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12.5: Contagem


Contando? Você já sabe contar ou não estaria fazendo uma aula de matemática de nível universitário, certo? Bem, sim, mas o que realmente investigaremos aqui são maneiras de contar eficientemente. Quando chegarmos às situações de probabilidade um pouco mais adiante neste capítulo, precisaremos contar alguns muito grandes números, como o número de possíveis bilhetes de loteria vencedores. Uma maneira de fazer isso seria anotar todos os conjuntos possíveis de números que podem aparecer em um bilhete de loteria, mas acredite em mim: você não quer fazer isso.

Contagem Básica

Começaremos, entretanto, com alguns tipos mais razoáveis ​​de problemas de contagem, a fim de desenvolver as idéias de que logo precisaremos.

Exemplo 21

Suponha que em um determinado restaurante você tenha três opções de aperitivo (sopa, salada ou breadsticks) e cinco opções de prato principal (hambúrguer, sanduíche, quiche, fajita ou pizza). Se você puder escolher exatamente um item de cada categoria para sua refeição, quantas opções de refeição diferentes você tem?

Solução

Solução 1: Uma maneira de resolver este problema seria listar sistematicamente cada refeição possível:

( begin {array} {lll} text {sopa + hambúrguer} & text {sopa + sanduíche} & text {sopa + quiche} text {sopa + fajita} & text {sopa + pizza} & text {salada + hambúrguer} text {salada + sanduíche} & text {salada + quiche} & text {salada + fajita} text {salada + pizza} & text {breadsticks + hambúrguer} & text {breadsticks + sandwich} text {breadsticks + quiche} & text {breadsticks + fajita} & text {breadsticks + pizza} end {array} )

Supondo que fizemos isso sistematicamente e que não perdemos nenhuma possibilidade nem listamos nenhuma possibilidade mais de uma vez, a resposta seria 15. Assim, você poderia ir ao restaurante 15 noites seguidas e fazer uma refeição diferente a cada noite.

Solução 2: Outra forma de resolver este problema seria listar todas as possibilidades em uma tabela:

( begin {array} {| l | l | l | l | l | l |}
hline & textbf {hamburger} & textbf {sandwich} & textbf {quiche} & textbf {fajita} & textbf {pizza}
hline textbf {sopa} & text {Sopa + hambúrguer} & & & &
hline textbf {salada} & text {Salada + hambúrguer} & & & &
hline textbf {pão} & e t c. & & & &
hline
end {array} )

Em cada uma das células da tabela poderíamos listar a refeição correspondente: sopa + hambúrguer no canto superior esquerdo, salada + hambúrguer abaixo, etc. Mas se realmente não nos importássemos que as refeições possíveis são, apenas quantos possíveis refeições existem, poderíamos apenas contar o número de células e chegar a uma resposta de 15, que corresponde à nossa resposta da primeira solução. (É sempre bom quando você resolve um problema de duas maneiras diferentes e obtém a mesma resposta!)

Solução 3: Já temos duas soluções perfeitamente boas. Por que precisamos de um terceiro? O primeiro método não era muito sistemático e poderíamos facilmente ter feito uma omissão. O segundo método era melhor, mas suponha que, além do aperitivo e do prato principal, complicássemos ainda mais o problema adicionando sobremesas ao menu: usamos as linhas da mesa para os aperitivos e as colunas para os pratos principais— para onde vão as sobremesas? Precisaríamos de uma terceira dimensão e, como desenhar tabelas 3-D em uma página 2-D ou na tela do computador não é terrivelmente fácil, precisamos de uma maneira melhor, caso tenhamos três categorias para escolher a forma, em vez de apenas duas.

Portanto, de volta ao problema do exemplo. O que mais podemos fazer? Vamos desenhar um diagrama de árvore:

Isso é chamado de diagrama de "árvore" porque em cada estágio nós ramificamos, como os galhos de uma árvore. Nesse caso, desenhamos primeiro cinco ramos (um para cada prato principal) e, em seguida, para cada um desses ramos desenhamos mais três ramos (um para cada aperitivo). Contamos o número de ramos no nível final e obtemos (surpresa, surpresa!) 15.

Se quiséssemos, poderíamos desenhar três ramos no primeiro estágio para os três aperitivos e, em seguida, cinco ramos (um para cada prato principal) ramificando-se de cada um desses três ramos.

OK, agora sabemos como contar possibilidades usando tabelas e diagramas de árvore. Esses métodos continuarão a ser úteis em certos casos, mas imagine um jogo em que você tem dois baralhos de cartas (com 52 cartas em cada baralho) e seleciona uma carta de cada baralho. Você realmente gostaria de desenhar uma tabela ou diagrama de árvore para determinar o número de resultados deste jogo?

Vamos voltar ao exemplo anterior, que envolveu a seleção de uma refeição entre três aperitivos e cinco pratos principais, e olhar para a segunda solução que usava uma mesa. Observe que uma maneira de contar o número de refeições possíveis é simplesmente numerar cada uma das células apropriadas na tabela, como fizemos acima. Mas outra maneira de contar o número de células na tabela seria multiplicar o número de linhas (3) pelo número de colunas (5) para obter 15. Observe que poderíamos ter chegado ao mesmo resultado sem fazer uma tabela. simplesmente multiplicando o número de escolhas para o aperitivo (3) pelo número de escolhas para o prato principal (5). Generalizamos essa técnica como o regra básica de contagem:

Regra de contagem básica

Se formos solicitados a escolher um item de cada uma das duas categorias separadas onde há (m ) itens na primeira categoria e (n ) itens na segunda categoria, então o número total de opções disponíveis é (m cdot n )

Isso às vezes é chamado de regra de multiplicação de probabilidades.

Exemplo 22

Existem 21 romances e 18 volumes de poesia em uma lista de leitura para um curso de inglês da faculdade. De quantas maneiras diferentes um aluno pode selecionar um romance e um volume de poesia para ler durante o trimestre?

Solução

Existem 21 opções para a primeira categoria e 18 para a segunda, portanto, há (21 cdot 18 = 378 ) possibilidades.

A regra de contagem básica pode ser estendida quando houver mais de duas categorias, aplicando-a repetidamente, como veremos no próximo exemplo.

Exemplo 23

Suponha que em um determinado restaurante você tenha três opções de aperitivo (sopa, salada ou breadsticks), cinco opções de prato principal (hambúrguer, sanduíche, quiche, fajita ou massa) e duas opções de sobremesa (torta ou sorvete). Se você puder escolher exatamente um item de cada categoria para sua refeição, quantas opções de refeição diferentes você tem?

Solução

Existem 3 opções para um aperitivo, 5 para o prato principal e 2 para a sobremesa, portanto, há (3 cdot 5 cdot 2 = 30 ) possibilidades.

Exemplo 24

Um questionário consiste em 3 perguntas verdadeiras ou falsas. De quantas maneiras um aluno pode responder ao questionário?

Solução

Existem 3 perguntas. Cada questão tem 2 respostas possíveis (verdadeiras ou falsas), então o questionário pode ser respondido de (2 cdot 2 cdot 2 = 8 ) maneiras diferentes. Lembre-se de que outra maneira de escrever (2 cdot 2 cdot 2 ) é (2 ^ {3} ) que é muito mais compacta.

Experimente agora 6

Suponha que em um determinado restaurante você tenha oito opções de aperitivo, onze opções de prato principal e cinco opções de sobremesa. Se você puder escolher exatamente um item de cada categoria para sua refeição, quantas opções de refeição diferentes você tem?

Responder

(8 cdot 11 cdot 5 = 440 ) combinações de menu

Permutações

Nesta seção, desenvolveremos uma maneira ainda mais rápida de resolver alguns dos problemas que já aprendemos a resolver por outros meios. Vamos começar com alguns exemplos.

Exemplo 25

De quantas maneiras diferentes as letras da palavra MATH podem ser reorganizadas para formar uma palavra-código de quatro letras?

Solução

Este problema é um pouco diferente. Em vez de escolher um item de cada uma das várias categorias diferentes, estamos repetidamente escolhendo itens do mesmo categoria (a categoria é: as letras da palavra MATEMÁTICA) e cada vez que escolhemos um item nós não substitua , então há uma escolha a menos no próximo estágio: temos 4 opções para a primeira letra (digamos que escolhemos A), então 3 opções para a segunda (M, T e H; digamos que escolhemos H), então 2 escolhas para a próxima letra (M e T; digamos que escolhemos M) e apenas uma escolha no último estágio (T). Portanto, existem (4 cdot 3 cdot 2 cdot 1 = 24 ) maneiras de escrever um código que valha a pena com as letras MATH.

Neste exemplo, precisamos calcular (n cdot (n-1) cdot (n-2) cdots 3 cdot 2 cdot 1 ). Este cálculo aparece frequentemente na matemática e é chamado de fatorial, e é notado (n )!

Fatorial

(n! = n cdot (n-1) cdot (n-2) cdots 3 cdot 2 cdot 1 )

Exemplo 26

De quantas maneiras cinco prêmios de porta diferentes podem ser distribuídos entre cinco pessoas?

Solução

Existem 5 opções de prêmio para a primeira pessoa, 4 opções para a segunda e assim por diante. O número de maneiras como os prêmios podem ser distribuídos será (5! = 5 cdot 4 cdot 3 cdot 2 cdot 1 = 120 ) maneiras.

Agora consideraremos alguns exemplos ligeiramente diferentes.

Exemplo 27

Um benefício de caridade é assistido por 25 pessoas e três vales-presente são dados em prêmios: um vale-presente no valor de $ 100, o segundo vale $ 25 e o terceiro vale $ 10. Supondo que nenhuma pessoa receba mais de um prêmio, de quantas maneiras diferentes os três certificados de presente podem ser concedidos?

Solução

Usando a Regra de contagem básica, há 25 opções para a pessoa que recebe o certificado ( $ 100 ), 24 opções restantes para o certificado ( $ 25 ) e 23 opções para o ( $ 10 ) certificado, portanto, há (25 cdot 24 cdot 23 = 13.800 ) maneiras de conceder os prêmios.

Exemplo 28

Oito velocistas chegaram à final olímpica na corrida de 100 metros. De quantas maneiras diferentes as medalhas de ouro, prata e bronze podem ser concedidas?

Solução

Usando a Regra de contagem básica, há 8 opções para o vencedor da medalha de ouro, 7 opções restantes para a prata e 6 para o bronze, portanto, há (8 cdot 7 cdot 6 = 336 ) maneiras de as três medalhas ser concedido aos 8 corredores.

Observe que, nesses exemplos anteriores, os certificados de presente e as medalhas olímpicas foram concedidos Sem substituição; ou seja, uma vez que tenhamos escolhido um vencedor do prêmio da primeira porta ou da medalha de ouro, eles não são elegíveis para os outros prêmios. Assim, em cada estágio sucessivo da solução, há uma escolha a menos (25, então 24, então 23 no primeiro exemplo; 8, então 7, então 6 no segundo). Compare isso com a situação de um teste de múltipla escolha, onde pode haver cinco respostas possíveis - A, B, C, D ou E - para cada questão do teste.

Observe também que a ordem de seleção era importante em cada exemplo: para os três prêmios de porta, ser escolhido primeiro significa que você receberá substancialmente mais dinheiro; no exemplo das Olimpíadas, chegar em primeiro significa que você receberá a medalha de ouro em vez da prata ou bronze. Em cada caso, se tivéssemos escolhido as mesmas três pessoas em uma ordem diferente, poderia haver uma pessoa diferente que recebeu o prêmio de $ 100 ou um medalhista de ouro diferente. (Compare isso com a situação em que podemos tirar três nomes de um chapéu para que cada um receba um vale-presente de $ 10; neste caso, a ordem de seleção é não importante, pois cada uma das três pessoas recebe o mesmo prêmio. Situações em que o pedido é não importante será discutido na próxima seção.)

Podemos generalizar a situação nos dois exemplos acima para qualquer problema Sem substituição onde o a ordem de seleção é importante. Se estivermos organizando em ordem (r ) itens fora de (n ) possibilidades (em vez de 3 de 25 ou 3 de 8 como nos exemplos anteriores), o número de arranjos possíveis será dado por

(n cdot (n-1) cdot (n-2) cdots (n-r + 1) )

Se você não vê por que ((n-r + 1) ) é o número certo a ser usado para o último fator, basta pensar no primeiro exemplo desta seção, onde calculamos (25 cdot 24 cdot 23 ) para obter (13.800. ) Neste caso (n = 25 ) e (r = 3, ) então (n-r + 1 = 25-3 + 1 = 23, ) que é exatamente o número certo para o fator final.

Agora, por que desejaríamos usar essa fórmula complicada quando, na verdade, é mais fácil usar a Regra de contagem básica, como fizemos nos dois primeiros exemplos? Bem, na verdade não usaremos essa fórmula com tanta frequência, nós apenas a desenvolvemos para que pudéssemos anexar uma notação especial e uma definição especial para esta situação onde estamos escolhendo (r ) itens de (n ) possibilidades Sem substituição e onde o a ordem de seleção é importante. Nesta situação, escrevemos:

Permutações

(_ {n} P_ {r} = n cdot (n-1) cdot (n-2) cdots (n-r + 1) )

Dizemos que existem (_ {n} P_ {r} ) permutações de tamanho (r ) que pode ser selecionado entre (n ) escolhas Sem substituição quando questões de ordem.

Acontece que podemos expressar esse resultado de forma mais simples usando fatoriais.

(_ {n} P_ {r} = frac {n!} {(n-r)!} )

Na prática, geralmente usamos tecnologia em vez de fatoriais ou multiplicação repetida para calcular permutações.

Exemplo 29

Tenho nove pinturas e espaço para exibir apenas quatro delas de cada vez na parede. De quantas maneiras diferentes eu poderia fazer isso?

Solução

Uma vez que estamos escolhendo 4 pinturas de 9 Sem substituição onde o a ordem de seleção é importante existem (_ 9 P_ {4} = 9 cdot 8 cdot 7 cdot 6 = 3.024 ) permutações.

Exemplo 30

De quantas maneiras um comitê executivo de quatro pessoas (presidente, vice-presidente, secretário, tesoureiro) pode ser selecionado de uma diretoria de 16 membros de uma organização sem fins lucrativos?

Solução

Queremos escolher 4 pessoas de 16 sem substituição e onde a ordem de seleção é importante. Portanto, a resposta é (_ {16} P_ {4} = 16 cdot 15 cdot 14 cdot 13 = 43.680 ).

Experimente agora 7

Quantas senhas de 5 caracteres podem ser feitas usando as letras de A a Z

  1. se repetições são permitidas
  2. se nenhuma repetição for permitida
Responder

Existem 26 caracteres.

  1. (26^{5}=11,881,376).
  2. ({26} mathrm {P} _ {5} = 26 cdot 25 cdot 24 cdot 23 cdot 22 = 7.893.600 )

Combinações

Na seção anterior, consideramos a situação em que escolhemos (r ) itens fora de (n ) possibilidades Sem substituição e onde o a ordem de seleção era importante. Agora consideramos uma situação semelhante em que a ordem de seleção é não importante.

Exemplo 31

Um evento beneficente é assistido por 25 pessoas, nos quais três certificados de $ 50 são dados como prêmios. Supondo que ninguém receba mais de um prêmio, de quantas maneiras diferentes os certificados de presente podem ser concedidos?

Solução

Usando a Regra de Contagem Básica, existem 25 opções para a primeira pessoa, 24 opções restantes para a segunda pessoa e 23 para a terceira, portanto, há (25 cdot 24 cdot 23 = 13.800 ) maneiras de escolher três pessoas. Suponha por um momento que Abe seja escolhido em primeiro lugar, Bea em segundo e Cindy em terceiro; este é um dos 13.800 resultados possíveis. Outra forma de premiar seria escolher Abe em primeiro, Cindy em segundo e Bea em terceiro; este é outro dos 13.800 resultados possíveis. Mas, de qualquer forma, Abe, Bea e Cindy recebem US $ 50 cada um, então realmente não importa a ordem em que os selecionamos. Em quantas ordens diferentes Abe, Bea e Cindy podem ser selecionados? Acontece que existem 6:

ABC ACB BAC BCA CAB CBA

Como podemos ter certeza de que contamos todos eles? Na verdade, estamos apenas escolhendo 3 pessoas de 3, então há (3 cdot 2 cdot 1 = 6 ) maneiras de fazer isso; não precisamos listar todos eles, podemos apenas usar permutações!

Portanto, das 13.800 maneiras de selecionar 3 pessoas entre 25, seis delas envolvem Abe, Bea e Cindy. O mesmo argumento funciona para qualquer outro grupo de três pessoas (digamos, Abe, Bea e David ou Frank, Gloria e Hildy), então cada grupo de três pessoas é contado seis vezes. Portanto, o número de 13.800 é seis vezes grande. O número de grupos distintos de três pessoas será ( frac {13,800} {6} = 2300 ).

Podemos generalizar a situação neste exemplo acima para qualquer problema de escolha de uma coleção de itens Sem substituição onde o ordem de seleção é não importante. Se estivermos escolhendo (r ) itens de (n ) possibilidades (em vez de 3 de 25 como nos exemplos anteriores), o número de escolhas possíveis será dado por, e poderíamos usar esta fórmula para cálculo . No entanto, esta situação surge com tanta frequência que atribuímos uma notação especial e uma definição especial a esta situação em que estamos escolhendo (r ) itens fora de (n ) possibilidades Sem substituição onde o ordem de seleção é não importante.

Combinações

A lei do gás ideal é fácil de lembrar e aplicar na resolução de problemas, contanto que você obtenha o valores adequados a

(_ {n} C_ {r} = frac {_n P_ {r}} {r P_ {r}} )

Dizemos que existem (_ {n} C_ {r} ) combinações de tamanho (r ) que pode ser selecionado entre (n ) escolhas Sem substituição Onde a ordem não importa.

Também podemos escrever a fórmula de combinações em termos de fatoriais:

(_ {n} C_ {r} = frac {n!} {(n-r)! r!} )

Exemplo 32

Um grupo de quatro alunos deve ser escolhido de uma classe de 35 membros para representar a classe no conselho estudantil. De quantas maneiras isso pode ser feito?

Solução

Uma vez que estamos escolhendo 4 pessoas em 35 Sem substituição onde o ordem de seleção é não importante existem = (_ {35} C_ {4} = frac {35 cdot 34 cdot 33 cdot 32} {4 cdot 3 cdot 2 cdot 1} = 52.360 ) combinações.

Experimente agora 8

O Comitê de Dotações do Senado dos Estados Unidos consiste de 29 membros; o Subcomitê de Defesa do Comitê de Dotações é composto por 19 membros. Desconsiderando a filiação partidária ou quaisquer assentos especiais no Subcomitê, quantos subcomitês diferentes de 19 membros podem ser escolhidos entre os 29 senadores no Comitê de Dotações?

Responder

A ordem não importa. (_ {29} mathrm {C} _ {19} = 20.030.010 ) subcomitês possíveis

No problema anterior, Experimente agora, presumimos que os 19 membros do Subcomitê de Defesa foram escolhidos independentemente da filiação partidária. Na realidade, isso nunca aconteceria: se os republicanos fossem a maioria, eles nunca permitiriam que a maioria dos democratas participasse (e, portanto, controlasse) qualquer subcomitê. (O mesmo, é claro, seria verdadeiro se os democratas estivessem no controle.) Portanto, vamos considerar o problema novamente, de uma forma um pouco mais complicada:

Exemplo 33

O Comitê de Dotações do Senado dos Estados Unidos consiste de 29 membros, 15 republicanos e 14 democratas. O Subcomitê de Defesa consiste de 19 membros, 10 republicanos e 9 democratas. De quantas maneiras diferentes os membros do Subcomitê de Defesa podem ser escolhidos entre os 29 senadores do Comitê de Dotações?

Solução

Nesse caso, precisamos escolher 10 dos 15 republicanos e 9 dos 14 democratas. Existem (_ {15} C_ {10} = 3003 ) maneiras de escolher os 10 republicanos e (_ {14} C_ {9} = 2002 ) maneiras de escolher os 9 democratas. Mas e agora? Como resolvemos o problema?

Suponha que listemos todos os possíveis grupos republicanos de 10 membros em 3003 tiras de papel vermelho e todos os possíveis grupos democratas de 9 membros em 2002 tiras de papel azul. De quantas maneiras podemos escolher um papelzinho vermelho e um papelzinho azul? Este é um trabalho para a Regra de contagem básica! Estamos simplesmente fazendo uma escolha da primeira categoria e uma escolha da segunda categoria, assim como nos problemas anteriores do menu do restaurante.

Deve haver (3003 cdot 2002 = 6.012.006 ) maneiras possíveis de selecionar os membros do Subcomitê de Defesa.

Probabilidade usando permutações e combinações

Podemos usar permutações e combinações para nos ajudar a responder perguntas de probabilidade mais complexas

Exemplo 34

Um número PIN de 4 dígitos é selecionado. Qual é a probabilidade de não haver dígitos repetidos?

Solução

Existem (10 ​​ text {valores possíveis para cada dígito do PIN (a saber:} 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), ) então existem (10 ​​ cdot 10 cdot 10 cdot 10 = 10 ^ {4} = 10000 ) número total de PIN possíveis.

Para não ter dígitos repetidos, todos os quatro dígitos teriam que ser diferentes, o que é selecionar sem substituição. Poderíamos calcular 10 cdot 9 cdot 8 cdot 7 ou notar que isso é igual à permutação (_ {10} P_ {4} = 5040 ).

A probabilidade de não haver dígitos repetidos é o número de números PIN de 4 dígitos sem dígitos repetidos dividido pelo número total de números PIN de 4 dígitos. Esta probabilidade é ( frac {_ {10} P_ {4}} {10 ^ {4}} = frac {5040} {10000} = 0,504 )

Exemplo 35

Na loteria de um determinado estado, 48 bolas numeradas de 1 a 48 são colocadas em uma máquina e seis delas são sorteadas aleatoriamente. Se os seis números sorteados corresponderem aos números que um jogador escolheu, o jogador ganha $ 1.000.000. Nesta loteria, a ordem em que os números são sorteados não importa. Calcule a probabilidade de ganhar o prêmio de um milhão de dólares se comprar um único bilhete de loteria.

Solução

Para calcular a probabilidade, precisamos contar o número total de maneiras pelas quais seis números podem ser sorteados e o número de maneiras pelas quais os seis números no tíquete do jogador podem corresponder aos seis números retirados da máquina. Uma vez que não há estipulação de que os números estejam em qualquer ordem particular, o número de resultados possíveis do sorteio da loteria é (_ {48} C_ {6} = 12.271.512 ). Desses resultados possíveis, apenas um corresponderia a todos os seis números do bilhete do jogador, então a probabilidade de ganhar o grande prêmio é:

( frac {_6 C_ {6}} {_ {48} C_ {6}} = frac {1} {12271512} aprox 0,0000000815 )

Exemplo 36

Na loteria estadual do exemplo anterior, se cinco dos seis números sorteados corresponderem aos números que um jogador escolheu, o jogador ganha um segundo prêmio de $ 1.000. Calcule a probabilidade de ganhar o segundo prêmio se comprar um único bilhete de loteria.

Solução

Como acima, o número de resultados possíveis do sorteio da loteria é (_ {48} C_ {6} = 12.271.512 ). Para ganhar o segundo prêmio, cinco dos seis números do bilhete devem corresponder a cinco dos seis números vencedores; em outras palavras, devemos ter escolhido cinco dos seis números vencedores e um dos 42 números perdedores. O número de maneiras de escolher 5 dos 6 números vencedores é dado por (_ {6} C_ {5} = 6 ) e o número de maneiras de escolher 1 dos 42 números vencidos é dado por (_ {42} C_ {1} = 42 ). Assim, o número de resultados favoráveis ​​é dado pela Regra de Contagem Básica: (_ {6} C_ {5} cdot_ {42} C_ {1} = 6 cdot 42 = 252 ). Portanto, a probabilidade de ganhar o segundo prêmio é.

( frac { left (_ {6} C_ {5} right) left (_ {42} C_ {1} right)} {_ {48} C_ {6}} = frac {252} {12271512} aproximadamente 0,0000205 )

Experimente agora 9

Uma pergunta de múltipla escolha em um questionário de economia contém 10 perguntas com cinco respostas possíveis cada. Calcule a probabilidade de adivinhar as respostas aleatoriamente e acertar 9 perguntas.

Responder

Existem (5 ^ {10} = 9.765.625 ) maneiras diferentes de responder ao exame. Existem 10 locais possíveis para uma pergunta perdida e em cada um desses locais existem 4 respostas erradas, portanto, existem 40 maneiras de o teste ser respondido com uma resposta errada.

( mathrm {P} (9 text {respostas corretas}) = frac {40} {5 ^ {10}} aproximadamente 0,0000041 ) chance

Exemplo 37

Calcule a probabilidade de retirar aleatoriamente cinco cartas de um baralho e obter exatamente um Ás.

Solução

Em muitos jogos de cartas (como pôquer), a ordem em que as cartas são compradas não é importante (já que o jogador pode reorganizar as cartas em sua mão da maneira que escolher); nos problemas que se seguem, presumiremos que esse é o caso, a menos que seja indicado o contrário. Assim, usamos combinações para calcular o número possível de mãos de 5 cartas, (_ {52} C_ {5} ). Esse número entrará no denominador de nossa fórmula de probabilidade, pois é o número de resultados possíveis.

Para o numerador, precisamos do número de maneiras de tirar um Ás e quatro outras cartas (nenhuma delas Ases) do baralho. Como existem quatro Ases e queremos exatamente um deles, haverá (_ 4 C_ {1} ) maneiras de selecionar um Ás; uma vez que existem 48 não-Ases e queremos 4 deles, haverá (_ {48} C_ {4} ) ) maneiras de selecionar os quatro não-Ases. Agora usamos a Regra de contagem básica para calcular que haverá (_ {4} C_ {1} cdot _ {48} C_ {4} ) maneiras de escolher um ás e quatro não-ases.

Juntando tudo isso, temos

(P ( text {um Ás}) = frac { left (_ {4} C_ {1} right) left (_ {48} C_ {4} right)} {_ {52} C_ {5}} = frac {778320} {2598960} aproximadamente 0,299 )

Exemplo 38

Calcule a probabilidade de retirar aleatoriamente cinco cartas de um baralho e obter exatamente dois Ases.

Solução

A solução é semelhante ao exemplo anterior, exceto que agora estamos escolhendo 2 Ases de 4 e 3 não-Ases de 48; o denominador permanece o mesmo:

(P ( text {dois Ases}) = frac { left (_ {4} C_ {2} right) left (_ {48} C_ {3} right)} {_ {52} C_ {5}} = frac {103776} {2598960} aproximadamente 0,0399 )

É útil observar que esses problemas de cartão são notavelmente semelhantes aos problemas de loteria discutidos anteriormente.

Experimente agora 10

Calcule a probabilidade de tirar aleatoriamente cinco cartas de um baralho e obter três Ases e dois Reis.

Responder

P ( text {três Ases e dois Reis}) = frac { left (_ {4} C_ {3} right) left (_ {4} C_ {2} right)} {_ {52} C_ {5}} = frac {24} {2598960} aproximadamente 0,0000092

Problema de aniversário

Vamos fazer uma pausa para considerar um problema famoso na teoria da probabilidade:

Suponha que você tenha uma sala cheia de 30 pessoas. Qual é a probabilidade de haver pelo menos um aniversário compartilhado?

Adivinhe a resposta ao problema acima. Seu palpite foi bastante baixo, cerca de 10%? Essa parece ser a resposta intuitiva ( ( frac {30} {365} ), talvez?). Vamos ver se devemos ouvir nossa intuição. Vamos começar com um problema mais simples, entretanto.

Exemplo 39

Suponha que três pessoas estejam em uma sala. Qual é a probabilidade de que haja pelo menos um aniversário compartilhado entre essas três pessoas?

Solução

Existem várias maneiras de haver pelo menos um aniversário compartilhado. Felizmente, existe uma maneira mais fácil. Nós nos perguntamos “Qual é a alternativa de ter pelo menos um aniversário compartilhado?” Nesse caso, a alternativa é que haja não aniversários compartilhados. Em outras palavras, a alternativa para "pelo menos um" é ter Nenhum. Em outras palavras, por se tratar de um evento complementar,

(P ( text {pelo menos um}) = 1-P ( text {nenhum}) )

Começaremos, então, computando a probabilidade de que não haja aniversário compartilhado. Vamos imaginar que você é uma dessas três pessoas. Seu aniversário pode ser qualquer coisa sem conflito, então há 365 opções de 365 para seu aniversário. Qual é a probabilidade de que a segunda pessoa não compartilhe seu aniversário? Há 365 dias no ano (vamos ignorar os anos bissextos) e tirando seu aniversário da contenção, há 364 opções que garantirão que você não compartilhe um aniversário com essa pessoa, então a probabilidade de que a segunda pessoa não compartilhe seu aniversário é ( frac {364} {365} ). Agora passamos para a terceira pessoa. Qual é a probabilidade de que essa terceira pessoa não faça aniversário no mesmo dia que você ou a segunda pessoa? Existem 363 dias que não duplicarão seu aniversário ou o da segunda pessoa, então a probabilidade de que a terceira pessoa não compartilhe um aniversário com as duas primeiras é ( frac {363} {365} ).

Queremos que a segunda pessoa não compartilhe um aniversário com você e a terceira pessoa não compartilhe um aniversário com as duas primeiras pessoas, então usamos a regra de multiplicação:

(P ( text {sem aniversário compartilhado}) = frac {365} {365} cdot frac {364} {365} cdot frac {363} {365} aproximadamente 0,9918 )

e, em seguida, subtraia de 1 para obter

(P ( text {aniversário compartilhado}) = 1-P ( text {sem aniversário compartilhado}) = 1-0,9918 = 0,0082 ).

Este é um número muito pequeno, então talvez faça sentido que a resposta ao nosso problema original seja pequena. Vamos tornar nosso grupo um pouco maior.

Exemplo 40

Suponha que cinco pessoas estejam em uma sala. Qual é a probabilidade de que haja pelo menos um aniversário compartilhado entre essas cinco pessoas?

Solução

Continuando o padrão do exemplo anterior, a resposta deve ser

(P ( text {aniversário compartilhado}) = 1- frac {365} {365} cdot frac {364} {365} cdot frac {363} {365} cdot frac {362} { 365} cdot frac {361} {365} aproximadamente 0,0271 )

Observe que poderíamos reescrever isso de forma mais compacta como

(P ( text {aniversário compartilhado}) = 1- frac {_ {365} P_5} {365 ^ {5}} aproximadamente 0,0271 )

o que torna um pouco mais fácil digitar em uma calculadora ou computador, e que sugere uma boa fórmula à medida que continuamos a expandir a população de nosso grupo.

Exemplo 41

Suponha que 30 pessoas estejam em uma sala. Qual é a probabilidade de que haja pelo menos um aniversário compartilhado entre essas 30 pessoas?

Solução

Aqui podemos calcular

(P ( text {aniversário compartilhado}) = 1- frac {_ {365} P_ {30}} {365 ^ {30}} aproximadamente 0,706 )

o que nos dá o resultado surpreendente de que quando você está em uma sala com 30 pessoas há 70% de chance de haver pelo menos um aniversário compartilhado!

Se você gosta de apostar e pode convencer 30 pessoas a revelar seus aniversários, você pode ganhar algum dinheiro apostando com um amigo que haverá pelo menos duas pessoas com o mesmo aniversário na sala a qualquer momento que você estiver em um sala de 30 ou mais pessoas. (Claro, você precisaria ter certeza de que seu amigo não estudou probabilidade!) Você não teria garantia de ganhar, mas deveria ganhar mais da metade das vezes.

Este é um dos muitos resultados da teoria da probabilidade que são contra-intuitivos; isto é, vai contra nossos instintos. Se ainda não acredita na matemática, pode fazer uma simulação. Para que você não precise sair por aí reunindo grupos de 30 pessoas, alguém gentilmente desenvolveu um miniaplicativo Java para que você possa realizar uma simulação de computador. Vá para esta página da web: http://statweb.stanford.edu/~susan/surprise/Birthday.html e, depois que o miniaplicativo for carregado, selecione 30 aniversários e continue clicando em Iniciar e Redefinir. Se você controlar o número de vezes que ocorre um aniversário repetido, deverá obter um aniversário repetido cerca de 7 em cada 10 vezes que executar a simulação.

Experimente agora 11

Suponha que 10 pessoas estejam em uma sala. Qual é a probabilidade de haver pelo menos um aniversário compartilhado entre essas 10 pessoas?

Responder

(P ( text {aniversário compartilhado}) = 1- frac {_ {365} P_ {10}} {365 ^ {10}} aproximadamente 0,117 )


Uma contagem de eosinófilos pode ajudar a diagnosticar algumas condições. Você pode ter uma contagem alta com o seguinte:

  • Síndrome hipereosinofílica aguda, uma condição rara que é semelhante à leucemia e pode ser fatal
  • Um distúrbio alérgico como asma ou febre do feno
  • Condições autoimunes
  • Uma infecção causada por um parasita ou fungo
  • Uma reação a certos medicamentos
  • Asma
  • Estágios iniciais da doença de Cushing, uma condição rara que pode acontecer se você tiver muito de um hormônio chamado cortisol no sangue
  • Eczema (pele inflamada e com coceira)
  • Leucemia e outras doenças do sangue

12.5: Contagem

Esta seção descreve os limites do número de colunas nas tabelas e o tamanho das linhas individuais.

Limites de contagem de coluna

O MySQL tem um limite rígido de 4.096 colunas por tabela, mas o máximo efetivo pode ser menor para uma determinada tabela. O limite exato da coluna depende de vários fatores:

O tamanho máximo da linha de uma tabela restringe o número (e possivelmente o tamanho) das colunas porque o comprimento total de todas as colunas não pode exceder esse tamanho. Consulte Limites de tamanho de linha.

Os requisitos de armazenamento de colunas individuais restringem o número de colunas que cabem em um determinado tamanho máximo de linha. Os requisitos de armazenamento para alguns tipos de dados dependem de fatores como mecanismo de armazenamento, formato de armazenamento e conjunto de caracteres. Consulte Requisitos de armazenamento de tipo de dados.

Os mecanismos de armazenamento podem impor restrições adicionais que limitam a contagem de colunas da tabela. Por exemplo, InnoDB tem um limite de 1017 colunas por tabela. Consulte Limites InnoDB. Para obter informações sobre outros mecanismos de armazenamento, consulte Mecanismos de armazenamento alternativos.

Cada tabela possui um arquivo .frm que contém a definição da tabela. A definição afeta o conteúdo deste arquivo de maneiras que podem afetar o número de colunas permitidas na tabela. Consulte a Seção 12.6, “Limites impostos pela estrutura de arquivos .frm”.

Limites de tamanho de linha

O tamanho máximo da linha para uma determinada tabela é determinado por vários fatores:

A representação interna de uma tabela MySQL tem um limite máximo de tamanho de linha de 65.535 bytes, mesmo se o mecanismo de armazenamento for capaz de suportar linhas maiores. As colunas BLOB e TEXT contribuem com apenas 9 a 12 bytes para o limite de tamanho da linha porque seu conteúdo é armazenado separadamente do resto da linha.

The maximum row size for an InnoDB table, which applies to data stored locally within a database page, is slightly less than half a page for 4KB, 8KB, 16KB, and 32KB innodb_page_size settings. For example, the maximum row size is slightly less than 8KB for the default 16KB InnoDB page size. For 64KB pages, the maximum row size is slightly less than 16KB. See InnoDB Limits.

If a row containing variable-length columns exceeds the InnoDB maximum row size, InnoDB selects variable-length columns for external off-page storage until the row fits within the InnoDB row size limit. The amount of data stored locally for variable-length columns that are stored off-page differs by row format. For more information, see InnoDB Row Formats.

Different storage formats use different amounts of page header and trailer data, which affects the amount of storage available for rows.

For information about InnoDB row formats, see InnoDB Row Formats.

For information about MyISAM storage formats, see MyISAM Table Storage Formats.

Row Size Limit Examples

The MySQL maximum row size limit of 65,535 bytes is demonstrated in the following InnoDB and MyISAM examples. The limit is enforced regardless of storage engine, even though the storage engine may be capable of supporting larger rows.

In the following MyISAM example, changing a column to TEXT avoids the 65,535-byte row size limit and permits the operation to succeed because BLOB and TEXT columns only contribute 9 to 12 bytes toward the row size.

The operation succeeds for an InnoDB table because changing a column to TEXT avoids the MySQL 65,535-byte row size limit, and InnoDB off-page storage of variable-length columns avoids the InnoDB row size limit.

Storage for variable-length columns includes length bytes, which are counted toward the row size. For example, a VARCHAR(255) CHARACTER SET utf8mb3 column takes two bytes to store the length of the value, so each value can take up to 767 bytes.

The statement to create table t1 succeeds because the columns require 32,765 + 2 bytes and 32,766 + 2 bytes, which falls within the maximum row size of 65,535 bytes:

The statement to create table t2 fails because, although the column length is within the maximum length of 65,535 bytes, two additional bytes are required to record the length, which causes the row size to exceed 65,535 bytes:

Reducing the column length to 65,533 or less permits the statement to succeed.

For MyISAM tables, NULL columns require additional space in the row to record whether their values are NULL . Each NULL column takes one bit extra, rounded up to the nearest byte.

The statement to create table t3 fails because MyISAM requires space for NULL columns in addition to the space required for variable-length column length bytes, causing the row size to exceed 65,535 bytes:

For information about InnoDB NULL column storage, see InnoDB Row Formats.

InnoDB restricts row size (for data stored locally within the database page) to slightly less than half a database page for 4KB, 8KB, 16KB, and 32KB innodb_page_size settings, and to slightly less than 16KB for 64KB pages.

The statement to create table t4 fails because the defined columns exceed the row size limit for a 16KB InnoDB page.


'Why This Kolaveri Di?' 12.5 Crore Views And Counting For Dhanush's Viral Hit

'Why This Kolaveri Di?' has been viewed over 12.5 crore times on YouTube since November 16, 2011

Chennai: Actor Dhanush's viral hit 'Why This Kolaveri Di?' may be six-years-old but it has garnered 12.5 crore views on YouTube, a top official of the online visual content provider said today.

"A lot of our signature success started from 'Why This Kolaveri Di?' six years back. It has received 12.5 crore views and that number is still growing," Ajay Vidyasagar, Regional Director-Google Asia Pacific, told reporters here.

Dhanush's viral single 'Why This Kolaveri Di?' (which can be roughly translated to 'Why this rage?') was an instant hit on social media.

"This piece of creativity keeps winning again and again due to fans," Mr Vidyasagar said, adding that the video had inspired many to come up with their own versions of the song too.

Quoting statistics, he said India had witnessed a surge in YouTube viewership in the past few years, even as rural and small towns made a significant contribution. From being a "metro phenomenon" about five years ago, YouTube is now being used by consumers even in many remote villages of the country, he said.

"Film engagement" on the visual platform stood "neck to neck with Hollywood" and teasers and trailers of recent Tamil hits like 'Kabali' and "Baahubali' received 34 million and 22 million hits respectively, Mr Vidyasagar added.

Online hits of many Indian movies even exceeded the viewership of Hollywood films, he said.


12.5: Counting

Red blood cells (RBCs), also called erythrocytes, are cells that circulate in the blood and carry oxygen throughout the body. The RBC count totals the number of red blood cells that are present in your sample of blood. It is one test among several that is included in a complete blood count (CBC) and is often used in the general evaluation of a person's health.

Blood is made up of a few different types of cells suspended in fluid called plasma. In addition to RBCs, there are white blood cells (WBCs) and platelets. These cells are produced in the bone marrow and are released into the bloodstream as they mature. RBCs typically make up about 40% of the blood volume. RBCs contain hemoglobin, a protein that binds to oxygen and enables RBCs to carry oxygen from the lungs to the tissues and organs of the body. RBCs also help transport a small portion of carbon dioxide, a waste product of cell metabolism, from those tissues and organs back to the lungs, where it is expelled.

The typical lifespan of an RBC is 120 days. Thus the bone marrow must continually produce new RBCs to replace those that age and degrade or are lost through bleeding. A number of conditions can affect RBC production and some conditions may result in significant bleeding. Other disorders may affect the lifespan of RBCs in circulation, especially if the RBCs are deformed due to an inherited or acquired defect or abnormality. These conditions may lead to a rise or drop in the RBC count. Changes in the RBC count usually mirror changes in other RBC tests, including the hematocrit and hemoglobin level.

  • If RBCs are lost or destroyed faster than they can be replaced, if bone marrow production is disrupted, or if the RBCs produced do not function normally, or do not contain enough hemoglobin, then you may develop anemia, which affects the amount of oxygen reaching tissues.
  • If too many RBCs are produced and released, then you can develop polycythemia. This can cause thicker blood, decreased blood flow and related problems, such as headache, dizziness, problems with vision, and even excessive clotting or heart attack.

A red blood cell (RBC) count is typically ordered as part of a complete blood count (CBC) and may be used as part of a health checkup to screen for a variety of conditions. This test may also be used to help diagnose and/or monitor a number of diseases that affect the production or lifespan of red blood cells.

An RBC count is ordered as a part of the complete blood count (CBC), often as part of a routine physical or as part of a pre-surgical workup. A CBC may be ordered when you have signs and symptoms suggesting a disease that might affect red blood cell production. Some common signs and symptoms associated with anemia that generally lead to a healthcare practitioner ordering a CBC are:

Some signs and symptoms that may appear with a high RBC count include:

A CBC may also be performed on a regular basis to monitor people who have been diagnosed with conditions such as:

Since an RBC count is performed as part of a complete blood count (CBC), results from other components are taken into consideration. A rise or drop in the RBC count must be interpreted in conjunction with other tests, such as hemoglobin, hematocrit, reticulocyte count, and/or red blood cell indices.

The following table summarizes what results may mean.

Men: 4.5-5.9 x 10 6 /microliter

Women: 4.1-5.1 x 10 6 microliter

    or chronic bleeding
  • RBC destruction (e.g., hemolytic anemia, etc.)
  • Nutritional deficiency (e.g., iron deficiency, vitamin B12 or folate deficiency) or damage
  • Chronic inflammatory disease

from Henry's Clinical Diagnosis and Management by Laboratory Methods. 22nd ed.
McPherson R, Pincus M, eds. Philadelphia, PA: Elsevier Saunders 2011.

Note: Conventional Units are typically used for reporting results in U.S. labs
SI Units are used to report lab results outside of the U.S.

Some causes of a low RBC count (anemia) include:

  • Trauma that leads to loss of blood
  • Conditions that cause red blood cells to be destroyed, such as hemolytic anemia caused by autoimmunity or defects in the red cell itself the defects could be a hemoglobinopathy (e.g., sickle cell anemia), thalassemia, an abnormality in the RBC membrane (e.g., hereditary spherocytosis), or enzyme defect (e.g., G6PD deficiency).
  • Sudden (acute) or chronic bleeding from the digestive tract (e.g., ulcers, polyps, colon cancer) or other sites, such as the bladder or uterus (in women, heavy menstrual bleeding, for example)
  • Nutritional deficiency such as iron deficiency or vitamin B12 or folate deficiency
  • Bone marrow damage (e.g., toxin, radiation or chemotherapy, infection, drugs) such as leukemia, multiple myeloma, myelodysplastic syndrome, or lymphoma or other cancers that spread to the bone marrow
  • Chronic inflammatory disease or condition
  • Kidney failure—severe and chronic kidney diseases lead to decreased production of erythropoietin, a hormone produced by the kidneys that promotes RBC production by the bone marrow.

Some causes of a high RBC count (polycythemia) include:

    —as the volume of fluid in the blood drops, the count of RBCs per volume of fluid artificially rises. —if someone is unable to breathe in and absorb sufficient oxygen, the body tries to compensate by producing more red blood cells. —with this condition, the heart is not able to pump blood efficiently, resulting in a decreased amount of oxygen getting to tissues. The body tries to compensate by producing more red blood cells.
  • Kidney tumor that produces excess erythropoietin
  • Smoking
  • Genetic causes (altered oxygen sensing, abnormality in hemoglobin oxygen release)
  • Polycythemia vera—a rare disease in which the body produces too many RBCs

Your RBC count is interpreted by your healthcare practitioner within the context of other tests that you have had done as well as other factors, such as your medical history. A single result that is slightly high or low may or may not have medical significance. There are several reasons why a test result may differ on different days and why it may fall outside a designated reference range.

  • Biological variability (different results in the same person at different times): If you have the same test done on several different occasions, there's a good chance that one result will fall outside a reference range even though you are in good health. For biological reasons, your values can vary from day to day.
  • Individual variability (differences in results between different people): References ranges are usually established by collecting results from a large population and determining from the data an expected average result and expected differences from that average (standard deviation). There are individuals who are healthy but whose tests results, which are normal for them, do not always fall within the expected range of the overall population.

A test value that falls outside of the established reference range supplied by the laboratory may mean nothing significant. Generally, this is the case when the test value is only slightly higher or lower than the reference range and this is why a healthcare practitioner may repeat a test on you and why they may look at results from prior times when you had the same test performed.

However, a result outside the range may indicate a problem and warrant further investigation. Your healthcare provider will consider your medical history, physical exam, and other relevant factors to determine whether a result that falls outside of the reference range means something significant for you. For more, read the articles on Reference Ranges and What They Mean.

An RBC count can be used to detect a problem with red blood cell production and/or lifespan, but it cannot determine the underlying cause. In addition to the full CBC, some other tests may be performed at the same time or as follow up to help establish a diagnosis. Examples include:

    —a laboratory professional examines the blood under the microscope to confirm results of a CBC and/or to look abnormal blood cells —determines the number of young (immature) red blood cells —iron is important in the production of red blood cells —these vitamins are also important for red blood cell production
  • In more severe conditions, a bone marrow aspiration and biopsy—usually done by a pathologist to help detect abnormalities in the bone marrow and determine the cause of low or high blood cell counts or abnormal blood cells

First, a healthcare practitioner must determine the cause of someone's abnormal RBC count so the appropriate treatment can be prescribed. For some anemias, treatment may include a dietary supplement or a change in diet to include nutritional foods. In some instances, it may only require a change in the person's current medication. For more severe cases, treatment may involve transfusion with blood from a donor. For some, prescribing a drug to stimulate red cell production in the bone marrow may be required, especially for people who have received chemotherapy or radiation treatments.

Maybe. Some healthcare practitioners' offices are equipped with laboratory instruments and staffed by trained laboratorians who are able to perform this test.

Yes, to the extent that if you eat a well-balanced diet, you can prevent anemia due to a lack of iron, vitamin B12, or folate in the foods you eat. Sometimes use of a supplement is recommended if you are at risk of a vitamin deficiency. However, the most common cause of vitamin B12 deficiency is malabsorption, and the most common cause of iron deficiency is bleeding. These conditions and other RBC problems that are caused by diseases other than nutritional deficiencies will not be corrected by diet.

Fatigue and weakness may indicate a low or high RBC count. Fainting, pallor, shortness of breath, dizziness, and/or altered mental status can also indicate a low RBC count. Disturbed vision, headache, and flushing may be present with increased numbers of RBCs.

A recent blood transfusion can affect results of an RBC count.

Alteration of the number of RBCs is often temporary and can be easily corrected and/or returned to normal levels by treating and resolving the underlying condition.

During pregnancy, body fluids tend to accumulate, thus decreasing the RBC count in relation to fluid volume.

Living at high altitudes causes an increase in RBC count this is the body's response to the decreased oxygen available at these heights.

Women tend to have slightly lower RBC counts than men.

You may be able to find your test results on your laboratory's website or patient portal. However, you are currently at Lab Tests Online. You may have been directed here by your lab's website in order to provide you with background information about the test(s) you had performed. You will need to return to your lab's website or portal, or contact your healthcare practitioner in order to obtain your test results.

Lab Tests Online is an award-winning patient education website offering information on laboratory tests. The content on the site, which has been reviewed by laboratory scientists and other medical professionals, provides general explanations of what results might mean for each test listed on the site, such as what a high or low value might suggest to your healthcare practitioner about your health or medical condition.

The reference ranges for your tests can be found on your laboratory report. They are typically found to the right of your results.

If you do not have your lab report, consult your healthcare provider or the laboratory that performed the test(s) to obtain the reference range.

Laboratory test results are not meaningful by themselves. Their meaning comes from comparison to reference ranges. Reference ranges are the values expected for a healthy person. They are sometimes called "normal" values. By comparing your test results with reference values, you and your healthcare provider can see if any of your test results fall outside the range of expected values. Values that are outside expected ranges can provide clues to help identify possible conditions or diseases.

While accuracy of laboratory testing has significantly evolved over the past few decades, some lab-to-lab variability can occur due to differences in testing equipment, chemical reagents, and techniques. This is a reason why so few reference ranges are provided on this site. It is important to know that you must use the range supplied by the laboratory that performed your test to evaluate whether your results are "within normal limits."

For more information, please read the article Reference Ranges and What They Mean.

The reference ranges 1 provided here represent a theoretical guideline that should not be used to interpret your test results. Some variation is likely between these numbers and the reference range reported by the lab that ran your test. Please consult your healthcare provider.

Age Conventional Units 2 SI Units 3
0-18 years Not available due to wide variability. See child's lab report for reference range.
Adult male 4.5-5.9 x 10 6 /microliter 4.5-5.9 x 10 12 /L
Adult female 4.1-5.1 x 10 6 microliter 4.1-5.1 x 10 12 /L

1 from Henry's Clinical Diagnosis and Management by Laboratory Methods. 22nd ed. McPherson R, Pincus M, eds. Philadelphia, PA: Elsevier Saunders 2011.

2 Conventional Units are typically used for reporting results in U.S. labs

3 SI Units are used to report lab results outside of the U.S.

LOINC Observation Identifiers Names and Codes (LOINC®) is the international standard for identifying health measurements, observations, and documents. It provides a common language to unambiguously identify things you can measure or observe that enables the exchange and aggregation of clinical results for care delivery, outcomes management, and research. Saber mais.

Listed in the table below are the LOINC with links to the LOINC detail pages. Please note when you click on the hyperlinked code, you are leaving Lab Tests Online and accessing Loinc.org.

LOINC LOINC Display Name
26453-1 RBC (Bld) [#/Vol]
789-8 RBC Auto (Bld) [#/Vol]
790-6 RBC Manual cnt (Bld) [#/Vol]

On This Site

Elsewhere On The Web

Sources Used in Current Review

Wintrobe's Clinical Hematology. 12ª ed. Greer J, Foerster J, Rodgers G, Paraskevas F, Glader B, Arber D, Means R, eds. Philadelphia, PA: Lippincott Williams & Wilkins: 2009, Section 2: The Erythrocyte.

Harmening, D. Clinical Hematology and Fundamentals of Hemostasis, Fifth Edition, F.A. Davis Company, Philadelphia, 2009, Chapter 3.

Sources Used in Previous Reviews

Thomas, Clayton L., Editor (1997). Taber's Cyclopedic Medical Dictionary. F.A. Davis Company, Philadelphia, PA [18th Edition].

Pagana, Kathleen D. & Pagana, Timothy J. (2001). Mosby's Diagnostic and Laboratory Test Reference 5th Edition: Mosby, Inc., Saint Louis, MO.

Hillman RS and Finch CA. Red Cell Manual (1974). FA Davis, Philadelphia. Pp. 23-51.

Pagana, Kathleen D. & Pagana, Timothy J. (© 2007). Mosby's Diagnostic and Laboratory Test Reference 8th Edition: Mosby, Inc., Saint Louis, MO. Pp. 797-799.

Henry's Clinical Diagnosis and Management by Laboratory Methods. 21st ed. McPherson R, Pincus M, eds. Philadelphia, PA: Saunders Elsevier: 2007, Chap 31.

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(June 17, 2011) Conrad M. Anemia. Medscape Reference article. Available online at http://emedicine.medscape.com/article/198475-overview. Accessed Sep 2011.

(August 26, 2011) Harper J. Pediatric Megaloblastic Anemia. eMedicine article. Available online at http://emedicine.medscape.com/article/959918-overview. Accessed Sep 2011.

(June 8, 2011) Artz A. Anemia in Elderly Persons. eMedicine article. Available online at http://emedicine.medscape.com/article/1339998-overview. Accessed Sep 2011.

(February 9, 2010) Dugdale D. RBC Count. MedlinePlus Medical Encyclopedia. Available online at http://www.nlm.nih.gov/medlineplus/ency/article/003644.htm. Accessed Sep 2011.

Riley R, et.al. Automated Hematologic Evaluation. Medical College of Virginia, Virginia Commonwealth University. Available online at http://www.pathology.vcu.edu/education/PathLab/pages/hematopath/pbs.html#Anchor-Automated-47857. Accessed Sep 2011.

Kasper DL, Braunwald E, Fauci AS, Hauser SL, Longo DL, Jameson JL eds, (2005). Harrison's Principles of Internal Medicine, 16th Edition, McGraw Hill, Pp 329-336.

Pagana K, Pagana T. Mosby's Manual of Diagnostic and Laboratory Tests. 3rd Edition, St. Louis: Mosby Elsevier 2006, Pp 447-448.

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Pagana, K. D., Pagana, T. J., and Pagana, T. N. (© 2015). Mosby's Diagnostic & Laboratory Test Reference 12th Edition: Mosby, Inc., Saint Louis, MO. Pp 785-791.


How to Prepare for the Test

Most of the time, adults do not need to take special steps before this test. Tell your provider the medicines you are taking, including the ones without a prescription. Some drugs may change the test results.

Medicines that may cause you to have an increase in eosinophils include:

  • Amphetamines (appetite suppressants)
  • Certain laxatives containing psyllium
  • Certain antibiotics
  • Interferon
  • Tranquilizers

BREAKING: Judge orders Pennsylvania to stop counting certain late ballots

By Calvin Freiburger
By Calvin Freiburger

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November 12, 2020 (LifeSiteNews) &mdash Pennsylvania Secretary of the Commonwealth Kathy Boockvar &ldquolacked statutory authority&rdquo to direct state election officials to count mail-in ballots even if they did not receive proof of identification by November 9, President Judge Mary Hannah Leavitt of Pennsylvania ruled Thursday in a victory for the Trump campaign&rsquos legal campaign to prevent the state from being certified for Democrat nominee Joe Biden.

The U.S. Supreme Court ruled before the election that election officials in Pennsylvania (as well as North Carolina) could accept absentee ballots for up to three days after the election, though the court also ruled several days later that all ballots that would arrive beyond the legal deadline be segregated and counted separately, in response to a lawsuit by state Republicans to stop a last-minute rule change by Boockvar that allowed the ballots to be counted and co-mingled with ballots that had arrived on time.

But on Thursday, Leavitt ruled that the Secretary of the Commonwealth &ldquolacked statutory authority to issue the November 1, 2020, guidance to Respondents County Boards of Elections insofar as that guidance purported to change the deadline [. ] for certain electors to verify proof of identification.&rdquo

&ldquoAccordingly, the Court hereby ORDERS that Respondents County Boards of Elections are enjoined from counting any ballots that have been segregated&rdquo pursuant to the court&rsquos previous order on the matter.

WCSI notes that the order represents a victory for the Trump campaign, which needs Pennsylvania&rsquos 20 electoral votes to stand even a chance of securing a second term. Boockvar said Tuesday that the state received approximately 10,000 ballots after the polls closed, and was still in the process of counting 94,000 provisional ballots that had been given to voters on election day. Biden currently holds a 53,978 lead over Trump in the state.


Hemoglobin Level Chart

Normal Hemoglobin Count Ranges Widely Accepted by Physicians
Children
Birth: 13.5 to 24.0 g/dl (mean 16.5 g/dl)
<1 mth: 10.0 to 20.0 g/dl (mean 13.9 g/dl)
1-2 mths: 10.0 to 18.0 g/dl (mean 11.2 g/dl)
2-6 mths: 9.5 to 14.0 g/dl (mean 12.6 g/dl)
0.5 to 2 yrs: 10.5 to 13.5 g/dl (mean 12.0 g/dl)
2 to 6 yrs: 11.5 to 13.5 g/dl (mean 12.5 g/dl)
6-12 yrs: 11.5 to 15.5 g/dl (mean 13.5)
Females
Age 12-18 yrs: 12.0 to 16.0 g/dl (mean 14.0 g/dl)
Age >18 yrs: 12.1 to 15.1 g/dl (mean 14.0 g/dl)
Males
12-18 yrs: 13.0 to 16.0 g/dl (mean 14.5 g/dl)
>18 yrs: 13.6 to 17.7 g/dl (mean 15.5 g/dl)

Low Hemoglobin Count

A slightly low hemoglobin count isn't always a sign of illness, it may be normal for some people. Women who are pregnant commonly have low hemoglobin counts. A low hemoglobin level count is generally defined as less than 13.5 grams of hemoglobin per deciliter (135 grams per liter) of blood for men and less than 12 grams per deciliter (120 grams per liter) for women. In children, the definition varies with age and sex.

Diseases and conditions that cause your body to produce fewer red blood cells include:

  • Cancer
  • Cirrhosis
  • Leukemia
  • Lead poisoning
  • Aplastic anemia
  • Multiple myeloma
  • Certain medications
  • Iron deficiency anemia
  • Chronic kidney disease
  • Non-Hodgkin's lymphoma
  • Vitamin deficiency anemia
  • Myelodysplastic syndromes
  • Hypothyroidism (under-active thyroid)
  • Hodgkin's lymphoma (Hodgkin's disease)
  • Blood Loss from Bleeding (Internal or External)

Iron Levels

Iron is a mineral that's essential for making healthy red blood cells and hemoglobin. Low iron levels can cause you to feel tired, and extremely low iron levels may cause damage to organs. A low blood count can be caused by not eating enough iron-rich foods, donating blood too frequently, chronic illness, or other invisible causes. The daily requirement of iron can often be achieved by taking iron supplements. Ferrous sulfate 325 mg, taken orally once a day, and by eating foods high in iron. Foods high in vitamin C also are recommended because vitamin C helps your body absorb iron. Food with high iron levels include:

  • Bean Sprouts
  • Beets
  • Broccoli
  • Brussel Sprouts
  • Cabbage
  • Chicken
  • Corn
  • Fish
  • Green Beans
  • Greens, all kinds
  • Kale
  • Lamb
  • Lean beef
  • Lima Beans
  • Liver
  • Mussels
  • Pork
  • Potatoes
  • Shellfish
  • Peas
  • Tofu
  • Tomatoes
  • Turkey
  • Veal

High Hemoglobin Level

High hemoglobin level is mainly due to low oxygen levels in the blood (hypoxia), present over a long period of time. Reasons for a high hemoglobin level include:

  • Queimaduras
  • Dehydration
  • Severe COPD
  • Heavy smoking
  • Polycythemia vera
  • Excessive vomiting
  • Living at a high altitude
  • Extreme physical exercise
  • Failure of the right side of the heart
  • Birth defects of the heart, present at birth.
  • Scarring or thickening of the lungs (pulmonary fibrosis) and other severe lung disorders
  • Rare bone marrow diseases that lead to an abnormal increase in the number of blood cells (polycythemia vera)

Hemoglobin A1c Test

  • For people without diabetes, the normal range for the hemoglobin A1c test is between 4% and 5.6%.
  • Hemoglobin A1c levels between 5.7% and 6.4% indicate increased risk of diabetes.
  • Levels of 6.5% or higher indicate diabetes.

The goal for people with diabetes is a hemoglobin A1c less than 7%. The higher the hemoglobin A1c, the higher the risks of developing complications related to diabetes.

Hemoglobin Level Image Charts for Printing

Chart 1


Printable Human Hemoglobin Level Chart.

Chart 2


Alternative Version: Hemoglobin Level Chart shows ideal range for females, males, and younger children.

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5 years and counting: Ex-treasure hunter still stuck in federal prison

COLUMBUS, Ohio (AP) — A former deep-sea treasure hunter is about to mark his fifth year in jail for refusing to disclose the whereabouts of 500 missing coins made from gold found in an historic shipwreck.

Research scientist Tommy Thompson isn’t incarcerated for breaking the law. Instead, he’s being held in contempt of court for an unusually long stretch — well past the normal maximum limit of an 18-month internment in cases of witnesses refusing to cooperate.

But nothing is usual about Thompson’s case, which dates to his discovery of the S.S. Central America, known as the Ship of Gold, in 1988. The gold rush-era ship sank in a hurricane off South Carolina in 1857 with thousands of pounds of gold aboard, contributing to an economic panic.

Despite an investors lawsuit and a federal court order, Thompson still won’t cooperate with authorities trying to find those coins, according to court records, federal prosecutors and the judge who found Thompson in contempt.

“He creates a patent for a submarine, but he can’t remember where he put the loot,” federal Judge Algenon Marbley said during a 2017 hearing.

Thompson’s legal troubles stem from the 161 investors who paid Thompson $12.7 million to find the ship, never saw any proceeds and finally sued.

Back in 2012, a different federal judge ordered Thompson to appear in court to disclose the coins’ whereabouts. Instead, Thompson fled to Florida where he lived with his longtime female companion at a hotel where he was living near Boca Raton. U.S. marshals tracked him down and arrested him in early 2015.

Thompson pleaded guilty for his failure to appear and was sentenced to two years in prison and a $250,000 fine. Thompson’s criminal sentence has been delayed until the issue of the gold coins is resolved.

That April 2015 plea deal required Thompson to answer questions in closed-door sessions about the whereabouts of the coins, which the government says are worth $2 million to $4 million. Importantly, he must also “assist” interested parties in finding the coins under that deal.

Thompson refused several times, and on Dec. 15, 2015, Marbley found Thompson in contempt of court and ordered him to stay in jail — and pay a $1,000 daily fine — until he responds.

In late October of this year, Thompson appeared by video for his latest hearing.

“Mr. Thompson, are you ready to answer the seminal question in this case as to the whereabouts of the gold?” Marbley said.

“Your honor, I don’t know if we’ve gone over this road before or not, but I don’t know the whereabouts of the gold,” Thompson responded. “I feel like I don’t have the keys to my freedom.”

And with that, Thompson settled back into his current situation: housed in a federal prison in Milan, Michigan, he’s now spent more than 1,700 days in jail and owes nearly $1.8 million in fines — and counting. Thompson’s attorney declined to comment.

Thompson, 68, has said he suffers from a rare form of chronic fatigue syndrome that has created problems with short-term memory.

He’s previously said, without providing details, that the coins were turned over to a trust in Belize.

The government contends Thompson is refusing to cooperate and that there’s no connection between his ailment and his ability to explain where the coins are.

A federal law addresses individuals like Thompson, known as “recalcitrant witnesses.”

The law holds that 18 months is generally the limit for jail time for contempt of court orders. But a federal appeals court last year rejected Thompson’s argument that that law applies to him.

Thompson hasn’t just refused to answer questions, the court ruled: He’s also violated the requirement that he “assist” the parties by refusing to execute a limited power of attorney to allow that Belizean trust to be examined, as required under his plea deal.

“The order isn’t intended to solely seek information, it’s to seek information for the purposes of recovering these unique assets,” said law professor and legal analyst Andrew Geronimo, director of Case Western University’s First Amendment Clinic.

Earlier this year, Marbley denied Thompson’s request for release over concerns he’s at risk for contracting the coronavirus behind bars. Marbley said Thompson didn’t present proper evidence for his risk level, and also noted he remains a flight risk.


1. Adel K, Raizman J, Chen Y, et al: Complex biological profile of hematologic markers across pediatric, adult, and geriatric ages: establishment of robust pediatric and adult reference intervals on the basis of the Canadian Health Measures Survey. Clin Chem 201561:8

2. CLSI. Defining, Establishing, and Verifying Reference Intervals in the Clinical Laboratory Approved Guideline, Third Edition. CLSI document EP28-A3c. Wayne, PA, Clinical and Laboratory Standards Institute, 2008

3. Soldin J, Brugnara C, Wong EC: Pediatric Reference Intervals. Fifth Edition. AACC Press. Washington, DC, 2005. ISBN 1-594250-32-4


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