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15.4: Aplicações de Integrais Duplos


objetivos de aprendizado

  • Reconhecer quando uma função de duas variáveis ​​é integrável em uma região retangular.
  • Reconhecer e usar algumas das propriedades dos integrais duplos.
  • Avalie uma integral dupla sobre uma região retangular, escrevendo-a como uma integral iterativa.
  • Use uma integral dupla para calcular a área de uma região, o volume sob uma superfície ou o valor médio de uma função em uma região plana.

Nesta seção, investigamos os integrais duplos e mostramos como podemos usá-los para encontrar o volume de um sólido sobre uma região retangular no plano xy. Muitas das propriedades de integrais duplos são semelhantes àquelas que já discutimos para integrais simples.

Volumes e Integrais Duplos

Começamos considerando o espaço acima de uma região retangular (R ). Considere uma função contínua (f (x, y) ≥0 ) de duas variáveis ​​definidas no retângulo fechado (R ):

[R = [a, b] times [c, d] = left {(x, y) ∈ mathbb {R} ^ 2 | , a ≤ x ≤ b, , c ≤ y ≤ d right } nonumber ]

Aqui ([a, b] times [c, d] ) denota o produto cartesiano dos dois intervalos fechados ([a, b] ) e ([c, d] ). Consiste em pares retangulares ((x, y) ) tais que (a≤x≤b ) e (c≤y≤d ). O gráfico de (f ) representa uma superfície acima do plano (xy ) com a equação (z = f (x, y) ) onde (z ) é a altura da superfície no ponto ((x, y) ). Seja (S ) o sólido que está acima de (R ) e sob o gráfico de (f ) (Figura ( PageIndex {1} )). A base do sólido é o retângulo (R ) no plano (xy ). Queremos encontrar o volume (V ) do sólido (S ).

Dividimos a região (R ) em pequenos retângulos (R_ {ij} ), cada um com área (ΔA ) e com lados (Δx ) e (Δy ) (Figura ( PageIndex { 2} )). Fazemos isso dividindo o intervalo ([a, b] ) em (m ) subintervalos e dividindo o intervalo ([c, d] ) em (n ) subintervalos. Portanto, ( Delta x = frac {b - a} {m} ), ( Delta y = frac {d - c} {n} ), e ( Delta A = Delta x Delta y ).

O volume de uma caixa retangular fina acima de (R_ {ij} ) é (f (x_ {ij} ^ *, , y_ {ij} ^ *) , Delta A ), onde ( (x_ {ij} ^ *, , y_ {ij} ^ * )) é um ponto de amostra arbitrário em cada (R_ {ij} ) como mostrado na figura a seguir, (f (x_ {ij} ^ *, , y_ {ij} ^ *) ) é a altura da caixa retangular fina correspondente, e ( Delta A ) é a área de cada retângulo (R_ {ij} ).

Usando a mesma ideia para todos os sub-retângulos, obtemos um volume aproximado do sólido S como

[V approx sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ n f (x_ {ij} ^ *, , y_ {ij} ^ *) Delta A. nonumber ]

Esta soma é conhecida como soma de Riemann dupla e pode ser usado para aproximar o valor do volume do sólido. Aqui, a soma dupla significa que para cada sub-retângulo avaliamos a função no ponto escolhido, multiplicamos pela área de cada retângulo e, a seguir, somamos todos os resultados.

Como vimos no caso de variável única, obtemos uma melhor aproximação do volume real se (m ) e (n ) se tornarem maiores.

[V = lim_ {m, n rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ nf (x_ {ij} ^ *, , y_ {ij} ^ *) Delta A nonumber ]

ou

[V = lim _ { Delta x, , Delta y rightarrow 0} sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ nf (x_ {ij} ^ *, , y_ { ij} ^ *) Delta A. nonumber ]

Observe que a soma se aproxima de um limite em ambos os casos e o limite é o volume do sólido com a base (R ). Agora estamos prontos para definir a integral dupla.

Definição

A integral dupla da função (f (x, , y) ) sobre a região retangular (R ) no plano (xy ) - é definida como

[ iint_R f (x, , y) dA = lim_ {m, n rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ nf (x_ {ij} ^ * , , y_ {ij} ^ *) Delta A. ]

Se (f (x, y) geq 0 ), então o volume (V ) do sólido (S ), que se encontra acima de (R ) no plano (xy ) - e sob o gráfico de (f ), está a integral dupla da função (f (x, y) ) sobre o retângulo (R ). Se a função for negativa, então a integral dupla pode ser considerada um volume “com sinal” de uma maneira semelhante à forma como definimos a área com sinal líquido no Integral Definido.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Configurando um Integral Duplo e Aproximando-o por Somas Duplas

Considere a função (z = f (x, , y) = 3x ^ 2 - y ) sobre a região retangular (R = [0, 2] times [0, 2] ) (Figura ( PageIndex {4} )).

  1. Configure uma integral dupla para encontrar o valor do volume com sinal do sólido (S ) que está acima de (R ) e “sob” o gráfico de (f ).
  2. Divida (R ) em quatro quadrados com (m = n = 2 ) e escolha o ponto de amostra como o ponto do canto superior direito de cada quadrado (1,1), (2,1), (1,2 ), e (2,2) (Figura ( PageIndex {4} )) para aproximar o volume assinado do sólido (S ) que se encontra acima de (R ) e "sob" o gráfico de ( f ).
  3. Divida (R ) em quatro quadrados com (m = n = 2 ) e escolha o ponto de amostra como o ponto médio de cada quadrado: (1/2, 1/2), (3/2, 1/2 ), (1 / 2,3 / 2) e (3/2, 3/2) para aproximar o volume assinado.

Solução

  1. Como podemos ver, a função (z = f (x, y) = 3x ^ 2 - y ) está acima do plano. Para encontrar o volume com sinal de (S ), precisamos dividir a região (R ) em pequenos retângulos (R_ {ij} ), cada um com área (ΔA ) e com lados (Δx ) e (Δy ), e escolha ((x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) ) como pontos de amostra em cada (R_ {ij} ). Portanto, uma integral dupla é configurada como

    [V = iint_R (3x ^ 2 - y) dA = lim_ {m, n → ∞} sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ n [3 (x_ {ij} ^ *) ^ 2 - y_ {ij} ^ *] Delta A. nonumber ]

  2. Aproximando o volume com sinal usando uma soma de Riemann com (m = n = 2 ), temos ( Delta A = Delta x Delta y = 1 vezes 1 = 1 ). Além disso, os pontos de amostra são (1, 1), (2, 1), (1, 2) e (2, 2) conforme mostrado na figura a seguir.

Por isso,

[ begin {align *} V & approx sum_ {i = 1} ^ 2 sum_ {j = 1} ^ 2 f (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) Delta A [4pt]
& = sum_ {i = 1} ^ 2 (f (x_ {i1} ^ *, y_ {i1} ^ *) + f (x_ {i2} ^ *, y_ {i2} ^ *)) Delta A [4pt]
& = f (x_ {11} ^ *, y_ {11} ^ *) Delta A + f (x_ {21} ^ *, y_ {21} ^ *) Delta A + f (x_ {12} ^ * , y_ {12} ^ *) Delta A + f (x_ {22} ^ *, y_ {22} ^ *) Delta A [4pt]
& = f (1,1) (1) + f (2,1) (1) + f (1,2) (1) + f (2,2) (1) [4pt]
& = (3 - 1) (1) + (12 - 1) (1) + (3 - 2) (1) + (12 - 2) (1) [4pt]
& = 2 + 11 + 1 + 10 = 24. end {alinhar *} ]

  1. Aproximando o volume com sinal usando uma soma de Riemann com (m = n = 2 ), temos ( Delta A = Delta x Delta y = 1 vezes 1 = 1 ). Neste caso, os pontos de amostra são (1/2, 1/2), (3/2, 1/2), (1/2, 3/2) e (3/2, 3/2).
    Por isso,
    [ begin {align *} V & approx sum_ {i = 1} ^ 2 sum_ {j = 1} ^ 2 f (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) Delta A [4pt]
    & = f (x_ {11} ^ *, y_ {11} ^ *) Delta A + f (x_ {21} ^ *, y_ {21} ^ *) Delta A + f (x_ {12} ^ * , y_ {12} ^ *) Delta A + f (x_ {22} ^ *, y_ {22} ^ *) Delta A [4pt]
    & = f (1 / 2,1 / 2) (1) + f (3 / 2,1 / 2) (1) + f (1 / 2,3 / 2) (1) + f (3/2, 3/2) (1) [4pt]
    & = left ( frac {3} {4} - frac {1} {4} right) (1) + left ( frac {27} {4} - frac {1} {2} direita) (1) + esquerda ( frac {3} {4} - frac {3} {2} direita) (1) + esquerda ( frac {27} {4} - frac {3} {2} direita) (1) [4pt]
    & = frac {2} {4} + frac {25} {4} + left (- frac {3} {4} right) + frac {21} {4} = frac {45} {4} = 11. end {align *} ]

Análise

Observe que as respostas aproximadas diferem devido às escolhas dos pontos da amostra. Em qualquer caso, estamos introduzindo algum erro porque estamos usando apenas alguns pontos de amostra. Portanto, precisamos investigar como podemos obter uma resposta precisa.

Exercício ( PageIndex {1} )

Use a mesma função (z = f (x, y) = 3x ^ 2 - y ) sobre a região retangular (R = [0,2] × [0,2] ).

Divida (R ) nos mesmos quatro quadrados com (m = n = 2 ) e escolha os pontos de amostra como o ponto do canto superior esquerdo de cada quadrado (0,1), (1,1), (0 , 2), e (1,2) (Figura ( PageIndex {5} )) para aproximar o volume assinado do sólido (S ) que se encontra acima de (R ) e "sob" o gráfico de (f ).

Dica

Siga as etapas do exemplo anterior.

Responder

[V approx sum_ {i = 1} ^ 2 sum_ {j = 1} ^ 2 f (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) , Delta A = 0 nonumber ]

Observe que desenvolvemos o conceito de integral dupla usando uma região retangular (R ). Este conceito pode ser estendido a qualquer região geral. No entanto, quando uma região não é retangular, os sub-retângulos podem não se encaixar perfeitamente em (R ), particularmente se a área de base for curva. Examinaremos essa situação com mais detalhes na próxima seção, onde estudamos regiões que nem sempre são retangulares e os sub-retângulos podem não se encaixar perfeitamente na região (R ). Além disso, as alturas podem não ser exatas se a superfície (z = f (x, y) ) for curva. No entanto, os erros nas laterais e na altura onde as peças podem não se encaixar perfeitamente dentro do sólido (S ) se aproximam de 0 conforme (m ) e (n ) se aproximam do infinito. Além disso, a integral dupla da função (z = f (x, y) ) existe desde que a função (f ) não seja muito descontínua. Se a função é limitada e contínua em (R ), exceto em um número finito de curvas suaves, então a integral dupla existe e dizemos que ff é integrável em (R ).

Como ( Delta A = Delta x Delta y = Delta y Delta x ), podemos expressar (dA ) como (dx , dy ) ou (dy , dx ). Isso significa que, quando estamos usando coordenadas retangulares, a integral dupla sobre uma região (R ) denotada por

[ iint_R f (x, y) , dA nonumber ]

pode ser escrito como

[ iint_R f (x, y) , dx , dy nonumber ]

ou

[ iint_R f (x, y) , dy , dx. enhum número]

Agora vamos listar algumas das propriedades que podem ser úteis para calcular integrais duplos.

Propriedades de Integrais Duplos

As propriedades de integrais duplos são muito úteis ao computá-los ou trabalhar com eles. Listamos aqui seis propriedades de integrais duplos. As propriedades 1 e 2 são referidas como a linearidade da integral, a propriedade 3 é a aditividade da integral, a propriedade 4 é a monotonicidade da integral e a propriedade 5 é usada para encontrar os limites da integral. A propriedade 6 é usada se (f (x, y) ) é um produto de duas funções (g (x) ) e (h (y) ).

Teorema: PROPRIEDADES DOS DUPLOS INTEGRAIS

Assuma que as funções (f (x, y) ) e (g (x, y) ) são integráveis ​​sobre a região retangular (R ); (S ) e (T ) são sub-regiões de (R ); e assuma que (m ) e (M ) são números reais.

  1. A soma (f (x, y) + g (x, y) ) é integrável e

[ iint_R [f (x, y) + g (x, y)] , dA = iint_R f (x, y) , dA + iint_R g (x, y) , dA. enhum número]

  1. Se c é uma constante, então (cf (x, y) ) é integrável e

[ iint_R cf (x, y) , dA = c iint_R f (x, y) , dA. enhum número]

  1. Se (R = S∪T ) e (S∩T = ∅ ) exceto uma sobreposição nos limites, então

[ iint_R f (x, y) , dA = iint_S f (x, y) , dA + iint_T f (x, y) , dA. enhum número]

  1. Se (f (x, y) geq g (x, y) ) para ((x, y) ) em (R ), então

[ iint_R f (x, y) , dA geq iint_R g (x, y) , dA. enhum número]

  1. Se (m leq f (x, y) leq M ) e (A (R) = , text {a área de} , R ), então

[m cdot A (R) leq iint_R f (x, y) , dA leq M cdot A (R). enhum número]

  1. No caso em que (f (x, y) ) pode ser fatorado como um produto de uma função (g (x) ) de (x ) apenas e uma função (h (y) ) de (y ) apenas, então sobre a região (R = big {(x, y) , | , a leq x leq b, , c leq y leq d big } ), a integral dupla pode ser escrita como

[ iint_R f (x, y) , dA = left ( int_a ^ b g (x) , dx right) left ( int_c ^ d h (y) , dy right). enhum número]

Essas propriedades são usadas na avaliação de integrais duplos, como veremos mais adiante. Estaremos habilitados a usar essas propriedades assim que nos familiarizarmos com as ferramentas computacionais de integrais duplos. Então, vamos chegar a isso agora.

Integrais Iterados

Até agora, vimos como configurar uma integral dupla e como obter um valor aproximado para ela. Também podemos imaginar que avaliar integrais duplos usando a definição pode ser um processo muito demorado se escolhermos valores maiores para (m ) e (n ). Portanto, precisamos de uma técnica prática e conveniente para calcular integrais duplos. Em outras palavras, precisamos aprender a calcular integrais duplos sem empregar a definição que usa limites e somas duplas.

A ideia básica é que a avaliação se torna mais fácil se pudermos quebrar uma integral dupla em integrais simples, integrando primeiro em relação a uma variável e depois em relação à outra. A principal ferramenta de que precisamos é chamada de integral iterada.

Definições: integrais iterados

Suponha que (a ), (b ), (c ) e (d ) sejam números reais. Nós definimos um integral iterada para uma função (f (x, y) ) sobre a região retangular (R = [a, b] × [c, d] ) como

[ int_a ^ b int_c ^ d f (x, y) , dy , dx = int_a ^ b left [ int_c ^ d f (x, y) , dy right] dx ]

ou

[ int_c ^ d int_a ^ b f (x, y) , dx , dy = int_c ^ d left [ int_a ^ b f (x, y) , dx right] dy. ]

A notação ( int_a ^ b left [ int_c ^ df (x, y) , dy right] dx ) significa que integramos (f (x, y) ) em relação a (y ) enquanto mantém (x ) constante. Da mesma forma, a notação ( int_c ^ d left [ int_a ^ bf (x, y) , dx right] dy ) significa que integramos (f (x, y) ) em relação a ( x ) enquanto mantém (y ) constante. O fato de que integrais duplos podem ser divididos em integrais iterados é expresso no teorema de Fubini. Pense neste teorema como uma ferramenta essencial para avaliar integrais duplos.

Teorema: TEOREMA DE FUBINI

Suponha que (f (x, y) ) seja uma função de duas variáveis ​​contínuas em uma região retangular (R = big {(x, y) ∈ mathbb {R} ^ 2 | , a leq x leq b, , c leq y leq d big } ). Então, vemos na Figura ( PageIndex {6} ) que a integral dupla de (f ) sobre a região é igual a uma integral iterada,

[ iint_R f (x, y) , dA = iint_R f (x, y) , dx , dy = int_a ^ b int_c ^ df (x, y) , dy , dx = int_c ^ d int_a ^ bf (x, y) , dx , dy. ]

Mais geralmente, o teorema de Fubini é verdadeiro se (f ) é limitado em (R ) e (f ) é descontínuo apenas em um número finito de curvas contínuas. Em outras palavras, (f ) deve ser integrável sobre (R ).

Exemplo ( PageIndex {2} ): Usando o Teorema de Fubini

Use o teorema de Fubini para calcular a integral dupla ( displaystyle iint_R f (x, y) , dA ) onde (f (x, y) = x ) e (R = [0, 2] times [0, 1] ).

Solução

O teorema de Fubini oferece uma maneira mais fácil de avaliar a integral dupla pelo uso de uma integral iterada. Observe como os valores limite da região (R ) tornam-se os limites superior e inferior da integração.

[ begin {align *} iint_R f (x, y) , dA & = iint_R f (x, y) , dx , dy [4pt]
& = int_ {y = 0} ^ {y = 1} int_ {x = 0} ^ {x = 2} x , dx , dy [4pt]
& = int_ {y = 0} ^ {y = 1} left [ frac {x ^ 2} {2} bigg | _ {x = 0} ^ {x = 2} right] , dy [4pt]
& = int_ {y = 0} ^ {y = 1} 2 , dy = 2y bigg | _ {y = 0} ^ {y = 1} = 2 end {align *} ]

A integração dupla neste exemplo é simples o suficiente para usar o teorema de Fubini diretamente, permitindo-nos converter uma integral dupla em uma integral iterada. Consequentemente, agora estamos prontos para converter todos os integrais duplos em integrais iterados e demonstrar como as propriedades listadas anteriormente podem nos ajudar a avaliar os integrais duplos quando a função (f (x, y) ) é mais complexa. Observe que a ordem de integração pode ser alterada (consulte o Exemplo 7).

Exemplo ( PageIndex {3} ): Ilustrando as propriedades i e ii

Avalie a integral dupla [ iint_R (xy - 3xy ^ 2) , dA, , text {onde} , R = big {(x, y) , | , 0 leq x leq 2, , 1 leq y leq 2 big }. Nonumber ]

Solução

Esta função tem duas peças: uma peça é (xy ) e a outra é (3xy ^ 2 ). Além disso, a segunda peça tem uma constante 3. Observe como usamos as propriedades ie ii para ajudar a avaliar a integral dupla.

[ begin {align *} iint_R (xy - 3xy ^ 2) , dA & = iint_R xy , dA + iint_R (-3xy ^ 2) , dA & & text {Propriedade i: Integral de uma soma é a soma das integrais.} [4pt]
& = int_ {y = 1} ^ {y = 2} int_ {x = 0} ^ {x = 2} xy , dx , dy - int_ {y = 1} ^ {y = 2} int_ {x = 0} ^ {x = 2} 3xy ^ 2 , dx , dy & & text {Converter integrais duplos em integrais iterados.} [4pt]
& = int_ {y = 1} ^ {y = 2} left ( frac {x ^ 2} {2} y right) bigg | _ {x = 0} ^ {x = 2} , dy - 3 int_ {y = 1} ^ {y = 2} left ( frac {x ^ 2} {2} y ^ 2 right) bigg | _ {x = 0} ^ {x = 2} , dy & & text {Integrar em relação a $ x $, mantendo $ y $ constante.} [4pt]
& = int_ {y = 1} ^ {y = 2} 2y , dy - int_ {y = 1} ^ {y = 2} 6y ^ 2 dy & & text {Propriedade ii: Colocando a constante antes de integral.} [4pt]
& = 2 int_1 ^ 2 y , dy - 6 int_1 ^ 2 y ^ 2 , dy & & text {Integrar em relação a y.} [4pt]
& = 2 frac {y ^ 2} {2} bigg | _1 ^ 2 - 6 frac {y ^ 3} {3} bigg | _1 ^ 2 [4pt]
& = y ^ 2 bigg | _1 ^ 2 - 2y ^ 3 bigg | _1 ^ 2 [4pt]
& = (4−1) - 2 (8−1) = 3 - 2 (7) = 3 - 14 = −11. end {align *} ]

Exemplo ( PageIndex {4} ): Ilustrando a propriedade v.

Sobre a região (R = big {(x, y) , | , 1 leq x leq 3, , 1 leq y leq 2 big } ), temos (2 leq x ^ 2 + y ^ 2 leq 13 ). Encontre um limite inferior e um limite superior para o integral ( displaystyle iint_R (x ^ 2 + y ^ 2) , dA. )

Solução

Para um limite inferior, integre a função constante 2 sobre a região (R ). Para um limite superior, integre a função constante 13 sobre a região (R ).

[ begin {align *} int_1 ^ 2 int_1 ^ 3 2 , dx , dy & = int_1 ^ 2 [2x bigg | _1 ^ 3] , dy = int_1 ^ 2 2 (2) dy = 4y bigg | _1 ^ 2 = 4 (2 - 1) = 4 [4pt] int_1 ^ 2 int_1 ^ 3 13dx , dy & = int_1 ^ 2 [13x bigg | _1 ^ 3] , dy = int_1 ^ 2 13 (2) , dy = 26y bigg | _1 ^ 2 = 26 (2 - 1) = 26. end {alinhar *} ]

Portanto, obtemos ( displaystyle 4 leq iint_R (x ^ 2 + y ^ 2) , dA leq 26. )

Exemplo ( PageIndex {5} ): Ilustrando a propriedade vi

Avalie o integral ( displaystyle iint_R e ^ y cos x , dA ) sobre a região (R = big {(x, y) , | , 0 leq x leq frac { pi} {2}, , 0 leq y leq 1 big } ).

Solução

Este é um ótimo exemplo para a propriedade vi porque a função (f (x, y) ) é claramente o produto de duas funções de variável única (e ^ y ) e ( cos x ). Assim, podemos dividir a integral em duas partes e, em seguida, integrar cada uma como um problema de integração de variável única.

[ begin {align *} iint_R e ^ y cos x , dA & = int_0 ^ 1 int_0 ^ { pi / 2} e ^ y cos x , dx , dy [4pt ]
& = left ( int_0 ^ 1 e ^ y dy right) left ( int_0 ^ { pi / 2} cos x , dx right) [4pt]
& = (e ^ y bigg | _0 ^ 1) ( sin x bigg | _0 ^ { pi / 2}) [4pt]
& = e - 1. end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {2} )

uma. Use as propriedades do integral duplo e o teorema de Fubini para avaliar o integral

[ int_0 ^ 1 int _ {- 1} ^ 3 (3 - x + 4y) , dy , dx. enhum número ]

b. Mostre que ( displaystyle 0 leq iint_R sin pi x , cos pi y , dA leq frac {1} {32} ) onde (R = left (0, frac {1} {4} right) left ( frac {1} {4}, frac {1} {2} right) ).

Dica

Use propriedades i. e ii. e avalie a integral iterada, e então use a propriedade v.

Responder

uma. (26 )

b. As respostas podem variar.

Como mencionamos antes, quando estamos usando coordenadas retangulares, a integral dupla sobre uma região (R ) denotada por ( iint_R f (x, y) , dA ) pode ser escrita como ( iint_R , f (x, y) , dx , dy ) ou ( iint_R , f (x, y) , dy , dx. ) O próximo exemplo mostra que os resultados são os mesmos, independentemente da ordem de integração que escolhemos.

Exemplo ( PageIndex {6} ): Avaliando um Integral Iterado de Duas Maneiras

Vamos voltar à função (f (x, y) = 3x ^ 2 - y ) do Exemplo 1, desta vez sobre a região retangular (R = [0,2] times [0,3] ). Use o teorema de Fubini para avaliar ( iint_R f (x, y) , dA ) de duas maneiras diferentes:

  1. Primeiro integre em relação a (y ) e, em seguida, em relação a (x );
  2. Primeiro integre em relação a (x ) e, em seguida, em relação a (y ).

Solução

A Figura ( PageIndex {6} ) mostra como o cálculo funciona de duas maneiras diferentes.

  1. Primeiro integre em relação a (y ) e, em seguida, integre em relação a (x ):

[ begin {align *} iint_R f (x, y) , dA & = int_ {x = 0} ^ {x = 2} int_ {y = 0} ^ {y = 3} (3x ^ 2 - y) , dy , dx [4pt]
& = int_ {x = 0} ^ {x = 2} left ( int_ {y = 0} ^ {y = 3} (3x ^ 2 - y) , dy right) , dx = int_ {x = 0} ^ {x = 2} left [3x ^ 2y - frac {y ^ 2} {2} bigg | _ {y = 0} ^ {y = 3} right] , dx [4pt]
& = int_ {x = 0} ^ {x = 2} left (9x ^ 2 - frac {9} {2} right) , dx = 3x ^ 3 - frac {9} {2} x bigg | _ {x = 0} ^ {x = 2} = 15. end {alinhar *} ]

  1. Primeiro integre em relação a (x ) e, em seguida, integre em relação a (y ):
    [ begin {align *} iint_R f (x, y) , dA & = int_ {y = 0} ^ {y = 3} int_ {x = 0} ^ {x = 2} (3x ^ 2 - y) , dx , dy [4pt]
    & = int_ {y = 0} ^ {y = 3} left ( int_ {x = 0} ^ {x = 2} (3x ^ 2 - y) , dx right) , dy [ 4pt]
    & = int_ {y = 0} ^ {y = 3} left [x ^ 3 - xy bigg | _ {x = 0} ^ {x = 2} right] dy [4pt]
    & = int_ {y = 0} ^ {y = 3} (8 - 2y) , dy = 8y - y ^ 2 bigg | _ {y = 0} ^ {y = 3} = 15. end { alinhar*}]

Análise

Com qualquer uma das ordens de integração, a integral dupla nos dá uma resposta de (15 ). Podemos querer interpretar esta resposta como um volume em unidades cúbicas do sólido (S ) abaixo da função (f (x, y) = 3x ^ 2 - y ) sobre a região (R = [0, 2] vezes [0,3] ). No entanto, lembre-se de que a interpretação de uma integral dupla como um volume (não assinado) funciona apenas quando o integrando (f ) é uma função não negativa sobre a região de base (R ).

Exercício ( PageIndex {3} )

Avalie

[ int_ {y = -3} ^ {y = 2} int_ {x = 3} ^ {x = 5} (2 - 3x ^ 2 + y ^ 2) , dx , dy. enhum número]

Dica

Use o teorema de Fubini.

Responder

(- frac {1340} {3} )

No próximo exemplo, vemos que pode realmente ser benéfico mudar a ordem de integração para tornar o cálculo mais fácil. Voltaremos a essa ideia várias vezes neste capítulo.

Exemplo ( PageIndex {7} ): Mudando a ordem de integração

Considere o integral duplo ( displaystyle iint_R x , sin (xy) , dA ) sobre a região (R = big {(x, y) , | , 0 leq x leq pi, , 1 leq y leq 2 big } ) (Figura ( PageIndex {7} )).

  1. Expresse a integral dupla de duas maneiras diferentes.
  2. Analise se avaliar a integral dupla de uma maneira é mais fácil do que de outra e por quê.
  3. Avalie a integral.
  1. Podemos expressar ( iint_R x , sin (xy) , dA ) das seguintes maneiras: primeiro integrando com respeito a (y ) e depois com respeito a (x ); segundo, integrando em relação a (x ) e, em seguida, em relação a (y ).
    [ iint_R x , sin (xy) , dA = int_ {x = 0} ^ {x = pi} int_ {y = 1} ^ {y = 2} x , sin (xy ) , dy , dx nonumber ]
    Integre primeiro em relação a (y ).
    [= int_ {y = 1} ^ {y = 2} int_ {x = 0} ^ {x = pi} x , sin (xy) , dx , dy nonumber ]
    Integre primeiro em relação a (x ).
  2. Se quisermos integrar com respeito a y primeiro e depois integrar em relação a (x ), vemos que podemos usar a substituição (u = xy ), que dá (du = x , dy ). Portanto, a integral interna é simplesmente ( int sin u , du ) e podemos alterar os limites para serem funções de (x ),

[ iint_R x , sin (xy) , dA = int_ {x = 0} ^ {x = pi} int_ {y = 1} ^ {y = 2} x , sin (xy ) , dy , dx = int_ {x = 0} ^ {x = pi} left [ int_ {u = x} ^ {u = 2x} sin (u) , du right] , dx. nonumber ]

No entanto, a integração em relação a (x ) primeiro e depois a integração em relação a (y ) requer integração por partes para a integral interna, com (u = x ) e (dv = sin (xy) dx )

Então (du = dx ) e (v = - frac { cos (xy)} {y} ), então

[ iint_R x sin (xy) , dA = int_ {y = 1} ^ {y = 2} int_ {x = 0} ^ {x = pi} x sin (xy) , dx , dy = int_ {y = 1} ^ {y = 2} left [- frac {x , cos (xy)} {y} bigg | _ {x = 0} ^ {x = pi} + frac {1} {y} int_ {x = 0} ^ {x = pi} cos (xy) , dx right] , dy. nonumber ]

Como a avaliação está ficando complicada, faremos apenas os cálculos mais fáceis de fazer, que é claramente o primeiro método.

  1. Avalie a integral dupla usando a maneira mais fácil.

[ begin {align *} iint_R x , sin (xy) , dA & = int_ {x = 0} ^ {x = pi} int_ {y = 1} ^ {y = 2} x , sin (xy) , dy , dx [4pt]
& = int_ {x = 0} ^ {x = pi} left [ int_ {u = x} ^ {u = 2x} sin (u) , du right] , dx = int_ { x = 0} ^ {x = pi} left [- cos u bigg | _ {u = x} ^ {u = 2x} right] , dx [4pt]
& = int_ {x = 0} ^ {x = pi} (- cos 2x + cos x) , dx [4pt]
& = left (- frac {1} {2} sin 2x + sin x right) bigg | _ {x = 0} ^ {x = pi} = 0. end {alinhar *} ]

Exercício ( PageIndex {4} )

Avalie o integral ( displaystyle iint_R xe ^ {xy} , dA ) onde (R = [0,1] times [0, ln 5] ).

Dica

Integre em relação a (y ) primeiro.

Responder

( frac {4 - ln 5} { ln 5} )

Aplicações de Integrais Duplos

Integrais duplos são muito úteis para encontrar a área de uma região limitada por curvas de funções. Descreveremos essa situação com mais detalhes na próxima seção. No entanto, se a região tem uma forma retangular, podemos encontrar sua área integrando a função constante (f (x, y) = 1 ) sobre a região (R ).

Definição: área da região

A área da região (R ) é dada por [A (R) = iint_R 1 , dA. ]

Essa definição faz sentido porque usar (f (x, y) = 1 ) e avaliar a integral torna-a um produto de comprimento e largura. Vamos verificar esta fórmula com um exemplo e ver como isso funciona.

Exemplo ( PageIndex {8} ): Encontrando uma área usando um duplo integral

Encontre a área da região (R = big {, (x, y) , | , 0 leq x leq 3, , 0 leq y leq 2 big } ) por usando uma integral dupla, isto é, integrando (1 ) sobre a região (R ).

Solução

A região é retangular com comprimento (3 ) e largura (2 ), então sabemos que a área é (6 ). Obtemos a mesma resposta quando usamos uma integral dupla:

[A (R) = int_0 ^ 2 int_0 ^ 3 1 , dx , dy = int_0 ^ 2 left [x big | _0 ^ 3 right] , dy = int_0 ^ 2 3 dy = 3 int_0 ^ 2 dy = 3y bigg | _0 ^ 2 = 3 (2) = 6 , text {unidades} ^ 2. Nonumber ]

Já vimos como os integrais duplos podem ser usados ​​para encontrar o volume de um sólido limitado acima por uma função (f (x, y) geq 0 ) sobre uma região (R ) fornecida (f (x, y) geq 0 ) para todos ((x, y) ) em (R ). Aqui está outro exemplo para ilustrar esse conceito.

Exemplo ( PageIndex {9} ): Volume de um parabolóide elíptico

Encontre o volume (V ) do sólido (S ) que é limitado pelo parabolóide elíptico (2x ^ 2 + y ^ 2 + z = 27 ), os planos (x = 3 ) e (y = 3 ) e os três planos de coordenadas.

Solução

Primeiro observe o gráfico da superfície (z = 27 - 2x ^ 2 - y ^ 2 ) na Figura ( PageIndex {8} ) (a) e acima da região quadrada (R_1 = [-3,3 ] times [-3,3] ). No entanto, precisamos do volume do sólido delimitado pelo parabolóide elíptico (2x ^ 2 + y ^ 2 + z = 27 ), os planos (x = 3 ) e (y = 3 ), e o três planos coordenados.

Agora vamos olhar o gráfico da superfície na Figura ( PageIndex {8} ) (b). Determinamos o volume (V ) avaliando o integral duplo sobre (R_2 ):

[ begin {align *} V & = iint_R z , dA = iint_R (27 - 2x ^ 2 - y ^ 2) , dA [4pt]
& = int_ {y = 0} ^ {y = 3} int_ {x = 0} ^ {x = 3} (27 - 2x ^ 2 - y ^ 2) , dx , dy & & text { Converta para integral literal.} [4pt]
& = int_ {y = 0} ^ {y = 3} [27x - frac {2} {3} x ^ 3 - y ^ 2x] bigg | _ {x = 0} ^ {x = 3} , dy & & text {Integrar em relação a $ x $.} [4pt]
& = int_ {y = 0} ^ {y = 3} (63 - 3y ^ 2) dy = 63 y - y ^ 3 bigg | _ {y = 0} ^ {y = 3} = 162. fim {alinhar*}]

Exercício ( PageIndex {5} )

Encontre o volume do sólido delimitado acima pelo gráfico de (f (x, y) = xy sin (x ^ 2y) ) e abaixo pelo plano (xy ) - na região retangular (R = [0,1] times [0, pi] ).

Dica

Represente graficamente a função, configure a integral e use uma integral iterada.

Responder

( frac { pi} {2} )

Lembre-se de que definimos o valor médio de uma função de uma variável em um intervalo ([a, b] ) como

[f_ {ave} = frac {1} {b - a} int_a ^ b f (x) , dx. ]

Da mesma forma, podemos definir o valor médio de uma função de duas variáveis ​​em uma região (R ). A principal diferença é que dividimos por uma área em vez da largura de um intervalo.

Definição: VALOR MÉDIO DE UMA FUNÇÃO

O valor médio de uma função de duas variáveis ​​em uma região (R ) é

[F_ {ave} = frac {1} { text {Área de} , R} iint_R f (x, y) , dx , dy. ]

No próximo exemplo, encontramos o valor médio de uma função em uma região retangular. Este é um bom exemplo de obtenção de informações úteis para uma integração fazendo medições individuais em uma grade, em vez de tentar encontrar uma expressão algébrica para uma função.

Exemplo ( PageIndex {10} ): Calculando a precipitação média de tempestade

O mapa do tempo na Figura ( PageIndex {9} ) mostra um sistema de tempestade excepcionalmente úmido associado aos remanescentes do furacão Karl, que despejou 4–8 polegadas (100–200 mm) de chuva em algumas partes do meio-oeste em setembro 22–23, 2010. A área de chuva media 300 milhas de leste a oeste e 250 milhas de norte a sul. Faça uma estimativa da precipitação média em toda a área nesses dois dias.

Solução

Coloque a origem no canto sudoeste do mapa para que todos os valores possam ser considerados como estando no primeiro quadrante e, portanto, todos sejam positivos. Agora divida o mapa inteiro em seis retângulos ((m = 2 ) e (n = 3) ), como mostrado na Figura ( PageIndex {9} ). Suponha que (f (x, y) ) denota a precipitação pluvial em polegadas em um ponto aproximadamente (x ) milhas a leste da origem e (y ) milhas ao norte da origem. Deixe (R ) representar toda a área de (250 vezes 300 = 75000 ) milhas quadradas. Então a área de cada sub-retângulo é

[ Delta A = frac {1} {6} (75000) = 12500. não número ]

Suponha que ((x_ {ij} *, y_ {ij} *) ) são aproximadamente os pontos médios de cada sub-retângulo (R_ {ij} ). Observe a região codificada por cores em cada um desses pontos e estime a precipitação. A precipitação em cada um desses pontos pode ser estimada como:

  • Em ( (x_ {11}, y_ {11} )), a precipitação é de 0,08.
  • Em ( (x_ {12}, y_ {12} )), a precipitação é de 0,08.
  • Em ( (x_ {13}, y_ {13} )), a precipitação é de 0,01.
  • Em ( (x_ {21}, y_ {21} )), a precipitação é de 1,70.
  • Em ( (x_ {22}, y_ {22} )), a precipitação é de 1,74.
  • Em ( (x_ {23}, y_ {23} )), a precipitação é de 3,00.

De acordo com nossa definição, a precipitação média de tempestades em toda a área durante aqueles dois dias foi

[ begin {align *} f_ {ave} = frac {1} {Area , R} iint_R & = f (x, y) , dx , dy = frac {1} {75000} iint_R f (x, y) , dx , dy [4pt]
& approx frac {1} {75000} sum_ {i = 1} ^ 3 sum_ {j = 1} ^ 2 f (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) Delta A [4pt]
& = frac {1} {75000} [f (x_ {11} ^ *, y_ {11} ^ *) Delta A + f (x_ {12} ^ *, y_ {12} ^ *) Delta A + f (x_ {13} ^ *, y_ {13} ^ *) Delta A + f (x_ {21} ^ *, y_ {21} ^ *) Delta A + f (x_ {22} ^ *, y_ {22} ^ *) Delta A + f (x_ {23} ^ *, y_ {23} ^ *) Delta A] [4pt]
& approx frac {1} {75000} [0,08 + 0,08 + 0,01 + 1,70 + 1,74 + 3,00] Delta A [4pt]
& = frac {1} {75000} [0,08 + 0,08 + 0,01 + 1,70 + 1,74 + 3,00] 12500 [4pt]
& = frac {1} {6} [0,08 + 0,08 + 0,01 + 1,70 + 1,74 + 3,00] [4pt] & aproximadamente 1,10 ; text {in}. end {align *} ]

De 22 a 23 de setembro de 2010, esta área teve uma precipitação média de tempestade de aproximadamente 1,10 polegadas.

Exercício ( PageIndex {6} )

Um mapa de contorno é mostrado para uma função (f (x, y) ) no retângulo (R = [-3,6] vezes [-1, 4] ).

uma. Use a regra do ponto médio com (m = 3 ) e (n = 2 ) para estimar o valor de ( displaystyle iint_R f (x, y) , dA. )

b. Estime o valor médio da função (f (x, y) ).

Dica

Divida a região em seis retângulos e use as curvas de nível para estimar os valores de (f (x, y) ).

Responder

Respostas para ambas as partes a. e B. pode variar.

Conceitos chave

  • Podemos usar uma soma de Riemann dupla para aproximar o volume de um sólido limitado acima por uma função de duas variáveis ​​em uma região retangular. Ao tomar o limite, isso se torna uma integral dupla que representa o volume do sólido.
  • As propriedades da integral dupla são úteis para simplificar a computação e encontrar limites em seus valores.
  • Podemos usar o teorema de Fubini para escrever e avaliar uma integral dupla como uma integral iterada.
  • Integrais duplos são usados ​​para calcular a área de uma região, o volume sob uma superfície e o valor médio de uma função de duas variáveis ​​em uma região retangular.

Equações Chave

  • [ iint_R f (x, y) , dA = lim_ {m, n rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ nf (x_ij *, y_ij *) , ΔA não numérico ]
  • [ int_a ^ b int_c ^ d f (x, y) , dx , dy = int_a ^ b left [ int_c ^ d f (x, y) , dy right] dx nonumber ] ou

    [ int_c ^ d int_a ^ b f (x, y) , dx , dy = int_c ^ d left [ int_a ^ b f (x, y) , dx right] dy nonumber ]

  • [f_ {ave} = frac {1} { text {Área de} , R} iint_R f (x, y) , dx , dy nonumber ]

Glossário

integral duplo
da função (f (x, y) ) sobre a região (R ) no plano (xy ) - é definido como o limite de uma soma de Riemann dupla,
[ iint_R f (x, y) , dA = lim_ {m, n rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ nf (x_ {ij} ^ * , y_ {ij} ^ *) , Delta A. nonumber ]
soma de Riemann dupla
da função (f (x, y) ) sobre uma região retangular (R ) é
[ sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ n f (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) , Delta A, não numérico ]
onde (R ) é dividido em sub-retângulos menores (R_ {ij} ) e (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) ) é um ponto arbitrário em (R_ {ij} )
Teorema de Fubini
if (f (x, y) ) é uma função de duas variáveis ​​contínuas em uma região retangular (R = big {(x, y) in mathbb {R} ^ 2 , | , a leq x leq b, , c leq y leq d big } ), então a integral dupla de (f ) sobre a região é igual a uma integral iterada,
[displaystyleiint_R f(x,y) , dA = int_a^b int_c^d f(x,y) ,dx , dy = int_c^d int_a^b f(x,y) ,dx , dy onumber]
iterated integral
for a function (f(x,y)) over the region (R) is

uma. (displaystyle int_a^b int_c^d f(x,y) ,dx , dy = int_a^b left[int_c^d f(x,y) , dy ight] , dx,)

b. (displaystyle int_c^d int_a^b f(x,y) , dx , dy = int_c^d left[int_a^b f(x,y) , dx ight] , dy,)

where (a,b,c), and (d) are any real numbers and (R = [a,b] imes [c,d])

Contributors and Attributions

  • Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) com muitos autores contribuintes. Este conteúdo da OpenStax é licenciado com uma licença CC-BY-SA-NC 4.0. Baixe gratuitamente em http://cnx.org.


15.4 Pendulums

Pendulums are in common usage. Grandfather clocks use a pendulum to keep time and a pendulum can be used to measure the acceleration due to gravity. For small displacements, a pendulum is a simple harmonic oscillator.

The Simple Pendulum

A simple pendulum is defined to have a point mass, also known as the pendulum bob , which is suspended from a string of length eu with negligible mass (Figure 15.20). Here, the only forces acting on the bob are the force of gravity (i.e., the weight of the bob) and tension from the string. The mass of the string is assumed to be negligible as compared to the mass of the bob.

Consider the torque on the pendulum. The force providing the restoring torque is the component of the weight of the pendulum bob that acts along the arc length. The torque is the length of the string eu times the component of the net force that is perpendicular to the radius of the arc. The minus sign indicates the torque acts in the opposite direction of the angular displacement:

Because this equation has the same form as the equation for SHM, the solution is easy to find. The angular frequency is

The period of a simple pendulum depends on its length and the acceleration due to gravity. The period is completely independent of other factors, such as mass and the maximum displacement. As with simple harmonic oscillators, the period T for a pendulum is nearly independent of amplitude, especially if θ θ is less than about 15 ° . 15 ° . Even simple pendulum clocks can be finely adjusted and remain accurate.

Note the dependence of T on g. If the length of a pendulum is precisely known, it can actually be used to measure the acceleration due to gravity, as in the following example.

Example 15.3

Measuring Acceleration due to Gravity by the Period of a Pendulum

Strategy

Solução

Significance

An engineer builds two simple pendulums. Both are suspended from small wires secured to the ceiling of a room. Each pendulum hovers 2 cm above the floor. Pendulum 1 has a bob with a mass of 10 kg. Pendulum 2 has a bob with a mass of 100 kg. Describe how the motion of the pendulums will differ if the bobs are both displaced by 12 ° 12 ° .

Physical Pendulum

Any object can oscillate like a pendulum. Consider a coffee mug hanging on a hook in the pantry. If the mug gets knocked, it oscillates back and forth like a pendulum until the oscillations die out. We have described a simple pendulum as a point mass and a string. A physical pendulum is any object whose oscillations are similar to those of the simple pendulum, but cannot be modeled as a point mass on a string, and the mass distribution must be included into the equation of motion.

As for the simple pendulum, the restoring force of the physical pendulum is the force of gravity. With the simple pendulum, the force of gravity acts on the center of the pendulum bob. In the case of the physical pendulum, the force of gravity acts on the center of mass (CM) of an object. The object oscillates about a point O. Consider an object of a generic shape as shown in Figure 15.21.

Using the small angle approximation and rearranging:

Once again, the equation says that the second time derivative of the position (in this case, the angle) equals minus a constant ( − m g L I ) ( − m g L I ) times the position. The solution is


Introdução

Functions with values in a (nonlinear) subset of a vector space appear in several applications of imaging and in inverse problems, e.g.,

Interferometric Synthetic Aperture Radar (InSAR) is a technique used in remote sensing and geodesy to generate, for example, digital elevation maps of the earth’s surface. InSAR images represent phase differences of waves between two or more SAR images, cf. [44, 53]. Therefore, InSAR data are functions (f:Omega ightarrow >^1subseteq >^2) . The pointwise function values are on the (>^1) , which is considered embedded into (>^2) .

UMA color image can be represented as a function in HSV space (hue, saturation, value) (see, e.g., [48]). Color images are then described as functions (f:Omega ightarrow K subseteq >^3) . Here (Omega ) is a plane in (>^2) , the image domain, and K (representing the HSV space) is a cone in three-dimensional space (>^3) .

Estimation of the foliage angle distribution has been considered, for instance, in [39, 51]. Therefore, the imaging function is from (Omega subset >^2) , a part of the Earth’s surface, into (mathbb ^2 subseteq >^3) , representing foliage angle orientation.

Estimation of functions with values in (SO(3) subseteq >^<3 imes 3>) . Such problems appear in Cryo-Electron Microscopy (see, for instance, [38, 58, 61]).

We emphasize that we are analyzing vector-, matrix-, tensor- valued functions, where pointwise function evaluations belong to some given (sub)set, but are always elements of the underlying vector space. This should not be confused with set-valued functions, where every function evaluation can be a set.

Inverse problems and imaging tasks, such as the ones mentioned above, might be unstable, or even worse, the solution could be ambiguous. Therefore, numerical algorithms for imaging need to be regularizing to obtain approximations of the desired solution in a stable manner. Consider the operator equation

where we assume that only (noisy) measurement data (v^delta ) of (v^0) become available. In this paper the method of choice is variational regularization which consists in calculating a minimizer of the variational regularization functional

C is an element of the set of admissible functions.

is an operator modeling the image formation process (except the noise).

(mathcal ) is called the dados ou fidelity term, which is used to compare a pair of data in the image domain, that is to quantify the difference of the two data sets.

(mathcal ) is called regularization functional, which is used to impose certain properties onto a minimizer of the regularization functional (mathcal ) .

(alpha > 0) is called regularization parameter and provides a trade off between stability and approximation properties of the minimizer of the regularization functional (mathcal ) .

(v^delta ) denotes measurement data, which we consider noisy.

(v^0) denotes the exact data, which we assume to be not necessarily available.

The main objective of this paper is to introduce a general class of regularization functionals for functions with values in a set of vectors. In order to motivate our proposed class of regularization functionals, we review a class of regularization functionals appropriate for analyzing intensity data.

Variational Regularization for Reconstruction of Intensity Data

Opposite to what we consider in the present paper, most commonly, imaging data v and admissible functions C, respectively, are considered to be representable as intensity functions. That is, they are functions from some subset (Omega ) of an Euclidean space with real values.

In such a situation, the most widely used regularization functionals use regularization terms consisting of powers of Sobolev (see [12, 15, 16]) or total variation semi-norms [54]. It is common to speak about Tikhonov regularization (see, for instance, [59]) when the data term and the regularization functional are squared Hilbert space norms, respectively. For the Rudin, Osher, Fatemi (ROF) regularization [54], also known as total variation regularization, the data term is the squared (L^2) -norm and (mathcal (w) = |w|_) is the total variation semi-norm. Nonlocal regularization operators based on the generalized nonlocal gradient are used in [35].

Other widely used regularization functionals are sparsity promoting [22, 41], Besov space norms [42, 46] and anisotropic regularization norms [47, 56]. Aside from various regularization terms, there also have been proposed different fidelity terms other than quadratic norm fidelities, like the p-th powers of (ell ^p) and (L^p) -norms of the differences of F(C) e v , [55, 57], maximum entropy [26, 28] and Kullback–Leibler divergence [52] (see [50] for some reference work).

Our work utilizes results from the seminal paper of Bourgain, Brézis and Mironescu [14], which provides an equivalent derivative-free characterization of Sobolev spaces and the space , the space of functions of bounded total variation, which consequently, in this context, was analyzed in Dávila and Ponce [23, 49], respectively. It is shown in [14, Theorems 2 and 3’] and [23, Theorem 1] that when (( ho _varepsilon )_) is a suitable sequence of nonnegative, radially symmetric, radially decreasing mollifiers, then

Hence, ( ilde<>>_varepsilon ) approximates powers of Sobolev semi-norms and the total variation semi-norm, respectively. Variational imaging, consisting in minimization of (mathcal ) from Eq. 1.2 with (>) replaced by ( ilde<>>_varepsilon ) , has been considered in [3, 11].

Regularization of Functions with Values in a Set of Vectors

In this paper we generalize the derivative-free characterization of Sobolev spaces and functions of bounded variation to functions (u:Omega ightarrow K) , where K is some set of vectors, and use these functionals for variational regularization. The applications we have in mind contain that K is a closed subset of (>^M) (for instance, HSV data) with nonzero measure, or that K is a submanifold (for instance, InSAR data).

The reconstruction of manifold-valued data with variational regularization methods has already been subject to intensive research (see, for instance, [4, 17,18,19, 40, 62]). The variational approaches mentioned above use regularization and fidelity functionals based on Sobolev and TV semi-norms: a total variation regularizer for cyclic data on (>^1) was introduced in [18, 19], see also [7, 9, 10]. In [4, 6] combined first- and second-order differences and derivatives were used for regularization to restore manifold-valued data. The later mentioned papers, however, are formulated in a finite-dimensional setting, opposed to ours, which is considered in an infinite-dimensional setting. Algorithms for total variation minimization problems, including half-quadratic minimization and nonlocal patch-based methods, are given, for example, in [4, 5, 8] as well as in [37, 43]. On the theoretical side the total variation of functions with values in a manifold was investigated by Giaquinta and Mucci using the theory of Cartesian currents in [33, 34], and earlier [32] if the manifold is (>^1) .

Content and Particular Achievements of the Paper

The contribution of this paper is to introduce and analytically analyze double integral regularization functionals for reconstructing functions with values in a set of vectors, generalizing functionals of the form Eq. 1.3. Moreover, we develop and analyze fidelity terms for comparing manifold-valued data. Summing these two terms provides a new class of regularization functionals of the form Eq. 1.2 for reconstructing manifold-valued data.

When analyzing our functionals, we encounter several differences to existing regularization theory (compare Sect. 2):

O admissible functions, where we minimize the regularization functional on, do form only a set mas não uma linear space. As a consequence, well-posedness of the variational method (that is, existence of a minimizer of the energy functional) cannot directly be proven by applying standard direct methods in the Calculus of Variations [20, 21].

The regularization functionals are defined via metrics and not norms, see Sect. 3

In general, the fidelity terms are non-convex. Stability and convergence results are proven in Sect. 4.

The model is validated in Sect. 6 where we present numerical results for denoising and inpainting of data of InSAR type.


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Download Display Driver Uninstaller DDU - Display Driver Uninstaller is a driver removal utility that can help you completely uninstall AMD/NVIDIA graphics card drivers and packages from your system, without leaving leftovers behind (including registry keys, folders and files, driver store).

The AMD/NVIDIA video drivers can normally be uninstalled from the Windows Control panel, this driver uninstaller program was designed to be used in cases where the standard driver uninstall fails, or anyway when you need to thoroughly delete NVIDIA and ATI video card drivers. The current effect after you use this driver removal tool will be similar as if its the first time you install a new driver just like a fresh, clean install of Windows. As with any tool of this kind, we recommend creating a new system restore point before using it, so that you can revert your system at any time if you run into problems.

If you have a problem installing an older driver or newer one, give it a try as there are some reports that it fix those problems. DDU is an application that is programmed by Ghislain Harvey aka Wagnard in our forums, Guru3D.com is the official download partner for this handy application.

Recommended usage

  • The tool can be used in Normal mode but for absolute stability when using DDU, Safemode is always the best.
  • Make a backup or a system restore (but it should normally be pretty safe).
  • It is best to exclude the DDU folder completely from any security software to avoid issues.

Keep note that NVIDIA/AMD did not have anything to do with this, I do not work at or for NVIDIA/AMD and they should not be held responsible for anything that may go wrong with this application.


As I always use Intel C/C++ and trying to check, I found a lot of tests with only (50..80) bits of precision, that was using /fp:fast2, and /fp:fast is almost the same.
Testing with /fp:strict the results are very similar to MS-C.
A test with /fp:precise returns more bits of accuracy that MS-C, with the only exception of fma() which had 86 versus 93 with MS-C.

Debugging the code line by line shows that both the 'unsigned long long' and the 'long long' constructors rely on undefined behaviour when converting extremely large values, namely conversion of a value outside the '(unsigned) long long' range to '(unsigned) long long'. In the case of 'long long', this conversion is benign. In the case of 'unsigned long long', the conversion gives an error.

Replacing the constructors for '(unsigned) long long' with the following code will work for all values, assuming that:

1. The processor uses twos-complement arithmetic
2. The '(unsigned) long long' type has no more than twice the number of bits in a 'double'

The code separates an '(unsigned) long long' type into two parts that may be represented exactly within a 'double'. It then adds the two 'double's to give a normalized result. It has been tested with values LLONG_MIN, LLONG_MAX, and ULLONG_MAX, and gives the correct results for all three operands.

If you have an important point to make, don't try to be subtle or clever. Use a pile driver. Hit the point once. Then come back and hit it again. Then hit it a third time - a tremendous whack.

My fix (in C# where a ulong is an unsigned long long in C++) is as follows:

This may be a kludge as perhaps normalizing can be done to speed things up a bit but I'm out of my depth there. Same is true for signed long long.
Thinking about it I suspect that the original designers of QD (Bailey, et al) intentionally created the code this way - there is simply a recognised loss of precision. But my thoughts are that since double-doubles accommodate 31 digits precision then they should accommodate long longs accurately.

Apologies for the delay I was away from my computer.

I am testing solutions for all the problems that you raised, and will have a new version (1.1.3) of the package on the website later tonight Israel time (UTC+2).

The problem with unsigned long long is mine alone Bailey et al. did not have a constructor for (unsigned) long long types. Somehow, the subtraction operation got reversed:

For |h| < 2^53, x_[1] == 0, so the order of subtraction is unimportant. I did not test my code for very large numbers, and so missed the bug.

My thanks again for bringing these bugs to my attention.

If you have an important point to make, don't try to be subtle or clever. Use a pile driver. Hit the point once. Then come back and hit it again. Then hit it a third time - a tremendous whack.

I'm sorry my test code had an error, making me think that there was a problem. I erased my message, but it had apparently already been sent to you.

Apologies for the false alarm.

If you have an important point to make, don't try to be subtle or clever. Use a pile driver. Hit the point once. Then come back and hit it again. Then hit it a third time - a tremendous whack.

I executed the following code (results in comments):

I've fixed the code (in C# as I'm transcoding the C++) as follows but it's not completely tested (NB. the method is a member of struct DDReal):

I can confirm the error. It is due to the fact that 9.9. 92 is converted to <10.0, > while 9.9. 91 is converted to <9.9. >.

A workaround is to use the trunc() function and cast the result to int. I will see if I can create a better fix if not, the toInt() method will be updated to call the trunc() function.

Note that similar issues exist in the toLong() e a toLongLong() métodos.

My thanks for discovering this.

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No, this is not an error. The double-double type represents numbers as a sum of two doubles a+b, where b < 0.5×eps×a. There is no lower bound on b, so any number of the form 1+2^n can be represented. For example, 1+2^-300 is representative as a double-double (a=1, b=2^-300), but is not representable as a binary128.

The double-double type provides at least 106 bits of precision, so epsilon in numeric_limits is set to this value.

This "wobbling precision" is one of the differences between true ieee arithmetic and the double-double type.

If you have an important point to make, don't try to be subtle or clever. Use a pile driver. Hit the point once. Then come back and hit it again. Then hit it a third time - a tremendous whack.

dd_real a = "123456789012345678901234567890"
a *= 1e-35
std::string s = a.to_string()
std::cout << s << " "

No, my mistake - there's no error. It seems that the double 1e-35 can,t be being represented exactly in binary (correct?) hence it's invisible trailing digits are propogated.

Doing:
dd_real a = "123456789012345678901234567890"
dd_real b = "1e-35"
a *= b
yields the correct answer.

You are correct in that 1e-35 cannot be represented exactly in binary. Your second solution (setting b = "1e-35") gave a more accurate representation - 106 bits, rather than 53 - but still did not give an infinitely accurate value.

It is this sort of problem that makes floating-point arithmetic such a joy and a challenge.

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  1. AFAIK, It's supported only on Intel processors
  2. Even on those processors, it's supported only by the old-style 80x87 instructions, not the SSE instructions

This uniformity does not exist for 'long double'. The Intel processors have limited support in hardware for an 80-bit extended type, PowerPC processors typically implement 'long double' in software as a double-double type, while some SPARC processors implement it in software as a 128-bit quadruple-precision type. These processors could use 'long double' as an alternative to 'double-double', but you then run into the same problems we had pre-IEEE 754: running the same program on different processors does not necessarily give the same result!

Until IEEE 754 binary128 is natively supported on all processors, I submit that with all its faults, 'double-double' is the best choice for portability and high accuracy.

If you have an important point to make, don't try to be subtle or clever. Use a pile driver. Hit the point once. Then come back and hit it again. Then hit it a third time - a tremendous whack.

In your case, a == -1.32, b == 2.0, which leads to int_b == 2.0, frac_b == 0.0.

The problem is that if a < 0.0, log( a ) cannot be calculated. However, if frac_b == 0.0, this whole line should be skipped.

The code may be fixed by replacing the above with

If you have an important point to make, don't try to be subtle or clever. Use a pile driver. Hit the point once. Then come back and hit it again. Then hit it a third time - a tremendous whack.

Thanks for the quick reply.

Also I noticed that 0/0 gives inf. It should yield nan.

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Microsoft&rsquos Outlook is the de facto email client for most businesses and enterprises, and has been around for decades, with its origins dating back to MS-DOS. Obviously it has tight integration with other Microsoft services, and that takes email beyond the simple exchange of messages.

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Microsoft Outlook is available as part of the Microsoft Office suite, which can be purchased as the standalone Office 2016, or the subscription-based Microsoft 365.

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There is a free tier, but you need the Pro version for commercial use, and that also gives you VIP support and unlimited accounts (the free product is limited to two email accounts). The Pro version has a one-time license fee.

eM Client makes it easy to migrate your messages from Gmail, Exchange, iCloud and Outlook.com &ndash just enter your email address and the client will adjust the appropriate settings for you. eM Client can also import your contacts and calendar, and it's easy to deselect these options if you'd prefer to manage them separately.

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Unlike some more Microsoft-centric email clients, Mailbird Business supports a diverse range of integrated apps, including WhatsApp, Google Docs, Google Calendar, Facebook, Twitter, Dropbox and Slack, all making for a better streamlined workflow. However, one downside to bear in mind here is that there&rsquos no support for filters or rules to organize your inbox.

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