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10.5: Multiplicar Polinômios (Parte 2)


Usando o Método FOIL

Lembre-se de que quando você multiplica um binômio por um binômio, obtém quatro termos. Às vezes, você pode combinar termos semelhantes para obter um trinômio, mas às vezes não há termos semelhantes para combinar. Vamos examinar o último exemplo novamente e prestar atenção especial em como obtivemos os quatro termos.

[ begin {split} (x + 2) & (x - y) x ^ {2} - xy & + 2x - 2y end {split} ]

Onde surgiu o primeiro termo, x2, vem de onde?

É o produto de x e x, o primeiro termos em (x + 2) e (x - y).

O próximo termo, −xy, é o produto de x e - y, os dois exterior termos.

O terceiro termo, + 2x, é o produto de 2 e x, os dois interno termos.

E o último termo, -2y, veio da multiplicação dos dois durar termos.

Abreviamos “Primeiro, Externo, Interno, Último” como FOIL. As letras significam ‘Primeiro, Externo, Interno, Último’. A palavra FOIL é fácil de lembrar e garante que encontraremos os quatro produtos. Podemos dizer que usamos o método FOIL para multiplicar dois binômios.

Vejamos (x + 3) (x + 7) novamente. Agora vamos trabalhar com um exemplo em que usamos o padrão FOIL para multiplicar dois binômios.

Exemplo ( PageIndex {11} ):

Multiplique usando o método FOIL: (x + 6) (x + 9).

Solução

Exercício ( PageIndex {21} ):

Multiplique usando o método FOIL: (x + 7) (x + 8).

Responder

(x ^ 2 + 15x + 56 )

Exercício ( PageIndex {22} ):

Multiplique usando o método FOIL: (y + 14) (y + 2).

Responder

(y ^ 2 + 16y + 28 )

Resumimos as etapas do método FOIL abaixo. O método FOIL só se aplica à multiplicação de binômios, não de outros polinômios!

COMO: USAR O MÉTODO DA FOIL PARA MULTIPLICAR DOIS BINOMIAIS

Etapa 1. Multiplique o Primeiro termos.

Etapa 2. Multiplique o Exterior termos.

Etapa 3. Multiplique o Interno termos.

Etapa 4. Multiplique o Durar termos.

Etapa 5. Combine os termos semelhantes, quando possível.

Exemplo ( PageIndex {12} ):

Multiplique: (y - 8) (y + 6).

Solução

Exercício ( PageIndex {23} ):

Multiplique: (y - 3) (y + 8).

Responder

(y ^ 2 + 5y-24 )

Exercício ( PageIndex {24} ):

Multiplique: (q - 4) (q + 5).

Responder

(q ^ 2 + q-20 )

Exemplo ( PageIndex {13} ):

Multiplique: (2a + 3) (3a - 1).

Solução

Multiplique o Primeiro termos.
Multiplique o Exterior termos.
Multiplique o Interno termos.
Multiplique o Durar termos.
Combine termos semelhantes.6a2 + 7a - 3

Exercício ( PageIndex {25} ):

Multiplique: (4a + 9) (5a - 2).

Responder

(20a ^ 2 + 37a-18 )

Exercício ( PageIndex {26} ):

Multiplique: (7x + 4) (7x - 8).

Responder

(49x ^ 2-28x-32 )

Exemplo ( PageIndex {14} ):

Multiplique: (5x - y) (2x - 7).

Solução

Multiplique o Primeiro termos.
Multiplique o Exterior termos.
Multiplique o Interno termos.
Multiplique o Durar termos.
Combine termos semelhantes. Não há nenhum.10x2 - 35x - 2xy + 7y

Exercício ( PageIndex {27} ):

Multiplique: (12x - y) (x - 5).

Responder

(12 x ^ {2} -60 x-x y + 5 y )

Exercício ( PageIndex {28} ):

Multiplique: (6a - b) (2a - 9).

Responder

(12 a ^ {2} -54 a-2 a b + 9 b )

Usando o Método Vertical

O método FOIL é geralmente o método mais rápido para multiplicar dois binômios, mas funciona apenas para binômios. Você pode usar a Propriedade Distributiva para encontrar o produto de quaisquer dois polinômios. Outro método que funciona para todos os polinômios é o Método Vertical. É muito parecido com o método que você usa para multiplicar números inteiros. Observe cuidadosamente este exemplo de multiplicação de números de dois dígitos.

Você começa multiplicando 23 por 6 para obter 138. Em seguida, multiplica 23 por 4, alinhando o produto parcial nas colunas corretas. Por último, você adiciona os produtos parciais. Agora vamos aplicar esse mesmo método para multiplicar dois binômios.

Exemplo ( PageIndex {15} ):

Multiplique usando o método vertical: (5x - 1) (2x - 7).

Solução

Não importa qual binômio vai para o topo. Alinhe as colunas ao multiplicar como fizemos quando multiplicamos 23 (46).

Observe que os produtos parciais são iguais aos termos do método FOIL.

Exercício ( PageIndex {29} ):

Multiplique usando o método vertical: (4m - 9) (3m - 7).

Responder

(12 m ^ {2} -55 m + 63 )

Exercício ( PageIndex {30} ):

Multiplique usando o método vertical: (6n - 5) (7n - 2).

Responder

(42 n ^ {2} -47 n + 10 )

Agora usamos três métodos para multiplicar binômios. Pratique cada método e tente decidir qual você prefere. Os três métodos estão listados aqui para ajudá-lo a se lembrar deles.

Definição: Multiplicando Dois Binômios

Para multiplicar binômios, use:

  • Propriedade distributiva
  • Método FOIL
  • Método Vertical

Lembre-se de que FOIL só funciona ao multiplicar dois binômios.

Multiplique um Trinomial por um Binomial

Multiplicamos monômios por monômios, monômios por polinômios e binômios por binômios. Agora estamos prontos para multiplicar um trinômio por um binômio. Lembre-se, o método FOIL não funcionará neste caso, mas podemos usar a propriedade distributiva ou o método vertical. Vemos primeiro um exemplo usando a Propriedade Distributiva.

Exemplo ( PageIndex {16} ):

Multiplique usando a propriedade distributiva: (x + 3) (2x2 - 5x + 8).

Solução

Exercício ( PageIndex {31} ):

Multiplique usando a propriedade distributiva: (y - 1) (y2 - 7y + 2).

Responder

(y ^ {3} -8 y ^ {2} +9 y-2 )

Exercício ( PageIndex {32} ):

Multiplique usando a propriedade distributiva: (x + 2) (3x2 - 4x + 5).

Responder

(3 x ^ {3} +2 x ^ {2} -3 x + 10 )

Agora vamos fazer a mesma multiplicação usando o Método Vertical.

Exemplo ( PageIndex {17} ):

Multiplique usando o método vertical: (x + 3) (2x2 - 5x + 8).

Solução

É mais fácil colocar o polinômio com menos termos na parte inferior porque obtemos menos produtos parciais dessa forma.

Exercício ( PageIndex {33} ):

Multiplique usando o método vertical: (y - 1) (y2 - 7y + 2).

Responder

(y ^ {3} -8 y ^ {2} +9 y-2 )

Exercício ( PageIndex {34} ):

Multiplique usando o método vertical: (x + 2) (3x2 - 4x + 5).

Responder

(3 x ^ {3} +2 x ^ {2} -3 x + 10 )

A prática leva à perfeição

Multiplique um polinômio por um monômio

Nos exercícios a seguir, multiplique.

  1. 4 (x + 10)
  2. 6 (y + 8)
  3. 15 (r - 24)
  4. 12 (v - 30)
  5. -3 (m + 11)
  6. −4 (p + 15)
  7. −8 (z - 5)
  8. −3 (x - 9)
  9. u (u + 5)
  10. q (q + 7)
  11. n (n2 - 3n)
  12. WL2 - 6s)
  13. 12x (x - 10)
  14. 9m (m - 11)
  15. -9a (3a + 5)
  16. −4p (2p + 7)
  17. 6x (4x + y)
  18. 5a (9a + b)
  19. 5p (11p - 5q)
  20. 12u (3u - 4v)
  21. 3 (v2 + 10v + 25)
  22. 6 (x2 + 8x + 16)
  23. 2n (4n2 - 4n + 1)
  24. 3r (2r2 - 6r + 2)
  25. -8y (y2 + 2a - 15)
  26. -5m (m2 + 3m - 18)
  27. 5q3(q2 - 2q + 6)
  28. 9r3(r2 - 3r + 5)
  29. -4z2(3z2 + 12z - 1)
  30. -3x2(7x2 + 10x - 1)
  31. (2a - 9) y
  32. (8b - 1) b
  33. (w - 6) • 8
  34. (k - 4) • 5

Multiplique um Binomial por um Binomial

Nos exercícios a seguir, multiplique os seguintes binômios usando: (a) a propriedade distributiva (b) o método FOIL (c) o método vertical

  1. (x + 4) (x + 6)
  2. (u + 8) (u + 2)
  3. (n + 12) (n - 3)
  4. (y + 3) (y - 9)

Nos exercícios a seguir, multiplique os binômios a seguir. Use qualquer método.

  1. (y + 8) (y + 3)
  2. (x + 5) (x + 9)
  3. (a + 6) (a + 16)
  4. (q + 8) (q + 12)
  5. (u - 5) (u - 9)
  6. (r - 6) (r - 2)
  7. (z - 10) (z - 22)
  8. (b - 5) (b - 24)
  9. (x - 4) (x + 7)
  10. (s - 3) (s + 8)
  11. (v + 12) (v - 5)
  12. (d + 15) (d - 4)
  13. (6n + 5) (n + 1)
  14. (7y + 1) (y + 3)
  15. (2m - 9) (10m + 1)
  16. (5r - 4) (12r + 1)
  17. (4c - 1) (4c + 1)
  18. (8n - 1) (8n + 1)
  19. (3u - 8) (5u - 14)
  20. (2q - 5) (7q - 11)
  21. (a + b) (2a + 3b)
  22. (r + s) (3r + 2s)
  23. (5x - y) (x - 4)
  24. (4z - y) (z - 6)

Multiplique um Trinomial por um Binomial

Nos exercícios a seguir, multiplique usando (a) a propriedade distributiva e (b) o método vertical.

  1. (u + 4) (u2 + 3u + 2)
  2. (x + 5) (x2 + 8x + 3)
  3. (a + 10) (3a2 + a - 5)
  4. (n + 8) (4n2 + n - 7)

Nos exercícios a seguir, multiplique. Use qualquer um dos métodos.

  1. (y - 6) (y2 - 10a + 9)
  2. (k - 3) (k2 - 8k + 7)
  3. (2x + 1) (x2 - 5x - 6)
  4. (5v + 1) (v2 - 6v - 10)

Matemática cotidiana

  1. Matemática mental Você pode usar a multiplicação binomial para multiplicar números sem uma calculadora. Digamos que você precise multiplicar 13 vezes 15. Pense em 13 como 10 + 3 e 15 como 10 + 5.
    1. Multiplique (10 + 3) (10 + 5) pelo método FOIL.
    2. Multiplique 13 • 15 sem usar uma calculadora.
    3. Qual maneira é mais fácil para você? Por quê?
  2. Matemática mental Você pode usar a multiplicação binomial para multiplicar números sem uma calculadora. Digamos que você precise multiplicar 18 vezes 17. Pense em 18 como 20 - 2 e 17 como 20 - 3.
    1. Multiplique (20 - 2) (20 - 3) pelo método FOIL.
    2. Multiplique 18 • 17 sem usar uma calculadora.
    3. Qual maneira é mais fácil para você? Por quê?

Exercícios de escrita

  1. Qual método você prefere usar ao multiplicar dois binômios - a propriedade distributiva, o método FOIL ou o método vertical? Por quê?
  2. Qual método você prefere usar ao multiplicar um trinômio por um binômio - a propriedade distributiva ou o método vertical? Por quê?

Auto-verificação

(a) Depois de completar os exercícios, use esta lista de verificação para avaliar seu domínio dos objetivos desta seção.

(b) O que esta lista de verificação lhe diz sobre o seu domínio desta seção? Que passos você dará para melhorar?


Polinomial

Em matemática, um polinomial é uma expressão que consiste em variáveis ​​(também chamadas de indeterminados) e coeficientes, que envolve apenas as operações de adição, subtração, multiplicação e exponenciação inteira não negativa de variáveis. Um exemplo de um polinômio de um único indeterminado x é x 2 − 4x + 7. Um exemplo em três variáveis ​​é x 3 + 2xyz 2 − sim + 1 .

Polinômios aparecem em muitas áreas da matemática e das ciências. Por exemplo, eles são usados ​​para formar equações polinomiais, que codificam uma ampla gama de problemas, desde problemas de palavras elementares a problemas científicos complicados que são usados ​​para definir funções polinomiais, que aparecem em configurações que variam de química e física básicas a economia e ciências sociais, eles são usados ​​em cálculo e análise numérica para aproximar outras funções. Em matemática avançada, polinômios são usados ​​para construir anéis polinomiais e variedades algébricas, que são conceitos centrais em álgebra e geometria algébrica.


Kansas State University

Este vídeo cobre:
* A definição formal e informal de polinômios
* O que se entende por operações matemáticas 'legais'
* Por que operações 'feias' podem ser sobre números, mas não variáveis
* Identificação de exemplos que são / não polinômios
* Qual é a aparência de polinômios típicos

Exemplos:

Este vídeo cobre:
* Revisão do que é um polinômio
* Como colocar polinômios em ordem decrescente
* Palavras do vocabulário: grau, termos, coeficientes, termo principal, coeficiente principal, termo constante

Exemplos:

3: Classificação Polinomial

Este vídeo cobre:
* Como nomear um polinômio pelo 'primeiro' e 'sobrenome'
* Como nomear um polinômio considerando o número de termos que possui: Monomial, Binomial, Trinomial, Polinomial
* Como nomear um polinômio de acordo com o grau: Constante, Linear, Quadrático, Cúbico, Quíntico, Quíntico

Exemplos:

4: Adicionando e subtraindo polinômios

NOTA: há um erro neste vídeo em torno da marca de 10:50. Deveria ser:
- 4,5b ^ 2 + - 2,1b ^ 2 = -6,6b ^ 2

Este vídeo cobre:
* Como identificar e combinar termos semelhantes
* Como combinar termos semelhantes para adicionar e subtrair polinômios
* Como distribuir o negativo para subtrair polinômios
* Lembrete para colocar os polinômios em ordem decrescente
* Como colocar várias variáveis ​​em ordem decrescente

Exemplos:

5: Multiplicando Polinômios (Parte 1) - Distribuindo e FOILing

Este vídeo cobre:
* Quando multiplicar polinômios distribuindo
* O que a sigla FOIL significa
* Quando multiplicar polinômios por FOILing
* Por que FOILing é o melhor pedido
* Palavra do vocabulário: Conjugado

Exemplos:

6: Multiplicando Polinômios (Parte 2) -

Este vídeo cobre:
* Como multiplicar polinômios quando não está distribuindo ou FOILing
* Como multiplicar um polinômio por um expnonent
* O maior erro que você pode cometer na simplificação da álgebra
* Lembrete para combinar termos semelhantes e colocar os polinômios em ordem decrescente

Exemplos:


Prática guiada

Começaremos a modelar a multiplicação polinomial com exemplos semelhantes de nossa última aula e, em seguida, usaremos FOIL para verificar nossas respostas. Vou enfatizar a forma retangular de nossa resposta e os padrões que vemos com nossos expoentes. Também enfatizarei que todos os termos são multiplicados entre si em algum ponto do problema.

A seguir, veremos o Exemplo Um nesta apresentação. Usarei FOIL para multiplicar o primeiro problema e pedirei aos alunos que decidam se posso multiplicar o segundo problema da mesma maneira. Os alunos perceberão rapidamente que esse problema não pode ser multiplicado por FOIL, porque ambas as expressões não são binômios.

Vou mostrar aos alunos que podemos adaptar um padrão de multiplicação semelhante para ajustar este problema desenhando setas para cada termo, assim como no método FOIL. Em seguida, perguntarei aos alunos se os padrões de multiplicação que temos usado são semelhantes a uma propriedade que usamos antes. Direi então que podemos usar uma propriedade distributiva modificada para multiplicar todos os polinômios, independentemente do número de termos, desde que cada parte seja multiplicada por todos os termos do outro polinômio.

Vou dizer aos alunos para multiplicar o número de termos no problema antes de começar, a fim de verificar quantos termos a resposta não simplificada terá:


Introdução: blocos de álgebra

Esta atividade estabelece as bases para futuras aulas envolvendo blocos de álgebra, por isso é importante dedicar um tempo suficiente durante a aula de hoje para garantir o conforto do aluno com esses manipuladores. Os alunos trabalharam com blocos de álgebra durante nossa última aula, mas a lição de hoje exigirá que os alunos estendam seu pensamento de uma maneira diferente. Usarei blocos de álgebra e o tabuleiro de multiplicação para demonstrar a multiplicação polinomial para meus alunos.

Primeiro, vou pedir aos alunos alguns problemas simples de multiplicação, mas peço que encontrem o produto traçando o multiplicando e multiplicador correspondente usando a tabela de multiplicação (o objetivo desta atividade é deixar os alunos confortáveis ​​com os movimentos necessários para multiplicar polinômios com os blocos de álgebra )

A seguir, desenharei uma representação visual dos produtos simples que encontramos no quadro usando um array. Após alguns exemplos, pedirei aos alunos que façam uma generalização sobre a forma de uma matriz de multiplicação. Vou perguntar aos alunos como eles podem usar a forma de uma matriz para verificar um produto.

Em seguida, exploraremos o produto de polinômios usando os blocos de álgebra e o tabuleiro. Vou pedir aos alunos que se juntem a mim depois de modelar os primeiros 2-3 problemas.

Vou enfatizar que nossa resposta final resulta em uma forma retangular, assim como aconteceu com os problemas numéricos que modelamos com uma matriz. Vou perguntar aos alunos se eles veem algum padrão ou alguma conexão com as propriedades dos expoentes.

A seguir, pedirei aos alunos que usem os blocos de álgebra para modelar por conta própria: x (x +1) e 2x (x + 1). Depois de explicar nossas respostas, pedirei aos alunos que modelem (x + 1) (x + 2) e (x + 3) (x + 1).

Depois de multiplicar mais alguns pares binomiais, pedirei aos alunos que identifiquem novamente quaisquer padrões nos produtos resultantes. Vou pedir aos alunos que usem esses padrões para multiplicar polinômios sem papel.


10.5: Multiplicar Polinômios (Parte 2)

Como vimos, a divisão longa de polinômios pode envolver muitas etapas e ser bastante complicada. Divisão sintética é um método abreviado de divisão de polinômios para o caso especial de divisão por um polinômio cujo coeficiente líder é [latex] 1 [/ latex].

Divisão Sintética

A divisão sintética é um atalho que pode ser usado quando o divisor é um binomial na forma [latex] x – k [/ latex], para um número real [latex] k [/ latex]. Em divisão sintética, apenas os coeficientes são usados ​​no processo de divisão.

Para ilustrar o processo, divida [látex] 2^<3>-3^ <2> + 4x + 5 [/ latex] por [latex] x + 2 [/ latex] usando o algoritmo de divisão longa.

Há muita repetição neste processo. Se não escrevermos as variáveis, mas, em vez disso, alinharmos seus coeficientes em colunas sob o sinal de divisão, já temos uma versão mais simples de todo o problema.


A divisão sintética carrega essa simplificação ainda mais algumas etapas. Recolha a mesa movendo cada uma das linhas para preencher todos os espaços vagos. Além disso, em vez de dividir por [latex] 2 [/ latex], como faríamos na divisão de números inteiros e, em seguida, multiplicar e subtrair o produto do meio, mudamos o sinal do & # 8220divisor & # 8221 para [latex] –2 [ / latex], multiplique e adicione. O processo começa reduzindo o coeficiente líder.

Em seguida, multiplicamos pelo & # 8220divisor & # 8221 e adicionamos, repetindo esse processo coluna por coluna, até que não haja mais entradas. A linha inferior representa os coeficientes do quociente; a última entrada da linha inferior é o restante. Nesse caso, o quociente é [latex] 2x <^ 2> -7x + 18 [/ latex] e o restante é [latex] –31 [/ latex]. O processo ficará mais claro no exemplo a seguir.

Exemplo

Use a divisão sintética para dividir [látex] 5^ <2> -3x - 36 [/ latex] por [latex] x - 3 [/ latex].

Comece configurando a divisão sintética. Escreva [latex] 3 [/ latex] e os coeficientes do polinômio.


Diminua o coeficiente de chumbo. Multiplique o coeficiente de chumbo por [latex] 3 [/ latex] e coloque o resultado na segunda coluna.


Continue adicionando [latex] -3 + 15 [/ latex] na segunda coluna. Multiplique o número resultante, [latex] 12 [/ latex] por [latex] 3 [/ latex]. Escreva o resultado, [latex] 36 [/ latex] na próxima coluna. Em seguida, adicione os números na terceira coluna.


O resultado é [latex] 5x + 12 [/ latex].

Podemos verificar nosso trabalho multiplicando o resultado pelo divisor original [latex] x-3 [/ latex], se obtivermos [latex] 5^ <2> -3x - 36 [/ latex], usamos o método corretamente.

Porque obtivemos um resultado de [látex] 5^ <2> -3x - 36 [/ latex] quando multiplicamos o divisor e nossa resposta, podemos ter certeza de que usamos a divisão sintética corretamente.

Responder

É importante notar que o resultado, [latex] 5x + 12 [/ latex], de [latex] 5^ <2> -3x - 36 div[/ latex] é um grau menor que [latex] 5^ <2> -3x - 36 [/ latex]. Por que é que? Pense em como você resolveria isso usando a divisão longa. A primeira coisa que você se perguntaria é quantos x & # 8217s existem em [latex] 5x ^ 2 [/ latex]?

Para obter um resultado de [latex] 5x ^ 2 [/ latex], você precisa multiplicar [latex] x [/ latex] por [latex] 5x [/ latex]. A próxima etapa na divisão longa é subtrair esse resultado de [latex] 5x ^ 2 [/ latex]. Isso nos deixa sem nenhum termo [latex] x ^ 2 [/ latex] no resultado.

Pense nisso

Reflita sobre esta ideia & # 8211 se você multiplicar dois polinômios e obter um resultado cujo grau é [latex] 2 [/ latex], quais são os graus possíveis dos dois polinômios que foram multiplicados? Escreva suas idéias no quadro abaixo antes de examinar a discussão.

Um polinômio de grau dois terá um termo principal com [latex] x ^ 2 [/ latex]. Vamos usar [latex] 2x ^ 2-2x-24 [/ latex] como exemplo. Podemos escrever dois produtos que darão isso como resultado da multiplicação:

Se trabalharmos para trás, começando de [latex] 2x ^ 2-2x-24 [/ latex] se dividirmos por um binômio com grau um, como [latex] (x-4) [/ latex], nosso resultado também tem grau um.

Neste exemplo de vídeo, você verá outro exemplo de como usar a divisão sintética para a divisão de um polinômio de grau dois por um binômio de grau um.

Como: Dados dois polinômios, use a divisão sintética para dividir.

  1. Escreva k para o divisor.
  2. Escreva os coeficientes do dividendo.
  3. Diminua o coeficiente de chumbo.
  4. Multiplique o coeficiente de chumbo por k. Escreva o produto na próxima coluna.
  5. Adicione os termos da segunda coluna.
  6. Multiplique o resultado por k. Escreva o produto na próxima coluna.
  7. Repita as etapas [latex] 5 [/ latex] e [latex] 6 [/ latex] para as colunas restantes.
  8. Use os números de baixo para escrever o quociente. O número na última coluna é o resto e tem grau [latex] 0 [/ latex], o próximo número da direita tem grau [latex] 1 [/ latex], o próximo número da direita tem grau [latex] 2 [/ latex] e assim por diante.

No próximo exemplo, usaremos a divisão sintética para dividir um polinômio de terceiro grau.

Exemplo

Use a divisão sintética para dividir [látex] 4^<3>+10^ <2> -6x - 20 [/ latex] por [latex] x + 2 [/ latex].

O divisor binomial é [latex] x + 2 [/ latex] então [latex] k = -2 [/ latex]. Adicione cada coluna, multiplique o resultado por –2 e repita até que a última coluna seja alcançada.

O resultado é [látex] 4^ <2> + 2x - 10 [/ latex]. Novamente observe que o grau do resultado é menor que o grau do quociente, [látex] 4^<3>+10^ <2> -6x - 20 [/ latex].

Podemos verificar se estamos corretos multiplicando o resultado pelo divisor:

Responder

No próximo exemplo, mostraremos a divisão de um polinômio de quarto grau por um binômio. Observe como não há termo x no polinômio de quarto grau, então precisamos usar um marcador de posição de 0 para garantir o alinhamento adequado dos termos.

Exemplo

Use a divisão sintética para dividir [látex] -9^<4>+10^<3>+7^ <2> -6 [/ latex] por [latex] x - 1 [/ latex].

Observe que não há x-prazo. Usaremos zero como coeficiente para esse termo.

Em nosso último exemplo de vídeo, mostramos outro exemplo de como usar a divisão sintética para dividir um polinômio de grau três por um binômio de grau um.


Teste de matemática 2

uma. Encontre o vetor de estado estacionário para a cadeia de Markov.
b. Forneça o vetor de estado inicial.
c. Que porcentagem de ouvintes ouvirá a estação de música às 9h25 da manhã. (após as pausas da estação às 8:30 e 9:00
SOU.)?

O clima em Columbus é bom, indiferente ou ruim em qualquer dia. Se o tempo estiver bom hoje, há 70% de chance de ser bom amanhã, 10% de chance de ser indiferente e 20% de chance de ser ruim. Se o tempo estiver indiferente hoje, há 40% de chance de ser bom amanhã e 30% de chance de ser indiferente. Finalmente, se o tempo estiver ruim hoje, há 30% de chance de ser bom amanhã e 40% de chance de ser indiferente.

uma. Qual é a matriz estocástica, P, para esta situação?

b. Suponha que haja 50% de chance de bom tempo hoje e 50% de chance de tempo indiferente. Quais são as chances de mau tempo amanhã?

c. Suponha que o tempo previsto para segunda-feira seja 20% indiferente e 80% mau. Quais são as chances de bom tempo na quarta-feira?


SEMESTRE 1

Continuando a Álgebra I A, Unidade 1: Relações e Funções, Parte 1

Uma célula solar é uma pequena máquina que recebe energia solar e distribui eletricidade. Uma função matemática é uma máquina que recebe um número como entrada e produz outro número como saída. Existem muitos tipos de funções. Alguns têm gráficos que parecem linhas, enquanto outros têm gráficos que se curvam como uma parábola. As funções também podem assumir outras formas. Nem toda função possui um gráfico que se parece com uma linha ou parábola. Nem toda função tem uma equação. O importante a lembrar é que, se você colocar qualquer entrada válida em uma função, obterá um único resultado dela.

  • Introdução ao Semestre
  • Fundações
  • Conclusão das fundações
  • Relações
  • Conclusão das Relações
  • Funções
  • Conclusão das funções
  • Equações de função, parte 1
  • Equações de função, Parte 1 Resumo
  • Equações de função, parte 2
  • Equações de função, Parte 2 Resumo
  • Funções de valor absoluto
  • Conclusão das funções de valor absoluto
  • Revisão da Unidade
  • Teste de unidade

Continuando a Álgebra I A, Unidade 2: Relações e Funções, Parte 2

Como você pode saber se duas coisas estão relacionadas matematicamente? Se você olhar atentamente para os números, poderá ver um padrão de como um conjunto de números muda em relação ao outro conjunto de números. Em matemática, isso é chamado de variação.

  • Fundações
  • Conclusão das fundações
  • Variação Direta, Parte 1
  • Variação direta, Parte 1 Conclusão
  • Variação Direta, Parte 2
  • Variação Direta, Parte 2 Conclusão
  • Variação Quadrática
  • Conclusão da variação quadrática
  • Variação Inversa
  • Conclusão da variação inversa
  • Revisão da Unidade
  • Teste de unidade

Continuando a Álgebra I A, Unidade 3: Irracionais e Radicais, Parte 1

Os números racionais são muito equilibrados? Os números irracionais são difíceis de raciocinar? Na verdade não, mas os números racionais e irracionais têm coisas em comum e coisas que os tornam diferentes.

  • Fundações
  • Conclusão das fundações
  • Números racionais
  • Conclusão dos Números Racionais
  • Terminar e repetir números
  • Encerramento e conclusão de números repetidos
  • Raízes quadradas, parte 1
  • Square Roots, Parte 1 Resumo
  • Raízes quadradas, parte 2
  • Square Roots, Parte 2 Resumo
  • Números irracionais
  • Conclusão dos números irracionais
  • Revisão da Unidade
  • Teste de unidade

Continuando a Álgebra I A, Unidade 4: Irracionais e Radicais, Parte 2

Expressões que possuem radicais às vezes podem ser simplificadas. Usando o que você sabe sobre como simplificar radicais e termos semelhantes, você pode simplificar uma variedade de expressões radicais.

  • Fundações
  • Conclusão das fundações
  • Estimando raízes quadradas
  • Conclusão da estimativa de raízes quadradas
  • Radicais com Variáveis, Parte 1
  • Radicais com Variáveis, Parte 1 Resumo
  • Radicais com Variáveis, Parte 2
  • Radicais com Variáveis, Parte 2 Resumo
  • Usando raízes quadradas para resolver equações
  • Usando Raízes Quadradas para Resolver Equações Conclusão
  • Teorema de Pitágoras
  • Conclusão do teorema de Pitágoras
  • Revisão da Unidade
  • Teste de unidade

Continuando a Álgebra I A, Unidade 5: Trabalhando com Polinômios, Parte 1

Assim como um trem é construído ligando vagões, um polinômio é construído reunindo termos e ligando-os com sinais de mais ou menos. Você pode realizar operações básicas em polinômios da mesma maneira que adiciona, subtrai, multiplica e divide números.

  • Fundações
  • Conclusão das fundações
  • Visão geral dos polinômios
  • Visão geral do resumo de polinômios
  • Adicionando e subtraindo polinômios
  • Conclusão de adição e subtração de polinômios
  • Multiplicando Monômios
  • Conclusão de Multiplicando Monômios
  • Revisão da Unidade
  • Teste de unidade

Continuando a Álgebra I A, Unidade 6: Trabalhando com Polinômios, Parte 2

Alguns polinômios têm um termo, enquanto outros polinômios têm dois ou mais termos. Aprender como multiplicar polinômios com um ou mais termos é uma etapa importante para entender os polinômios.

  • Fundações
  • Conclusão das fundações
  • Multiplicando Polinômios por Monômios
  • Multiplicando Polinômios por Monômios Conclusão
  • Multiplicando Polinômios
  • Conclusão de Multiplicando Polinômios
  • O Método FOIL
  • Conclusão do Método FOIL
  • Revisão da Unidade
  • Teste de unidade

Continuando a Álgebra I A, Unidade 7: Revisão e Teste Semestral

SEMESTRE 2

Continuando a Álgebra I B, Unidade 1: Fatoração de Polinômios, Parte 1

Polinômios são semelhantes a números. Você pode adicionar, subtrair, multiplicar e dividir com polinômios da mesma forma que pode com números. Os polinômios até têm fatores, assim como os números.

  • Fundações
  • Conclusão das fundações
  • Inteiros de fatoração
  • Conclusão de fatoração de inteiros
  • Propriedades dos expoentes
  • Conclusão das propriedades dos expoentes
  • Dividindo Monômios
  • Conclusão da divisão de monômios
  • Dividindo Polinômios por Monômios
  • Dividindo Polinômios por Monômios Conclusão
  • Revisão da Unidade
  • Teste de unidade

Continuando a Álgebra I B, Unidade 2: Fatoração de Polinômios, Parte 2

Um polinômio é uma expressão que possui variáveis ​​que representam números. Um número pode ser fatorado, então você deve ser capaz de fatorar um polinômio, certo? Às vezes você pode, às vezes não. Encontrar maneiras de escrever um polinômio como um produto de fatores pode ser bastante útil.

  • Fundações
  • Fatores comuns de polinômios
  • Fatores comuns de conclusão de polinômios
  • Quadrados perfeitos de fatoração
  • Conclusão dos quadrados perfeitos de fatoração
  • Fatoração das diferenças de quadrados, parte 1
  • Fatorando as diferenças dos quadrados, parte 2
  • Factoring Diferenças de Quadrados Conclusão
  • Fatorando trinômios quadráticos
  • Conclusão dos trinômios quadráticos de fatoração
  • Encontrando as raízes de um polinômio
  • Encontrando as raízes de um empacotamento polinomial
  • Revisão da Unidade
  • Teste de unidade

Continuando a Álgebra I B, Unidade 3: Equações Quadráticas, Parte 1

Resolver equações pode ajudá-lo a encontrar respostas para muitos tipos de problemas em sua vida diária. As equações lineares geralmente têm uma solução, mas e as equações quadráticas? Como você pode resolvê-los e como são as soluções?

  • Fundações
  • Conclusão das fundações
  • Resolvendo Equações do Quadrado Perfeito
  • Resolvendo Equações Quadradas Perfeitas Conclusão
  • Completando o quadrado
  • Completando o Square Wrap-Up
  • A Fórmula Quadrática
  • O resumo da fórmula quadrática
  • O Discriminante
  • The Discriminant Wrap-Up
  • Revisão da Unidade
  • Teste de unidade

Continuando a Álgebra I B, Unidade 4: Equações Quadráticas, Parte 2

Existem muitas maneiras diferentes de resolver uma equação quadrática. Como as equações quadráticas podem ser usadas para modelar problemas e como suas soluções podem ser usadas para resolver problemas?

  • Fundações
  • Resolvendo Equações Quadráticas
  • Resolvendo Equações Quadráticas Conclusão
  • Equações e gráficos: raízes e interceptações
  • Equações e gráficos: resumo de raízes e interceptações
  • Aplicações: Problemas de área
  • Aplicações: Resumo de Problemas de Área
  • Aplicações: Movimento de projéteis
  • Aplicações: Conclusão do movimento do projétil
  • Revisão da Unidade
  • Teste de unidade

Continuando a Álgebra I B, Unidade 5: Expressões Racionais

Uma fração sempre tem um número no numerador e no denominador. No entanto, esses números podem, na verdade, ser expressões que representam números, o que significa que você pode fazer todos os tipos de coisas interessantes com frações. Frações com expressões variáveis ​​no numerador e denominador podem ajudá-lo a resolver muitos tipos de problemas.

  • Fundações
  • Conclusão das fundações
  • Simplificando Expressões Racionais
  • Conclusão simplificando as expressões racionais
  • Multiplicando Expressões Racionais
  • Conclusão da Multiplicação das Expressões Racionais
  • Dividindo Expressões Racionais
  • Conclusão da Divisão de Expressões Racionais
  • Adicionando e Subtraindo Expressões Racionais, Parte 1
  • Adicionando e Subtraindo Expressões Racionais, Parte 2
  • Conclusão da adição e subtração de expressões racionais
  • Revisão da Unidade
  • Teste de unidade

Continuando a Álgebra I B, Unidade 6: Lógica e Raciocínio

Os profissionais usam o raciocínio lógico de várias maneiras. Assim como os advogados usam o raciocínio lógico para formular argumentos convincentes, os matemáticos usam o raciocínio lógico para formular e provar teoremas. Depois de dominar os usos do raciocínio indutivo e dedutivo, você será capaz de fazer e entender argumentos em muitas áreas.


MULTIPLYING POLYNOMIALS - PowerPoint PPT Presentation

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Resumo

Vimos que subtrair um polinômio significa mudar o sinal de cada termo no polinômio e, em seguida, reorganizar todos os termos para tornar mais fácil combinar aqueles que são semelhantes. Como você organiza esse processo depende de você, mas mostramos duas maneiras aqui. Um método é colocar os termos próximos uns dos outros horizontalmente, colocando termos semelhantes próximos uns dos outros para facilitar a combinação. O outro método era colocar o polinômio sendo subtraído abaixo do outro após alterar os sinais de cada termo. Neste método, é importante alinhar termos semelhantes e usar um espaço em branco quando não houver termos semelhantes.

A multiplicação de binômios e polinômios requer um entendimento da propriedade distributiva, regras para expoentes e um olhar atento para coletar termos semelhantes. Quer os polinômios sejam monômios, binômios ou trinômios, multiplique cuidadosamente cada termo de um polinômio por cada termo do outro polinômio. Tenha cuidado para observar os sinais de adição e subtração e coeficientes negativos. A product is written in simplified form if all of its like terms have been combined.


Assista o vídeo: Multiplicación de polinomios Parte 2 (Outubro 2021).