Artigos

5.5: Famílias de Conjuntos Indexados - Matemática


Atividade de visualização ( PageIndex {1} ): A união e a interseção de uma família de conjuntos

Na Seção 5.3, discutimos várias propriedades das operações de conjunto. Agora vamos nos concentrar nas propriedades associativas para união e interseção de conjuntos. Observe que a definição de “união de conjuntos” nos diz como formar a união de dois conjuntos. É a lei associativa que nos permite discutir a união de três conjuntos. Usando a lei de associação, se (A ), (B ) e (C ) são subconjuntos de algum conjunto universal, então podemos definir (A xícara B xícara C ) como ( (A xícara B) xícara C ) ou (A xícara (B xícara C) ). Isso é,

(A xícara B xícara C = (A xícara B) xícara C = A xícara (B xícara C). )

Para esta atividade, o conjunto universal é N e usaremos os quatro conjuntos a seguir:

(A = ) {1, 2, 3, 4, 5}

(B = ) {2, 3, 4, 5, 6}

(C = ) {3, 4, 5, 6, 7}

(D = ) {4, 5, 6, 7, 8}

  1. Use o método de lista para especificar os conjuntos (A xícara B xícara C ), (B xícara C xícara D ), (A cap B cap C ) e (B cap C cap D ).
  2. Use o método de lista para especificar cada um dos seguintes conjuntos. Em cada caso, certifique-se de seguir a ordem especificada pelos parênteses.

    (a) ((A xícara B xícara C) xícara D )
    (b) (A xícara (B xícara C xícara D) )
    (c) (A xícara (B xícara C) xícara D )
    (d) ((A xícara B) xícara (C xícara D) )
    (e) ((A cap B cap C) cap D )
    (f) (A cap (B cap C cap D) )
    (g) (A cap (B cap C) cap D )
    (h) ((A cap B) cap (C cap D) )

  3. Com base no trabalho da Parte (2), a colocação dos parênteses importa ao determinar a união (ou interseção) desses quatro conjuntos? Isso torna possível definir (A xícara B xícara C xícara D ) e (A cap B cap C cap D )?

Já vimos que os próprios elementos de um conjunto podem ser conjuntos. Por exemplo, o conjunto de potência de um conjunto (T ), ( mathcal {P} (T) ), é o conjunto de todos os subconjuntos de (T ). A frase "um conjunto de conjuntos" parece confusa e, por isso, costumamos usar os termos coleção e família quando desejamos enfatizar que os elementos de um determinado conjunto são eles próprios conjuntos. Diríamos então que o conjunto de potências de (T ) é a família (ou coleção) de conjuntos que são subconjuntos de (T ).

Um dos objetivos do trabalho que fizemos até agora nesta atividade de visualização foi mostrar que é possível definir a união e a intersecção de uma família de conjuntos.

Definição

Seja ( mathcal {C} ) uma família de conjuntos. O união acabada ( mathcal {C} ) é definido como o conjunto de todos os elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos em ( mathcal {C} ). Nós escrevemos

( bigcup_ {X in mathcal {C}} ^ {} X = {x in U | x in X text {para algum} X in mathcal {C} } )

O cruzamento sobre ( mathcal {C} ) é definido como o conjunto de todos os elementos que estão em todos os conjuntos em ( mathcal {C} ). Isso é,

( bigcap_ {X in mathcal {C}} ^ {} X = {x in U | x in X text {para algum} X in mathcal {C} } )

Por exemplo, considere os quatro conjuntos (A ), (B ), (C ) e (D ) usados ​​anteriormente nesta atividade de visualização e os conjuntos

(S = ) {5, 6, 7, 8, 9} e (T = ) {6, 7, 8, 9, 10}

Podemos então considerar as seguintes famílias de conjuntos: ( mathcal {A} = {A, B, C, D } ) e ( mathcal {B} = {A, B, C, D, S, T } )

  1. Explique porque

    ( bigcup_ {X in mathcal {A}} ^ {} X = A xícara B xícara C xícara D ) e ( bigcap_ {X in mathcal {A}} ^ {} X = A cap B cap C cap D )

    e use seu trabalho em (1), (2) e (3) para determinar ( bigcup_ {X in mathcal {A}} ^ {} X ) e ( bigcap_ {X in mathcal {A}} ^ {} X ).

  2. Use o método de lista para especificar ( bigcup_ {X in mathcal {B}} ^ {} X ) e ( bigcap_ {X in mathcal {B}} ^ {} X )

6. Use o método de lista para especificar os conjuntos (( bigcup_ {X in mathcal {A}} ^ {} X) ^ c ) e ( bigcap_ {X in mathcal {A}} ^ {} X ^ c ). Lembre-se de que o conjunto universal é ( mathbb {N} ).

Atividade de visualização ( PageIndex {2} ): Uma família indexada de conjuntos

Freqüentemente usamos subscritos para identificar conjuntos. Por exemplo, em Visualizar Atividade ( PageIndex {1} ), em vez de usar (A ), (B ), (C ) e (D ) como os nomes dos conjuntos, poderíamos ter usado (A_1 ), (A_2 ), (A_3 ) e (A_4 ). Quando fazemos isso, estamos usando o subscrito como uma marca de identificação, ou índice, para cada conjunto. Também podemos usar essa ideia para especificar uma família infinita de conjuntos. Por exemplo, para cada número natural (n ), definimos

(C_n = {n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4 }. )

Portanto, se temos uma família de conjuntos ( mathcal {C} = {C_1, C_2, C_3, C_4 } ), usamos a notação ( bigcup_ {j = 1} ^ {4} C_j ) significar a mesma coisa que ( bigcup_ {x in mathcal {C}} ^ {} X ).

  1. Determine ( bigcup_ {j = 1} ^ {4} C_j ) e ( bigcap_ {j = 1} ^ {4} C_j )

    Podemos ver que com o uso de subscritos, não precisamos nem mesmo definir a família de conjuntos ( mathcal {A} ). Podemos trabalhar com a infinita família de conjuntos
    [ mathcal {C} ^ { ast} = {A_n | n in mathbb {N} } ]
    e use os subscritos para indicar quais conjuntos usar em uma união ou interseção.

  2. Use o método de lista para especificar cada um dos seguintes pares de conjuntos. O conjunto universal é ( mathbb {N} ).

    (a) ( bigcup_ {j = 1} ^ {6} C_j ) e ( bigcap_ {j = 1} ^ {6} C_j )
    (b) ( bigcup_ {j = 1} ^ {8} C_j ) e ( bigcap_ {j = 1} ^ {8} C_j )
    (c) ( bigcup_ {j = 4} ^ {8} C_j ) e ( bigcap_ {j = 4} ^ {8} C_j )
    (d) (( bigcap_ {j = 1} ^ {4} C_j) ^ c ) e ( bigcup_ {j = 1} ^ {4} C_j ^ c )

A união e a interseção em uma família indexada de conjuntos

Um dos objetivos das atividades de pré-visualização foi mostrar que muitas vezes encontramos situações em que mais de dois conjuntos estão envolvidos, e é possível definir a união e a intersecção de mais de dois conjuntos. Em Preview Activity ( PageIndex {2} ), também vimos que geralmente é conveniente “indexar” os conjuntos em uma família de conjuntos. Em particular, se (n ) é um número natural e ( mathcal {A} = {A_1, A_2, ..., A_n } ) é uma família de (n ) conjuntos, então o união desses (n ) conjuntos, denotados por (A_1 xícara A_2 xícara cdot cdot cdot xícara A_n ) ou ( bigcup_ {j = 1} ^ {n} A_j ), é definido como

[ bigcup_ {j = 1} ^ {n} A_j = {x in U | x in A_j, text {para algum} j text {com} 1 le j le n } . ]

Também podemos definir a interseção desses (n ) conjuntos, denotados por (A_1 cap A_2 cap cdot cdot cdot cap A_n ) ou ( bigcap_ {j = 1} ^ {n} A_j ), como

[ bigcap_ {j = 1} ^ {n} A_j = {x in U | x in A_j, text {para algum} j text {com} 1 le j le n } . ]

Também podemos estender essa ideia para definir a união e a interseção de uma família que consiste em um número infinito de conjuntos. Portanto, se ( mathcal {B} = {B_1, B_2, ..., B_n, ... } ), então

( bigcup_ {j = 1} ^ { infty} B_j = {x in U | x in B_j, text {para algum} j text {com} j ge 1 } ) , e

( bigcap_ {j = 1} ^ { infty} B_j = {x in U | x in B_j, text {para todos} j text {com} j ge 1 } ) .

Verificação de progresso 5.26 (uma família infinita de conjuntos)

Para cada número natural (n ), deixe (A_n = {1, n, n ^ 2 } ). Por exemplo,

(A_1 = {1 } ), (A_2 = {1, 2, 4 } ), (A_3 = {1, 3, 9 } ),

e

( bigcup_ {j = 1} ^ {3} A_j = {1, 2, 3, 4, 9 } ), ( bigcap_ {j = 1} ^ {3} A_j = {1 } ).

Determine cada um dos seguintes conjuntos:

  1. ( bigcup_ {j = 1} ^ {6} A_j )
  2. ( bigcap_ {j = 1} ^ {6} A_j )
  3. ( bigcup_ {j = 3} ^ {6} A_j )
  4. ( bigcap_ {j = 3} ^ {6} A_j )
  5. ( bigcup_ {j = 1} ^ { infty} A_j )
  6. ( bigcap_ {j = 1} ^ { infty} A_j )
Responder

Adicione textos aqui. Não exclua este texto primeiro.

Em todos os exemplos que estudamos até agora, usamos ( mathbb {N} ) ou um subconjunto de ( mathbb {N} ) para indexar ou rotular os conjuntos em uma família de conjuntos. Podemos usar outros conjuntos para indexar ou rotular conjuntos em uma família de conjuntos. Por exemplo, para cada número real (x ), podemos definir (B_x ) como o intervalo fechado [x, x + 2]. Isso é,

(B_x = {y in mathbb {R} | x le y le x + 2 } ).

Portanto, fazemos a seguinte definição. Nesta definição, ( wedge ) é a letra grega maiúscula lambda e ( alpha ) é a letra grega minúscula alfa.

Definição

Seja ( Lambda ) um conjunto não vazio e suponha que para cada ( alpha in wedge ), haja um conjunto correspondente (A _ { alpha} ). A família de conjuntos ( {A _ { alpha} | alpha in wedge } ) é chamada de família indexada de conjuntos indexado por ( wedge ). Cada ( alpha in wedge ) é chamado de índice e ( Lambda ) é chamado de conjunto de indexação.

Verificação de progresso 5.27 (famílias indexadas de conjuntos)

Em cada uma das famílias indexadas de conjuntos que vimos até agora, se os índices fossem diferentes, então os conjuntos seriam diferentes. Ou seja, se ( Lambda ) é uma indexação para a família de conjuntos ( mathcal {A} = {A _ { alpha} | alpha in wedge } ), então se ( alpha, beta in wedge ) e ( alpha ne beta ), então (A _ { alpha} ne A _ { beta} ). (Observação: A letra ( beta ) é a versão beta em letras minúsculas do grego.)

  1. Seja ( Lambda = {1, 2, 3, 4 } ), e para cada (n in Lambda ), seja (A_n = {2n + 6, 16 - 3n } ), e deixe ( mathcal {A} = {A_1, A_2, A_3, A_4 } ). Determine (A_1 ), (A_2 ), (A_3 ) e (A_4 ).
  2. A seguinte afirmação é verdadeira ou falsa para a família indexada ( mathcal {A} ) em (1)?
  3. Agora vamos ( Lambda = mathbb {R} ). Para cada (x in mathbb {R} ), defina (B_x = {0, x ^ 2, x ^ 4 } ). A seguinte afirmação é verdadeira para a família indexada do conjunto ( mathcal {B} = {B_x | x in mathbb {R} } )?
    Para todos (x, y in mathbb {R} ), se (x ne y ), então (B_x ne B_y ).
Responder

Adicione textos aqui. Não exclua este texto primeiro.

Nós agora reafirmamos as definições da união e interseção de uma família de conjuntos para uma família indexada de conjuntos.

Definição

Seja ( Lambda ) um conjunto de indexação não vazio e ( mathcal {A} = {A _ { alpha} | alpha in Lambda } ) seja uma família indexada de conjuntos. A união sobre ( mathcal {A} ) é definida como o conjunto de todos os elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos (A _ { alpha} ), onde ( alpha in wedge ). Nós escrevemos

( bigcup _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha} = {x in U | text {sai um} alpha in Lambda text {com} x em A _ { alpha} } ).

A interseção sobre ( mathcal {A} ) é o conjunto de todos os elementos que estão em todos os conjuntos (A _ { alpha} ) para cada ( alpha in Lambda ). Isso é,

( bigcap _ { alpha in wedge} ^ {} A _ { alpha} = {x in U | text {for all} alpha in wedge, x in A _ { alpha } } ).

Exemplo 5.28 (Uma família de conjuntos indexados pelos números reais positivos)

Para cada número real positivo ( alpha ), seja (A _ { alpha} ) o intervalo (-1, ( alpha )]. Ou seja,

(A _ { alpha} = {x in mathbb {R} | -1

Se deixarmos ( mathbb {R} ^ {+} ) ser o conjunto de números reais positivos, então temos uma família de conjuntos indexados por ( mathbb {R} ^ {+} ). Vamos primeiro determinar a união desta família de conjuntos. Observe que para cada ( alpha in mathbb {R} ^ {+} ), ( alpha in A _ { alpha} ), e se (y ) é um número real com (- 1

( bigcup _ { alpha in mathbb {R} ^ {+}} ^ {} A _ { alpha} = (-1, infty) = {x in mathbb {R} | - 1

Para determinar a interseção desta família, observe que

  • if (y in mathbb {R} ) e (y <-1 ), então para cada ( alpha in mathbb {R} ^ {+} ), (y notin A_ {alfa});
  • if (y in mathbb {R} ) e (- 1
  • if (y in mathbb {R} ) e (y> 0 ), então vamos ( beta = dfrac {y} {2} ), (y> beta ) e (y notin A _ { beta} ).

A partir dessas observações, concluímos que

( bigcap _ { alpha in mathbb {R} ^ {+}} ^ {} A _ { alpha} = (-1, 0] = {x in mathbb {R} | -1

Verificação de progresso 5.29 (uma continuação do exemplo 5.28)

Usando a família de conjuntos do Exemplo 5.28, para cada ( alpha in mathbb {R} ^ {+} ), vemos que

(A _ { alpha} ^ c = (- infty, 1] cup ( alpha, infty). )

Use os resultados do Exemplo 5.28 para ajudar a determinar cada um dos seguintes conjuntos. Para cada conjunto, use a notação de intervalo ou a notação do construtor de conjunto.

  1. (( bigcup _ { alpha in mathbb {R} ^ {+}} ^ {} A _ { alpha}) ^ c )
  2. (( bigcap _ { alpha in mathbb {R} ^ {+}} ^ {} A _ { alpha}) ^ c )
  3. ( bigcap _ { alpha in mathbb {R} ^ {+}} ^ {} A _ { alpha} ^ c )
  4. ( bigcup _ { alpha in mathbb {R} ^ {+}} ^ {} A _ { alpha} ^ c )
Responder

Adicione textos aqui. Não exclua este texto primeiro.

Propriedades de União e Intersecção

No Teorema 5.30, iremos provar algumas propriedades de operações de conjuntos para famílias de conjuntos indexados. Algumas dessas propriedades são extensões diretas de propriedades correspondentes para dois conjuntos. Por exemplo, já provamos as Leis de De Morgan para dois conjuntos no Teorema 5.20. O trabalho nas atividades de visualização e na Verificação de progresso 5.29 sugere que devemos obter resultados semelhantes usando operações de conjunto com uma família indexada de conjuntos. Por exemplo, em Preview Activity ( PageIndex {2} ), vimos que

(( bigcap_ {j = 1} ^ {4} A_j) ^ c = bigcup_ {j = 1} ^ {4} A_j ^ c. )

Teorema 5.30.

Seja ( Lambda ) um conjunto de indexação não vazio e seja ( mathcal {A} = {A _ { alpha} | alpha in wedge } ) uma família indexada de conjuntos. Então

  1. Para cada ( beta in Lambda ), ( bigcap _ { alpha in Lambda} A _ { alpha} subseteq A _ { beta} )
  2. Para cada ( beta in Lambda ), (A _ { beta} subseteq bigcup _ { alpha in Lambda} A _ { alpha} )
  3. (( bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha}) ^ c = bigcup _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha} ^ c )
  4. (( bigcup _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha}) ^ c = bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha} ^ c )

As partes (3) e (4) são conhecidas como Leis de De Morgan.

Prova

Vamos provar as partes (1) e (3). As provas das Partes (2) e (4) estão incluídas no Exercício (4). Portanto, vamos deixar ( Lambda ) ser um conjunto de indexação não vazio e (mathcal {A} = {A _ { alpha} | alpha in Lambda } ) ser uma família indexada de conjuntos. Para provar a Parte (1), deixamos ( beta in Lambda ) e observamos que se (x in bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha} ), então (x in A _ { alpha} ), para todos ( alpha in Lambda ). Como ( beta ) é um elemento em ( Lambda ), podemos concluir que (x in A _ { beta} ). Isso prova que ( bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha} subseteq A _ { beta} ).

Para provar a Parte (3), provaremos que cada conjunto é um subconjunto do outro. Primeiro deixamos (x in ( bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha}) ^ c ). Isso significa que (x notin ( bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha}) ), e isso significa que

existe um ( beta in Lambda ) tal que (x notin A _ { beta} ).

Portanto, (x in A _ { beta} ^ c ), o que implica que (x in bigcup _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha} ^ c ). Portanto, provamos que

[( bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha}) ^ c subseteq bigcup _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha} ^ c. ]

Agora vamos (y in bigcup _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha} ^ c ). Isso significa que existe um ( beta in Lambda ) tal que (y in A _ { beta} ^ c ) ou (y notin A _ { beta} ). No entanto, como (y notin A _ { beta} ), podemos concluir que (y notin bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha} ) e, portanto, (y in ( bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha}) ^ c ). Isso prova que

[ bigcup _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha} ^ c subseteq ( bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha}) ^ c. ]

Usando os resultados em (5.5.4) e (5.5.5), provamos que (( bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha}) ^ c = bigcup _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha} ^ c. )

Muitas das outras propriedades de operações de conjunto também são verdadeiras para famílias indexadas de conjuntos. O Teorema 5.31 estabelece as leis distributivas para operações de conjunto.

Teorema 5.31.

Seja ( Lambda ) um conjunto de indexação não vazio e seja ( mathcal {A} = {A _ { alpha} | alpha in Lambda } ) uma família indexada de conjuntos, e deixe (B ) ser um conjunto. Então

  1. (B cap ( bigcup _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha}) = bigcup _ { alpha in Lambda} ^ {} (B cap A _ { alpha}) ), e
  2. (B cup ( bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha}) = bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} (B cup A _ { alpha}) )
Prova

A prova do Teorema 5.31 é o Exercício (5).

Famílias de conjuntos desarticulados de pares

Na Seção 5.2, definimos dois conjuntos (A ) e (B ) para serem disjuntos, desde que (A cap B = conjunto vazio ). De maneira semelhante, se ( Lambda ) é um conjunto de indexação não vazio e ( mathcal {A} = {A _ { alpha} | alpha in Lambda } ) é uma família indexada de conjuntos, podemos dizer que esta família indexada de conjuntos é disjuntar desde que ( bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha} = emptyset ). No entanto, podemos usar o conceito de dois conjuntos disjuntos para definir um tipo um pouco mais interessante de “disjunção” para uma família indexada de conjuntos.

Definição

Seja ( Lambda ) um conjunto de indexação não vazio, e seja ( mathcal {A} = {A _ { alpha} | alpha in Lambda } ) uma família indexada de conjuntos. Dizemos que ( mathcal {A} ) é disjunto por pares, desde que para todos ( alpha ) e ( beta ) em ( Lambda ), se (A _ { alpha} ne A _ { beta} ), então (A _ { alpha} cap A _ { beta} = emptyset ).

Verificação de progresso 5.32 (famílias de conjuntos desarticuladas)

A Figura 5.7 mostra duas famílias de conjuntos,

( mathcal {A} = ) { (A_1 ), (A_2 ), (A_3 ), (A_4 )} e ( mathcal {B} = ) { (B_1 ), (B_2 ), (B_3 ), (B_4 )}.

  1. A família de conjuntos ( mathcal {A} ) é uma família de conjuntos disjuntos? Uma família de conjuntos disjuntos aos pares?
  2. A família de conjuntos ( mathcal {B} ) é uma família de conjuntos disjuntos? Uma família de conjuntos disjuntos aos pares?

    Agora deixe o universal ser ( mathbb {R} ). Para cada (n in mathbb {N} ), deixe (C_n = (n, infty) ) e deixe ( mathcal {C} = {C_n | n in mathbb {N} } ).

  3. A família de conjuntos ( mathcal {C} ) é uma família de conjuntos disjuntos? Uma família de conjuntos disjuntos aos pares?
Responder

Adicione textos aqui. Não exclua este texto primeiro.

Exercício ( PageIndex {1} )

  1. Para cada número natural (n ), deixe (A_n = {n, n + 1, n + 2, n + 3 } ). Use o método de lista para especificar cada um dos seguintes conjuntos:

    (a) ( bigcap_ {j = 1} ^ {3} A_j )
    (b) ( bigcup_ {j = 1} ^ {3} A_j )
    (c) ( bigcap_ {j = 3} ^ {7} A_j )
    (d) ( bigcup_ {j = 3} ^ {7} A_j )
    (e) (A_9 cap ( bigcup_ {j = 3} ^ {7} A_j) )
    (f) ( bigcup_ {j = 3} ^ {7} (A_9 cap A_j) )

  2. Para cada número natural (n ), deixe (A_n = {k in mathbb {N} | k ge n } ). Use o método de lista ou defina a notação do construtor para especificar cada um dos seguintes conjuntos:

    (a) ( bigcap_ {j = 1} ^ {5} A_j )
    (b) (( bigcap_ {j = 1} ^ {5} A_j) ^ c )
    (c) ( bigcap_ {j = 1} ^ {5} A_j ^ c )
    (d) ( bigcup_ {j = 1} ^ {5} A_j ^ c )
    (e) ( bigcup_ {j = 1} ^ {5} A_j )
    (f) (( bigcup_ {j = 1} ^ {5} A_j) ^ c )
    (g) ( bigcap_ {j in mathbb {N} ^ {} A_j )
    (h) ( bigcup_ {j in mathbb {N} ^ {} A_j )

  3. Para cada número real positivo (r ), defina (T_r ) como o intervalo fechado ([- r ^ 2, r ^ 2] ). Isso é
    [T_r = {x in mathbb {R} | -r ^ 2 le x le r ^ 2 }. ]
    Vamos ( wedge = {m in mathbb {N} | 1 le m le 10 } ). Use notação de intervalo ou notação de construtor de conjunto para especificar cada um dos seguintes conjuntos:

    (a) ( bigcup_ {k in wedge} ^ {} T_k )
    (b) ( bigcap_ {k in wedge} ^ {} T_k )
    (c) ( bigcup_ {r in mathbb {R} ^ +} ^ {} T_k )
    (d) ( bigcap_ {r in mathbb {R} ^ +} ^ {} T_k )
    (e) ( bigcup_ {r in mathbb {N}} ^ {} T_k )
    (f) ( bigcap_ {r in mathbb {N}} ^ {} T_k )

  4. Prove as partes (2) e (4) do Teorema 5.30. Seja ( Lambda ) um conjunto de indexação não vazio e ( mathcal {A} = {A _ { alpha} | alpha in Lambda } ) seja uma família indexada de conjuntos.

    (a) Para cada ( beta in Lambda ), (A _ { beta} subseteq bigcup _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha} ).
    (b) (( bigcup _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha}) ^ c = bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha} ^ c )

  5. Prove o Teorema 5.31. Seja ( Lambda ) um conjunto de indexação não vazio, seja ( mathcal {A} = {A _ { alpha} | alpha in Lambda } ) uma família indexada de conjuntos, e deixe (B ) ser um conjunto. Então

    (a) (B cap ( bigcup _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha}) = bigcup _ { alpha in Lambda} ^ {} (B cap A _ { alpha })), e
    (b) (B cup ( bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha}) = bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} (B cup A _ { alpha} }) ).

  6. Sejam ( Lambda ) e ( Gamma ) conjuntos de indexação não vazios e seja ( mathcal {A} = {A _ { alpha} | alpha in Lambda } ) e ( mathcal {B} = {B _ { beta} | beta in Gamma } ) ser famílias indexadas de conjuntos. Use as leis distributivas no Exercício (5) para:

    (a) Escreva (( bigcup _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha}) cap ( bigcup _ { beta in Gamma} ^ {} B _ { beta}) como um união de interseções de dois conjuntos.
    (b) Escreva (( bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha}) cup ( bigcap _ { beta in Gamma} ^ {} B _ { beta}) como um união de interseções de dois conjuntos.

  7. Seja ( Lambda ) um conjunto de indexação não vazio e ( mathcal {A} = {A _ { alpha} | alpha in Lambda } ) seja uma família indexada de conjuntos. Além disso, assuma que ( Gamma subseteq Lambda ) e ( Gamma ne emptyset ). (Observação: A letra ( Gamma ) é a letra grega maiúscula gamma.) Prove que

    (a) ( bigcup _ { alpha in Gamma} ^ {} A _ { alpha} subseteq bigcup _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha} )
    (b) ( bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha} subseteq bigcap _ { alpha in Gamma} ^ {} A _ { alpha} )

  8. Seja ( Lambda ) um conjunto de indexação não vazio e ( mathcal {A} = {A _ { alpha} | alpha in Lambda } ) seja uma família indexada de conjuntos.

    (a) Prove que se (B ) é um conjunto tal que (B subseteq A _ { alpha} ) para cada ( alpha in Lambda ), então (B subseteq bigcap_ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha} ).
    (b) Prove que se (C ) é um conjunto tal que (A _ { alpha} subseteq C ) para cada ( alpha in Lambda ), então ( bigcap _ { alpha em Lambda} ^ {} A _ { alpha} subseteq C ).

  9. Para cada número natural (n ), deixe (A_n = {x in mathbb {R} | n - 1
  10. Para cada número natural (n ), deixe (A_n = {k in mathbb {N} | k ge n } ). Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique cada conclusão.

    (a) Para todos os (j, k in mathbb {N} ), se (j ne k ), então (A_j cap A_k ne emptyset ).
    (b) ( bigcap_ {k in mathbb {N}} ^ {} A_k = emptyset ).

  11. Dê um exemplo de uma família indexada de conjuntos ( {A_n | n in mathbb {N} } ) de forma que todas as três condições a seguir sejam verdadeiras:

    (i) Para cada (m in mathbb {N} ), (A_m subseteq (0,1) );
    (ii) Para cada (j, k in mathbb {N} ), se (j ne k ), então (A_j cap A_k ne emptyset ); e
    (iii) ( bigcap_ {k in mathbb {N}} ^ {} A_k = emptyset ).

  12. Seja ( Lambda ) um conjunto de indexação não vazio, seja ( mathcal {A} = {A _ { alpha} | alpha in Lambda } ) uma família indexada de conjuntos, e deixe (B ) ser um conjunto. Use os resultados do Teorema 5.30 e Teorema 5.31 para provar cada um dos seguintes:

    (a) (( bigcup _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha}) - B = bigcup _ { alpha in Lambda} ^ {} (A _ { alpha} - B) )
    (b) (( bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha}) - B = bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} (A _ { alpha} - B) )
    (c) (B - ( bigcup _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha}) = bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} B - (A _ { alpha}) )
    (d) (B - ( bigcap _ { alpha in Lambda} ^ {} A _ { alpha}) = bigcup _ { alpha in Lambda} ^ {} B - (A _ { alpha}) )

    Explorações e Atividades

  13. Uma família indexada de subconjuntos do plano cartesiano. Seja ( mathbb {R} ^ { ast} ) o conjunto de números reais não negativos, e para cada um (r in mathbb {R} ^ { ast} ), seja
    [ begin {array} {rcl} {C_r} & = & { {(x, y) in mathbb {R} times mathbb {R} | x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 }} {D_r} & = & { {(x, y) in mathbb {R} times mathbb {R} | x ^ 2 + y ^ 2 le r ^ 2 }} {T_r} & = & { {(x, y) in mathbb {R} times mathbb {R} | x ^ 2 + y ^ 2> r ^ 2 } = D_r ^ c.} End {array} ]

    Se (r> 0 ), então o conjunto (C_r ) é o círculo do raio (r ) com centro na origem como mostrado na Figura 5.8, e o conjunto (D_r ) é o disco sombreado (incluindo o limite) mostrado na Figura 5.8.

    (a) Determine ( bigcup_ {r in mathbb {R} ^ { ast}} ^ {} C_r ) e ( bigcap_ {r in mathbb {R} ^ { ast}} ^ {} C_r )
    (b) Determine ( bigcup_ {r in mathbb {R} ^ { ast}} ^ {} D_r ) e ( bigcap_ {r in mathbb {R} ^ { ast}} ^ {} D_r )
    (c) Determine ( bigcup_ {r in mathbb {R} ^ { ast}} ^ {} T_r ) e ( bigcap_ {r in mathbb {R} ^ { ast}} ^ {} T_r )
    (d) Seja ( mathcal {C} = {C_r | r in mathbb {R} ^ { ast} } ), ( mathcal {D} = {D_r | r in mathbb {R} ^ { ast} } ), e ( mathcal {T} = {T_r | r in mathbb {R} ^ { ast} } ) . Alguma dessas famílias indexadas de conjuntos é disjunta aos pares? Explique.

    Agora seja (I ) o intervalo fechado [0, 2] e seja (J ) o intervalo fechado [1, 2].
    (e) Determine ( bigcup_ {r in I} ^ {} C_r ), ( bigcap_ {r in I} ^ {} C_r ), ( bigcup_ {r in J} ^ { } C_r ) e ( bigcap_ {r in J} ^ {} C_r )
    (f) Determine ( bigcup_ {r in I} ^ {} D_r ), ( bigcap_ {r in I} ^ {} D_r ), ( bigcup_ {r in J} ^ { } D_r ) e ( bigcap_ {r in J} ^ {} D_r )
    (g) Determine (( bigcup_ {r in I} ^ {} D_r) ^ c ), (( bigcap_ {r in I} ^ {} D_r) ^ c ), (( bigcup_ {r in J} ^ {} D_r) ^ c ), e ((bigcap_ {r in J} ^ {} D_r) ^ c )
    (h) Determine ( bigcup_ {r in I} ^ {} T_r ), ( bigcap_ {r in I} ^ {} T_r ), ( bigcup_ {r in J} ^ { } T_r ), e ( bigcap_ {r in J} ^ {} T_r )
    (i) Use as Leis de Morgan para explicar a relação entre suas respostas nas Partes (13g) e (13h).

Responder

Adicione textos aqui. Não exclua este texto primeiro.


Adição e subtração são operações inversas. Se você adicionar um número e, em seguida, subtrair o mesmo número, eles se cancelam e não há efeito na expressão.

Abaixo estão os fatos de adição e subtração relacionados usando os números 2 e 3:

Os mesmos fatos relacionados podem ser escritos para qualquer problema de adição ou subtração. Se tivermos um dos fatos, podemos escrever três outros fatos usando os mesmos três números e adição ou subtração. Cada um dos conjuntos de expressões (ex. 2 + 3 = 5 3 + 2 = 5) é referido como uma família de fatos.


5.5: Famílias de Conjuntos Indexados - Matemática

2. Comprei os cartões familiares de fatos do triângulo em uma loja de professores. A soma está no topo e os adendos nos cantos inferiores. Tocamos em todo o mundo. Começamos com duas pessoas. A primeira pessoa a terminar uma frase numérica tem a chance de terminar o resto da família de fatos. Se forem bem-sucedidos, enfrentam outro adversário. Se ela não puder nomear todas as 4 sentenças numéricas, a outra pessoa receberá um.

2. Peça-lhes que façam desenhos para acompanhar os fatos familiares

3. Dê às crianças cubos ou outros contadores e peça-lhes que mostrem como movê-los para mostrar as diferentes sentenças numéricas usadas para formar uma família de fatos.

4. Faça cartões de número e operação (+, -, =) e distribua-os para as crianças. Chame um conjunto de crianças para formar uma sentença numérica na família de fatos e oriente o resto para formar as sentenças numéricas restantes.

Materiais: para uma página do livreto

Eu cortei círculos (de qualquer cor) com um diâmetro de 3 polegadas - o suficiente para que cada aluno tenha três círculos, um triângulo branco de 6 polegadas. X 6 pol. X 9 ins.-um por aluno e metade de uma folha normal de cartolina (qualquer cor).
Você também precisará de dois dados por aluno.

Você precisará multiplicar os materiais dependendo de quantas páginas fizer no livreto.

Peça ao aluno que lance os dados. Coloque um dos números em um círculo, coloque o outro número em um segundo círculo e a soma em um terceiro círculo. Esses círculos são então colados nas pontas do triângulo. No interior do triângulo, os alunos escrevem o.

Eu apresento famílias de fatos usando uma casa. Os números na família de fato, como 3,4 e 7, vão na parte do telhado da casa. Os fatos são as vigas de sustentação da casa. Eu uso um triângulo para o telhado e 4 retângulos longos e finos para as vigas de suporte. As crianças adoram. Na verdade, dou a cada criança um conjunto diferente de números que escrevo no triângulo e eles criam a família de fatos para acompanhá-lo. Nós penduramos isso pela sala. Todos os dias depois disso, dou 3 números como aquecimento e peço que criem uma família de fatos para mim como classe. O aluno do dia realmente faz a casa e a pendura para nós. Quando recebo muitos, coloco-os em um centro.

Talvez você pudesse usar esta planilha familiar de fatos - alguém aqui no Proteacher compartilhou durante o verão. Eu amo usá-lo com meus alunos da segunda série. :)

Aqui está a casa para duplas. : s)

Isso integra leitura, escrita e matemática. Os alunos definitivamente entenderam o conceito.

Tenho um jogo que comprei de alguém na Internet, então vou compartilhá-lo. Este jogo é jogado com um parceiro. Coloque uma tigela com vários dominós, pelo menos 10, entre os dois parceiros. Em "Vá", cada um pega um dominó e escreve os 4 fatos que o acompanham. Depois de fazer isso, eles pegam outro dominó e fazem a mesma coisa, e continuam fazendo isso até completarem 5 dominós. O primeiro feito é o vencedor, desde que estejam todos corretos. Isso pode ser competitivo. Você poderia fazer com que os vencedores jogassem com os vencedores, etc. Eu descobri que este é um bom jogo, mas se uma criança não entende bem as famílias, às vezes eles deixam a outra pessoa vencer. Seria uma boa prática mesmo que não fosse uma competição.

Todos pela manhã durante os negócios da manhã, coloquei a data atual no quadro, ou seja. 6. As crianças criam frases matemáticas usando esse número. Começamos usando apenas números até = 6. Agora eles também fazem famílias de fatos. Escrevo todas as respostas no quadro. Eles amam isso. Agora eles estão me dando sentenças como 108-102 = 6.

Claro que ainda estão usando aqueles dedos malditos, mas pelo menos alguns deles estão memorizando os fatos.

Ou você pode cortar formas (como corações ou trevos de três folhas para março) e escrever os três números nos "cantos". Peça aos alunos que cubram um canto de cada vez e eles precisam descobrir o número que fica embaixo dele. Em seguida, eles podem escrever os FFs e verificá-los no verso.

Eu jogo com meus alunos um jogo chamado "encontre sua família". Discutimos antes de jogar, que deve haver quatro membros em sua família (a menos que seja um fato duplo), e que cada membro deve compartilhar os mesmos três números. Cada aluno recebe uma ficha com um fato. (ninguém mais vê). Toco música e, quando a música para, digo "encontre sua família". Depois que os alunos encontram todos os membros de sua família, eles se sentam. As crianças adoram jogar este jogo e isso as ajuda a lembrar o que precisa ser incluído em cada família de fato. :)

famílias de fatos de milho doce. Isso ainda estaria relacionado ao Dia de Ação de Graças. Você faz um grande padrão laranja (cerca de 25 centímetros de altura) para o milho doce. Escreva levemente no meio:

_____+_______=
_____+_______=
_____-_______=
_____-_______=

Então eu dei a eles 3 números para sua família de fatos. (6, 7, 13, etc. - eu tentei dar a cada um uma família de fatos diferente) Eles escreveram nas linhas que eu forneci. Em seguida, eles adicionaram papel amarelo na parte superior e inferior e colocaram os dois números menores nos dois cantos superiores e o número maior na "ponta" do milho doce.

Comprei o gráfico de bolso da família de fato na Lakeshore e o usamos durante o calendário, fazemos uma família por semana quando começamos e, quando eles pegarem o jeito, pegamos as famílias antigas e as revisamos. Eu também tenho algumas fichas de trabalho de casa familiar que eu preencho com os três números e eles podem preencher. Eu coloquei alguns protetores de página para o horário de trabalho onde eles podem praticar. Eu também explico aos pais e coloco no meu boletim informativo semanal para que os pais possam dar uma ajuda extra, se necessário.

Eu explico desta forma - há três membros em cada família. O maior número é o papai, o do meio é a mamãe e o menor é o bebê. Em uma família de fato, há sempre quatro sentenças numéricas, duas adições e duas subtrações. Ao adicionar sentenças numéricas, você NUNCA começa com o papai (ele é sempre a resposta). Se você decidiu começar com a mamãe primeiro, então a próxima sentença numérica adicionada tem que ser o flip-flopper. Ao fazer a subtração de sentenças numéricas, você SEMPRE começa com o papai e pode subtrair primeiro a mamãe ou o bebê.

Eu sempre recomendo altamente manipulativos. Acho que as crianças precisam fazer matemática, não apenas fazer a resposta certa.

Eu gosto de blocos de base dez. Para uma família de fatos de 7, saia 7 quarteirões. Divida os blocos em famílias de fatos e escreva-os.

Cartões familiares são muito divertidos. Na frente, escreva o número da soma. Dentro, cole o feijão para mostrar um fato da família. Coloque um adendo de um lado do cartão e o outro adendo do outro lado. As crianças podem escrever todos os tipos de mensagens divertidas para a família.

Breaking kids into fact families while they act out a story is helpful. They get up and moving, and I like to keep kids active at some point in a lesson to get blood into the brain if for no other reason. 10 kids stand up. They are building a fort. One kid goes home to get a hammer. When he.

Last year I made these little story boards out of construction paper and die cuts for teaching fact families. For example, one of the boards was a pond with a frog family. I cut out blue paper for the pond, drew small waves, some cattails, trees, and rocks around it. Each frog had a number on its belly (the mom had #2, the dad had #5, and the baby had # 7). The kids had fun making up a story about the frogs jumping in the pond. Then we wrote number sentences to go along with the frog family. Other story boards that I made were: snowmen on a hill, sailboats on the lake, fish in a fish bowl, people in a house, and so on. The kids enjoy it because it is hands on, they get to create their own story, and the numbers are on pictures/characters rather than on a.

Lets see if I can get this out right..lol.

In a house. no "strangers" (other numbers) are allowed in the house.

"Big Daddy" = big number (5)
Mommy = middle number (3)
baby = small number (2)

Big Daddy is always first or last, because he is protecting his family.

Sometimes Daddy goes to work leaving Mommy and baby home together. 2+3=5

Baby is the most important person in Mommy life so she always puts him first, except on Mommy's Birthday 3+2=5

Sometimes Mommy goes to get her nails done and leaves baby with Daddy. 5-2=3

Sometimes Mommy and Daddy go to see a movie and leave baby with a sitter 5-3=2


A teacher at my school did this and I thought it was really cute. She drew a house and all and had the.


proteacher.org
The ProTeacher Collection - All rights reserved
For individual use only. Do not copy, reproduce or transmit.
Copyright 1998-2020 ProTeacher

Brought to you by the ProTeacher Community
Please share! Links to this page welcome!


Receber!

Este é um dos mais de 2.400 cursos do OCW. Explore os materiais para este curso nas páginas com links à esquerda.

MIT OpenCourseWare é uma publicação gratuita e aberta de material de milhares de cursos do MIT, cobrindo todo o currículo do MIT.

Sem inscrição ou registro. Navegue livremente e use materiais OCW em seu próprio ritmo. Não há inscrição nem datas de início ou término.

O conhecimento é a sua recompensa. Use o OCW para orientar sua própria aprendizagem ao longo da vida ou para ensinar outras pessoas. Não oferecemos crédito ou certificação para usar OCW.

Feito para compartilhar. Baixe os arquivos para mais tarde. Envie para amigos e colegas. Modifique, remixe e reutilize (lembre-se de citar o OCW como a fonte).

Sobre o MIT OpenCourseWare

MIT OpenCourseWare é uma publicação online de materiais de mais de 2.500 cursos do MIT, compartilhando conhecimento gratuitamente com alunos e educadores em todo o mundo. Saiba mais & raquo

& copy 2001 & ndash2018
Instituto de Tecnologia de Massachusetts

O uso do site e dos materiais do MIT OpenCourseWare está sujeito à nossa Licença Creative Commons e outros termos de uso.


Succeed

Eureka Math Succeed enables students to work individually toward mastery. Teachers and tutors can use Succeed books from prior grade levels as curriculum-consistent tools for filling gaps in foundational knowledge. Students will thrive and progress more quickly, as familiar models facilitate connections to their current, grade-level content.

Additional Problem Sets: Ideal for Homework or extra practice, these additional problem sets align lesson-by-lesson with what is happening in the classroom. These problems are sequenced from simple-to-complex to naturally scaffold student practice. They align with Eureka Math and use the curriculum’s mathematical models and language, ensuring that students feel the connections and relevance to their daily instruction, whether they are working on foundational skills or getting extra practice on the current topic.

Homework Helpers: Each problem set is accompanied by a Homework Helper, a set of worked examples that illustrate how similar problems are solved. The examples, viewed side by side with the homework, support students as they reinforce the day’s learning. Homework Helpers are also a great way to keep parents informed about math class.


Set Theory: Union Of Sets

In these lessons, we will learn the union of sets and the complement of the union of sets. For more lessons, see our collection of lessons on sets.

Union Of Sets

O union of two sets A and B is the set of elements, which are in A ou in B ou in both. It is denoted by A ∪ B and is read ‘A union B’.

The following table gives some properties of Union of Sets: Commutative, Associative, Identity and Distributive. Scroll down the page for more examples.

Example:
Given U = <1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10>
X = <1, 2, 6, 7>and Y = <1, 3, 4, 5, 8>
Find X ∪ Y and draw a Venn diagram to illustrate X ∪ Y.

Solução:
X ∪ Y = <1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8>← 1 is written only once.

Se X ⊂ Y então X ∪ Y = Y.
We will illustrate this relationship in the following example.

Example:
Given U = <1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10>
X = <1, 6, 9>and Y = <1, 3, 5, 6, 8, 9>
Find X ∪ Y and draw a Venn diagram to illustrate X ∪ Y.

Complement Of The Union Of Sets

O complement of the set X ∪ Y is the set of elements that are members of the universal set U but are not in X ∪Y. It is denoted by (X ∪ Y)’

Example:
Given: U = <1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9>
X = <1, 2, 6, 7>and Y = <1, 3, 4, 5, 8>
a) Draw a Venn diagram to illustrate ( X ∪ Y ) ’
b) Find ( X ∪ Y ) ’

Solução:
a) First, fill in the elements for X ∩ Y = <1>
Fill in the other elements for X and Y and for U
Shade the region outside X ∪ Y to indicate (X ∪ Y)’

b) We can see from the Venn diagram that
(X ∪ Y)’ = <9>
Or we find that X ∪ Y = <1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8>and so
(X ∪ Y)’ = <9>

Example:
Given U = , A = The set of odd numbers, B = The set of factors of 24 and C = <3, 10>.
a) Draw a Venn diagram to show the relationship.
b) Using the Venn diagram or otherwise, find:
i) (A ∪ B ) ’ ii) (A ∪ C ) ’ iii) (A ∪ B ∪ C ) ’

Solução:
A = <1, 3, 5, 7, 9>, B = <1, 2, 3, 4, 6, 8>and C = <3, 10>
a) First, fill in the elements for A ∩ B ∩C = <3>, A ∩ B <1, 3>,
A ∩ C = <3>, B ∩ C = <3>and then the other elements.

b) We can see from the Venn diagram that
i) (A ∪ B ) ’ = <10>
ii) (A ∪ C ) ’ = <2, 4, 6, 8>
iii) (A ∪ B ∪ C ) ’ = < >

Sets: Union And Intersection

∪ is the union symbol and can be read as &ldquoor&rdquo. The union of two sets are all the elements form both sets.

∩ is the intersection symbol and can be read as &ldquoand&rdquo. The intersection of two sets are those elements that belong to both sets.

O interseção of two sets are those elements that belong to both sets.

O union of two sets are all the elements from both sets.

A Mathematics Lesson On Set Operation Of Union

Examples To Illustrate The Union Of Sets

How To Describe The Union And Intersection Of Sets Using Venn Diagrams?

Union, Intersection And Complement

Example:
If D = <1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10>with subsets A, B and C where A = <4, 6, 8>and B = <6, 7, 8, 9>and C = <1, 2, 3, 4>, find the following:
A ∩ B
B ∩ C
A ∪ B
B ∪ C
(A ∪ B ∪ C)'

Venn Diagrams: Shading Regions

This video shows how to shade the union, intersection and complement of two sets.

Example:
Shade the indicated region
(1) A ∪ B'
(2) A' ∩ B'
(3) (A ∪ B)'

Experimente a calculadora Mathway gratuita e o solucionador de problemas abaixo para praticar vários tópicos de matemática. Experimente os exemplos fornecidos ou digite seu próprio problema e verifique sua resposta com as explicações passo a passo.

Agradecemos seus comentários, comentários e perguntas sobre este site ou página. Envie seus comentários ou perguntas por meio de nossa página de comentários.


The Empty Set And Set Equality

In these lessons, we will learn how to define sets, the empty set, equal sets, subset, superset, proper subset and proper superset.

How To Define Sets And Elements?

A set is composed of elements or members. A set is denoted by capital letters.
A = , a ∈ A, a belongs to A
B = , a ∉ B

A set can be defined in the following ways:

This video introduces the concept of a set and various methods for defining sets.

The Null Set Or Empty Set

There are some sets that do not contain any element at all. For example, the set of months with 32 days. Chamamos um conjunto sem elementos de conjunto nulo ou vazio. It is represented by the symbol < >or Ø.

Some examples of null sets are:
The set of dogs with six legs.
The set of squares with 5 sides.
The set of cars with 200 doors.
The set of integers which are both even and odd.

Set Equality

What Are Equal Sets?

Since P and Q contain exactly the same number of members and the members are the same, we say that P is equal to Q, and we write P = Q. The order in which the members appear in the set is not important.

Since R and S do not contain exactly the same members, we say that R is not equal to S and we write R ≠ S.

See the following lesson about equal sets

How Sets Can Be Related To Each Other In Different Ways?

This video describes the set relations of equality, subset, superset, proper subset, and proper superset.

How To Use Venn Diagrams To Show Relationship Between Sets And Set Operations?

A Venn diagram is a visual diagram that shows the relationship of sets with one another. The set of all elements being considered is called the universal set (U) and is represented by a rectangle. Subsets of the universal set are represented by ovals within the rectangle.

The complement of A, A', is the set of elements in U that is not in A.

Sets are disjoint if they do not share any elements.

The intersection of A and B is the set of elements in both set A and set B.

The union of A and B is the set of elements in either set A or set B or both.

Experimente a calculadora Mathway gratuita e o solucionador de problemas abaixo para praticar vários tópicos de matemática. Experimente os exemplos fornecidos ou digite seu próprio problema e verifique sua resposta com as explicações passo a passo.

Agradecemos seus comentários, comentários e perguntas sobre este site ou página. Envie seus comentários ou perguntas por meio de nossa página de comentários.


If addition is the direct relationship among these family members, then subtraction is the family cousin through the inverse property. Simply put, subtraction is the opposite of addition, but it's still related. The problems still only use the three members of the family.

Once your child knows the relationships of the fact family members, it's easy to see who is missing at a quick glance. Solving addition and subtraction problems is then much easier and starts to become automatic. Take, for example, this problem:

Your child should quickly be able to recognize 4 as the missing family member.


5.5: Indexed Families of Sets - Mathematics

We strongly recommend to refer below article as a prerequisite of this.

In this post, Game of Nim is discussed. The Game of Nim is described by the following rules-

Given a number of piles in which each pile contains some numbers of stones/coins. In each turn, a player can choose only one pile and remove any number of stones (at least one) from that pile. The player who cannot move is considered to lose the game (i.e., one who take the last stone is the winner).

For example, consider that there are two players- UMA e B, and initially there are three piles of coins initially having 3, 4, 5 coins in each of them as shown below. We assume that first move is made by UMA. See the below figure for clear understanding of the whole game play.


A Won the match (Note: A made the first move)

So was UMA having a strong expertise in this game ? or he/she was having some edge over B by starting first ?

Let us now play again, with the same configuration of the piles as above but this time B starting first instead of UMA.


B Won the match (Note: B made the first move)

By the above figure, it must be clear that the game depends on one important factor – Who starts the game first ?

So does the player who starts first will win everytime ?
Let us again play the game, starting from UMA , and this time with a different initial configuration of piles. The piles have 1, 4, 5 coins initially.

Vontade UMA win again as he has started first ? Let us see.

A made the first move, but lost the Game.

So, the result is clear. UMA has lost. But how? We know that this game depends heavily on which player starts first. Thus, there must be another factor which dominates the result of this simple-yet-interesting game. That factor is the initial configuration of the heaps/piles. This time the initial configuration was different from the previous one.

In fact, we can predict the winner of the game before even playing the game !

Nim-Sum : The cumulative XOR value of the number of coins/stones in each piles/heaps at any point of the game is called Nim-Sum at that point.

“If both UMA e B play optimally (i.e- they don’t make any mistakes), then the player starting first is guaranteed to win if the Nim-Sum at the beginning of the game is non-zero. Otherwise, if the Nim-Sum evaluates to zero, then player UMA will lose definitely.”

Optimal Strategy :

    Couple of deductions about bitwise XOR necessary for understanding the Optimal Strategy:

Initially two cases could exist.

Case 1: Initial Nim Sum is zero
As we know, in this case if played optimally B wins, which means B would always prefer to have Nim sum of zero for UMA‘s turn.
So, as the Nim Sum is initially zero, whatever number of items UMA removes the new Nim Sum would be non-zero (as mentioned above). Also, as B would prefer Nim sum of zero for UMA‘s turn, he would then play a move so as to make the Nim Sum zero again (which is always possible, as mentioned above).
The game will run as long as there are items in any of the piles and in each of their respective turns UMA would make Nim sum non-zero and B would make it zero again and eventually there will be no elements left and B being the one to pick the last wins the game.

It is evident by above explanation that the optimal strategy for each player is to make the Nim Sum for his opponent zero in each of their turn, which will not be possible if it’s already zero.

Case 2: Initial Nim Sum is non-zero
Now going by the optimal approach UMA would make the Nim Sum to be zero now (which is possible as the initial Nim sum is non-zero, as mentioned above). Now, in B‘s turn as the nim sum is already zero whatever number B picks, the nim sum would be non-zero and UMA can pick a number to make the nim sum zero again. This will go as long as there are items available in any pile.
E UMA will be the one to pick the last item.

So, as discussed in the above cases, it should be obvious now that Optimal strategy for any player is to make the nim sum zero if it’s non-zero and if it is already zero then whatever moves the player makes now, it can be countered.

Let us apply the above theorem in the games played above. In the first game UMA started first and the Nim-Sum at the beginning of the game was, 3 XOR 4 XOR 5 = 2, which is a non-zero value, and hence UMA won. Whereas in the second game-play, when the initial configuration of the piles were 1, 4, and 5 and UMA started first, then UMA was destined to lose as the Nim-Sum at the beginning of the game was 1 XOR 4 XOR 5 = 0 .

Implementation:

In the program below, we play the Nim-Game between computer and human(user)
The below program uses two functions
knowWinnerBeforePlaying() : : Tells the result before playing.
playGame() : plays the full game and finally declare the winner. The function playGame() doesn’t takes input from the human(user), instead it uses a rand() function to randomly pick up a pile and randomly remove any number of stones from the picked pile.

The below program can be modified to take input from the user by removing the rand() function and inserting cin or scanf() functions.


The life and numbers of Fibonacci

Fibonacci is one of the most famous names in mathematics. This would come as a surprise to Leonardo Pisano, the mathematician we now know by that name. And he might have been equally surprised that he has been immortalised in the famous sequence – 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . – rather than for what is considered his far greater mathematical achievement – helping to popularise our modern number system in the Latin-speaking world.

The Roman Empire left Europe with the Roman numeral system which we still see, amongst other places, in the copyright notices after films and TV programmes (2013 is MMXIII). The Roman numerals were not displaced until the mid 13th Century AD, and Leonardo Pisano's book, Liber Abaci (which means "The Book of Calculations"), was one of the first Western books to describe their eventual replacement.

Fibonacci (as we'll carry on calling him) spent his childhood in North Africa where his father was a customs officer. He was educated by the Moors and travelled widely in Barbary (Algeria), and was later sent on business trips to Egypt, Syria, Greece, Sicily and Provence. In 1200 he returned to Pisa and used the knowledge he had gained on his travels to write Liber Abaci (published in 1202) in which he introduced the Latin-speaking world to the decimal number system. The first chapter of Part 1 begins:

"These are the nine figures of the Indians: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. With these nine figures, and with this sign 0 which in Arabic is called zephirum, any number can be written, as will be demonstrated."

Italy at the time was made up of small independent towns and regions and this led to use of many kinds of weights and money systems. Merchants had to convert from one to another whenever they traded between these systems. Fibonacci wrote Liber Abaci for these merchants, filled with practical problems and worked examples demonstrating how simply commercial and mathematical calculations could be done with this new number system compared to the unwieldy Roman numerals. The impact of Fibonacci's book as the beginning of the spread of decimal numbers was his greatest mathematical achievement. However, Fibonacci is better remembered for a certain sequence of numbers that appeared as an example in Liber Abaci.

A page of Fibonacci's Liber Abaci from the Biblioteca Nazionale di Firenze showing the Fibonacci sequence (in the box on the right)."

The problem with rabbits

One of the mathematical problems Fibonacci investigated in Liber Abaci was about how fast rabbits could breed in ideal circumstances. Suppose a newly-born pair of rabbits, one male, one female, are put in a field. Rabbits are able to mate at the age of one month so that at the end of its second month a female can produce another pair of rabbits. Suppose that our rabbits never die and that the female always produces one new pair (one male, one female) every month from the second month on. The puzzle that Fibonacci posed was. How many pairs will there be in one year?

  • At the end of the first month, they mate, but there is still only 1 pair.
  • At the end of the second month the female produces a new pair, so now there are 2 pairs of rabbits.
  • At the end of the third month, the original female produces a second pair, making 3 pairs in all.
  • At the end of the fourth month, the original female has produced yet another new pair, the female born two months ago produced her first pair also, making 5 pairs.

Bees are better

The rabbit problem is obviously very contrived, but the Fibonacci sequence does occur in real populations. Honeybees provide an example. In a colony of honeybees there is one special female called the queen. The other females are worker bees who, unlike the queen bee, produce no eggs. The male bees do no work and are called drone bees.

Males are produced by the queen's unfertilised eggs, so male bees only have a mother but no father. All the females are produced when the queen has mated with a male and so have two parents. Females usually end up as worker bees but some are fed with a special substance called royal jelly which makes them grow into queens ready to go off to start a new colony when the bees form a swarm and leave their home (a hive) in search of a place to build a new nest. So female bees have two parents, a male and a female whereas male bees have just one parent, a female.

Number ofparentsgrandparentsgreat-
grandparents
great-great-
grandparents
great-great-great-
grandparents
of a MALE bee12358
of a FEMALE bee235813

Spirals and shells

The amazing thing is that a single fixed angle of rotation can produce the optimal design no matter how big the plant grows. The principle that a single angle produces uniform packings no matter how much growth appears was suspected as early as last century but only proved mathematically in 1993 by Stéphane Douady and Yves Couder, two French mathematicians. Making 0.618 of a turn before producing a new seed (or leaf, petal, etc) produces the optimal packing of seeds no matter the size of the seed head. But where does this magic number 0.618 come from?

The golden ratio

If we take the ratio of two successive numbers in Fibonacci's series, dividing each by the number before it, we will find the following series of numbers:

1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1.5, 5/3 = 1.666. 8/5 = 1.6, 13/8 = 1.625, 21/13 = 1.61538.

If you plot a graph of these values you'll see that they seem to be tending to a limit, which we call the golden ratio (também conhecido como o golden number e golden section).

Something similar happens for any other simple fraction of a turn: seeds grow in spiral arms that leave a lot of space between them (the number of arms is the denominator of the fraction). So the best value for the turns between seeds will be an irrational number. But not just any irrational number will do. For example, the seed head created with pi turns per seed seems to have seven spiralling arms of seeds. This is because 22/7 is a very good rational approximation of pi.

What is needed in order not to waste space is an irrational number that is not well approximated by a rational number. And it turns out that Phi (1.618034. ) and its decimal part phi (0.618034. ) are the "most irrational" of all irrational numbers. (You can find out why in Chaos in number land: the secret life of continued fractions.) This is why a turn of Phi gives the optimal packing of seeds and leaves in plants. It also explains why the Fibonacci numbers appear in the leaf arrangements and as the number of spirals in seedheads. Adjacent Fibonacci numbers give the best approximations of the golden ratio. They take turns at being the denominator of the approximations and define the number or spirals as the seed heads increase in size.

How did so many plants discover this beautiful and useful number, Phi? Obviously not from solving the maths as Fibonacci did. Instead we assume that, just as the ratio of successive Fibonacci numbers eventually settles on the golden ratio, evolution gradually settled on the right number too. The legacy of Leonardo Pisano, aka Fibonacci, lies in the heart of every flower, as well as in the heart of our number system.

Further Reading

If you have enjoyed this article you might like to visit Fibonacci Numbers and the Golden Section.

Sobre este artigo

Dr R. Knott, who was previously a lecturer in the Department of Computing Studies at the University of Surrey. Knott started the website on Fibonacci Numbers and the Golden Section back in 1996 as an experiment at using the web to inspire and encourage more maths investigations both inside and outside of school time. It has since grown and now covers many other subjects, all with interactive elements and online calculators. Although now retired, Knott still maintains and extends the web pages. He is currently a Visiting Fellow at the University of Surrey and gives talks all over the country to schools, universities, conferences and maths societies. He also likes walking, mathematical recreations, growing things to eat and cooking them.


Assista o vídeo: Zbiory. Wprowadzenie. Podstawowe pojęcia. - Kurs Zbiory eTrapez Lekcja 1 (Outubro 2021).