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1.R: Funções (revisão) - Matemática


1.1: Funções e notação de função

Para os exercícios 1-4, determine se a relação é uma função.

1) ( {(a, b), (c, d), (e, d) } )

Responder

função

2) ({(5,2),(6,1),(6,2),(4,8)})

3) (y ^ 2 + 4 = x ),para (x ) a variável independente e (y ) a variável dependente

Responder

não é uma função

4) O gráfico da Figura abaixo é uma função?

Para os exercícios 5-6, avalie a função nos valores indicados: (f (-3); f (2); f (-a); -f (a); f (a + h) )

5) (f (x) = - 2x ^ 2 + 3x )

Responder

(f (-3) = - 27; f (2) = - 2; f (-a) = - 2a ^ 2-3a; -f (a) = 2a ^ 2-3a; f (a + h) = -2a ^ 2 + 3a-4ah + 3h-2h ^ 2 )

6) (f (x) = 2 | 3x-1 | )

Para os exercícios de 7 a 8, determine se as funções são individuais.

7) (f (x) = - 3 x + 5 )

Responder

um a um

8) (f (x) = | x-3 | )

Para os exercícios 9-11, use o teste da linha vertical para determinar se a relação cujo gráfico é fornecido é uma função.

9)

Responder

função

10)

11)

Responder

função

Para os exercícios 12-13, represente graficamente as funções.

12) (f (x) = | x + 1 | )

13) (f (x) = x ^ {2} -2 )

Responder

Para os exercícios 14-17, use a Figura abaixo para aproximar os valores.

14) (f (2) )

15) (f (-2) )

Responder

(2)

16) Se (f (x) = - 2 ), então resolva para (x )

17) Se (f (x) = 1 ), então resolva para (x )

Responder

(x = -1,8 ) ou (x = 1,8 )

Para os exercícios 18-19, use a função (h (t) = - 16 t ^ {2} + 80t ) para encontrar os valores.

18) ( dfrac {h (2) -h (1)} {2-1} )

19) ( dfrac {h (a) -h (1)} {a-1} )

Responder

( dfrac {-64 + 80 a-16 a ^ {2}} {- 1 + a} = - 16 a + 64 )

1.2: Domínio e intervalo

Para os exercícios 1-4, encontre o domínio de cada função, expressando as respostas usando a notação de intervalo.

1) (f (x) = dfrac {2} {3 x + 2} )

2) (f (x) = frac {x-3} {x ^ {2} -4 x-12} )

Responder

((- infty, -2) cup (-2,6) cup (6, infty) )

3)

4) Represente graficamente esta função por partes: (f (x) = left { begin {array} {ll} {x + 1} & {x <-2} {-2 x-3} & {x geq-2} end {array} right. )

Responder

1.3: Taxas de mudança e comportamento dos gráficos

Para os exercícios 1-3, encontre a taxa média de mudança das funções de (x = 1 ) a (x = 2 )

1) (f (x) = 4 x-3 )

2) (f (x) = 10 x ^ {2} + x )

Responder

(31)

3) (f (x) = - dfrac {2} {x ^ {2}} )

Para os exercícios 4-6, use os gráficos para determinar os intervalos nos quais as funções estão aumentando, diminuindo ou constantes.

4)

Responder

aumentando ((2, infty) ); diminuindo ((- infty, 2) )

5)

6)

Responder

aumentando ((- 3,1) ); constante ((- infty, -3) cup (1, infty) )

7) Encontre o mínimo local da função representada no gráfico no Exercício 4.

8) Encontre os extremos locais para a função representada graficamente no Exercício 5.

Responder

mínimo local ((- 2, -3) ); máximo local ((1,3) )

9) Para o gráfico da Figura do Exercício 10, o domínio da função é ([- 3,3] ). O intervalo é ([- 10,10] ). Encontre o mínimo absoluto da função neste intervalo.

10) Encontre o máximo absoluto da função representada graficamente na Figura abaixo.

Responder

((-1.8,10))

1.4: Composição de Funções

Para os exercícios 1-5, encontre ((f circ g) (x) ) e ((g circ f) (x) ) para cada par de funções.

1) (f (x) = 4-x, g (x) = - 4x )

2) (f (x) = 3 x + 2, g (x) = 5-6x )

Responder

((f circ g) (x) = 17-18 x; (g circ f) (x) = - 7-18x )

3) (f (x) = x ^ {2} +2 x, g (x) = 5 x + 1 )

4) (f (x) = sqrt {x + 2}, g (x) = dfrac {1} {x} )

Responder

((f circ g) (x) = sqrt { dfrac {1} {x} +2}; (g circ f) (x) = dfrac {1} { sqrt {x + 2} } )

5) (f (x) = dfrac {x + 3} {2}, g (x) = sqrt {1-x} )

Para os exercícios 6-9, encontre ((f circ g) ) e o domínio para ((f circ g) (x) ) para cada par de funções.

6) (f (x) = frac {x + 1} {x + 4}, g (x) = frac {1} {x} )

Responder

((f circ g) (x) = dfrac {1 + x} {1 + 4 x}, x neq 0, x neq- dfrac {1} {4} )

7) (f (x) = dfrac {1} {x + 3}, g (x) = dfrac {1} {x-9} )

8) (f (x) = dfrac {1} {x}, g (x) = sqrt {x} )

Responder

((f circ g) (x) = frac {1} { sqrt {x}}, x> 0 )

9) (f (x) = frac {1} {x ^ {2} -1}, g (x) = sqrt {x + 1} )

Para os exercícios 10-11, expresse cada função (H ) como uma composição de duas funções (f ) e (g ) onde (H (x) = (f circ g) (x) )

10) (H (x) = sqrt { frac {2 x-1} {3 x + 4}} )

Responder

amostra: (g (x) = dfrac {2 x-1} {3 x + 4}; f (x) = sqrt {x} )

11) (H (x) = dfrac {1} { left (3 x ^ {2} -4 right) ^ {- 3}} )

1.5: Transformação de funções

Para os exercícios de 1 a 8, esboce um gráfico da função dada.

1) (f (x) = (x-3) ^ {2} )

Responder

2) (f (x) = (x + 4) ^ {3} )

3) (f (x) = sqrt {x} +5 )

Responder

4) (f (x) = - x ^ {3} )

5) (f (x) = sqrt [3] {- x} )

Responder

6) (f (x) = 5 sqrt {-x} -4 )

7) (f (x) = 4 [| x-2 | -6] )

Responder

8) (f (x) = - (x + 2) ^ {2} -1 )

Para os exercícios 9 a 10, esboce o gráfico da função (g ) se o gráfico da função (f ) for mostrado na Figura abaixo.

9) (g (x) = f (x-1) )

Responder

10) (g (x) = 3 f (x) )

Para os exercícios 11-12, escreva a equação para a função padrão representada por cada um dos gráficos abaixo.

11)

Responder

(f (x) = | x-3 | )

12)

Para os exercícios 13-15, determine se cada função abaixo é par, ímpar ou nenhuma.

13) (f (x) = 3 x ^ {4} )

Responder

até

14) (g (x) = sqrt {x} )

15) (h (x) = frac {1} {x} +3 x )

Responder

chance

Para os exercícios 16-18, analise o gráfico e determine se a função representada no gráfico é par, ímpar ou nenhuma.

16)

17)

Responder

até

18)

1.6: Funções de valor absoluto

Para os exercícios 1-3, escreva uma equação para a transformação de (f (x) = | x | ).

1)

Responder

(f (x) = dfrac {1} {2} | x + 2 | +1 )

2)

3)

Responder

(f (x) = - 3 | x-3 | +3 )

Para os exercícios 4-6, represente graficamente a função de valor absoluto.

4) (f (x) = | x-5 | )

5) (f (x) = - | x-3 | )

Responder

6) (f (x) = | 2 x-4 | )

Para os exercícios de 7 a 8, resolva a equação do valor absoluto.

7) (| x + 4 | = 18 )

Responder

(x = -22, x = 14 )

8) ( left | dfrac {1} {3} x + 5 right | = left | dfrac {3} {4} x-2 right | )

Para os exercícios de 9 a 10, resolva a desigualdade e expresse a solução usando a notação de intervalo.

9) (| 3 x-2 | <7 )

Responder

( left (- dfrac {5} {3}, 3 right) )

10) ( left | dfrac {1} {3} x-2 right | leq 7 )

1.7: Funções Inversas

Para os exercícios 1-2, encontre (f ^ {- 1} (x) ) para cada função.

1) (f (x) = 9 + 10 x )

2) (f (x) = dfrac {x} {x + 2} )

Responder

(f ^ {- 1} (x) = dfrac {-2 x} {x-1} )

3) Para o exercício seguinte, encontre um domínio no qual a função (f ) seja um para um e não decrescente. Escreva o domínio em notação de intervalo. Em seguida, encontre o inverso de (f ) restrito a esse domínio. [f (x) = x ^ {2} +1 ]

4) Dado (f (x) = x ^ {3} -5 ) e (g (x) = sqrt [3] {x + 5} ):

  1. Encontre (f (g (x)) ) e (g (f (x)) ).
  2. O que a resposta nos diz sobre a relação entre (f (x) ) e (g (x)? )
Responder
  1. (f (g (x)) = x ) e (g (f (x)) = x )
  2. Isso nos diz que (f ) e (g ) são funções inversas

Para os exercícios de 5 a 8, use um recurso gráfico para determinar se cada função é individual.

5) (f (x) = dfrac {1} {x} )

Responder

A função é individual.

6) (f (x) = - 3 x ^ {2} + x )

Responder

A função não é individual.

7) Se (f (5) = 2, ) encontre (f ^ {- 1} (2) )

Responder

(5)

8) Se (f (1) = 4, ) encontre (f ^ {- 1} (4) )

Teste prático

Para os exercícios 1-2, determine se cada uma das relações a seguir é uma função.

1) (y = 2 x + 8 )

Responder

A relação é uma função.

2) ({(2,1),(3,2),(-1,1),(0,-2)})

Para os exercícios 3-4, avalie a função (f (x) = - 3 x ^ {2} +2 x ) na entrada fornecida.

3) (f (-2) )

Responder

(-16)

4) (f (a) )

5) Mostre que a função (f (x) = - 2 (x-1) ^ {2} +3 ) não é injetora.

Responder

O gráfico é uma parábola e falha no teste da linha horizontal.

6) Escreva o domínio da função (f (x) = sqrt {3-x} ) na notação de intervalo.

7) Dado (f (x) = 2 x ^ {2} -5 x, ) encontre (f (a + 1) -f (1) )

Responder

(2 a ^ {2} -a )

8) Represente graficamente a função (f (x) = left { begin {array} {ccc} {x + 1} & { text {if}} & {-2

9) Encontre a taxa média de mudança da função (f (x) = 3-2 x ^ {2} + x ) encontrando ( dfrac {f (b) -f (a)} {ba} )

Responder

(- 2 (a + b) +1 )

Para os exercícios 10-11, use as funções (f (x) = 3-2 x ^ {2} + x ) e (g (x) = sqrt {x} ) para encontrar as funções compostas.

10) ((g circ f) (x) )

11) ((g circ f) (1) )

Responder

( sqrt {2} )

12) Expresse (H (x) = sqrt [3] {5 x ^ {2} -3 x} ) uma composição de duas funções, (f ) e (g, ) onde (( f circ g) (x) = H (x) )

Para os exercícios 13-14, represente graficamente as funções traduzindo, alongando e / ou comprimindo uma função do kit de ferramentas.

13) (f (x) = sqrt {x + 6} -1 )

Responder

14) (f (x) = dfrac {1} {x + 2} -1 )

Para os exercícios 15-17, determine se as funções são pares, ímpares ou nenhuma.

15) (f (x) = - dfrac {5} {x ^ {2}} + 9 x ^ {6} )

Responder

até

16) (f (x) = - dfrac {5} {x ^ {3}} + 9 x ^ {5} )

17) (f (x) = dfrac {1} {x} )

Responder

chance

18) Represente graficamente a função de valor absoluto (f (x) = - 2 | x-1 | +3 ).

19) Resolva (| 2 x-3 | = 17 ).

Responder

(x = -7 ) e (x = 10 )

20) Resolva (- left | dfrac {1} {3} x-3 right | geq 17 ). Expresse a solução em notação de intervalo.

Para os exercícios 21-22, encontre o inverso da função.

21) (f (x) = 3 x-5 )

Responder

(f ^ {- 1} (x) = dfrac {x + 5} {3} )

22) (f (x) = dfrac {4} {x + 7} )

Para os exercícios 23-26, use o gráfico de (g ) mostrado na Figura abaixo.

23) Em que intervalos a função está aumentando?

Responder

((- infty, -1.1) ) e ((1.1, infty) )

24) Em que intervalos a função está diminuindo?

25) Aproxime o mínimo local da função. Expresse a resposta como um par ordenado.

Responder

((1.1,-0.9))

26) Aproxime o máximo local da função. Expresse a resposta como um par ordenado.

Para os exercícios 27-29, use o gráfico da função por partes mostrada na Figura abaixo.

27) Encontre (f (2) ).

Responder

(f (2) = 2 )

28) Encontre (f (-2) ).

29) Escreva uma equação para a função por partes.

Responder

(f (x) = left { begin {array} {cl} {| x |} & { text {if} x leq 2} {3} & { text {if} x> 2} end {array} right. )

Para os exercícios 30-35, use os valores listados na Tabela abaixo.

(F (x) )
01
13
25
37
49
511
613
715
817

30) Encontre (F (6) ).

31) Resolva a equação (F (x) = 5 )

Responder

(x = 2 )

32) O gráfico está aumentando ou diminuindo em seu domínio?

33) A função é representada pelo gráfico um a um?

Responder

sim

34) Encontre (F ^ {- 1} (15) ).

35) Dado (f (x) = - 2 x + 11, ) encontre (f ^ {- 1} (x) ).

Responder

(f ^ {- 1} (x) = - dfrac {x-11} {2} )


Análise do Trig de Álgebra

Esta revisão foi escrita originalmente para minha aula de Cálculo I, mas deve ser acessível a qualquer pessoa que precise de uma revisão em alguns tópicos básicos de álgebra e trigonometria. A revisão contém comentários ocasionais sobre como um tópico será / pode ser usado em uma aula de cálculo. Se você não estiver em uma aula de cálculo, pode ignorar esses comentários. Eu não cobri todos os tópicos que você veria em uma aula típica de álgebra ou trigonometria, eu cobri principalmente aqueles que considero mais úteis para um aluno em uma aula de cálculo, embora eu tenha incluído alguns que não são realmente necessário para uma aula de cálculo. Esses tópicos extras foram incluídos simplesmente porque eles aparecem de vez em quando e eu queria incluí-los. Há também, com toda a probabilidade, alguns tópicos de Álgebra / Trig que surgem ocasionalmente em uma aula de Cálculo que eu não incluí.

Como esta revisão foi escrita originalmente para meus alunos de cálculo usarem como um teste de álgebra e / ou habilidades de trigonometria, ela geralmente está na forma de um conjunto de problemas. A solução para o primeiro problema em um conjunto contém informações detalhadas sobre como resolver esse tipo específico de problema. As soluções restantes também são bastante detalhadas e podem conter informações adicionais necessárias que não foram fornecidas no primeiro problema, mas provavelmente não conterão instruções explícitas ou razões para realizar uma determinada etapa no processo de solução. Minha intenção, ao escrever as soluções, era torná-las detalhadas o suficiente para que alguém que precisasse aprender um determinado tópico fosse capaz de identificar o tópico a partir das soluções para os problemas. Espero ter conseguido isso.

Então, por que me incomodei em escrever isso?

A habilidade de fazer álgebra básica é absolutamente vital para passar com sucesso nas aulas de cálculo. Conforme você avança em uma aula de cálculo, você verá que quase todos os problemas de cálculo envolvem uma boa quantidade de álgebra. Na verdade, em muitos problemas de cálculo, 90% ou mais do problema é álgebra.

Então, embora você possa entender os conceitos básicos de cálculo, se você não consegue fazer a álgebra, não será capaz de resolver os problemas. Se você não puder resolver esses problemas, achará muito difícil ser aprovado no curso.

Da mesma forma, você descobrirá que muitos tópicos em uma aula de cálculo exigem que você seja capaz de trigonometria básica. Em alguns problemas, você será solicitado a trabalhar com funções trigonométricas, avaliar funções trigonométricas e resolver equações trigonométricas. Sem a habilidade de fazer trigonometria básica, você terá dificuldade em resolver esses problemas.

Boas habilidades de álgebra e trigonometria também serão necessárias no Cálculo II ou Cálculo III. Então, se você não tem boas habilidades de álgebra ou trigonometria, achará muito difícil concluir esta sequência de cursos.

A maior parte do conjunto de problemas a seguir ilustra os tipos de álgebra e habilidades de trigonometria de que você precisará para concluir com êxito qualquer curso de cálculo aqui na Lamar University. A álgebra e trigonometria nesses problemas se enquadram em três categorias:

  • Mais fácil do que o típico problema de cálculo,
  • semelhante a um problema de cálculo típico, e
  • mais difícil do que um problema de cálculo típico.

A categoria em que cada problema se enquadra dependerá do instrutor que você tem. No meu curso de cálculo, você descobrirá que a maioria desses problemas se enquadra nas duas primeiras categorias.

Dependendo do seu instrutor, as últimas seções (Funções de gatilho inverso por meio da solução de equações logarítmicas) podem ser abordadas em um grau ou outro em sua aula. No entanto, mesmo que o seu instrutor cubra este material, você achará útil examinar essas seções. Em meu curso, passo os primeiros dias cobrindo o básico das funções exponenciais e logarítmicas, já que tendo a usá-las regularmente.

Este conjunto de problemas não foi projetado para desencorajá-lo, mas, em vez disso, para garantir que você tenha o conhecimento necessário para ser aprovado neste curso. Se você tiver problemas com o material desta planilha (especialmente as seções Exponentes - Resolvendo Equações de Trig), você descobrirá que também terá muitos problemas para passar em um curso de cálculo.

Esteja ciente de que este conjunto de problemas NÃO foi projetado para substituir um curso de álgebra ou trigonometria. Como já mencionei, não abordo todos os tópicos que normalmente são abordados em um curso de álgebra ou trigonometria. A maioria dos tópicos abordados aqui são aqueles que considero importantes que você DEVE ter para concluir com êxito um curso de cálculo (em particular meu curso de cálculo). Você pode descobrir que existem outras habilidades de álgebra ou trigonometria que também são necessárias para ter sucesso neste curso e que não são abordadas nesta revisão. Você também pode descobrir que seu instrutor não exigirá todas as habilidades listadas aqui nesta análise.

Aqui está uma breve lista e explicação rápida de cada tópico coberto nesta revisão.


Resumo do curso de matemática 1100

Datas importantes (outono de 2016): Não há aulas em 22 de agosto (Convocação) até depois das 17h, 3 de setembro (Sem aulas de sábado), 5 de setembro (Dia do Trabalho). 10 e 11 de outubro (recesso de outono), 23 a 26 de novembro (feriado de Ação de Graças). A última data para desistir sem W é 29 de agosto, a última data para desistir do curso com W e reter outras aulas é 25 de outubro. O último dia de aulas é 7 de dezembro

Exame Final Comum: Sexta-feira, 9 de dezembro, das 8h às 11h. O Exame Final Departamental é cumulativo e vale pelo menos 30% da nota do seu curso. A falta dele resulta muito provavelmente em uma nota do curso de F.

Semana 1 1.3 Propriedades da notação científica dos expoentes

Semana 2 1.4 Propriedades dos expoentes de números racionais dos radicais 1.5 Polinômios e fatoração 2.1 Equações lineares Uma variável

Semana 3 2.2 Desigualdades lineares em uma variável 2.3 Equações quadráticas

Semana 4 2.5 Expressões e Equações Racionais 2.6 Equações Radicais

Semana 5 Revisão e Teste 1, Teste 1

Semana 6 3.1 Sistema de Coordenadas Cartesianas 3.2 Equações Lineares em Duas Variáveis ​​3.3 Formas de Equações Lineares

Semana 7 3.4 Linhas Paralelas e Perpendiculares 3.6 Introdução aos Círculos

Semana 8 4.1 Relações e funções 4.2 Funções lineares e quadráticas Aplicações máximas / mínimas de funções quadráticas

Semana 9 4.3 Outras Funções Comuns Variação Direta e Inversa 4.4 Transformações de Funções

Semana 10 4.5 Combinando Funções 4.6 Inversos de Funções

Semana 11 4.6 Revisar o Teste 2, Teste 2

Semana 12 5.1 Equações e gráficos polinomiais 5.2 Divisão polinomial e algoritmo de divisão 5.3 Localização de zeros reais de polinômios

Semana 13 6.1 Funções Racionais e Desigualdades 7.1 Funções Exponenciais e Gráficos 7.2 Aplicações de Funções Exponenciais

Semana 14 7.3 Funções e gráficos logarítmicos 7.4 Propriedades e aplicações dos logaritmos

Semana 15 7.5 Equações Exponenciais e Logarítmicas 8.1 Resolvendo Sistemas de Equações por Eliminação, Teste de Revisão 3

Semana 16 Teste 3 e revisão para o exame final

Para a primavera de 2016 e antes:

Lista rápida das seções cobertas: Capítulo R: 3-6 cap. 1: 1-3,5-6 Ch. 2: 1-5 Ch. 3: 1, 3-5 Ch. 4: 1-6 Ch. 5: 1-6 Ch. 6: 1.

Semana 1 R.3 expoentes, notação científica e uma revisão de polinômios R.4 radicais e expoentes racionais R.5 fatoração de polinômios.

Semana 2 R.6 Expressões racionais 1.1 Equações lineares, fórmulas e solução de problemas 1.2 Desigualdades lineares em uma variável.

Semana 3 1.3 Equações de valor absoluto e desigualdades (pule 1.4) 1.5 Resolvendo equações quadráticas.

Semana 4 1.6 Resolvendo outros tipos de equações 2.1 Coordenadas retangulares (continuação após o teste 1) Revisão para o teste 1.

Semana 5 Teste 1 Concluir a seção 2.1 (Representando Gráficos de Círculos e Relações) 2.2 Gráficos Lineares e Taxas de Mudança.

Semana 6 2.3 Gráficos e formas especiais de equações lineares 2.4 Funções, notação de função e o gráfico de uma função 2.5 Análise do gráfico de uma função. (Pule 2.6).

Semana 7 3.1 Funções e transformações da caixa de ferramentas 3.3 Variação: as funções da caixa de ferramentas em ação 3.4 Funções definidas por partes.

Semana 9 Teste 2 3.5 A Álgebra e Composição de Funções 5.1 Funções Um-para-Um e Inversas.

Semana 10 4.1 Funções quadráticas e aplicações 4.2 Divisão sintética Os teoremas do restante e do fator 4.3 Os zeros das funções polinomiais.

Semana 11 4.4 Representação gráfica de funções polinomiais 4.5 Representação gráfica de funções racionais.

Semana 12 4.6 Revisão de Desigualdades Polinomiais e Racionais para o Teste 3.

Semana 13 Teste 3 5.2 Funções exponenciais.

Semana 14 5.3 Logaritmos e funções logarítmicas 5.4 Propriedades dos logaritmos 5.5 Resolvendo equações exponenciais e logarítmicas.

Semana 15 5.6 Aplicativos de Negócios, Finanças e Ciências.

Semana 16 6.1 Sistemas lineares em duas variáveis ​​com análise de aplicativos para o final.


1.R: Funções (revisão) - Matemática

Tecnicamente, um aluno que entra em uma aula de cálculo deve saber tanto álgebra quanto trigonometria. Infelizmente, a realidade costuma ser muito diferente. A maioria dos alunos entra em uma aula de cálculo lamentavelmente despreparados tanto para álgebra quanto para trigonometria de uma aula de cálculo. Isso é muito lamentável, pois boas habilidades de álgebra são absolutamente vitais para concluir com sucesso qualquer curso de cálculo e se o seu curso de cálculo inclui trigonometria (como este inclui), boas habilidades de trigonometria também são importantes em muitas seções.

A intenção deste capítulo é fazer uma revisão superficial de algumas habilidades de álgebra e trigonometria que são vitais para um curso de cálculo. Este capítulo não inclui todas as habilidades de álgebra e trigonometria necessárias para ter sucesso em um curso de cálculo. Inclui apenas os tópicos em que a maioria dos alunos é particularmente deficiente. Por exemplo, fatorar também é vital para completar uma aula de cálculo padrão, mas não está incluído aqui, pois se presume que se você está fazendo um curso de cálculo, você sabe como fatorar . Para uma revisão mais aprofundada, você deve verificar o conjunto completo de notas de álgebra em http://tutorial.math.lamar.edu.

Observe que, embora esses tópicos sejam muito importantes para uma aula de Cálculo, raramente abordo todos eles na própria aula. Simplesmente não temos tempo para fazer isso. Cubro certas partes deste capítulo em aula, mas na maioria das vezes deixo que os alunos leiam este capítulo por conta própria.

Aqui está uma lista de tópicos que estão neste capítulo.

Funções - Nesta seção, cobriremos a notação / avaliação de função, determinando o domínio e o intervalo de uma função e sua composição.

Funções inversas - nesta seção, definiremos uma função inversa e a notação usada para funções inversas. Também discutiremos o processo para encontrar uma função inversa.

Funções trigonométricas - nesta seção, faremos uma revisão rápida das funções trigonométricas. Cobriremos a notação básica, a relação entre as funções trigonométricas, a definição do triângulo retângulo das funções trigonométricas. Também cobriremos a avaliação de funções trigonométricas, bem como o círculo unitário (uma das idéias mais importantes de uma classe trigonométrica!) E como ele pode ser usado para avaliar funções trigonométricas.

Resolvendo equações trigonométricas - Nesta seção, discutiremos como resolver equações trigonométricas. As respostas às equações nesta seção serão todas um dos ângulos "padrão" que a maioria dos alunos memorizou após uma aula de trigonometria. No entanto, o processo usado aqui pode ser usado para qualquer resposta, independentemente de ser um dos ângulos padrão ou não.

Resolvendo equações trigonométricas com calculadoras, Parte I - Nesta seção, discutiremos a resolução de equações trigonométricas quando a resposta (geralmente) exigirá o uso de uma calculadora (ou seja, eles não são um dos ângulos padrão). No entanto, observe que o processo usado aqui é idêntico ao usado quando a resposta é um dos ângulos padrão. A única diferença é que as respostas aqui podem ser um pouco confusas devido à necessidade de uma calculadora. Inclui uma breve discussão das funções trigonométricas inversas.

Resolvendo equações trigonométricas com calculadoras, Parte II - Nesta seção, continuaremos nossa discussão sobre como resolver equações trigonométricas quando uma calculadora é necessária para obter a resposta. As equações nesta seção tendem a ser um pouco mais complicadas do que a equação trigonométrica "normal" e nem sempre são abordadas em uma classe trigonométrica.

Funções exponenciais - nesta seção, discutiremos as funções exponenciais. Cobriremos a definição básica de uma função exponencial, a função exponencial natural, ou seja, (< bf e> ^), bem como as propriedades e gráficos de funções exponenciais

Funções de logaritmo - Nesta seção, discutiremos funções de logaritmo, avaliação de logaritmos e suas propriedades. Discutiremos muitas das manipulações básicas de logaritmos que comumente ocorrem nas classes de cálculo (e superiores). Inclui uma discussão do logaritmo natural ( ( ln (x) )) e comum ( ( log (x) )), bem como a mudança da fórmula de base.

Equações exponenciais e logarítmicas - Nesta seção, discutiremos vários métodos para resolver equações que envolvem funções exponenciais ou funções logarítmicas.

Gráficos comuns - nesta seção, faremos uma revisão rápida de muitas das funções mais comuns e seus gráficos que normalmente aparecem em uma aula de cálculo.


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PROFESSOR: No momento, estamos finalizando a primeira unidade, e gostaria de continuar nesta palestra, palestra sete, com algumas considerações finais sobre os expoentes. Então, o que eu gostaria de fazer é apenas revisar algo que fiz rapidamente da última vez e fazer algumas observações filosóficas sobre isso. Acho que as etapas envolvidas foram um pouco complicadas e, por isso, gostaria de repassá-las mais uma vez. Lembre-se de que estávamos falando sobre este número a_k, que é (1 + 1 / k) ^ k. E o que mostramos foi que o limite quando k vai para o infinito de a_k era e.

Portanto, a primeira coisa que gostaria de fazer é explicar a prova um pouco mais claramente do que da última vez com menos símbolos, ou pelo menos com esta abreviatura do símbolo aqui, para mostrar a vocês o que realmente fizemos. Portanto, vou apenas lembrá-lo do que fizemos da última vez, e a primeira observação foi verificar, ao invés do limite desta função, mas primeiro pegar o log. E isso é normalmente o que é feito quando você tem um exponencial, quando você tem um expoente. E o que descobrimos foi que o limite aqui era 1 conforme k vai para o infinito.

Então, da última vez, foi isso que fizemos. E eu só queria ter cuidado e mostrar exatamente qual é o próximo passo. Se você exponenciar esse fato, você leva e a esta potência, isso tende a e ^ 1, que é apenas e. E então, nós apenas observamos que isso é o mesmo que a_k. Portanto, o ingrediente básico aqui é que e ^ ln a = a. Isso ocorre porque a função log é o inverso da função exponencial. Sim, pergunta?

PROFESSOR: Então a questão era, o log disso não seria 0 porque a_k tende para 1. Mas a_k não tende para 1. Quem disse que era? Se você pegar o logaritmo, que é o que fizemos da última vez, o logaritmo de a_k é de fato k * ln (1 + 1 / k). Isso não tende para 0. Esta parte tende para 0 e esta parte tende para o infinito. E eles se equilibram, 0 vezes o infinito. Nós realmente não sabemos ainda com essa expressão, na verdade nós fizemos alguma inteligência com limites e derivados, para descobrir esse limite. Foi uma coisa muito sutil. Acabou por ser 1. Tudo bem?

Agora, o que eu gostaria de dizer - desculpe, vou apagar isso aqui - mas você precisa voltar às suas anotações e lembrar que isso foi o que fizemos da última vez. Porque quero ter espaço para o próximo comentário que quero fazer neste pequeno quadro aqui. O que acabamos de derivar foi essa propriedade aqui, mas fiz uma afirmação ontem e só quero enfatizá-la novamente para que possamos perceber o que estamos fazendo. Eu olhei para trás. Uma maneira de você pensar nisso é que estamos avaliando esse limite e obtendo uma resposta. Mas todas as igualdades podem ser lidas em ambas as direções. E podemos escrever de outra forma: e é igual ao limite, conforme k vai ao infinito, desta expressão aqui.

Então é exatamente a mesma coisa. E se lermos ao contrário, o que estamos dizendo é que esse limite é uma fórmula para e. Portanto, isso é muito típico da matemática. Você deseja sempre inverter sua perspectiva o tempo todo. As equações funcionam nos dois sentidos e, neste caso, temos duas coisas diferentes aqui. Este e foi o que definimos como a base, que quando você representa graficamente e ^ x, obtém a inclinação 1 em 0. E então acaba sendo igual a este limite, que podemos calcular numericamente.

Se você fizer isso em suas calculadoras, é claro que terá uma maneira de programar esse número e avaliá-lo para cada k. E você terá outro botão disponível para avaliar este. Portanto, outra maneira de dizer é que existe uma relação entre essas duas coisas. E todo cálculo é uma questão de obter essas relações. Portanto, podemos olhar para essas coisas de várias maneiras diferentes. E, de fato, é isso que faremos pelo menos no final de hoje ao falar sobre derivativos. Muitas vezes, quando falamos sobre derivados, estamos tentando olhar para eles de várias perspectivas ao mesmo tempo.

Ok, então eu tenho que continuar com os expoentes, porque eu tenho uma ponta solta. Uma ponta solta que ainda não cobri. Resta uma fórmula muito importante, e é a derivada dos poderes. Na verdade, não fizemos isso - bem, fizemos para números racionais r. Portanto, esta é a fórmula aqui. Mas agora vamos verificar isso para todos os números reais, r. Incluindo também todos os irracionais. Essa também é uma boa prática para usar a base e e usar a diferenciação logarítmica.

Então, deixe-me fazer isso por meio de nossos dois métodos que podemos usar para lidar com problemas do tipo exponencial. Portanto, o método um era a base e. Então, se eu apenas reescrever essa base e novamente, isso é apenas esta fórmula aqui. x ^ r = (e ^ ln x) ^ r, que é e ^ r ln x.

Ok, agora posso diferenciar isso. Então eu entendi esse d / dx (x ^ r), agora vou usar a notação primo, porque não quero continuar escrevendo esse d / dx aqui (e ^ (r ln x)) '. E agora, o que posso fazer é usar a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que é a derivada disso vezes a derivada da função. Portanto, a derivada do exponencial é apenas ela mesma. E a derivada desse cara aqui, bem, vou escrever uma vez, é (r ln x) '. Então, a que isso é igual? Bem, e ^ (r ln x) é apenas x ^ r. E esta derivada aqui é-- Bem, a derivada de r é 0. Esta é uma constante. É apenas um fator. E ln x agora tem derivada - Qual é a derivada de ln x? 1 / x, então isso vai ser vezes r / x.

E agora, nós o reescrevemos na forma usual, que é r, colocamos r na frente, x ^ (r-1). OK? Então, acabei de derivar a fórmula para você. E não importava se r era racional ou irracional, é a mesma prova.

Ok, então agora eu tenho que mostrar como o método dois funciona também. Então, vamos fazer o método dois, que chamamos de diferenciação logarítmica. E aqui vou usar um símbolo, digamos u, para x ^ r, e vou pegar seu logaritmo. Isso é r ln x. E agora eu o diferencio. Vou deixar isso no meio, porque quero lembrar a propriedade-chave da diferenciação logarítmica. Mas primeiro vou diferenciar isso. Mais tarde, o que vou usar é que é o mesmo que u '/ u. Esta é uma forma de avaliar uma derivada logarítmica. E a outra é diferenciar a função explícita que temos aqui. E isso é apenas, como dissemos, r / x. Agora, eu multiplico e obtenho u '= ur / x que é apenas x ^ r r / x, que é exatamente o que fizemos antes. É r x ^ (r-1). Novamente, você pode ver agora, comparando essas duas peças da aritmética, que elas são basicamente as mesmas. Praticamente toda vez que você converte para a base e ou faz uma diferenciação logarítmica, resultará na mesma coisa, desde que você não se confunda. Geralmente, você deve introduzir um novo símbolo aqui. Por outro lado, você está lidando com expoentes lá. Vale a pena conhecer os dois pontos de vista.

Tudo bem, então agora eu quero fazer uma última observação antes de terminarmos com os expoentes. E, vou tentar vender isso para você de várias maneiras à medida que o curso avança, mas uma coisa que quero tentar enfatizar é que o logaritmo natural realmente é natural. Então, eu afirmo que o log natural é natural. E o exemplo que usaremos para esta ilustração é a economia. OK?

Então, deixe-me explicar por que o log natural é aquele que é natural para a economia. Se você está imaginando que o preço de uma ação que você possui cai um dólar, essa é uma afirmação totalmente sem sentido. Isso depende de muitas coisas. Em particular, depende se o preço original era um dólar ou 100 dólares. Portanto, não há muito significado para esses números absolutos. São sempre as proporções que importam. Então, por exemplo, eu acabei de pesquisar uma hora atrás, a Bolsa de Valores de Londres fechou e caiu 27,9, o que, como eu disse, não faz sentido, a menos que você saiba qual é o total real desse índice. Acontece que era 6.432. Então a variação do preço, dividido pelo preço, que nesse caso é 27,9 / 6.432, é o que importa. E, neste caso, é 0,43%. Tudo bem? Foi o que aconteceu hoje. E da mesma forma, se você pegar o infinitesimal disso, as pessoas pensam nos dias como incrementos relativamente pequenos quando você está investindo em uma ação, você estaria interessado no sentido infinitesimal, estaria interessado em p '/ p. A derivada de p dividida por p. Isso é apenas (ln p) '. Portanto, esta é - deixe-me colocar uma pequena caixa ao redor - a fórmula da diferenciação logarítmica. Mas deixe-me enfatizar que tem um significado real e é usado por economistas e pessoas que modelam os preços das coisas o tempo todo. Eles nunca usam preços absolutos quando há grandes oscilações. Eles sempre usam o log do preço. E não adianta usar o log de base 10 ou o log de base 2. Isso lhe dá lixo. Eles fornecem um fator extra de log 2. É o log natural que é o mais óbvio de usar. É completamente direto que esta é uma expressão mais simples do que usar log de base 10 e ter um fator de log natural de 10 ali, o que iria bagunçar tudo.

Tudo bem, então esta é apenas uma ilustração. Qualquer coisa que tenha a ver com proporções encontrará logaritmos. Tudo bem, então é basicamente isso. Isso é tudo que quero dizer agora. Há muito mais a dizer, mas o diremos quando fizermos aplicações de derivados na segunda unidade. Agora, o que eu gostaria de fazer é começar uma revisão. Vou apenas repassar o que fizemos nesta unidade. Direi aproximadamente o que espero de você no teste que está chegando amanhã. E, bem, então vamos começar com isso.

Portanto, esta é uma revisão da Unidade Um. E vou apenas colocar no quadro todas as coisas que você precisa pensar, de qualquer maneira, mantenha em sua cabeça. E existem as chamadas fórmulas gerais para derivados. E depois há os específicos. E deixe-me apenas lembrá-lo quais são as fórmulas gerais.Há o que você faz para diferenciar uma soma, um múltiplo de uma função, a regra do produto, a regra do quociente. Essas são várias fórmulas gerais. E há mais uma, que é a regra da cadeia, sobre a qual vou falar um pouco mais. Portanto, a derivada de uma função de uma função é a derivada da função vezes a derivada da outra função. Portanto, aqui, abreviei u é u (x). Certo, então esta é uma das duas maneiras de escrever. A outra maneira também é aquela que você pode manter em mente e que poderá ser mais fácil de lembrar. Provavelmente, é uma boa ideia lembrar as duas fórmulas.

E então o último tipo de fórmula geral que fizemos foi a diferenciação implícita. OK? Então, quando você faz diferenciação implícita, você tem uma equação e não tenta resolver para a função desconhecida. Basta colocá-lo em sua forma mais simples e diferenciar. Então, nós realmente fizemos isso, em particular, para inversos. Esse foi um método muito importante para calcular as inversas das funções. E também é verdade que a diferenciação logarítmica é desse tipo. Esta é uma transformação. Estamos diferenciando outra coisa. Estamos transformando a equação tomando seu logaritmo e, em seguida, diferenciando. Ok, então há várias maneiras diferentes de aplicar isso. Também pode ser aplicado, de qualquer forma, são dois deles. Então, talvez entre parênteses. Esses são apenas exemplos.

Tudo bem. Tentarei dar exemplos de pelo menos algumas dessas regras mais tarde. Agora, as funções específicas que você sabe diferenciar: bem, você sabe como diferenciar agora x ^ r graças ao que acabei de fazer. Temos as funções seno e cosseno, pelas quais você é responsável por saber quais são suas derivadas. E então outras funções trigonométricas como tan e secante. Geralmente não nos preocupamos com cossecantes e cotangentes, porque tudo pode ser expresso em termos destes de qualquer maneira. Na verdade, você pode realmente expressar tudo em termos de senos e cossenos. Mas o que você descobrirá é que é muito mais conveniente lembrar também os derivados deles. Portanto, memorize tudo isso.

Tudo bem, e então tivemos e ^ xe ln x. E tivemos as inversas das funções trigonométricas. Estes foram os dois que fizemos: o arco tangente e o arco seno. Então, esses são os únicos pelos quais você é responsável. Você deve ter tempo suficiente, de qualquer maneira, para resolver qualquer outra coisa, se você souber disso. Tudo bem, então basicamente a ideia é que você tenha um monte de fórmulas especiais. Você tem um monte de fórmulas gerais. Você os junta e pode gerar praticamente qualquer coisa.

Ok, então vamos fazer alguns exemplos antes de continuar com a revisão. Ok, então eu quero fazer alguns exemplos em uma espécie de nível crescente de dificuldade em como você combinaria essas coisas. Portanto, em primeiro lugar, você deve se lembrar que se diferenciar a função secante, isso é apenas - ah, acabei de perceber que queria dizer outra coisa antes - então esqueça isso. Faremos isso em um segundo. Eu queria fazer algumas observações gerais.

Portanto, há uma regra que você discutiu na minha ausência, que é a regra da cadeia. E eu quero fazer apenas algumas observações sobre a regra da cadeia agora para lembrá-lo do que é, e também para apresentar algumas consequências. Então, um pouco mais na regra da cadeia.

A primeira coisa que quero dizer é que não explicamos totalmente por que isso é verdade. E eu quero apenas explicar por exemplo, ok? Portanto, imagine que você tem uma função que é, digamos, 10x + b. Tudo bem? Portanto, y = 10x + b. Então, obviamente, y está mudando 10 vezes mais rápido que b, certo? A questão é este número aqui, dy / dx, é 10. E agora, se x é uma função de algo, digamos t, deslocada por alguma outra constante aqui, então dx / dt = 5.

Agora, tudo o que a regra da cadeia está dizendo é que se y está indo 10 vezes mais rápido que t, sinto muito como x, e x está indo 5 vezes mais rápido que t, então y está indo 50 vezes mais rápido que t. E algebricamente, tudo isso significa que se eu conectar e substituir, que é o que a composição das duas funções equivale, 10 (5t + a) + be multiplicar, eu obtenho 50t + 10a + b. Agora, esses termos não importam. Os termos constantes não importam. A taxa é 50. E então a consequência, se os colocarmos juntos, é que dy / dt = 10 * 5, que é 50. Tudo bem, então é em poucas palavras por que a regra da cadeia funciona. E por que essas taxas se multiplicam.

A segunda coisa que gostaria de dizer sobre a regra da cadeia é que ela tem algumas consequências que tornam algumas das outras regras um pouco mais fáceis de lembrar ou possivelmente de evitar. A regra mais complicada, na minha humilde opinião, é a regra do quociente, que é uma espécie de incômodo de lembrar. Então, deixe-me lembrá-lo, se você pegar apenas a recíproca de uma função e diferenciá-la, há uma outra maneira de ver isso. E é realmente a maneira que eu uso, então quero encorajá-lo a pensar sobre isso também. Este é o mesmo que (v ^ (- 1)) '. . E agora, em vez de usar a regra do quociente, que poderíamos ter usado, podemos usar a regra da cadeia aqui com a potência -1, que funciona pela lei da potência. Então, a que isso é igual? Isso é igual a -v ^ (- 2) v '.

Portanto, aqui, apliquei a regra da cadeia em vez da regra do quociente. E da mesma forma, suponha que eu queira derivar a regra do quociente completo. Bem, agora isso pode ou não ser mais fácil. Mas esta é uma maneira de lembrar o que está acontecendo. Se você converter para uv ^ (- 1) e diferenciar isso, agora posso usar a regra do produto nisso. Claro, eu tenho que usar a regra da cadeia e esta regra também. Então, o que eu ganho? Eu entendo u ', o inverso, mais u, e então tenho que diferenciar o inverso de v. Essa é a fórmula bem aqui. Isso é -v ^ (- 2) v '. Então essa é uma maneira de fazer isso. Na verdade, isso explica o engraçado sinal de menos quando você diferencia v na fórmula. A outra fórmula, a outra maneira que fizemos, foi colocando isso em um denominador comum. O denominador comum era v ^ 2. Isso vem deste v v ^ (- 2). E então o segundo termo é -uv '. E o primeiro termo, temos que multiplicar por um fator extra de v, porque temos a v ^ 2 no denominador. Então é u'v. Tudo bem, então esta é a regra de quociente como escrevemos na aula, e esta é apenas outra maneira de lembrar ou derivar sem lembrar, se você apenas se lembrar da regra da cadeia e da regra do produto. Ok, então você descobrirá que, em muitos contextos, é mais fácil fazer um ou outro.

Ok, agora estou pronto para diferenciar a secante e algumas dessas funções. Então, vamos fazer alguns exemplos aqui. Então aqui está a função secante, e eu quero usar essa fórmula lá para o recíproco. É assim que penso. Esta é a função cosseno à potência -1. E então, a fórmula aqui é exatamente o quê? É apenas - (cos x) ^ (- 2) vezes -sin x. Agora, isso geralmente é escrito de uma maneira diferente, é por isso que estou fazendo isso por um motivo, na verdade. Embora existam várias fórmulas para as coisas, com funções trigonométricas, geralmente existem cinco maneiras de escrever algo. Portanto, estou escrevendo este para que você saiba qual é a forma padrão de apresentá-lo.

Então o que acontece aqui é que temos dois sinais de menos cancelando. E obtemos sin x / cos ^ 2 x. Essa é uma resposta perfeitamente aceitável, mas há uma maneira costumeira de se escrever. Está escrito (1 / cos x) (sen x / cos x). E então nos livramos dos denominadores reescrevendo-os em termos de secante e tangente, então sec x tan x. Portanto, esta é a forma geralmente usada quando você vê essas fórmulas escritas em livros didáticos. E então você sabe, você precisa estar atento, porque se você quiser usar esse tipo de cálculo, você não vai se assustar com todas as secantes e tangentes.

Tudo bem, ficando um pouco mais complicado, que tal diferenciarmos ln (sec x)? Se você diferenciar o log natural, isso será apenas (sec x) '/ sec x. E acrescentando a fórmula que tínhamos antes, isso é sec x tan x / sec x, que é tan x. Portanto, este também tem uma forma muito bonita. E você pode dizer que essa é uma função meio feia, mas o estranho é que o log natural foi inventado antes do exponencial por um cara chamado Napier, exatamente para avaliar funções como essa. Essas são as funções com as quais as pessoas se importam muito, porque eram usadas na navegação. Você queria multiplicar senos e cossenos para fazer a navegação. E a multiplicação ele codificou usando um logaritmo. Portanto, eles foram inventados muito antes das pessoas saberem sobre os expoentes. E foi uma surpresa, na verdade, que estava conectado a expoentes. Então o tronco natural foi inventado antes do tronco de base 10 e tudo o mais, exatamente para esse tipo de propósito.

Enfim, essa é uma função legal, que foi muito importante, para que seus navios não colidissem com o recife. Ok, vamos continuar aqui.

Portanto, há outro tipo de função que quero discutir com você. E esses são os tipos em que há uma escolha de qual dessas regras aplicar. E darei apenas alguns exemplos disso. Geralmente há uma maneira melhor e uma pior, então deixe-me ilustrar isso.

Ok, mais um exemplo. Espero que você tenha visto alguns desses antes. Diga (x ^ 10 + 8x) ^ 6. Portanto, é um pouco mais complicado do que antes, porque havia vários outros símbolos aqui. Então, o que devemos fazer neste momento? Há uma escolha que eu alego ser uma má ideia, que é expandir isso até a 6ª potência. É uma má ideia, porque é muito longa. E então sua resposta também será muito longa. Vai preencher todo o papel do exame, por exemplo. Sim?

ALUNO: Você pode usar a regra da corrente?

PROFESSOR: Regra da cadeia. É isso. Usamos a regra da cadeia. Felizmente, isso é relativamente fácil usando a regra da cadeia. Nós apenas pensamos nesta caixa como sendo a função. E pegamos 6 vezes esse cara elevado à 5ª, vezes a derivada desse cara, que é 10x ^ 9 + 8. E isso é, preenchendo isso, é x ^ 10 + 8x. E é isso. Isso é tudo que você precisa fazer para diferenciar coisas assim. A regra da cadeia é muito eficaz.

PROFESSOR: Boa pergunta. Portanto, não estou realmente disposto a responder a muitas perguntas sobre o que estará no exame. Mas a pergunta que acabamos de fazer é exatamente o tipo de pergunta que fico feliz em responder. Ok, a questão era, em que forma é-- qual forma é uma resposta aceitável? Agora, na vida real, essa é uma questão muito séria. Quando você faz uma pergunta a um computador e ele lhe dá 500 milhões de folhas impressas, é inútil. E você realmente se preocupa com a forma das respostas e, de fato, alguém pode realmente se importar com o que é essa coisa elevada à sexta potência, e então você seria forçado a discutir as coisas em termos dessa outra forma funcional. Para os fins deste exame, este é o formulário correto. E, de fato, qualquer forma correta é uma forma adequada. Recomendo veementemente que você não tente simplificar as coisas, a menos que o instruamos a fazê-lo.

Às vezes, será vantajoso simplificar as coisas. Às vezes, diremos simplifique. É preciso muita experiência para saber quando realmente vale a pena simplificar as expressões. Sim?

PROFESSOR: Certo, voltando para este exemplo. A questão é: qual é essa derivada? E aqui está uma resposta. Esse é o fim do problema. Esta é uma forma mais usual. Mas esta resposta está bem. Mesmo problema. Esse é exatamente o ponto. Sim?

PROFESSORA: A questão é: você tem que mostrar o trabalho? Você tem que mostrar o trabalho? Bem, se eu perguntar a você o que é d / dx de sec x, então se você escreveu esta resposta ou escreveu esta resposta mostrando nenhum trabalho, isso seria aceitável. Se a questão fosse derivar a fórmula para isso da fórmula para a derivada do cosseno ou algo parecido, então não seria aceitável. Você teria que fazer essa aritmética.

Então, em outras palavras, normalmente isso vai acontecer, por exemplo, em vários contextos. Você basicamente tem que seguir as instruções. Sim?

PROFESSOR: A próxima pergunta é: espera-se que você seja capaz de provar qual é a derivada da função seno? A resposta curta é sim. Mas irei chegar a isso quando discutir o resto do material aqui. Estamos quase lá.

Ok, deixe-me terminar esses exemplos com um último. E então falaremos sobre essa questão de coisas como a derivada da função seno e sua derivação. Portanto, o último exemplo que gostaria de escrever é aquele que prometi a vocês na primeira aula, ou seja, diferenciar e ^ (x tan ^ (- 1) x). Basicamente, você deve ser capaz de diferenciar qualquer função. Então esse é o que mencionamos no início. Então aqui está. Vamos fazê-lo.

Então o que é? Bem, é igual a - eu tenho que diferenciar. Eu tenho que usar a regra da cadeia - é igual ao exponencial vezes a derivada desta expressão aqui. Essa é a regra da cadeia. Esse é o primeiro passo. E agora tenho que aplicar a regra do produto aqui. Portanto, tenho e ^ (x tan ^ (- 1) x). E eu diferencio o primeiro fator, então fico tan ^ (- 1) x. Adicione a isso o que acontece quando eu diferencio o segundo fator, deixando de lado o x. Então isso é x / (1 + x ^ 2). E é isso. Esse é o fim do problema. Não foi tão difícil. Claro, isso exige que você se lembre de todas as regras e de muitas fórmulas subjacentes a elas.

Isso é consistente com o que acabei de dizer. Eu disse que você queria saber disso. Eu disse que você precisava conhecer essa regra do produto e a regra da cadeia. E eu acho que havia mais uma coisa, a derivada de e ^ x entrou em jogo aqui. Portanto, dessas fórmulas, usamos quatro delas neste cálculo.

Ok, então agora que outras coisas falamos na Unidade Um? Então, a outra coisa principal sobre a qual falamos foi a definição de um derivado. E também havia uma espécie de objetivo que era chegar ao significado da derivada. Então, essas são coisas - temos algumas maneiras de olhar para isso, ou pelo menos algumas que vou enfatizar agora. Mas primeiro, deixe-me lembrá-lo de qual é a fórmula. A derivada é o limite quando delta x vai para 0 de (f (x + delta x) - f (x)) / delta x. Então é isso, e este certamente será o foco central aqui. E você deseja ser capaz de reconhecer essa fórmula de várias maneiras.

Então, como usamos isso? Bem, uma coisa que fizemos foi calcular várias dessas taxas de mudança. Na verdade, mais ou menos, são eles que estão escritos aqui. Esta lista de funções aqui. Agora, com quais começamos direto da definição aqui? Qual dessas coisas? Havia um monte deles. Então, começamos com uma função 1 / x. Fizemos x ^ n. Fizemos seno x. Fizemos cosseno x. Agora havia um pouco de sutileza com seno x e cosseno x. Nós os pegamos usando outra coisa. Não conseguimos pegá-los completamente. Nós os obtemos usando o caso x = 0. Obtemos eles da derivada em x = 0, obtemos as fórmulas para as derivadas de seno e cosseno. Mas esse era um argumento que envolvia conectar sin (x + delta x) e seguir em frente. Então esse é um exemplo.

Também fizemos um ^ x. E pode ser isso. Sim, acho que é isso. Isso pode ser tudo. Não. Não é. Ok, deixe-me fazer uma conexão aqui que você provavelmente ainda não fez, que é para (u v) '. E também o fizemos para (u / v) '. Desculpe, não devo escrever primos, porque isso não é consistente com a afirmação aqui. Diferenciei o produto. Diferenciei o quociente usando a mesma notação delta x. Acho que esqueci porque não estava lá quando aconteceu.

Então, olhe, esses são os que você faz com isso. E, é claro, você pode ter que reduzi-los a outras coisas. Isso envolve o uso de outra coisa. Este envolve o uso da inclinação dessa função em 0, da mesma forma que o seno e o cosseno fizeram. Este envolve as inclinações das funções individuais, uev. E este também envolve o indivíduo-- Então, em outras palavras, não leva você até o fim, mas é expresso em termos de algo mais simples em cada um desses casos.

E eu poderia continuar. Não fizemos isso em sala de aula, mas você certamente - e ^ x é perfeitamente adequado em um dos exames. Pedimos 1 / x ^ 2. Em outras palavras, não estou afirmando que será um nesta lista, mas certamente pode ser qualquer um desses. Mas não vamos pedir a você que vá até o início com essas fórmulas.

Existem também alguns limites fundamentais que certamente quero que você conheça. E isso você pode derivar ao contrário. Então, vou descrever isso agora. Então, deixe-me enfatizar o seguinte: Eu quero ler isso de trás para frente agora. Este é o tema desde o início desta palestra. Ou seja, se você receber a função f, você pode descobrir sua derivada por esta fórmula aqui. Essa é a fórmula para isso em termos do que está do lado direito. Por outro lado, você também pode usar a fórmula nessa direção e, se souber a inclinação de algo, poderá descobrir qual é o limite. Por exemplo, vou usar a letra x aqui, mesmo que seja trapaça. Talvez eu o chame de delta x para que fique mais claro para você. Talvez eu chame de u. Suponha que você olhe para este limite aqui. Bem, eu afirmo que você deve reconhecer que é a derivada em relação a u da função e ^ u em u = 0, que naturalmente sabemos ser 1.

Portanto, esta é a leitura desta fórmula ao contrário. É reconhecer que um desses limites - deixe-me reescrever aqui novamente - um desses assim chamados limites de quociente de diferença é um derivado. E como conhecemos uma fórmula para essa derivada, podemos avaliá-la.

E, por último, há outro tipo de coisa que acho que você deveria saber. Esses são os que você faz com quocientes de diferença. Existem também outras fórmulas que você deseja derivar. Você deseja obter fórmulas por diferenciação implícita. Em outras palavras, a ideia básica é pegar qualquer equação que você tenha e simplificá-la o máximo possível, sem insistir que você resolva por y. Essa não é necessariamente a maneira mais adequada de obter a taxa de variação. A fórmula muito mais simples é sin y = x. E esse é mais fácil de diferenciar implicitamente. Então, devo dizer, faça esse tipo de coisa. Então essa é, se você quiser, uma derivação típica que você pode ver.

E então há um último tipo de problema que você enfrentará, e é a outra coisa que afirmo que discutimos. E isso vai desde a primeira aula. Portanto, a última coisa sobre a qual falaremos são as linhas tangentes. Tudo bem? O ponto de vista geométrico de uma derivada. E faremos mais disso na próxima unidade. Portanto, em primeiro lugar, espera-se que você seja capaz de calcular a reta tangente.Isso geralmente é bastante simples. E a segunda coisa é representar graficamente y ', a derivada de uma função. E a terceira coisa, que vou acrescentar aqui, porque vejo isso em uma espécie de veia geométrica, embora tenha um aspecto analítico. Portanto, esta é uma foto. Este é um cálculo. E se você combinar os dois, você terá algo mais. E isso é para reconhecer funções diferenciáveis.

Tudo bem, então como você faz isso? Bem, nós realmente só temos uma maneira de fazer isso. Vamos verificar as tangentes esquerda e direita. Eles devem ser iguais. Portanto, novamente, essa é uma propriedade com a qual você deve estar familiarizado em alguns de seus exercícios. E a ideia é simples: se a linha tangente existe, é igual da direita e da esquerda. Ok, agora vou apenas fazer um exemplo deste tipo de habilidade de desenho qualitativo para dar um exemplo aqui. E o que vou fazer é desenhar um gráfico de uma função como esta. E o que eu quero fazer abaixo é desenhar o gráfico da derivada. Portanto, esta é a função y = f (x), e aqui vou desenhar o gráfico da função y = f '(x) logo abaixo dela.

Então, agora, vamos pensar sobre como deve ser a aparência. E a única etapa que você precisa fazer para fazer isso é desenhar algumas linhas tangentes. Vou apenas desenhar um aqui. E vou desenhar um aqui. Agora, as linhas tangentes aqui - observe que a inclinação dessas linhas tangentes são todas positivas. Portanto, tudo o que desenho aqui ficará acima do eixo x.

Além disso, à medida que vou mais para a esquerda, eles ficam cada vez mais íngremes. Então, eles estão ficando cada vez mais altos. Então, a função está diminuindo assim. Começa aí. Talvez eu desenhe em verde para ilustrar o gráfico aqui. Então essa é a função aqui. À medida que avançamos, fica cada vez mais achatado. Então está se nivelando, mas acima do eixo assim.

Portanto, uma das coisas a enfatizar é que você não deve esperar que a derivada se pareça com a função. É totalmente diferente. Ele está acompanhando cada ponto de sua linha tangente. Por outro lado, você deve ter algum tipo de intuição física para isso, e vamos praticar mais isso na próxima unidade. Deixe-me dar um exemplo de uma função que faz exatamente isso. E é a função y = ln x. Se você diferenciar, obterá y '= 1 / x. E este gráfico acima é, grosso modo, o logaritmo. E este gráfico abaixo é a função 1 / x.

Ainda temos tempo para uma pergunta. E então, atire. Sim?

PROFESSOR: A questão é: você pode mostrar como deriva a tangente inversa de x. Então isso está em uma palestra. Estou feliz por fazer isso agora, mas vai levar dois minutos inteiros. Então, aqui está como você faz isso. y = tan ^ (- 1) x. E agora é impossível diferenciar, então eu reescrevo como tan y = x. E agora eu tenho que diferenciar isso. Então, ao diferenciá-lo, obtenho a derivada de tan y em relação a x - em relação a y. Isso é 1 / (1 + y ^ 2) vezes y '.

Portanto, esta é uma etapa difícil. Essa é a regra da cadeia. E no lado esquerdo eu recebo 1. Então estou fazendo isso super rápido porque temos trinta segundos restantes. Mas este é o passo difícil aqui. E você precisa saber que d / dy tan y é igual a um sobre-- Oh, ruim ruim ruim, secante ao quadrado. Eu estava à frente de mim mesmo tão rápido. Então aqui está a identidade. Portanto, você precisa saber disso com antecedência. E essa é a entrada para esta equação.

Então agora, o que temos é que y '= 1 / sec ^ 2 y y, que é a mesma coisa que cos ^ 2 y.

Agora, a última parte do problema é reescrever isso em termos de x. E isso você tem a ver com um triângulo retângulo. Se este for xe este for 1, o ângulo será y, porque a tangente de y é x. Portanto, isso expressa o fato de que a tangente de y é x. E então a hipotenusa é a raiz quadrada de 1 + x ^ 2. E então o cosseno é 1 dividido por isso. Portanto, essa coisa é 1 dividido pela raiz quadrada de 1 + x ^ 2, a quantidade ao quadrado. Então, e o último pedaço aqui, já que estou correndo, é 1 / (1 + x ^ 2), que eu escrevi incorretamente aqui. Ok, então boa sorte no teste. Vejo você amanhã.


Funções Exponenciais

Um função exponencial é uma função da forma f ( x ) = b x , Onde b & gt 0 e b ≠ 1.

Um assíntota é uma linha reta da qual uma curva se aproxima arbitrariamente de perto, mas nunca atinge, pois vai ao infinito.

As assíntotas são uma característica das funções exponenciais.

Funções exponenciais que não foram deslocadas verticalmente, têm uma assíntota em y = 0, que é o x -eixo.

As funções exponenciais que foram deslocadas verticalmente têm uma assíntota que corresponde ao seu deslocamento.

Exemplo 1:

Qual é a assíntota para cada uma das seguintes funções?

Solução:

A primeira função, f ( x ), não foi alterado em tudo, portanto, a assíntota para f ( x ) é y = 0 , ou o x -eixo .

A segunda função, g ( x ), foi deslocado para a esquerda duas unidades. Um deslocamento horizontal não afeta a assíntota para uma função exponencial. Então, a assíntota para g ( x ) é y = 0 , ou o x -eixo .

A segunda função, h ( x ), foi deslocado uma unidade para a direita. Um deslocamento horizontal não afeta a assíntota para uma função exponencial. Então, a assíntota para h ( x ) é y = 0 , ou o x -eixo .

Exemplo 2:

Qual é a assíntota para cada uma das seguintes funções?

Solução:

A primeira função, f ( x ), foi deslocado uma unidade para cima. Um deslocamento vertical afeta a assíntota para uma função exponencial. Então, a assíntota para f ( x ) é y = 1 .

A segunda função, g ( x ), foi deslocado para cima em duas unidades. Um deslocamento vertical afeta a assíntota para uma função exponencial. Então, a assíntota para g ( x ) é y = 2 .

A terceira função, h ( x ), foi deslocado para baixo em três unidades. Um deslocamento vertical afeta a assíntota para uma função exponencial. Então, a assíntota para h ( x ) é y = -3 .

O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores reais de entrada possíveis, geralmente representados por x .

O alcance de uma função é o conjunto de todos os valores reais de saída possíveis, geralmente representados por y .

Para determinar o domínio e o intervalo de uma função exponencial, pense no gráfico da função exponencial f ( x ) = e x .

O gráfico da função exponencial existe para todos os reais x -valores, portanto, o domínio da função exponencial é (- />, />), ou todos os números reais.

Nota: Não importa como o gráfico de uma função exponencial é deslocado ou refletido, o domínio permanecerá o mesmo.

O gráfico da função exponencial existe para todos os reais positivos y -valores, portanto, o intervalo da função exponencial é (0, ).

Nota: Quando o gráfico de uma função exponencial é deslocado ou refletido verticalmente, o intervalo mudará.

    Se a função exponencial for positiva, o intervalo nunca terá um valor de saída menor ou igual à assíntota da função.

Encontre o domínio e o intervalo da função representada no gráfico abaixo.

O gráfico da função exponencial existe para todos os reais x -valores.

Portanto, o domínio da função é (- />, />) .

Como a função exponencial é positiva, o intervalo nunca terá um valor de saída menor ou igual à assíntota da função.

Uma vez que a função representada graficamente tem uma assíntota horizontal em y = -3, o intervalo da função é (-3, ) .

Encontre o domínio e o intervalo da função abaixo.

O domínio de uma função exponencial são todos os números reais.

Portanto, o domínio da função é (- />, />) .

O intervalo de uma função exponencial da forma f ( x ) = b x , Onde b & gt 0 e b ≠ 1, são todos os números reais maiores que zero.

Portanto, o intervalo da função é (2, ) .

O comportamento final de uma função descreve o comportamento da função como o x -valores aumentam ou diminuem.

Para uma função exponencial da forma y = b x , Onde b & gt 0 e b § 1, aplica-se o seguinte.

  • Se a base da função exponencial for maior que um, o gráfico da função aumenta em direção ao infinito positivo conforme x aumenta.
  • Se a base da função exponencial estiver entre zero e um, o gráfico da função diminui enquanto se aproxima da assíntota horizontal como o x -valores aumentam.

Descreva o comportamento final da seguinte função exponencial.

A base da função exponencial é 8,7.

Como a base é maior que um, o gráfico da função, g ( x ), está aumentando.

Portanto, Enquanto o x - os valores aumentam, a função aumenta em direção ao infinito positivo .

Exemplo 6:

O gráfico de uma função exponencial, f ( x ), é fornecido abaixo. A função está aumentando, diminuindo ou é constante no intervalo [-2, 3]?


Solução:

Desde f (-2) & lt f (3), a função é aumentando no intervalo [-2, 3].

O taxa média de mudança de uma função é a proporção da mudança nos valores da função, ou os valores de saída, para a mudança no x -values ​​ou os valores de entrada.

A taxa média de mudança de uma função, f ( x ), ao longo do intervalo [a, b] é dado pela seguinte fórmula.

Exemplo 7:

O gráfico de uma função exponencial, g ( x ), é fornecido abaixo. Qual é a taxa média de mudança no intervalo [2, 3]?


Solução:

Usando o gráfico, determine os valores de g (2) e g (3).

Calcule a taxa média de mudança de g ( x ) no intervalo [2, 3] usando os valores de g (2), g (3), e a fórmula para a taxa média de variação.

Então, a taxa média de mudança de g ( x ) durante o intervalo [2, 3] é 2 .

O x -interceptar do gráfico de uma função exponencial ocorre quando o gráfico cruza o x -eixo. Quando um gráfico cruza o x -eixo, f ( x ) = 0.

Uma vez que o gráfico de uma função exponencial tem uma assíntota horizontal, uma função exponencial não deve tem um x -interceptar. A localização da assíntota horizontal no gráfico determina se o gráfico terá um x -interceptar.

  • Se a assíntota horizontal se encontra sobre ou acima do x -eixo, o gráfico não terá um x -interceptar.
  • Se a assíntota horizontal estiver abaixo do x -eixo, o gráfico terá um x -interceptar.

O que é x -intercepto da seguinte função exponencial?

A função tem uma assíntota horizontal em y = 0.

Portanto, a função nunca cruza o x -eixo.

Então, a função não tem um x -interceptar .

O que é x -interceptação da seguinte função?

A função tem uma assíntota horizontal em y = -8.

Para encontrar o x -interceptar, definir y = 0.

Portanto, o x -intercept é 3 .

O que é y -interceptação da seguinte função?

Para encontrar o y -interceptar, definir x = 0.

Portanto, o y -intercept é 5 .

A tabela abaixo mostra como os deslocamentos horizontais e verticais são feitos.

Mudanças de f ( x )
Mudança HorizontalDeslocamento Vertical
f ( x ) → f ( x - h ) f ( x ) → f ( x ) + k
partiu para h & lt 0 certo para h & gt 0 baixo para k & lt 0 pronto para k & gt 0

Para uma mudança horizontal, a mudança está na direção oposta da mudança, porque na fórmula acima h é subtraído de x . Por exemplo, f ( x - (- h )) = f ( x + h ) indica uma mudança h unidades à esquerda, enquanto f ( x - h ) indica uma mudança h unidades à direita.

Para uma mudança vertical, a mudança está na mesma direção da mudança. Por exemplo, f ( x ) + h indica uma mudança h unidades, enquanto f ( x ) - h indica uma mudança h unidades para baixo.

Se o gráfico de f ( x ) = 2 x é deslocado 5 unidades para a esquerda, qual é a equação do novo gráfico?

Uma mudança horizontal significa que a mudança ocorre dentro da função.

Uma vez que o deslocamento é de 5 unidades restantes, -5 é subtraído de x , então a mudança é positiva. A equação do novo gráfico é g ( x ) = f ( x - (-5)) = f ( x + 5) = 2 ( x + 5) .

Em que direção deve o gráfico de f ( x ) = 2 x mudança para produzir o gráfico de g ( x ) = 2 x - 3?

Perceber g ( x ) = f ( x ) - 3. Neste caso, a alteração, - 3, está fora da função, portanto, o gráfico muda verticalmente.

Uma vez que 3 é subtraído de f ( x ), o gráfico de g ( x ) resultados de deslocamento f ( x ) baixa 3 unidades.

Uma função exponencial tem um coeficiente , que determina a localização do gráfico da função e é igual ao y -interceptar.

  • Se uma & gt 0, o gráfico está localizado acima do x -eixo.
  • Se uma & lt 0, o gráfico está localizado abaixo do x -eixo.

Determine se o gráfico da seguinte função exponencial está acima ou abaixo do x -eixo. Também determine o y -intercepto do gráfico.

Para determinar a localização do gráfico de f ( x ) e o y -intercept, identifica o coeficiente.

O coeficiente de f ( x ) é .

Vê-se que o coeficiente de f ( x ) é positivo, portanto, o gráfico de f ( x ) encontra-se acima do x -eixo .

O y -intercepto de uma função exponencial é igual ao coeficiente. Então o y -intercepto do gráfico de f ( x ) é o seguinte.

Para gráfico uma função exponencial, identifique se a função está aumentando ou diminuindo. Em seguida, identifique quaisquer mudanças. Finalmente, crie uma tabela de valores e um gráfico.

Exemplo 14:

Represente graficamente a seguinte função exponencial.

Solução:

A base da função exponencial fornecida é 3. Como 3 & gt 1, a função é uma função exponencial crescente.

Além disso, observe que 1 é subtraído de 3 x . Isso significa que o gráfico será deslocado uma unidade para baixo.

Faça o gráfico usando os valores da tabela acima.

Comentário sobre a lição


Redes de convolução

Redes de convolução , descrito no Capítulo 9 do GBC, são redes com operadores lineares , a saber, operadores de convolução localizados usando alguma geometria de grade subjacente. Por exemplo, considere a rede cuja (k ) - ésima camada pode ser representada pela grade (m times m )



Em seguida, definimos a função (h ^ <(k + 1)> _) na camada (k + 1 ) por convulsionando sobre um quadrado (2 vezes 2 ) na camada abaixo e, em seguida, aplicando a função não linear (g ):
[
h_^ <(k + 1)> = g left (a ^ <(k)> h_^ <(k)> + b ^ <(k)> h_^ <(k)> + c ^ <(k)> h_^ <(k)> + d ^ <(k)> h_^ <(k)> direita)
]
Os parâmetros (a ^ <(k)>, b ^ <(k)>, c ^ <(k)>, ) e (d ^ <(k)> ) dependem apenas da camada, não de o quadrado particular (i, j ). (Esta restrição não é necessária a partir da definição geral, mas é uma restrição razoável em aplicações como visão.) Além da vantagem de compartilhamento de parâmetros, este tipo de rede tem a característica útil de dispersão resultante da natureza local da definição das funções (h ).

Um ingrediente adicional comum em redes convolucionais é o pooling, no qual, após convolução e aplicação de (g ) para obter as funções indexadas em grade (h_ ^ <(k + 1)> ), substituímos essas funções pela média ou máxima das funções em uma vizinhança, por exemplo, definindo
[
overline_^ <(k + 1)> = frac <1> <4> left (h_^ <(k + 1)> + h_^ <(k + 1)> + h_^ <(k + 1)> + h_^ <(k + 1)> direita).
]
Essa técnica também pode ser usada para reduzir a dimensão.


Cursos de Matemática

Projetado para o estudante de artes liberais, este curso investiga o significado e os métodos da matemática. Ao ver a matemática como uma busca por padrões, uma forma de pensar e uma parte de nossa herança cultural, ela enfatiza os vários papéis da matemática. São apresentadas ideias matemáticas de geometria, teoria dos números e álgebra que apóiam a proposição de que a matemática é muito mais do que apenas uma coleção de técnicas para obter respostas com problemas padrão. Oferta de primavera, anos ímpares
Créditos: 3

Este curso é projetado principalmente para o aluno que precisa de uma base em álgebra e trigonometria para o estudo do cálculo. O conceito de função e representação gráfica de funções é enfatizado. Tópicos abordados: álgebra de números reais de números reais, incluindo funções de equações e inequações e seus gráficos, incluindo polinômios, expressões racionais, logarítmicos e exponenciais, álgebra trigonométrica das funções trigonométricas, incluindo identidades, equações, coordenadas polares, números complexos, sistemas de equações. Pré-requisitos: Três anos de matemática do ensino médio, incluindo álgebra intermediária. Oferecido a cada semestre
Créditos: 4

Tópicos considerados: álgebra básica, sistemas de equações, álgebra matricial, programação linear, probabilidade finita. A resolução de problemas e o uso de raciocínio matemático na investigação de aplicações relevantes de negócios e ciências sociais são parte integrante do curso. Pré-requisitos: Três anos de matemática do ensino médio, incluindo álgebra intermediária. Oferecido na primavera, até mesmo nos anos
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Este curso destina-se a licenciaturas em educação e tem como objetivo fornecer um tratamento matemático dos conceitos fundamentais de aritmética, álgebra e teoria dos números, conforme se relacionam com o currículo de matemática do ensino fundamental. Oferecido a cada semestre
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Este curso é destinado a alunos de educação superior e é projetado para fornecer um tratamento matemático dos conceitos fundamentais de probabilidade, estatística e geometria elementar, conforme se relacionam com o currículo de matemática do ensino fundamental. Pré-requisitos: MATEMÁTICA 140. Oferecido a cada semestre
Créditos: 3

Este curso ajudará os alunos a aprender como pensar sobre estatística e probabilidade, como identificar as ferramentas necessárias para estudar um problema específico e como ler e avaliar criticamente as informações quantitativas apresentadas na mídia. O formato do curso envolve extensa leitura e discussão de artigos de jornais e revistas, atividades de computador, trabalhos de redação e projetos dos alunos. (Aqueles que concluíram o MATH 242, 260 ou 360 não podem se inscrever nesta classe para obter crédito. Aqueles que se especializam em matemática só podem receber crédito eletivo gratuito para o curso.) Pré-requisitos: Três anos de matemática do ensino médio, incluindo álgebra intermediária. Oferecido a cada outono
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O aluno será apresentado à matemática dos sistemas lineares e aos conceitos, métodos e aplicações do cálculo. Questões matemáticas que surgem nos negócios e nas ciências sociais e da vida serão modeladas e resolvidas usando essas ferramentas. Os tópicos a serem cobertos incluem sistemas lineares de equações, técnicas de matriz, funções, limites, continuidade, diferenciação e integração. A abordagem será gráfica, numérica e analítica. Pré-requisitos: Pré-cálculo ou equivalente. Não disponível para alunos com crédito para MATH 221. Oferecido a cada semestre
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Os tópicos estudados são limites e derivadas de continuidade e antiderivadas das funções algébrica, exponencial, logarítmica, trigonométrica e inversa, a integral definida e o teorema fundamental do cálculo. Pré-requisitos: MATH 112 ou Pré-cálculo com trigonometria ou equivalente. Oferecido a cada semestre
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Os tópicos estudados são métodos de integração, aplicações de integrais definidos, sequências, integrais impróprios e séries, equações paramétricas e coordenadas polares. Pré-requisitos: MATEMÁTICA 221. Oferecido a cada semestre
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Cálculo vetorial, funções de várias variáveis, derivadas parciais, integrais múltiplas, geometria analítica espacial e integrais de linha. Pré-requisitos: MATEMÁTICA 222. Oferecido a cada semestre
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A continuação do cálculo do primeiro semestre, com ênfase na modelagem e aplicações da matemática e estatística às ciências biológicas. Os tópicos a serem cobertos incluem funções exponenciais e logarítmicas, equações diferenciais, matrizes, sistemas de equações diferenciais e uma introdução à probabilidade e estatística. Pré-requisitos: MATEMÁTICA 221. Oferecido a cada primavera
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Este curso serve como um curso introdutório de programação para majores em Matemática. Serão desenvolvidas técnicas básicas de programação para resolver problemas normalmente encontrados por matemáticos. O curso cobre técnicas procedimentais básicas como algoritmos, variáveis, entrada / saída, tipos de dados, seleção, iteração, funções e gráficos. Boas práticas de programação e comentários serão enfatizadas. A linguagem de programação do curso será uma linguagem de programação matemática como o Matlab. Restrito apenas a majores em matemática.
Créditos: 3

Estudo de matrizes, operações matriciais e sistemas de equações lineares, com uma introdução aos espaços vetoriais e transformações lineares. Aplicações elementares de álgebra linear estão incluídas. Pré-requisitos: MATH 222 ou MATH 228 ou permissão do instrutor. Oferecido a cada semestre
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Este curso cobre as ferramentas básicas da matemática e da ciência da computação - lógica, técnicas de prova, teoria dos conjuntos, funções, processos indutivos, técnicas de contagem - com aplicações em áreas como linguagens formais, teoria de circuitos e teoria dos grafos. NOTA: Este curso não está disponível para crédito para alunos com crédito para MATEMÁTICA 239. Pré-requisitos: Quatro anos de matemática do ensino médio. Oferecido a cada outono
Créditos: 3

O curso fornecerá uma introdução à linguagem da matemática avançada e à prova matemática. Ele irá enfatizar o argumento rigoroso e a prática da prova em vários contextos matemáticos. Os tópicos incluirão lógica, teoria dos conjuntos, cardinalidade, métodos de prova e indução. Outros tópicos matemáticos escolhidos a critério do instrutor serão incluídos como material por meio do qual as habilidades de prova serão aprimoradas. Pré-requisitos: MATH 222 ou permissão do departamento. Oferecido a cada semestre
Créditos: 3

Este curso é uma continuação do estudo de programação de computadores para a matemática iniciado em Math 230, em particular com foco na representação e manipulação de estruturas matemáticas por computador. Os exemplos incluem matrizes, gráficos, árvores, etc. As principais técnicas de programação incluem programação orientada a objetos e recursão. Pré-requisitos: Math 230, Math 233 e Math 239. Créditos: 3 (3-0). Não oferecido regularmente
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Conceitos básicos de teoria da probabilidade e inferência estatística. Não é necessário conhecimento de cálculo. (Aqueles que concluíram o MATH 360 não podem se inscrever neste curso para obter crédito, e nenhum aluno pode receber crédito para mais de um curso de estatística de nível 200, incluindo crédito para mais de um dos seguintes cursos: ECON 205, GEOG 278, MATH 242, PLSC 251, PSYC 250 e SOCL 211.) Pré-requisitos: Três anos de matemática do ensino médio, incluindo álgebra intermediária. Não oferecido regularmente
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Uma introdução à estatística com ênfase em aplicativos. Os tópicos incluem a descrição de dados com resumos numéricos e gráficos, a produção de dados por meio de amostragem e desenho experimental, técnicas de fazer inferências a partir de dados como intervalos de confiança e testes de hipóteses para dados categóricos e quantitativos. O curso inclui uma introdução à análise de dados por computador com um pacote de computação estatística. (Aqueles que concluíram o MATH 360 não podem se inscrever neste curso para obter crédito, e nenhum aluno pode receber crédito para mais de um curso de estatística de nível 200, incluindo crédito para mais de um dos seguintes cursos: BIOL 250, ECON 205, GEOG 278, MATH 242, MATH 262, PLSC 251, PSYC 250 e SOCL 211.)
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O objetivo da unidade curricular será apresentar os conceitos e teoremas importantes da lógica matemática e explicar o seu significado para a matemática. Os resultados específicos incluirão teoremas de compactação, completude e incompletude, com aplicações incluindo circuitos de comutação e análise não padronizada. Pré-requisitos: MATEMÁTICA 239. Oferecido no outono, anos ímpares.
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Este curso examinará os axiomas de Zermelo-Fraenkel para a teoria dos conjuntos e discutirá a relação entre a teoria dos conjuntos e a matemática clássica. Outros tópicos serão escolhidos entre os seguintes: números ordinais e cardinais, o Axioma da Escolha, a consistência e independência da hipótese do contínuo e cardinais grandes. Pré-requisitos: MATEMÁTICA 239. Oferecido no outono, anos pares
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Um levantamento da análise matemática dos recursos de tempo e espaço necessários para executar algoritmos. Começando com a análise assintótica das necessidades de recursos de algoritmos específicos, o curso desenvolve um estudo de limites inferiores associados a problemas e culmina em um estudo aprofundado de classes abstratas de complexidade de recursos, como P, NP e PSPACE. Pré-requisitos: MATEMÁTICA 239. Não oferecido regularmente.
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Este curso cobre os limites teóricos sobre quais algoritmos podem e não podem computar. Os tópicos incluem autômatos finitos, linguagens regulares, autômatos push-down, linguagens livres de contexto, máquinas de Turing, decidibilidade, a estrutura das classes de problemas computáveis ​​e incomputáveis ​​e as relações entre computabilidade e os limites lógicos da matemática.
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O objetivo deste curso é apresentar aos alunos os fundamentos da teoria dos grafos e suas aplicações. Os tópicos abordados incluem gráficos, isomorfismos de gráfico, árvores, matrizes de gráfico e autovalores, gráficos fortemente regulares, cores de gráfico, polinômios cromáticos, gráficos planares e o teorema das quatro cores. Os alunos usarão software para armazenar, visualizar e manipular modelos gráficos e como uma ferramenta para explorar propriedades básicas de gráficos.
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Uma vez que o cálculo visa desenvolver a proficiência na resolução de problemas de análise, o objetivo desta unidade curricular é desenvolver a proficiência na resolução de problemas e raciocínio combinatórios básicos. Os tópicos incluem: enumeração, funções geradoras, fórmulas de peneira, relações de recorrência, teoria de grafos, análise de rede, árvores, teoria de pesquisa e designs de bloco. Pré-requisitos: MATEMÁTICA 222, MATEMÁTICA 233 e MATEMÁTICA 237 ou MATEMÁTICA 239. Oferecido no outono, anos pares
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Uma introdução à teoria clássica dos números lidando com tópicos como divisibilidade, números primos e compostos, equações diofantinas, a notação de congruência e suas aplicações, resíduos quadráticos. Pré-requisitos: MATEMÁTICA 222 e MATEMÁTICA 239. Oferecido na primavera, anos ímpares
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Um estudo da teoria subjacente do cálculo elementar. Os tópicos incluem a estrutura e as propriedades dos números reais, sequências, funções, limites, continuidade, a derivada, a integral de Riemann e os teoremas de Taylor. Pré-requisitos: MATEMÁTICA 223 e MATEMÁTICA 239. Oferecido a cada semestre
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Uma continuação do MATH 324 cobrindo a integração de Riemann-Stieltjes, sequências e séries de funções, funções especiais e funções de várias variáveis. Pré-requisitos: MATEMÁTICA 324. Oferecido a cada primavera.
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Um estudo dos métodos de resolução de equações diferenciais ordinárias e algumas das aplicações dessas equações nas ciências físicas e geometria. Pré-requisitos: MATEMÁTICA 223. Co-requisitos: MATEMÁTICA 233 ou PHYS 228. Oferecido a cada semestre
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Uma continuação do MATH 326 cobrindo a teoria de existência de sistemas de equações diferenciais ordinárias, análise de plano de fase, teoria de estabilidade e problemas de valor de contorno. Uma introdução à teoria do caos, o Teorema de Lyapunov & # 039s e as funções de Green & # 039s podem ser incluídas se o tempo permitir. Pré-requisitos: MATEMÁTICA 233 e MATEMÁTICA 326. Oferecido no outono, anos ímpares
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Um estudo das propriedades básicas de grupos, anéis e domínios integrais, incluindo o teorema fundamental dos homomorfismos de grupo. Os conceitos básicos para o desenvolvimento de sistemas algébricos são estudados inicialmente. Pré-requisitos: MATEMÁTICA 222, MATEMÁTICA 233 e MATEMÁTICA 239. Oferecido a cada semestre
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A unidade curricular apresenta ao aluno as técnicas de formulação e solução de problemas de programação linear e seus correspondentes problemas duais. Pretende ser uma ampla visão geral da programação linear determinadministrativa e da pesquisa operacional. Os tópicos a serem cobertos incluem o Método Simplex, o Método Dual Simplex, Análise de Sensibilidade, Métodos de Otimização de Rede, Programação Dinâmica (Determinística), Teoria de Jogos e Métodos de Ramificação e Limite para Programação Inteira. Tópicos adicionais podem ser selecionados a partir de Métodos de Plano de Corte para Programação Inteira, o Problema de Transporte, o Problema de Atribuição, Gráficos e Redes, o Método Simples de Rede, o Algoritmo Elipsóide e o Método do Caminho Crítico quando o tempo permitir. Pré-requisitos: MATH 222, MATH 233, um dos MATH 237 ou MATH 239 e MATH 230 ou permissão do instrutor. Oferecido na primavera, até mesmo nos anos
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Um olhar avançado sobre espaços vetoriais e transformações lineares, com ênfase na análise dos autovalores de uma transformação linear e no conceito de ortogonalidade. Aplicações, como as soluções de sistemas lineares de equações diferenciais ordinárias, estão incluídas. Pré-requisitos: MATEMÁTICA 223, MATEMÁTICA 233 e MATEMÁTICA 239. Oferecido a cada outono
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Este curso apresenta uma investigação dos fundamentos axiomáticos de várias abordagens ao estudo da geometria moderna. Geometria euclidiana, transformações geométricas e geometrias não euclidianas serão discutidas. Pré-requisitos: MATEMÁTICA 222 e MATEMÁTICA 239. Oferecido a cada primavera
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exame detalhado de espaços topológicos e mapeamentos. As propriedades de compactação, conexão e separação são estudadas. Outros tópicos de topologia geral, geométrica ou algébrica também serão discutidos. Pré-requisitos: MATEMÁTICA 223 e MATEMÁTICA 239. Oferecido no outono, anos pares
Créditos: 3

Modelos computacionais e matemáticos são ferramentas cada vez mais importantes usadas para entender sistemas biológicos complexos. Sob a orientação de professores de biologia e matemática, os alunos trabalharão individualmente e em grupos para desenvolver, analisar e apresentar modelos de vários sistemas biológicos, desde modelos de doenças e processos de difusão até a dinâmica dos ecossistemas. O curso envolve duas horas de aulas teóricas e um laboratório de informática de duas horas. (Lista cruzada com BIOL 340.) Pré-requisitos: (MATH 222 ou MATH 228) e pelo menos um dos seguintes: BIOL 203, BIOL 222, MATH 223 ou permissão do instrutor. Oferecido a cada primavera
Créditos: 0-3

Os tópicos incluem definições de probabilidade e teoremas variáveis ​​aleatórias discretas e contínuas, incluindo variáveis ​​aleatórias binomiais, geométricas, Poisson e normais e as aplicações de tópicos estatísticos, como distribuições de amostragem, estimativa, intervalos de confiança e testes de hipótese. Tanto a teoria quanto as aplicações de probabilidade serão incluídas com aplicações de estatísticas. Um aluno pode não receber crédito principal para MATH 341 e MATH 360. MATH 341 NÃO serve como pré-requisito para MATH 361. Pré-requisito: MATH 223 ou permissão do instrutor. Oferecido a cada primavera
Créditos: 3

Este curso serve como um curso avançado de modelagem estatística e algorítmica. O curso inclui os processos de construção de modelos usando duas disciplinas, aprendizagem estatística e aprendizagem de máquina. A ênfase é colocada em matemática e algoritmos. Os tópicos incluem métodos de regressão linear e não linear, métodos de aprendizagem supervisionados e não supervisionados, incluindo métodos padrão da indústria, melhoria de modelo e métodos de conjunto e tratamento de grandes problemas de dados. Os alunos ganharão fundamentos matemáticos e habilidades de ciência de dados com linguagens de programação de última geração, como R e Python, aprenderão a construir modelos preditivos de alto desempenho envolvendo dados do mundo real e produzirão um relatório de análise de dados por escrito com uma análise oral apresentação. Pré / Co-requisito: MATH 360 ou MATH 341. Pré-requisitos: (MATH 230 ou MATH 240 ou INTD 121 ou qualquer curso de programação de nível 100 ou 200) e MATH 233, ou permissão do instrutor. Créditos: 3 (3-0). Não oferecido regularmente
Créditos: 3

Este curso serve como um curso avançado de estatística aplicada. O curso aumentará o conhecimento e as habilidades de modelagem estatística dos alunos em configurações multivariadas e avançadas com aplicações possivelmente interdisciplinares. Os tópicos incluem uma revisão de regressão linear múltipla e análise de várias amostras, uma revisão de variáveis ​​aleatórias, álgebra vetorial e matricial, a teoria da estatística multivariada, análise fatorial exploratória e confirmatória, métodos de classificação e agrupamento, técnicas de análise de dados multivariada, construção de modelo métodos de melhoria e modelos estatísticos de ponta escolhidos individualmente. Metodologias e aplicativos são estudados com dados de palavras reais, juntamente com pacotes de software estatístico de última geração, como R e SAS / SPSS. Pré-requisitos: MATH 233 e (MATH 341 ou MATH 361) ou permissão do instrutor. Créditos: 3 (3-0). Não oferecido regularmente.
Créditos: 3

Este curso fornece uma introdução aos métodos numéricos e à análise desses métodos. Os tópicos incluem aritmética de ponto flutuante, análise de erro, solução de equações não lineares, interpolação e aproximação, diferenciação e integração numérica e solução de sistemas lineares.
Créditos: 3

Este curso fornece uma investigação de tópicos avançados em análise numérica. Os tópicos incluem a solução numérica de equações diferenciais ordinárias, problemas de valor limite, ajuste de curva e análise de autovalor. Pré-requisitos: MATEMÁTICA 345. Oferecido na primavera, anos pares
Créditos: 3

Neste curso, o aluno pesquisará um tema matemático e se preparará para uma apresentação oral baseada nessa pesquisa. O aluno aprenderá sobre recursos de pesquisa, como periódicos e bancos de dados eletrônicos. Os alunos aprenderão convenções de redação matemática e técnicas de apresentação. Os alunos prepararão uma palestra de pelo menos meia hora de duração para ser apresentada em um fórum público. Pré-requisitos: MATEMÁTICA 239 e permissão do instrutor. Co-requisito: o aluno deve ser um graduado em matemática que está simultaneamente matriculado em um curso de matemática de nível 300. Oferecido a cada primavera ou mais frequentemente se a demanda for suficiente
Créditos: 1

O curso desenvolve e expande certos tópicos em cálculo multivariado. Isso inclui álgebra e geometria de vetores, funções reais e vetoriais de uma e várias variáveis, curvas, campos escalares e vetoriais, diferencial vetorial e cálculo integral, aplicações à geometria. Pré-requisitos: Matemática 223. Oferecido na primavera, anos ímpares
Créditos: 3

Os tópicos incluem definições de probabilidade e teoremas de variáveis ​​aleatórias discretas e contínuas, incluindo binomial, hipergeométrica, Poisson e variáveis ​​aleatórias normais. A teoria e as aplicações de probabilidade serão incluídas. Um aluno pode não receber crédito para MATH 341 e MATH 360. Pré-requisitos: MATH 223 ou permissão do instrutor. Oferecido a cada outono
Créditos: 3

Distribuições de amostragem, estimativa de ponto e intervalo e testes de hipótese. Os tópicos também incluem: regressão e correlação, a análise de variância e estatísticas não paramétricas. Pré-requisitos: MATH 360 ou permissão do instrutor. Oferecido a cada primavera
Créditos: 3

Este curso avançado de estatística enfoca dois tópicos cruciais para o estudo da ciência atuarial. Os tópicos de regressão incluem regressão simples e múltipla (incluindo procedimentos de teste, estimativa e confiança), modelagem, triagem de variável, análise residual e tópicos especiais em modelagem de regressão. Os tópicos em Séries Temporais incluem modelos de séries temporais lineares, auto-regressivos, modelos de média móvel e ARIMA, estimativa, análise de dados e previsão com modelos de séries temporais, erros de previsão e intervalos de confiança. Serão incluídos estudos de caso e análise de dados reais. Pré-requisitos: Matemática 361 ou Econ 307, ou permissão do instrutor. Não oferecido regularmente.
Créditos: 3

O objetivo deste curso é desenvolver o conhecimento das ferramentas fundamentais de probabilidade que são úteis para avaliar quantitativamente o risco. A aplicação dessas ferramentas aos problemas encontrados na ciência atuarial é enfatizada. Um domínio completo do cálculo de suporte é assumido.Além disso, pressupõe-se um conhecimento muito básico de seguro e gestão de risco.
Créditos: 0-3

Um estudo de números complexos, diferenciação e integração complexas, mapeamentos, séries de potências, resíduos e funções harmônicas, com ênfase particular nos tópicos que são úteis em matemática aplicada. Tópicos opcionais: mapeamentos conformes e continuação analítica. Pré-requisitos: MATH 223 e MATH 239 ou permissão do instrutor. Oferecido a cada outono
Créditos: 3

Uma introdução às equações que desempenham um papel central em muitos problemas em matemática aplicada e nas ciências físicas e de engenharia. Os tópicos incluem equações de primeira ordem, as equações de segunda ordem mais úteis (por exemplo: onda e difusão de Laplace's) e alguns métodos para resolver tais equações, incluindo técnicas numéricas. A modelagem para o movimento de uma corda vibrante e a condução de calor em um corpo sólido são enfatizadas. Pré-requisitos: MATEMÁTICA 326. Oferecido na primavera, anos pares
Créditos: 3

O objetivo deste curso é fornecer ao aluno interessado em Ciências Atuariais, uma compreensão dos conceitos fundamentais da matemática financeira, e como esses conceitos são aplicados no cálculo dos valores presentes e acumulados para vários fluxos de fluxos de caixa como base para uso futuro em : reserva, avaliação, precificação, gestão de ativos / passivos, receita de investimento, orçamento de capital e avaliação de fluxos de caixa contingentes. Os alunos também receberão uma introdução aos instrumentos financeiros, incluindo derivativos, e ao conceito de não arbitragem no que se refere à matemática financeira. Pré-requisitos: MATH 223, MATH 360 e permissão do instrutor. Créditos: 3 (2-2) Não oferecidos regularmente.
Créditos: 0-3

Uma exploração de um tópico avançado que estende a amplitude e / ou profundidade da experiência matemática de graduação. Pode ser tirada duas vezes com legendas diferentes. Pré-requisitos: Conclusão de cinco cursos para a especialização em Matemática e permissão do instrutor. Não oferecido regularmente
Créditos: 3

Uma exploração de um tópico algébrico avançado que estende a amplitude e / ou profundidade da experiência matemática de graduação. Pode ser tirada duas vezes com legendas diferentes.
Créditos: 3

Este curso é uma introdução aos fundamentos de imagens digitais, análise de Fourier, wavelets e computação em uma primeira abordagem de aplicativos. Fotografias digitalizadas (ou arquivos de som) são armazenadas como matrizes muito grandes e manipuladas inicialmente usando álgebra linear básica. Programação básica em Matlab, Maple ou Mathematica será introduzida como um meio de realizar as manipulações e uma ferramenta de descoberta. As transformações wavelet são usadas para auxiliar na compactação ou aprimoramento de fotografias digitais, eliminação de ruído em arquivos de som e compactação usando o padrão JPEG2000. Cada aluno da unidade curricular trabalhará num projeto final que envolverá a codificação, a redação dos resultados em papel e a apresentação dos resultados no final do semestre. Pré-requisitos: MATH 222, MATH 233, MATH 239 e MATH 230 ou permissão do instrutor. Oferta de primavera, anos ímpares
Créditos: 3

Um curso de discussão que trata de áreas selecionadas da biomatemática com base na literatura atual e / ou palestrantes convidados. Pré-requisitos: Permissão do instrutor. Pode ser levado várias vezes para crédito com a permissão do instrutor. Oferecido na primavera, até mesmo nos anos
Créditos: 1

Uma introdução à modelagem matemática e computacional do mundo visível. Os tópicos incluem representações vetoriais de formas paramétricas e implícitas de geometria tridimensional de linhas e superfícies, transformações afins, projeções de três dimensões para duas equações de renderização que modelam a reflexão, a transmissão e a absorção de luz. Modelos realistas de cenas reais ou imaginárias serão criados usando essas técnicas e desenhados usando uma linguagem de programação de computador. Pré-requisitos: MATH 223, MATH 230 e MATH 233. Não oferecidos regularmente.
Créditos: 3

A história da matemática é traçada desde a antiguidade até as realizações dos matemáticos do século XXI. As inscrições para o ensino do ensino médio e fundamental estão incluídas. Pré-requisitos: MATEMÁTICA 222. Oferecido a cada primavera
Créditos: 3

Pesquisa independente, dirigida por um membro do Departamento de Matemática. Os resultados da pesquisa devem ser relatados em (l) uma tese escrita e (2) uma apresentação oral em um Colóquio do Departamento de Matemática ou outro fórum aprovado. Para ser elegível, o aluno deve ter uma média de pontos cumulativos de 3,7 na graduação e 3,0 no geral. O Departamento pode fazer exceções especiais. Pré-requisitos: A inscrição é a convite do Departamento. Oferecido por acordo individual
Créditos: 3-6

Um curso de estudo no qual um aluno trabalha individualmente em um projeto sob a supervisão de um membro do corpo docente. Um projeto Math 398 enfatizará a pesquisa sobre um tópico que está fora do alcance do currículo, conforme contido nas ofertas de cursos regulares. Além disso, os alunos devem ir além do livro didático, para se envolver na leitura, investigação e descoberta que reflita a pesquisa matemática criativa. Todos esses projetos devem ser aprovados pelo presidente como adequados para o Math 398. Pré-requisito: permissão do instrutor. Oferecido por acordo individual.
Créditos: 1-3

Um curso no qual os alunos trabalham individualmente sob a supervisão de um membro do corpo docente. Pré-requisitos: Permissão do instrutor. (1 a 3 horas semestrais.) Oferecido por acordo individual
Créditos: 1-3

Projetado para professores que desejam renovar e fortalecer seus conhecimentos de cálculo elementar, bem como para aqueles que desejam aprofundar o assunto. Começando com material familiar, o curso tenta desenvolver a teoria de suporte intermediária. Os tópicos abordados incluem teoria de limite, diferenciação, propriedades de funções contínuas e a teoria de integração de Riemann. Pré-requisitos: Um curso de análise.
Créditos: 3

Álgebra Clássica é uma introdução à teoria dos números e álgebra superior dentro de um contexto histórico. O curso pode ser usado como eletivo de matemática pelos alunos do M.S. programa de matemática secundária. Com permissão do departamento, está aberto a alunos de graduação e estará disponível para créditos de matemática de 300 níveis para alunos que não tiveram a Teoria dos Números (MATH 319) e Álgebra Abstrata (MATH 330).
Créditos: 3

Muitos modelos podem ser formulados como um sistema de equações lineares. A ênfase principal deste curso é investigar uma série de modelos que podem ser resolvidos usando técnicas matriciais e álgebra linear. Os aplicativos podem incluir, mas não estão limitados a, Ajuste de Dados por Mínimos Quadrados, Cadeias de Markov e Modelos de Crescimento Populacional. Pré-requisitos: Um curso de Álgebra Linear Elementar.
Créditos: 3

O conceito de uma transformação geométrica é estudado em conjunto com a estrutura básica de um grupo e propriedades de um espaço que permanecem invariáveis ​​sob transformações especificadas. As transformações isométricas e de similaridade do plano serão estudadas em profundidade em uma estrutura sintética e analítica. Conforme o tempo permitir, serão investigadas inversões, transformações afins, projetivas e topológicas. Pré-requisitos: Um curso de geometria.
Créditos: 3

Apresenta a descoberta da geometria não euclidiana e a posterior reformulação dos fundamentos da geometria euclidiana. A geometria de Euclides, axiomática moderna, geometria de Hilbert e # 039 e geometria hiperbólica são estudadas com o objetivo de expandir o conhecimento e percepção da geometria dos alunos, mas também para obter uma apreciação do trabalho original de Euclides. Pré-requisitos: Um curso de geometria.
Créditos: 3

O curso cobrirá os fundamentos da combinatória, começando com técnicas elementares de contagem (combinações e permutações) e incluindo tópicos como funções geradoras, fórmula de enumeração de Polya & # 039s e teoria dos gráficos. Haverá uma ênfase na modelagem discreta. Pré-requisitos: Um curso em Matemática Discreta ou Teoria das Probabilidades.
Créditos: 3

O curso cobrirá métodos estatísticos básicos, incluindo o teste do qui-quadrado, regressão e correlação, análise de variância e desenho experimental e estatística não paramétrica. A ênfase está na arte do pensamento estatístico e da análise de dados com base em problemas do mundo real. A utilização do computador e dos seus dispositivos periféricos como ferramentas para a compreensão dos conceitos estatísticos será incluída nesta unidade curricular. Pré-requisitos: Um curso de graduação em Probabilidade e Estatística.
Créditos: 3

Um desenvolvimento cronológico dos princípios fundamentais da matemática moderna. Os conceitos subjacentes que formam a base para o desenvolvimento axiomático da geometria, álgebra e análise são discutidos no âmbito do currículo de matemática. Pré-requisitos: Um curso em cada uma das áreas: álgebra, análise, geometria.
Créditos: 3

Problemas que surgem em uma variedade de campos serão investigados a partir de uma perspectiva de modelagem matemática. Os conceitos e técnicas matemáticas básicas amplamente utilizadas em Matemática Aplicada e Análise Numérica serão estudados no contexto das aplicações. Métodos numéricos, envolvendo o uso de calculadoras e / ou tecnologia informática, que auxiliem na investigação, serão introduzidos dependendo da aplicação específica. Pré-requisitos: Cálculo III e Álgebra Linear Elementar.
Créditos: 3