no extensions, under any circumstances, do not ask for one. Only the top 80% of your homework grades will count towards your final grade.

Quizes

Quizes will be given during the weekly discussion sessions. There are no make-ups, under any circumstances, do not ask for one. Only the top 80% of your quiz grades will count towards your final grade.

Overview of course

This the the second in the sequence of 3 calculus courses. If you think that Calc I was about differentiation, then you could say that Calc II is about integration. We will study both the abstract theory of integration and some of its applications to other disciplines.

Rough Sylabus

Chapter 5 – Integrals

5.2 The definite integral (very quick review)
5.3 The Fundamental Theorem of Calculus
5.4 Indefinite integrals and the Net Change Theorem
5.5 The Substitution Rule

Chapter 6 – Applications of Integration

6.1 Area between curves
6.2 Volumes

Chapter 7 – Techniques of Integration

7.1 Integration by parts
7.2 Trigonometric integrals
7.3 Trigonometric substitution
7.4 Integration of rational functions by partial fractions
7.8 Improper integrals

Chapter 11 – Infinite Sequences and Series

11.1 Sequences
11.2 Series
11.3 The Integral Test and estimates of sums
11.4 The comparison tests
11.5 Alternating series
11.6 Absolute convergence the Ratio and Root Tests—except subsection Rearrangements
11.7 Strategy for testing series
11.8 Power series
11.9 Representation of functions as power series
11.10 Taylor and Maclaurin series—except subsection Multiplication and Division of Power Series and Binomial Series

Chapter 10 – Parametric Equations and Polar Coordinates

10.1 Curves defined by parametric equations
10.2 Calculus with parametric curves
10.3 Polar coordinates
10.4 Areas and length in polar coordinates


Definite Integrals and the Fundamental Theorem of Calculus

  • Questions?
    • Problem set question 2, hand calculation & R

    • Applications
      • Area under curve
        • NMR
        • Works by aligning atoms with magnetic field, then flipping some and letting them return to alignment when they do so they emit energy characteristic of where they are relative to other atoms
        • See http://www.brynmawr.edu/chemistry/Chem/mnerzsto/The_Basics_Nuclear_Magnetic_Resonance%20_Spectroscopy_2.htm for more information
        • Section 5.4
          • Mean value theorem for integrals
            • Average value calculated from definite integral is really taken on by f (if f is continuous)
            • For example x+1 from 0 and 1 has definite integral 3/2
            • So average value is 1/1 × 3/2 = 3/2
            • Does x+1 = 3/2 somewhere in [0,1]?
            • Yes, namely at x = 1/2
            • Some examples of definite integrals
            • Integration by substitution

            5.4: Indefinite Integrals and the Net Change Theorem - Mathematics

            Please note that is just a sample syllabus, actual syllabi for the various sections of the course will likely be different each semester. Different instructors may choose somewhat different material. The number of class sessions varies between fall and spring semesters, Monday-Wednesday and Tuesday-Thursday classes.

            All section numbers refer to James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, 8th Edition.

            Class Material Sections
            1 Functions. New functions from old. §1.1, 1.2, 1.3
            2 Trigonometric functions.
            3 Exponential function, inverse functions, logarithms. §1.4, 1.5
            4 Derivative: motivation. Informal definition of limit. §2.1, 2.2
            5 Limit laws. Squeeze theorem. §2.3
            6 Continuity, asymptotes. §2.5, 2.6
            7 Definition of derivative. Derivative as a function. §2.7, 2.8
            8 Review.
            9 Midterm 1.
            10 Derivative of polynomials. Product and quotient rules. §3.1, 3.2
            11 Derivatives of trig functions. §3.3
            12 Chain rule, implicit differentiation. §3.4, 3.5
            13 Derivative of the logarithm. Applications. §3.6, 3.7, 3.8
            14 Related rates, linear approximation. §3.9, 3.10
            15 Maximization. Mean value theorem. §4.1, 4.2
            16 Second derivative, convexity, second derivative test. L’Hospital’s rule. §4.3, 4.4
            17 L’Hospital’s rule, more graph sketching. §4.4, 4.5
            18 Optimization problems. §4.7
            19 Newton’s method. §4.8
            20 Antiderivatives. §4.9
            21 Review.
            22 Midterm 2.
            23 Definite integral: definition. §5.1
            24 The “area so far” function. §5.2
            25 The fundamental theorem of calculus. Evaluating definite integrals via the “net change theorem” §5.3, 5.4
            26 Substitution rule. §5.5
            27 Areas between curves, average values. §6.1, 6.5
            28 Review.
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            Department of Mathematics
            Columbia University
            Room 509, MC 4406
            2990 Broadway
            New York, NY 10027
            Phone: (212) 854-4112
            Fax: (212) 854-8962


            5.4: Indefinite Integrals and the Net Change Theorem - Mathematics

            Instrutor: Brendon Rhoades
            Instructor's Email: bprhoades (at) math.ucsd.edu
            Instructor's Office: 7250 APM
            Instructor's Office Hours: 11:00am-12:00pm MWF

            Lecture Time: MWF 1:00-1:50 pm
            Lecture Room: 216 CENTR

            Textbook: Calculus: Single Variable, Third Edition by Jon Rogawski and Colin Adams

            TAs: Eric Lybrand and Steven Nguyen
            TAs' Emails: elybrand (at) ucsd.edu and srnguyen (at) ucsd.edu
            TAs' Office Hours:
            Eric Lybrand: M 12:00-1:00 pm (Calc lab, APM), Th 5:00-6:00 pm (5412 APM)
            Steven Nguyen: Th 3:00-5:00 pm (6132 APM)
            Discussion Times/Rooms:
            Section A01 - Th 6:00-6:50 pm - 2321 HSS
            Section A03 - Th 5:00-5:50 pm - 1315 HSS
            Section A04 - Th 6:00-6:50 pm - 1315 HSS
            Section A05 - Th 7:00-7:50 pm - 1315 HSS

            Final Exam Time: 11:30am-2:29pm, 6/9/2016
            Final Exam Room: TBA

            Syllabus: Please read carefully. REMARK: You will be allowed one page of notes (front and back is OK) on each exam.

            3/28: Sections 1.4, 1.5. Trig functions, inverse functions.
            3/30: Section 1.6. Exponential and log functions.
            4/1: Sections 2.1, 2.2. Limits.
            4/4: Sections 2.3, 2.4. Limit laws, continuity.
            4/6: Sections 2.5, 2.7. Evaluating limits, limits at infinity.
            4/8: Sections 2.6, 2.8. Trig limits, Intermediate Value Theorem.
            4/11: Section 3.1. Definition of the derivative.
            4/13: Section 3.2. The derivative as a function.
            4/15: Section 3.3. The product and quotient rules.
            4/18: Section 3.4. Rates of change, higher derivatives.
            4/20: Exam 1. (In class, covers Sections 1.4-1.6, 2.1-2.8, 3.1-3.3.)
            4/22: Section 3.6. Trig functions.
            4/25: Section 3.7. The chain rule.
            4/27: Section 3.8. Implicit differentiation.
            4/29: Section 3.9. Exp and log.
            5/2: Section 4.1. Linear approximation.
            5/4: Section 4.2. Extreme values.
            5/6: Section 4.3. Mean Value Theorem.
            5/9: Section 4.4. Shape of a graph.
            5/11: Section 4.5. l'Hospital's Rule.
            5/13: Section 4.6. Graph sketching.
            5/16: Exam 2. (In class, covers Sections 3.3-3.9, 4.1-4.4.)
            5/18: Section 4.7. Applied optimization.
            5/20: Section 5.1. Computing area.
            5/23: Section 5.2. Definite integrals.
            5/25: Section 5.3. Indefinite integrals.
            5/27: Section 5.4. The Fundamental Theorem of Calculus I.
            6/1: Section 5.5. The Fundamental Theorem of Calculus II.
            6/3: Review.


            Homework: (all problems are Exercises in Rogawski-Adams)

            Homework 1, due at 5:00pm on 4/4/2016: 1.4.22, 1.4.28, 1.5.22, 1.6.30, 1.6.34, 1.6.38, 2.1.8, 2.2.20, 2.2.28, 2.2.52.

            Homework 2, due at 5:00pm on 4/11/2016: 2.3.22, 2.3.30, 2.4.54, 2.4.58, 2.5.8, 2.5.24, 2.5.32, 2.5.48, 2.5.54, 2.6.22, 2.6.34, 2.7.14, 2.7.20, 2.7.30, 2.8.18, 2.8.20.

            Homework 3, due at 5:00pm on 4/18/2016: 3.1.4, 3.1.6, 3.1.38, 3.1.40, 3.2.18, 3.2.20, 3.2.36, 3.2.50, 3.3.4, 3.3.8, 3.3.12, 3.3.24, 3.3.26, 3.3.30, 3.3.38.

            Homework 4, due at 5:00pm on 5/2/2016: 3.4.20, 3.5.12, 3.5.16, 3.5.26, 3.6.16, 3.6.20, 3.6.30, 3.6.32, 3.7.20, 3.7.34, 3.7.40, 3.7.62, 3.7.70, 3.8.22, 3.8.24, 3.8.58, 3.9.20, 3.9.24, 3.9.34, 3.9.46, 3.9.50, 3.9.60.

            Homework 5, due at 5:00pm on 5/9/2016: 4.1.20, 4.1.24, 4.1.52, 4.1.54, 4.2.18, 4.2.38, 4.2.48, 4.2.54, 4.2.58, 4.3.12, 4.3.38, 4.3.50, 4.3.56.

            Homework 6, due at 5:00pm on 5/23/2016: 4.4.6, 4.4.14, 4.4.16, 4.4.52, 4.4.56, 4.5.26, 4.5.32, 4.5.48, 4.5.54, 4.6.22, 4.6.32, 4.7.10, 4.7.14, 4.7.22, 4.7.44, 5.1.16, 5.1.18

            Homework 7, due at 5:00 pm on 6/3/2016: 5.2.6, 5.2.8, 5.2.14, 5.2.44, 5.2.58, 5.2.74, 5.3.20, 5.3.24, 5.3.32, 5.3.38, 5.3.56, 5.3.62, 5.3.66, 5.4.24, 5.4.30, 5.4.34, 5.4.42, 5.4.48, 5.4.56, 5.5.12, 5.5.14, 5.5.16, 5.5.30, 5.5.32


            APEX Calculus

            We have spent considerable time considering the derivatives of a function and their applications. In the following chapters, we are going to starting thinking in “the other direction.” That is, given a function (f(x) ext<,>) we are going to consider functions (F(x)) such that (F'(x) = f(x) ext<.>) There are numerous reasons this will prove to be useful: these functions will help us compute area, volume, mass, force, pressure, work, and much more.

            We started this chapter learning about antiderivatives and indefinite integrals. We then seemed to change focus by looking at areas between the graph of a function and the (x)-axis. We defined these areas as the definite integral of the function, using a notation very similar to the notation of the indefinite integral. The Fundamental Theorem of Calculus tied these two seemingly separate concepts together: we can find areas under a curve, i.e., we can evaluate a definite integral, using antiderivatives.

            We ended the chapter by noting that antiderivatives are sometimes more than difficult to find: they are impossible. Therefore we developed numerical techniques that gave us good approximations of definite integrals.

            We used the definite integral to compute areas, and also to compute displacements and distances traveled. There is far more we can do than that. In Chapter 7 we'll see more applications of the definite integral. Before that, in Chapter 6 we'll learn advanced techniques of integration, analogous to learning rules like the Product, Quotient and Chain Rules of differentiation.


            Assista o vídeo: Teorema de Green VETORIAL (Outubro 2021).