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4: A Derivada - Matemática


4: A Derivada - Matemática

4: A Derivada - Matemática

Na primeira seção do capítulo Limites, vimos que o cálculo da inclinação de uma linha tangente, a taxa instantânea de mudança de uma função e a velocidade instantânea de um objeto em (x = a ) exigiam que calculássemos o seguinte limite.

Também vimos que, com uma pequena mudança de notação, esse limite também poderia ser escrito como,

Este é um limite tão importante e surge em tantos lugares que lhe damos um nome. Nós o chamamos de derivado. Aqui está a definição oficial da derivada.

Definição do Derivado

Observe que substituímos todos os umaEstá em ( eqref) com xÉ reconhecer o fato de que a derivada é realmente uma função também. Freqüentemente “lemos” (f ' left (x right) ) como “f primo de x”.

Vamos calcular algumas derivadas usando a definição.

Então, tudo o que realmente precisamos fazer é inserir esta função na definição da derivada, ( eqref), e fazer alguma álgebra. Embora, reconhecidamente, a álgebra fique um pouco desagradável às vezes, mas é apenas álgebra, então não fique animado com o fato de que agora estamos calculando derivados.

Primeiro, conecte a função na definição da derivada.

Tenha cuidado e certifique-se de lidar corretamente com os parênteses ao fazer a subtração.

Agora, sabemos do capítulo anterior que não podemos simplesmente inserir (h = 0 ), pois isso nos dará uma divisão por erro zero. Então, vamos ter que fazer algum trabalho. Nesse caso, isso significa multiplicar tudo e distribuir o sinal de menos no segundo termo. Fazer isso dá,

Observe que cada termo no numerador que não teve um h nele cancelado e agora podemos fatorar um h fora do numerador que irá cancelar contra o h no denominador. Depois disso, podemos calcular o limite.

Este vai ser um pouco mais confuso no que diz respeito à álgebra. No entanto, fora disso, funcionará exatamente da mesma maneira que os exemplos anteriores. Primeiro, conectamos a função na definição da derivada,

Observe que alteramos todas as letras na definição para corresponder à função fornecida. Observe também que escrevemos a fração de uma maneira muito mais compacta para nos ajudar com o trabalho.

Como no primeiro problema, não podemos simplesmente conectar (h = 0 ). Então, vamos precisar simplificar um pouco as coisas. Nesse caso, precisaremos combinar os dois termos do numerador em uma única expressão racional da seguinte maneira.

Antes de terminar, vamos observar algumas coisas. Primeiro, não multiplicamos o denominador. Multiplicar o denominador só complicará as coisas demais, então vamos mantê-lo simples. Em seguida, como no primeiro exemplo, após a simplificação, só temos termos com hEstá neles à esquerda no numerador e, portanto, agora podemos cancelar um h Fora.

Então, ao cancelar o h podemos avaliar o limite e obter a derivada.

Primeiro, conecte-se à definição da derivada, como fizemos com os dois exemplos anteriores.

Neste problema, teremos que racionalizar o numerador. Você se lembra da racionalização de uma aula de álgebra, certo? Em uma aula de álgebra, você provavelmente apenas racionalizou o denominador, mas também pode racionalizar os numeradores. Lembre-se de que, ao racionalizar o numerador (neste caso), multiplicamos o numerador e o denominador pelo numerador, exceto que mudamos o sinal entre os dois termos. Aqui está o trabalho de racionalização para este problema,

Novamente, após a simplificação, temos apenas hDeixou no numerador. Então, cancele o h e avaliar o limite.

E então temos uma derivada de,

Vamos trabalhar mais um exemplo. Este será um pouco diferente, mas tem um ponto que precisa ser destacado.

Uma vez que este problema está pedindo a derivada em um ponto específico, iremos em frente e usaremos isso em nosso trabalho. Isso tornará nossa vida mais fácil e isso é sempre uma coisa boa.

Portanto, conecte-se à definição e simplifique.

Vimos uma situação como essa quando olhávamos para os limites do infinito. Como nessa seção, não podemos simplesmente cancelar o h'S. Teremos que olhar para os dois limites unilaterais e lembrar que

Os dois limites unilaterais são diferentes e assim

não existe. No entanto, esse é o limite que nos dá a derivada que buscamos.

Se o limite não existe, então a derivada também não existe.

Neste exemplo, finalmente vimos uma função para a qual a derivada não existe em um ponto. Este é um fato da vida do qual devemos estar cientes. Os derivados nem sempre existirão. Observe também que isso não diz nada sobre se a derivada existe ou não em qualquer outro lugar. Na verdade, a derivada da função de valor absoluto existe em todos os pontos, exceto naquele que acabamos de ver, (x = 0 ).

A discussão anterior leva à seguinte definição.

Definição

Uma função (f left (x right) ) é chamada diferenciável em (x = a ) se (f ' left (a right) ) existe e (f left (x right) ) é chamado diferenciável em um intervalo se a derivada existe para cada ponto em esse intervalo.

O próximo teorema nos mostra uma relação muito boa entre funções que são contínuas e aquelas que são diferenciáveis.

Teorema

Se (f left (x right) ) é diferenciável em (x = a ), então (f left (x right) ) é contínuo em (x = a ).

Observe que este teorema não funciona ao contrário. Considere (f left (x right) = left | x right | ) e dê uma olhada em,

[ mathop < lim> limits_ f left (x right) = mathop < lim> limits_ left | x right | = 0 = f left (0 right) ]

Portanto, (f left (x right) = left | x right | ) é contínuo em (x = 0 ), mas acabamos de mostrar no Exemplo 4 que (f left (x right) = left | x right | ) não é diferenciável em (x = 0 ).

Notação Alternativa

A seguir, precisamos discutir alguma notação alternativa para a derivada. A notação derivada típica é a notação “principal”. No entanto, há outra notação que é usada na ocasião, então vamos cobrir isso.

Dada uma função (y = f left (x right) ) todos os seguintes são equivalentes e representam a derivada de (f left (x right) ) em relação a x.

Como também precisamos avaliar derivadas ocasionalmente, também precisamos de uma notação para avaliar derivadas ao usar a notação fracionária. Portanto, se quisermos avaliar a derivada em (x = a ), todos os itens a seguir são equivalentes.

Observe também que, ocasionalmente, deixaremos a parte ( left (x right) ) na função para simplificar um pouco a notação. Nestes casos, o seguinte é equivalente.

Como uma nota final nesta seção, reconheceremos que calcular a maioria dos derivados diretamente da definição é um processo bastante complexo (e às vezes doloroso) cheio de oportunidades para cometer erros. Em algumas seções, começaremos a desenvolver fórmulas e / ou propriedades que nos ajudarão a tomar a derivada de muitas das funções comuns, de modo que não precisaremos recorrer à definição da derivada com muita frequência.

Isso não significa, no entanto, que não seja importante saber a definição da derivada! É uma definição importante que devemos sempre saber e manter em mente. É apenas algo com o qual não trabalharemos muito.


Primeira Derivada

Considere a função $ f (x) = 3x ^ 4-4x ^ 3-12x ^ 2 + 3 $ no intervalo $ [- 2,3] $. Não podemos encontrar regiões das quais $ f $ está aumentando ou diminuindo, máximos ou mínimos relativos, ou o valor máximo ou mínimo absoluto de $ f $ em $ [- 2,3] $ por inspeção. Fazer gráficos à mão é tedioso e impreciso. Mesmo o uso de um programa de representação gráfica nos dará apenas uma aproximação para as localizações e valores de máximos e mínimos. Podemos usar a primeira derivada de $ f $, no entanto, para encontrar todas essas coisas de forma rápida e fácil.

Seja $ f $ definido em um intervalo $ I $. Seja $ x_1 em I $ e $ x_2 em I $.

Então $ f $ é aumentando em $ I $ se $ x_1 & lt x_2 $ implica $ f (x_1) & lt f (x_2) $.

A função $ f $ é decrescente em $ I $ se $ x_1 & lt x_2 $ implica $ f (x_1) & gt f (x_2) $.

Seja $ f $ contínuo em um intervalo $ I $ e diferenciável no interior de $ I $.

  • Se $ f '(x) & gt 0 $ para todos os $ x em I $, então $ f $ é aumentando em $ I $.
  • Se $ f '(x) & lt 0 $ para todos os $ x em I $, então $ f $ é decrescente em $ I $.
Exemplo

A função $ f (x) = 3x ^ 4-4x ^ 3-12x ^ 2 + 3 $ tem a primeira derivada begin f '(x) & amp = & amp 12x ^ 3 & # 8211 12x ^ 2 -24x & amp = & amp 12x (x ^ 2 -x & # 8211 2) & amp = & amp 12x (x + 1) (x- 2). fim Assim, $ f (x) $ está aumentando em $ (- 1,0) cup (2, infty) $ e diminuindo em $ (- infty, -1) cup (0,2) $.

Uma função $ f $ tem um máximo relativo (ou local) em $ x_0 $ se $ f (x_0) geq f (x) $ para todos $ x $ em algum intervalo aberto contendo $ x_0 $. A função tem um relativo, ou mínimo local em $ x_0 $ se $ f (x_0) leq f (x) $ para todos $ x $ em algum intervalo aberto contendo $ x_0 $.

Máximos e mínimos relativos são chamados extremos relativos.

Extremos relativos de $ f $ ocorrem em Pontos críticos de $ f $, valores $ x_0 $ para os quais $ f '(x_0) = 0 $ ou $ f' (x_0) $ é indefinido.

Teste de Primeira Derivada

Suponha que $ f $ seja contínuo em um ponto crítico $ x_0 $.

  • Se $ f '(x) & gt 0 $ em um intervalo aberto estendendo-se à esquerda de $ x_0 $ e $ f' (x) & lt 0 $ em um intervalo aberto estendendo-se à direita de $ x_0 $, então $ f $ tem um máximo relativo em $ x_0 $.
  • Se $ f '(x) & lt 0 $ em um intervalo aberto estendendo-se à esquerda de $ x_0 $ e $ f' (x) & gt 0 $ em um intervalo aberto estendendo-se à direita de $ x_0 $, então $ f $ tem um mínimo relativo em $ x_0 $.
  • Se $ f '(x) $ tem o mesmo sinal em um intervalo aberto estendendo-se à esquerda de $ x_0 $ e um intervalo aberto estendendo-se à direita de $ x_0 $, então $ f $ não tem um extremo relativo em $ x_0 $.

Em resumo, extremos relativos ocorrem onde $ f '(x) $ muda de sinal.

Exemplo

Nossa função $ f (x) = 3x ^ 4-4x ^ 3-12x ^ 2 + 3 $ é diferenciável em qualquer lugar em $ [- 2,3] $, com $ f '(x) = 0 $ para $ x = - 1,0,2 $. Esses são os três pontos críticos de $ f $ em $ [- 2,3] $. Pelo primeiro teste derivado, $ f $ tem um máximo relativo em $ x = 0 $ e mínimos relativos em $ x = -1 $ e $ x = 2 $.

Se $ f (x_0) geq f (x) $ para todos $ x $ em um intervalo $ I $, então $ f $ atinge seu máximo absoluto mais de $ I $ em $ x_0 $.

Se $ f (x_0) leq f (x) $ para todos os x em um intervalo $ I $, então $ f $ atinge seu mínimo absoluto mais de $ I $ em $ x_0 $.

Máximos absolutos e mínimos absolutos são frequentemente referidos simplesmente como máximos e mínimos e são chamados coletivamente Valores extremos de $ f $.

  • Se $ f $ tem um valor extremo em um abrir intervalo, então o valor extremo ocorre em um ponto crítico de $ f $.
  • Se $ f $ tem um valor extremo em um fechado intervalo, então o valor extremo ocorre em um ponto crítico ou em um ponto final.

Teorema de valor extremo

Se uma função é contínua em um intervalo fechado, ela atinge um máximo absoluto e um mínimo absoluto no intervalo.

Exemplo

Como $ f (x) = 3x ^ 4-4x ^ 3-12x ^ 2 + 3 $ é contínuo em $ [- 2,3] $, $ f $ deve ter um máximo absoluto e um mínimo absoluto em $ [- 2 , 3] $. Simplesmente precisamos verificar o valor de $ f $ nos pontos críticos $ x = -1,0,2 $ e nos pontos finais $ x = -2 $ e $ x = 3 $: begin f (-2) & amp = & amp 35, f (-1) & amp = & amp -2, f (0) & amp = & amp 3, f (2) & amp = & amp -29, f ( 3) & amp = & amp 30. end Assim, em $ [- 2,3] $, $ f (x) $ atinge um valor máximo de 35 em $ x = -2 $ e um valor mínimo de -29 em $ x = 2 $.

Descobrimos muito sobre a forma de $ f (x) = 3x ^ 4-4x ^ 3-12x ^ 2 + 3 $ sem nunca fazer um gráfico! Agora dê uma olhada no gráfico e verifique cada uma de nossas conclusões.

Conceitos chave

Seja $ f $ contínuo em um intervalo $ I $ e diferenciável no interior de $ I $. Se $ f '(x) & gt 0 $ para todos os $ x em I $, então $ f $ é aumentando em $ I $. Se $ f '(x) & lt 0 $ para todos os $ x em I $, então $ f $ é decrescente em $ I $.

Pelo primeiro teste derivado, extremos relativos ocorrem onde $ f '(x) $ muda de sinal.

Se $ f $ tiver um valor extremo em um intervalo fechado, o valor extremo ocorrerá em um ponto crítico ou em um ponto final.


Teste Derivativo

Muitas aplicações de cálculo exigem que deduzamos fatos sobre uma função f das informações relativas aos seus derivados. Desde f & lsquo (x) representa a inclinação da curva y = f(x) no ponto (x, f(x)), ele nos diz a direção em que a curva prossegue em cada ponto.

Teste de aumento / diminuição

Encontre onde está a função f(x) = x 3 & ndash 12x + 1 está aumentando e onde está diminuindo.

Passo 1: Encontre a derivada de f

Passo 2: Definir f & lsquo (x) = 0 para obter os números críticos

Etapa 3: Configure intervalos cujos pontos finais sejam os números críticos e determine o sinal de f & lsquo (x) para cada um dos intervalos. Use o teste de aumento / diminuição para determinar se f(x) está aumentando ou diminuindo para cada intervalo.

O primeiro teste derivado

Suponha que c é um número crítico de uma função contínua f.

1. Se f & lsquo muda de positivo para negativo às c, então f tem um máximo local em c.
2. Se f & lsquo muda de negativo para positivo às c, então f tem um mínimo local em c.
3. Se f & lsquo não muda o sinal em c (f & lsquo é positivo em ambos os lados do c ou f & lsquo é negativo em ambos os lados), então f não tem máximo ou mínimo local em c.

Encontre os valores máximo e mínimo locais da função f(x) = x 4 & ndash 2x 2 + 3

Passo 1: Encontre a derivada de f

Passo 2: Definir f & lsquo (x) = 0 para obter os números críticos

Etapa 3: Configure intervalos cujos pontos finais sejam os números críticos e determine o sinal de f & lsquo (x) para cada um dos intervalos.

Passo 4: Use o primeiro teste de derivada para encontrar os valores máximo e mínimo locais.

f & lsquo (x) passa de negativo para positivo em x = & ndash1, o primeiro teste derivado nos diz que há um mínimo local em x = & ndash1.
f (& ndash1) = 2 é o valor mínimo local.

f & lsquo (x) vai de positivo para negativo em x = 0, o primeiro teste derivado nos diz que há um máximo local em x = 0.
f (0) = 3 é o valor máximo local.

f & lsquo (x) passa de negativo para positivo em x = 1, o primeiro teste derivado nos diz que há um mínimo local em x = 1.
f (1) = 2 é o valor mínimo local.

O segundo teste derivado

Também podemos usar o Teste de Segunda Derivada para determinar os valores máximos ou mínimos.

O segundo teste derivado

Use o segundo teste derivado para encontrar os valores máximo e mínimo locais da função f(x) = x 4 & ndash 2x 2 + 3

Passo 1: Encontre a derivada de f

Passo 2: Definir f & lsquo (x) = 0 para obter os números críticos

Etapa 3: Encontre a segunda derivada

Passo 4: Avalie f & lsquo & rsquoat os números críticos

f & lsquo & rsquo (& ndash1) = 8 & gt 0, então f (& ndash1) = 2 é o valor mínimo local.
f & lsquo & rsquo (0) = & ndash 4 & lt 0, então f (0) = 2 é o valor máximo local.
f & lsquo & rsquo (1) = 8 & gt 0, então f (1) = 2 é o valor mínimo local.

Vídeos - Máximos e mínimos relativos

Máximos e mínimos relativos (máximos e mínimos locais)
Encontrar máximos e mínimos relativos de uma função pode ser feito olhando para um gráfico da função. Um máximo relativo é um ponto que é mais alto do que os pontos diretamente ao lado dele em ambos os lados, e um mínimo relativo é um ponto que é menor do que os pontos diretamente ao lado dele em ambos os lados. Máximos e mínimos relativos são pontos importantes no esboço de curvas e podem ser encontrados pelo primeiro ou pelo segundo teste de derivada.

Primeiro Teste Derivado para Máximo e Mínimo Relativo

Concavidade e pontos de inflexão

Segundo Teste Derivado para Máximo e Mínimo Relativo

O teste da segunda derivada é útil ao tentar encontrar um máximo ou mínimo relativo se uma função tem uma primeira derivada que é zero em um determinado ponto. Como o teste da primeira derivada falha neste ponto, o ponto é um ponto de inflexão. O teste da segunda derivada depende do sinal da segunda derivada nesse ponto. Se for positivo, o ponto é um mínimo relativo e, se for negativo, o ponto é um máximo relativo.

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Exercícios 2.4

Ex 2.4.1 Encontre a derivada de $ ds y = f (x) = sqrt <169-x ^ 2> $. (responder)

Ex 2.4.2 Encontre a derivada de $ ds y = f (t) = 80-4,9t ^ 2 $. (responder)

Ex 2.4.3 Encontre a derivada de $ ds y = f (x) = x ^ 2- (1 / x) $. (responder)

Ex 2.4.4 Encontre a derivada de $ ds y = f (x) = ax ^ 2 + bx + c $ (onde $ a $, $ b $ e $ c $ são constantes). (responder)

Ex 2.4.5 Encontre a derivada de $ ds y = f (x) = x ^ 3 $. (responder)

Ex 2.4.6 É mostrado o gráfico de uma função $ f (x) $. Esboce o gráfico de $ f '(x) $ estimando a derivada em uma série de pontos no intervalo: estime a derivada em intervalos regulares de uma extremidade do intervalo ao outro, e também em pontos "especiais", como quando a derivada é zero. Certifique-se de indicar todos os lugares onde a derivada não existe.

Ex 2.4.7 É mostrado o gráfico de uma função $ f (x) $. Esboce o gráfico de $ f '(x) $ estimando a derivada em uma série de pontos no intervalo: estime a derivada em intervalos regulares de uma extremidade do intervalo ao outro, e também em pontos "especiais", como quando a derivada é zero. Certifique-se de indicar todos os lugares onde a derivada não existe.

Ex 2.4.8 Encontre a derivada de $ ds y = f (x) = 2 / sqrt <2x + 1> $ (resposta)

Ex 2.4.9 Encontre a derivada de $ y = g (t) = (2t-1) / (t + 2) $ (resposta)

Ex 2.4.10 Encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico de $ ds f (x) = 5-x-3x ^ 2 $ no ponto $ x = 2 $ (resposta)

Ex 2.4.11 Encontre um valor para $ a $ de forma que o gráfico de $ ds f (x) = x ^ 2 + ax-3 $ tenha uma linha tangente horizontal em $ x = 4 $. (responder)


Exercícios 2.4

Ex 2.4.1 Encontre a derivada de $ ds y = f (x) = sqrt <169-x ^ 2> $. (responder)

Ex 2.4.2 Encontre a derivada de $ ds y = f (t) = 80-4,9t ^ 2 $. (responder)

Ex 2.4.3 Encontre a derivada de $ ds y = f (x) = x ^ 2- (1 / x) $. (responder)

Ex 2.4.4 Encontre a derivada de $ ds y = f (x) = ax ^ 2 + bx + c $ (onde $ a $, $ b $ e $ c $ são constantes). (responder)

Ex 2.4.5 Encontre a derivada de $ ds y = f (x) = x ^ 3 $. (responder)

Ex 2.4.6 É mostrado o gráfico de uma função $ f (x) $. Esboce o gráfico de $ f '(x) $ estimando a derivada em uma série de pontos no intervalo: estime a derivada em intervalos regulares de uma extremidade do intervalo para a outra, e também em pontos "especiais", como quando a derivada é zero. Certifique-se de indicar todos os lugares onde a derivada não existe.

Ex 2.4.7 É mostrado o gráfico de uma função $ f (x) $. Esboce o gráfico de $ f '(x) $ estimando a derivada em uma série de pontos no intervalo: estime a derivada em intervalos regulares de uma extremidade do intervalo ao outro, e também em pontos "especiais", como quando a derivada é zero. Certifique-se de indicar todos os lugares onde a derivada não existe.

Ex 2.4.8 Encontre a derivada de $ ds y = f (x) = 2 / sqrt <2x + 1> $ (resposta)

Ex 2.4.9 Encontre a derivada de $ y = g (t) = (2t-1) / (t + 2) $ (resposta)

Ex 2.4.10 Encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico de $ ds f (x) = 5-x-3x ^ 2 $ no ponto $ x = 2 $ (resposta)

Ex 2.4.11 Encontre um valor para $ a $ de forma que o gráfico de $ ds f (x) = x ^ 2 + ax-3 $ tenha uma linha tangente horizontal em $ x = 4 $. (responder)


4: A Derivada - Matemática

Neste capítulo, começaremos a olhar para o próximo tópico principal em uma aula de cálculo, derivadas. Este capítulo é dedicado quase exclusivamente a encontrar derivados. Veremos uma aplicação deles neste capítulo. Estaremos deixando a maioria das aplicações de derivados para o próximo capítulo.

Aqui está uma lista dos tópicos abordados neste capítulo.

A Definição da Derivada - Nesta seção, definimos a derivada, damos várias notações para a derivada e trabalhamos alguns problemas ilustrando como usar a definição da derivada para realmente calcular a derivada de uma função.

Interpretação da derivada - nesta seção, apresentamos várias das interpretações mais importantes da derivada. Discutimos a taxa de variação de uma função, a velocidade de um objeto em movimento e a inclinação da reta tangente ao gráfico de uma função.

Fórmulas de diferenciação - nesta seção, fornecemos a maioria das fórmulas e propriedades de derivadas gerais usadas ao tirar a derivada de uma função. Os exemplos nesta seção se concentram principalmente em polinômios, raízes e, de forma mais geral, variáveis ​​elevadas a potências.

Regra de produto e quociente - nesta seção, daremos duas das fórmulas mais importantes para funções de diferenciação. Discutiremos a Regra do Produto e a Regra do Quociente, permitindo-nos diferenciar funções que, até este ponto, não fomos capazes de diferenciar.

Derivadas de funções trigonométricas - Nesta seção, discutiremos a diferenciação de funções trigonométricas. Derivadas de todas as seis funções trigonométricas são fornecidas e mostramos a derivada da derivada de ( sin (x) ) e ( tan (x) ).

Derivadas de funções exponenciais e logarítmicas - Nesta seção, derivamos as fórmulas para as derivadas das funções exponenciais e logaritmos.

Derivadas de funções trigonométricas inversas - Nesta seção, fornecemos as derivadas de todas as seis funções trigonométricas inversas. Mostramos a derivação das fórmulas para seno inverso, cosseno inverso e tangente inversa.

Derivadas de funções hiperbólicas - nesta seção, definimos as funções hiperbólicas, fornecemos as relações entre elas e alguns dos fatos básicos que envolvem funções hiperbólicas. Também fornecemos as derivadas de cada uma das seis funções hiperbólicas e mostramos a derivação da fórmula do seno hiperbólico.

Regra da cadeia - nesta seção, discutimos uma das fórmulas de diferenciação mais úteis e importantes, a regra da cadeia. Com a regra da cadeia em mãos, seremos capazes de diferenciar uma variedade muito maior de funções. Como você verá no restante de seus cursos de Cálculo, muitos dos derivados que você fará envolverão a regra da cadeia!

Diferenciação implícita - Nesta seção, discutiremos a diferenciação implícita. Nem todas as funções podem ser escritas explicitamente em termos da variável independente, por exemplo, y = f (x) e ainda assim precisaremos saber o que é f '(x). A diferenciação implícita nos permitirá encontrar a derivada nesses casos. Conhecer a diferenciação implícita nos permitirá fazer uma das aplicações mais importantes de derivados, Taxas Relacionadas (a próxima seção) ./ p>

Taxas relacionadas - nesta seção, discutiremos a única aplicação de derivativos nesta seção, Taxas relacionadas. Em problemas de taxas relacionados, fornecemos a taxa de variação de uma quantidade em um problema e solicitamos que determinemos a taxa de uma (ou mais) quantidades no problema. Geralmente, essa é uma das seções mais difíceis para os alunos. Trabalhamos com alguns problemas nesta seção, portanto, esperançosamente, ao final desta seção, você terá uma compreensão decente de como esses problemas funcionam.

Derivadas de ordem superior - nesta seção, definimos o conceito de derivadas de ordem superior, oferecemos uma aplicação rápida da derivada de segunda ordem e mostramos como a diferenciação implícita funciona para derivadas de ordem superior.


Conteúdo

A derivada de uma função é simplesmente a inclinação desta reta tangente. [Nota 2] Embora a linha tangente toque apenas um único ponto no ponto de tangência, ela pode ser aproximada por uma linha que passa por dois pontos. Isso é conhecido como linha secante. Se os dois pontos pelos quais a linha secante passa estão próximos, a linha secante se parece muito com a linha tangente e, como resultado, sua inclinação também é muito semelhante:

desde que tal limite exista. [4] [Nota 4] Assim, conseguimos definir adequadamente a derivada de uma função, o que significa que a 'inclinação da reta tangente' agora tem um significado matemático preciso. Diferenciar uma função usando a definição acima é conhecido como diferenciação dos primeiros princípios. Aqui está uma prova, usando a diferenciação dos primeiros princípios, que a derivada de y = x 2 < displaystyle y = x ^ <2>> é 2 x < displaystyle 2x>:

Um conceito intimamente relacionado à derivada de uma função é seu diferencial. Quando x e y são variáveis ​​reais, a derivada de f no x é a inclinação da linha tangente ao gráfico de f no x . Porque a origem e o destino de f são unidimensionais, a derivada de f é um número real. Se x e y são vetores, então a melhor aproximação linear para o gráfico de f depende de como f mudanças em várias direções ao mesmo tempo. Tomando a melhor aproximação linear em uma única direção, determina-se uma derivada parcial, que geralmente é denotada por ∂y / ∂x . A linearização de f em todas as direções ao mesmo tempo é chamada de derivada total.

O conceito de derivada no sentido de linha tangente é muito antigo, familiar aos geômetras gregos como Euclides (c. 300 aC), Arquimedes (c. 287-212 aC) e Apolônio de Perga (c. 262- 190 aC). [5] Arquimedes também fez uso de indivisíveis, embora estes fossem usados ​​principalmente para estudar áreas e volumes ao invés de derivados e tangentes (ver O Método dos Teoremas Mecânicos).

O uso de infinitesimais para estudar taxas de mudança pode ser encontrado na matemática indiana, talvez já em 500 DC, quando o astrônomo e matemático Aryabhata (476–550) usou infinitesimais para estudar a órbita da Lua. [6] O uso de infinitesimais para calcular taxas de mudança foi desenvolvido significativamente por Bhāskara II (1114-1185), de fato, foi argumentado [7] que muitas das noções-chave de cálculo diferencial podem ser encontradas em seu trabalho, como "Teorema de Rolle". [8]

O matemático islâmico Sharaf al-Dīn al-Tūsī (1135–1213), em seu Tratado de Equações, estabeleceu condições para que algumas equações cúbicas tenham soluções, encontrando os máximos de polinômios cúbicos apropriados. Ele provou, por exemplo, que o máximo da cúbica machado 2 – x 3 ocorre quando x = 2uma/ 3, e concluiu daí que a equação machado 2 — x 3 = c tem exatamente uma solução positiva quando c = 4uma 27/03, e duas soluções positivas sempre que 0 & lt c & lt 4uma 27/03. [9] O historiador da ciência, Roshdi Rashed, [10] argumentou que al-Tūsī deve ter usado a derivada da cúbica para obter este resultado. A conclusão de Rashed foi contestada por outros estudiosos, entretanto, que argumentam que ele poderia ter obtido o resultado por outros métodos que não requerem que a derivada da função seja conhecida. [11]

O desenvolvimento moderno do cálculo é geralmente creditado a Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), que forneceram abordagens independentes [12] e unificadas para diferenciação e derivados. O insight principal, no entanto, que lhes rendeu esse crédito, foi o teorema fundamental do cálculo relacionando diferenciação e integração: isso tornou obsoletos a maioria dos métodos anteriores para áreas de computação e volumes, [13] que não foram significativamente estendidos desde o tempo de Ibn al -Haytham (Alhazen). [14] Para suas ideias sobre derivados, Newton e Leibniz construíram trabalhos anteriores significativos de matemáticos como Pierre de Fermat (1607-1665), Isaac Barrow (1630-1677), René Descartes (1596-1650), Christiaan Huygens ( 1629–1695), Blaise Pascal (1623–1662) e John Wallis (1616–1703). Sobre a influência de Fermat, Newton escreveu uma vez em uma carta que "Tive a sugestão desse método [de fluxões] a partir da maneira de Fermat de desenhar tangentes e, ao aplicá-lo a equações abstratas, direta e inversamente, tornei-o geral."[15] Isaac Barrow geralmente recebe crédito pelo desenvolvimento inicial da derivada. [16] No entanto, Newton e Leibniz permanecem figuras-chave na história da diferenciação, não menos porque Newton foi o primeiro a aplicar a diferenciação à física teórica, enquanto Leibniz desenvolveu sistematicamente muito da notação usada ainda hoje.

Desde o século 17, muitos matemáticos contribuíram para a teoria da diferenciação. No século 19, o cálculo foi colocado em uma base muito mais rigorosa por matemáticos como Augustin Louis Cauchy (1789-1857), Bernhard Riemann (1826-1866) e Karl Weierstrass (1815-1897). Foi também nesse período que a diferenciação se generalizou para o espaço euclidiano e o plano complexo.

Edição de Otimização

Se f é uma função diferenciável em ℝ (ou um intervalo aberto) e x é um máximo local ou um mínimo local de f , então a derivada de f no x é zero. Pontos onde f '(x) = 0 são chamados Pontos críticos ou pontos estacionários (e o valor de f no x é chamado de valor crítico) Se f não é considerado diferenciável em todos os lugares, então os pontos nos quais não é diferenciável também são designados como pontos críticos.

Se f é duas vezes diferenciável, então, inversamente, um ponto crítico x de f pode ser analisado considerando a segunda derivada de f no x :

  • se for positivo, x é um mínimo local
  • se for negativo, x é um máximo local
  • se for zero, então x pode ser um mínimo local, um máximo local ou nenhum. (Por exemplo, f(x) = x 3 tem um ponto crítico em x = 0, mas não tem nem máximo nem mínimo lá, enquanto f(x) = ± x 4 tem um ponto crítico em x = 0 e um mínimo e um máximo, respectivamente, lá.)

Isso é chamado de teste de segunda derivada. Uma abordagem alternativa, chamada de teste da primeira derivada, envolve considerar o sinal do f ' em cada lado do ponto crítico.

Tomar derivadas e resolver pontos críticos é, portanto, muitas vezes uma maneira simples de encontrar mínimos ou máximos locais, o que pode ser útil na otimização. Pelo teorema do valor extremo, uma função contínua em um intervalo fechado deve atingir seus valores mínimo e máximo pelo menos uma vez. Se a função for diferenciável, os mínimos e máximos podem ocorrer apenas em pontos críticos ou pontos finais.

Isso também tem aplicações no esboço de gráfico: uma vez que os mínimos e máximos locais de uma função diferenciável foram encontrados, um gráfico aproximado do gráfico pode ser obtido a partir da observação de que ele estará aumentando ou diminuindo entre os pontos críticos.

Em dimensões superiores, um ponto crítico de uma função de valor escalar é um ponto em que o gradiente é zero. O teste da segunda derivada ainda pode ser usado para analisar pontos críticos, considerando os autovalores da matriz Hessiana das derivadas parciais secundárias da função no ponto crítico. Se todos os valores próprios forem positivos, o ponto será um mínimo local, se todos forem negativos, será um máximo local. Se houver alguns valores próprios positivos e alguns negativos, o ponto crítico é chamado de "ponto de sela", e se nenhum desses casos se mantiver (ou seja, alguns dos valores próprios são zero), o teste é considerado inconclusivo.

Cálculo de variações Editar

Um exemplo de problema de otimização é: Encontre a curva mais curta entre dois pontos em uma superfície, supondo que a curva também deve estar na superfície. Se a superfície for um plano, a curva mais curta é uma linha. Mas se a superfície for, por exemplo, em forma de ovo, então o caminho mais curto não é imediatamente claro. Esses caminhos são chamados de geodésicas, e um dos problemas mais fundamentais no cálculo de variações é encontrar geodésicas. Outro exemplo é: Encontre o menor preenchimento de superfície de área em uma curva fechada no espaço. Essa superfície é chamada de superfície mínima e também pode ser encontrada usando o cálculo de variações.

Edição de Física

O cálculo é de vital importância na física: muitos processos físicos são descritos por equações envolvendo derivadas, chamadas equações diferenciais. A física está particularmente preocupada com a forma como as quantidades mudam e se desenvolvem ao longo do tempo, e o conceito de "derivada do tempo"- a taxa de mudança ao longo do tempo - é essencial para a definição precisa de vários conceitos importantes. Em particular, as derivadas de tempo da posição de um objeto são significativas na física newtoniana:

    é a derivada (em relação ao tempo) do deslocamento de um objeto (distância da posição original) é a derivada (em relação ao tempo) da velocidade de um objeto, ou seja, a segunda derivada (em relação ao tempo) da posição de um objeto .

Por exemplo, se a posição de um objeto em uma linha é fornecida por

então a velocidade do objeto é

e a aceleração do objeto é

Editar equações diferenciais

Uma equação diferencial é uma relação entre uma coleção de funções e suas derivadas. Uma equação diferencial ordinária é uma equação diferencial que relaciona funções de uma variável a suas derivadas com respeito a essa variável. Uma equação diferencial parcial é uma equação diferencial que relaciona funções de mais de uma variável a suas derivadas parciais. Differential equations arise naturally in the physical sciences, in mathematical modelling, and within mathematics itself. For example, Newton's second law, which describes the relationship between acceleration and force, can be stated as the ordinary differential equation

The heat equation in one space variable, which describes how heat diffuses through a straight rod, is the partial differential equation

Here você(x,t) is the temperature of the rod at position x and time t e α is a constant that depends on how fast heat diffuses through the rod. (2-3¡)-(3+2)

Mean value theorem Edit

The mean value theorem gives a relationship between values of the derivative and values of the original function. Se f(x) is a real-valued function and uma e b are numbers with uma & lt b , then the mean value theorem says that under mild hypotheses, the slope between the two points (uma, f(uma)) and (b, f(b)) is equal to the slope of the tangent line to f at some point c entre uma e b . In other words,

In practice, what the mean value theorem does is control a function in terms of its derivative. For instance, suppose that f has derivative equal to zero at each point. This means that its tangent line is horizontal at every point, so the function should also be horizontal. The mean value theorem proves that this must be true: The slope between any two points on the graph of f must equal the slope of one of the tangent lines of f . All of those slopes are zero, so any line from one point on the graph to another point will also have slope zero. But that says that the function does not move up or down, so it must be a horizontal line. More complicated conditions on the derivative lead to less precise but still highly useful information about the original function.

Taylor polynomials and Taylor series Edit

The derivative gives the best possible linear approximation of a function at a given point, but this can be very different from the original function. One way of improving the approximation is to take a quadratic approximation. That is to say, the linearization of a real-valued function f(x) at the point x0 is a linear polynomial uma + b(xx0) , and it may be possible to get a better approximation by considering a quadratic polynomial uma + b(xx0) + c(xx0) 2. Still better might be a cubic polynomial uma + b(xx0) + c(xx0) 2 + d(xx0) 3 , and this idea can be extended to arbitrarily high degree polynomials. For each one of these polynomials, there should be a best possible choice of coefficients uma , b , c , e d that makes the approximation as good as possible.

The limit of the Taylor polynomials is an infinite series called the Taylor series. The Taylor series is frequently a very good approximation to the original function. Functions which are equal to their Taylor series are called analytic functions. It is impossible for functions with discontinuities or sharp corners to be analytic moreover, there exist smooth functions which are also not analytic.

Implicit function theorem Edit

Some natural geometric shapes, such as circles, cannot be drawn as the graph of a function. For instance, if f(x, y) = x 2 + y 2 − 1 , then the circle is the set of all pairs (x, y) such that f(x, y) = 0 . This set is called the zero set of f , and is not the same as the graph of f , which is a paraboloid. The implicit function theorem converts relations such as f(x, y) = 0 into functions. It states that if f is continuously differentiable, then around most points, the zero set of f looks like graphs of functions pasted together. The points where this is not true are determined by a condition on the derivative of f . The circle, for instance, can be pasted together from the graphs of the two functions ± √ 1 - x 2 In a neighborhood of every point on the circle except (−1, 0) and (1, 0) , one of these two functions has a graph that looks like the circle. (These two functions also happen to meet (−1, 0) and (1, 0) , but this is not guaranteed by the implicit function theorem.)

The implicit function theorem is closely related to the inverse function theorem, which states when a function looks like graphs of invertible functions pasted together.


Pricing

In the arbitrage-free CRR model with p strictly between 0 and 1 and a < r < b according to Acitvity 2 in the previous lesson we obtain the following prices for forwards and European call and put options

for any time t. For instance, consider the market given in Example 3 but with r=0. Nesse caso b=0.01 e a=-0.03. The risk neutral measure is given then by

Consider a European call option with maturity of 2 days (T=2) and strike price K=10*(0.97). The risk neutral measure and possible payoffs of this call option can be included in the binary tree of the stock price as follows

We find then that the price of this European call option is

It is easy to see that the price of a forward contract with the same maturity and same forward price K É dado por

By the put-call parity mentioned above we deduce that the price of an European put option with same maturity and same strike is given by

That the call option is more expensive than the put option is due to the fact that in this market, the prices are more likely to go up than down under the risk-neutral probability measure. This does not happen if one considers the initial probabilities p e 1-p.


Assista o vídeo: DERIVADAS - Clase Completa: Explicación Desde Cero. El Traductor (Outubro 2021).