Artigos

2.5: Equivalência Lógica


2.5: Equivalência Lógica

Teorema do casamento de Hall

Na matemática, Teorema do casamento de Hall, provado por Philip Hall (1935), é um teorema com duas formulações equivalentes:

  • A formulação combinatória trata de uma coleção de conjuntos finitos. Dá uma condição necessária e suficiente para poder selecionar um elemento distinto de cada conjunto.
  • A formulação teórica dos grafos trata de um grafo bipartido. Ele fornece uma condição necessária e suficiente para encontrar uma correspondência que cubra pelo menos um lado do gráfico.

Classes de Equivalência Modulo m. Sabemos pela De fi nição 5.1 que a ≡ b (mod m) se m (a − b), ou, equivalentemente, a e b têm o mesmo resto na divisão por m. Ao tomar os subconjuntos de inteiros que consistem em números congruentes entre si, obtemos o que é conhecido como o conjunto de classes de equivalência modulo m. Cada aula não tem números

Teste de Classe de Equivalência, que também é conhecido como Particionamento de classe de equivalência (ECP) e Particionamento equivalente, é uma importante técnica de teste de software usada pela equipe de testadores para agrupar e particionar os dados de entrada de teste, que são então usados ​​com a finalidade de testar o produto de software em uma série de diferentes Aulas.


Uma introdução à teoria lógica

Este livro recupera a lógica como um ramo da filosofia, oferecendo uma introdução independente e completa aos três sistemas tradicionais da lógica clássica (termo, frase e lógica de predicado) e as questões filosóficas que envolvem esses sistemas. A exposição é lúcida, clara e envolvente. Os métodos práticos são preferidos aos tradicionais e as abordagens criativas às meramente mecânicas. O princípio orientador do autor é apresentar a lógica clássica de uma forma intelectualmente honesta e não se esquivar das dificuldades e controvérsias onde elas surgirem. Questões filosóficas relevantes, como a relação entre o significado e o referente de um nome próprio, possibilidade lógica versus metafísica e o conteúdo conceitual de uma expressão, são discutidas ao longo. Desta forma, o livro não é apenas uma introdução aos três sistemas principais da lógica clássica, mas também uma introdução à filosofia da lógica clássica.

Comentários

“O texto de Aladdin Yaqub equilibra astutamente precisão e clareza com uma sensibilidade incomum para as questões filosóficas que motivam o interesse e o estudo da lógica formal. Esta é uma introdução de primeira a um assunto importante e às vezes difícil. ” - Roy T. Cook, Universidade de Minnesota, Cidades Gêmeas

“Se alguém tem alunos filosoficamente sofisticados que precisam aprender lógica simbólica elementar, mas se beneficiariam de uma discussão de tópicos em lógica mais avançada e na filosofia da lógica, este é o livro certo para usar. Seria divertido fazer um curso com este como o texto. ” - Bernard Linsky, Universidade de Alberta

“Eu gostava de lógica quando a conheci na graduação, mas não a entendia. Achei que era basicamente um jogo em que se moviam símbolos sem sentido de acordo com regras inventadas. Isso foi divertido, até bastante desafiador, mas qual era o sentido? O que eu precisava era o livro do professor Yaqub. Em prosa clara e cuidadosa, ele explica o real significado filosófico da lógica. E ele deixa claro como os três sistemas lógicos historicamente importantes estabelecidos no livro, lógica de termos, lógica sentencial e lógica de predicados, tentam lidar com as questões profundas de raciocínio e pensamento que a lógica aborda. Ao mesmo tempo, ele consegue manter a parte divertida. Na verdade, os exercícios que ele fornece parecem muito mais envolventes do que os que me lembro dos meus tempos de graduação. ” - G.F. Schueler, Universidade de Delaware

Introdução e guia do instrutor

Capítulo Um: Lógica Informal
1.1 Taxonomia de Argumentos

  1. Definição de um argumento
  2. Tipos de link
  3. Argumentos dedutivamente válidos e inválidos
  4. Argumentos dedutivamente sólidos e doentios
  5. Lógica dedutiva
  6. Argumentos Dedutivos
  7. Argumentos probabilísticos
  8. Lógica probabilística
  9. Argumentos convincentes

1.2 Lógica Dedutiva Clássica e a Noção de Possibilidade Lógica

  1. Definição de uma possibilidade lógica
  2. Valores de verdade clássicos e bivalência
  3. Validade dedutiva e consequência lógica
  4. Definição de validade dedutiva
  5. Definição de invalidez dedutiva
  6. Definição de verdade lógica
  7. Definição de falsidade lógica
  8. Definição de contingência
  9. Definição de equivalência lógica
  10. Definição de consistência
  11. Definição de inconsistência
  12. Possibilidades lógicas relevantes
  13. Exemplos e contra-exemplos

1.3 Exercícios

Soluções para os exercícios marcados com estrela

Capítulo Dois: Term Logic (TL)

2.1 A visão de mundo TL
2.2 A sintaxe de TL

2.3 Traduzindo Inglês para TL

  1. Termos gerais
  2. Termos singulares
  3. Quantificadores universais e existenciais
  4. Tradução de expressões idiomáticas do inglês para TL

2.4 A Semântica de TL

  1. Diagramas TL
  2. Diagramas TL semelhantes
  3. As condições de verdade das sentenças TL
  4. Valores verdade de sentenças TL em diagramas TL semelhantes

2.5 Conceitos lógicos em TL

  1. Definição de um argumento TL
  2. Possibilidades lógicas e diagramas TL
  3. Definição de validade dedutiva em TL
  4. Definição de invalidez dedutiva em TL
  5. Definição de verdade lógica em TL
  6. Definição de falsidade lógica em TL
  7. Definição de contingência em TL
  8. Definição de equivalência lógica em TL
  9. Definição de consistência em TL
  10. Definição de inconsistência em TL
  11. A decidibilidade de conceitos lógicos em TL
  12. A representabilidade de possibilidades lógicas por diagramas TL

2.6 Exercícios

Soluções para os exercícios marcados com estrela

Capítulo Três: Lógica Frase (SL)

3.1 A visão de mundo do SL
3.2 A sintaxe do SL

  1. O vocabulário básico do SL
  2. Frases SL
  3. Tipos de sentenças compostas do SL
  4. Árvores de construção SL
  5. Uma convenção
  6. Gramática gerativa recursiva

3.3 Traduzindo Inglês para SL

  1. Traduzindo conectivos do inglês para conectivos do SL
  2. Traduzindo expressões idiomáticas do inglês para o SL

3.4 A Semântica do SL

  1. Avaliações verdadeiras do SL
  2. As condições de verdade das sentenças do SL
  3. Tabelas da verdade
  4. Análise da verdade

3.5 Conceitos lógicos no SL

  1. Definição de um argumento SL
  2. Possibilidades lógicas e avaliações verdadeiras do SL
  3. Definição de validade dedutiva no SL
  4. Definição de invalidez dedutiva no SL
  5. Definição de verdade lógica no SL
  6. Definição de falsidade lógica no SL
  7. Definição de contingência no SL
  8. Definição de equivalência lógica no SL
  9. Definição de consistência no SL
  10. Definição de inconsistência no SL
  11. A decidibilidade de conceitos lógicos no SL
  12. A representabilidade de possibilidades lógicas por avaliações de verdade do SL

3.6 Exercícios
Soluções para os exercícios marcados com estrela

Capítulo Quatro: Lógica de Predicados (PL)

4.1 A visão de mundo PL
4.2 A sintaxe de PL

  1. O vocabulário básico de PL
  2. Quantificadores PL e termos PL
  3. Fórmulas PL
  4. Variáveis ​​limitadas e livres e sentenças PL
  5. Árvores de construção PL
  6. Três convenções
  7. Gramática gerativa recursiva

4.3 Traduzindo PL para Inglês e Inglês para PL
4.4 A Semântica da PL

  1. Interpretações PL
  2. O tamanho de uma interpretação PL
  3. As condições de verdade das sentenças PL
  4. Bivalência e verdade clássica

4.5 Conceitos lógicos em PL

  1. Definição de um argumento PL
  2. Possibilidades lógicas e interpretações PL
  3. Definição de validade dedutiva em PL
  4. Definição de invalidez dedutiva em PL
  5. Definição de verdade lógica em PL
  6. Definição de falsidade lógica em PL
  7. Definição de contingência em PL
  8. Definição de equivalência lógica em PL
  9. Definição de consistência em PL
  10. Definição de inconsistência em PL
  11. A indecidibilidade dos conceitos lógicos em PL
  12. A relação entre TL e PL e a relação entre SL e PL
  13. A representabilidade de possibilidades lógicas por interpretações PL

4.6 Exercícios
Soluções para os exercícios marcados com estrela

Capítulo Cinco: Teoria Clássica da Prova

5.1 A noção de prova demonstrativa
5.2 A noção de derivação formal

  1. Definição de uma derivação formal
  2. O Teorema de Solidez para PL
  3. O Teorema da Completude para PL
  4. Corolários dos Teoremas da Solidez e da Completude
  5. O Teorema da Compacidade

5.3 O Sistema de Dedução Natural (NDS)

  1. Tipos de regras NDS
  2. As regras de inferência do NDS
  3. O Sistema de Dedução Gentzen (GDS)

5.4 Estratégias para a construção de derivações formais
5.5 Exercícios
Soluções para os exercícios marcados com estrela

Aladdin M. Yaqub é professor de filosofia na Lehigh University e autor de Uma introdução à Metalogic, O mentiroso fala a verdade, e uma nova tradução de Al-Ghazali Moderação em Crença.

O site do instrutor inclui soluções para os exercícios do livro. Um código de acesso ao site está incluído em todas as cópias de exame.


Semântica do cálculo de predicados

Validade e satisfatibilidade das declarações de predicado

Uma afirmação no cálculo de predicado é logicamente válida (ou simplesmente válida) se for verdadeira em todas as interpretações, isto é, se e somente se for verdadeira & # 160:

- para todas as funções proposicionais substituídas pelos predicados na asserção

Asserções válidas na lógica de predicados desempenham um papel semelhante às tautologias na lógica proposicional.

Uma afirmação no cálculo de predicado é satisfatória se for verdadeira:

- para algumas funções proposicionais que podem ser substituídas pelos predicados na asserção

Asserções válidas na lógica de predicados desempenham um papel semelhante às tautologias na lógica proposicional. Exemplo: link


Capítulo 5: Consistência Lógica

Um conjunto de afirmações é logicamente consistente se todas puderem ser verdadeiras ao mesmo tempo. Um conjunto de afirmações é logicamente inconsistente se não puderem ser todas verdadeiras ao mesmo tempo. Também pode ser útil pensar em consistência lógica como um conjunto de crenças que não contraditório uns aos outros (independentemente de serem verdadeiros).

Ao avaliar a consistência lógica, suponha que as afirmações sejam verdadeiras e pense se elas se encaixam como as peças de um quebra-cabeça. Ou seja, consistência consiste em compreender as relações entre as suas crenças, não em provar uma crença verdadeira.

Identifique os seguintes conjuntos de declarações como logicamente consistentes ou inconsistentes. Explique seu raciocínio.

Exemplo: Todos os homens têm cabelos loiros. Eu sou um homem. Eu tenho cabelo castanho.

Resposta: Essas três crenças são logicamente inconsistentes. Se as duas primeiras afirmações forem verdadeiras, a terceira deve ser falsa. Se o terceiro for verdadeiro, o primeiro ou o segundo devem ser falsos. Eles não podem ser todos simultaneamente verdadeiros.

  1. Eu sou um homem. Eu tenho cabelo castanho. Você tem cabelo loiro.
  2. Todos os cães são marrons. Alguns cães não são marrons.
  3. Matar outra pessoa é sempre errado. Não é errado matar uma pessoa em legítima defesa. Também não é errado matar pessoas em tempos de guerra.
  4. Todos devem ser tolerantes porque não há como julgar as crenças de outra pessoa.
  5. Ninguém nunca está errado. 2 + 2 = 4. Harry está errado em acreditar que 2 + 2 = 5.
  6. Esta frase é falsa.
  7. Se Deus existe, Bob está enganado. Bob não está enganado. Deus existe.
  8. Está chovendo. Não está chovendo.
  9. Eu amo cerveja e odeio cerveja.
  10. A luz é simultaneamente uma onda e uma partícula.
  1. Logicamente consistente. Todas as três afirmações podem ser verdadeiras ao mesmo tempo.
  2. Logicamente inconsistente. São afirmações contraditórias. Se "todos os cães são marrons" for verdadeiro, então "alguns cães não são marrons" DEVE ser falso.
  3. Logicamente inconsistente. Uma saída é alterar “sempre” para “normalmente” na primeira declaração. Da forma como está, se a primeira afirmação for verdadeira, as próximas duas são falsas e vice-versa.
  4. Logicamente inconsistente. Se não há como julgar as crenças, como podemos julgar que os outros devem ter crenças tolerantes? Este leva a discussões interessantes sobre paradoxos, declarações auto-refutáveis ​​e a natureza do relativismo.
  5. Logicamente inconsistente. A primeira afirmação contradiz as duas segundas.
  6. Logicamente inconsistente. Se a frase for falsa, então é verdade; se for verdadeira, então é falsa. É logicamente inconsistente porque é simultaneamente verdadeiro e falso. Talvez devêssemos fazer uma regra dizendo que uma frase não pode ser autorreferencial (uma vez que leva a tais paradoxos)?
  7. Logicamente inconsistente. Se a segunda e a terceira afirmações forem verdadeiras, a primeira deve ser falsa.
  8. Logicamente inconsistente. Se a primeira frase for escrita em um lugar ou tempo e a segunda em outro lugar ou tempo, então elas são logicamente consistentes. No entanto, a maioria das pessoas interpreta essas duas frases como se referindo ao mesmo lugar e hora exata.
  9. Hmmmm. Acredito que seja logicamente inconsistente, a menos que a pessoa queira dizer que ama cerveja até sentir as consequências, que odeia.
  10. Logicamente inconsistente, mas por que supomos que o universo deve ser consistente? Onde se origina a consistência?

Ao fazer filosofia, você identificará e avaliará muitos argumentos. Você também deve avaliar a consistência dos conjuntos de crenças / opiniões. Em suma, o pensamento lógico não é simplesmente sobre o que pode ser inferido de premissas, mas também sobre a relação entre suas opiniões.

Visto que a maioria dos filósofos acredita que a verdade é logicamente consistente, eles valorizam a consistência lógica porque é uma ferramenta para descobrir a verdade. Embora consistência não seja garantia de verdade, uma vez que se pode criar uma história consistente que seja falsa, parece ser uma condição necessária para a verdade.

Claro, alguns pensadores acreditam que a verdade é logicamente inconsistente. Por exemplo, muitos místicos falam de Deus em uma linguagem paradoxal porque não acreditam que Deus pode ser entendido de maneiras lógicas. Eles acreditam que a lógica é mais bem usada para mostrar os limites da lógica. Eles acreditam que entender seus limites é o primeiro passo para transcendê-los. Muitos existencialistas também argumentam que a vida é absurda, não lógica. As descobertas na física moderna também parecem indicar que podemos descrever uma realidade paradoxal, mas não entendê-la logicamente. No entanto, ainda valorizamos a consistência lógica como forma de chegar à verdade. Certamente, qualquer um que alega ser lógico deve levar a consistência lógica a sério.

Sou grato a Juliana Baggini e Peter S. Fosi por seu lúcido capítulo sobre consistência em O Kit de Ferramentas do Filósofo: Um Compêndio de Conceitos e Métodos Filosóficos.


Um aperitivo: paradoxos lógicos e auto-referência xxi

1 Compreendendo a lógica proposicional 1

1.1 Proposições e conectivos lógicos: tabelas de verdade e tautologias 1

1.1.2 Conectores lógicos proposicionais 2

1.1.4 O significado dos conectivos na linguagem natural e na lógica 4

1.1.5 Computando valores de verdade de proposições 5

1.1.6 Fórmulas proposicionais e suas tabelas de verdade 6

1.2 Consequência lógica proposicional: inferências logicamente corretas 18

1.2.1 Consequência lógica proposicional 18

1.2.2 Regras lógicas de inferência proposicional e argumentos proposicionais logicamente corretos 21

1.2.3 Falácias da implicação 23

1.3 Equivalência lógica: forma normal de negação das fórmulas proposicionais 28

1.3.1 Fórmulas proposicionais logicamente equivalentes 28

1.3.2 Propriedades básicas de equivalência lógica 29

1.3.3 Algumas equivalências lógicas importantes 29

1.4 Suplementar: Definições indutivas e indução estrutural e recursão 34

1.4.1 Definições indutivas 34

1.4.2 Princípios de indução e provas por indução 36

1.4.3 Fundamentos da teoria geral de definições e princípios indutivos 37

1.4.4 Definições indutivas e provas em conjuntos bem fundamentados 39

1.4.5 Definições recursivas em conjuntos definíveis indutivamente 40

2 Raciocínio Dedutivo em Lógica Proposicional 47

2.1 Sistemas dedutivos: uma visão geral 47

2.1.1 O conceito e a finalidade dos sistemas dedutivos 47

2.1.2 Breves comentários históricos sobre sistemas dedutivos 48

2.1.3 Solidez, completude e adequação dos sistemas dedutivos 50

2.2 Sistemas axiomáticos para lógica proposicional 52

2.2.2 Derivações no sistema axiomático H 54

2.3.1 Descrição do sistema dedutivo ST das Tabelas Semânticas 59

2.3.2 Algumas derivações em ST 61

2.3.3 Versão não assinada do sistema de Tableaux Semânticos 64

2.4.2 Exemplos de derivações em Dedução Natural 71

2.5 Formas normais e resolução proposicional 77

2.5.1 Formas normais conjuntivas e disjuntivas de fórmulas proposicionais 77

2.5.2 Resolução Cláusula 79

2.5.3 Derivações baseadas em resolução 80

2.5.4 Otimizando o método de resolução 82

2.6 Suplementar: O problema de satisfatibilidade booleana e NP-completude 86

2.7 Suplementar: Completude dos sistemas dedutivos proposicionais 88

3 Compreendendo a lógica de primeira ordem 96

3.1 Estruturas e linguagens de primeira ordem: termos e fórmulas da lógica de primeira ordem 97

3.1.1 Estruturas de primeira ordem 97

3.1.2 Linguagens de primeira ordem 99

3.1.3 Termos e fórmulas 100

3.2 Semântica da lógica de primeira ordem 108

3.2.1 A semântica da lógica de primeira ordem: um esboço informal 108

3.2.2 Interpretações de linguagens de primeira ordem 111

3.2.3 Atribuição de variáveis ​​e avaliação dos termos 112

3.2.4 Verdade das fórmulas de primeira ordem 112

3.2.6 Tradução de fórmulas de primeira ordem para linguagem natural 117

3.3 Gramática básica e uso de linguagens de primeira ordem 123

3.3.1 Tradução da linguagem natural para as línguas de primeira ordem: aquecimento 123

3.3.2 Quantificação restrita 124

3.3.3 Variáveis ​​livres e limitadas, e escopo de um quantificador 125

3.3.4 Renomeação de uma variável ligada em uma fórmula e fórmulas limpas 127

3.3.5 Substituição de um termo por uma variável em uma fórmula e captura de uma variável 128

3.3.6 Uma nota sobre renomeações e substituições em uma fórmula 130

3.4 Validade lógica, consequência e equivalência na lógica de primeira ordem 135

3.4.1 Mais sobre verdade de sentenças em estruturas: modelos e contra-modelos 135

3.4.2 Satisfação e validade das fórmulas de primeira ordem 136

3.4.3 Consequência lógica na lógica de primeira ordem 137

3.4.4 Usando igualdade na lógica de primeira ordem 140

3.4.5 Equivalência lógica na lógica de primeira ordem 142

3.4.6 Equivalências lógicas envolvendo quantificadores 143

3.4.7 Negando fórmulas de primeira ordem: forma normal de negação 144

4 Raciocínio Dedutivo na Lógica de Primeira Ordem 159

4.1 Sistema axiomático para lógica de primeira ordem 160

4.1.1 Axiomas e regras para os quantificadores 160

4.1.2 Derivações de um conjunto de premissas 160

4.1.3 Extensão do sistema axiomático H com igualdade 161

4.2 Tableaux Semânticos para lógica de primeira ordem 167

4.2.1 Algumas derivações nas Tabelas Semânticas 168

4.2.2 Tableaux Semânticos para lógica de primeira ordem com igualdade 171

4.2.3 Discussão sobre as regras do quantificador e sobre a terminação 173

4.3 Dedução Natural para lógica de primeira ordem 180

4.3.1 Regras de dedução natural para os quantificadores 180

4.3.2 Derivações na Dedução Natural de primeira ordem 181

4.3.3 Dedução Natural para lógica de primeira ordem com igualdade 183

4.4 Prenex e formas orais normais 187

4.4.1 Formas normais Prenex 187

4.5 Resolução para lógica de primeira ordem 194

4.5.1 Regra de resolução proposicional na lógica de primeira ordem 194

4.5.2 Substituições de termos por variáveis ​​revisitadas 195

4.5.3 Unificação de termos 196

4.5.4 Resolução com unificação na lógica de primeira ordem 197

4.5.5 Exemplos de derivações baseadas em resolução 199

4.5.6 Resolução para lógica de primeira ordem com igualdade 201

4.5.7 Otimizações e estratégias para o método da Resolução 202

4.6 Suplementar: Solidez e integridade dos sistemas dedutivos para lógica de primeira ordem 210

4.6.1 Teorias de primeira ordem 211

4.6.3 Estruturas de marca e interpretações 212

4.6.4 Teorias de Henkin e extensões de Henkin 214

4.6.5 Teorema da completude 217

4.6.6 Compacidade semântica da lógica de primeira ordem 217

5 Aplicações: Provas Matemáticas e Raciocínio Automatizado 222

5.1 Raciocínio lógico e provas matemáticas 223

5.1.1 Estratégias de prova: provas diretas e indiretas 223

5.1.2 Táticas para raciocínio lógico 227

5.2 Raciocínio lógico em conjuntos, funções e relações 231

5.2.1 Teoria axiomática de conjuntos de Zermelo & ndashFraenkel 231

5.2.2 Operações básicas em conjuntos e suas propriedades 234

5.2.4 Relações binárias e operações neles 237

5.2.5 Relações binárias especiais 239

5.3 Indução Matemática e Aritmética de Peano 246

5.3.1 Indução Matemática 247

5.4 Aplicações: raciocínio automatizado e programação lógica 254

5.4.1 Raciocínio automatizado e prova automatizada de teoremas 254

5.4.2 Programação lógica e Prolog 255

6 Respostas e Soluções para Exercícios Selecionados 263

Respostas e soluções: Seção 1.1 263

Respostas e soluções: Seção 1.2 266

Respostas e soluções: Seção 1.3 268

Respostas e soluções: Seção 1.4 270

Respostas e soluções: Seção 2.2 270

Respostas e soluções: Seção 2.3 272

Respostas e soluções: Seção 2.4 281

Respostas e soluções: Seção 2.5 287

Respostas e soluções: Seção 3.1 293

Respostas e soluções: Seção 3.2 296

Respostas e soluções: Seção 3.3 297

Respostas e soluções: Seção 3.4 299

Respostas e soluções: Seção 3.5 305

Respostas e soluções: Seção 4.1 306

Respostas e soluções: Seção 4.2 308

Respostas e soluções: Seção 4.3 325

Respostas e soluções: Seção 4.4 328

Respostas e soluções: Seção 4.5 329

Respostas e soluções: Seção 4.6 338

Respostas e soluções: Seção 5.1 339

Respostas e soluções: Seção 5.2 339

Respostas e soluções: Seção 5.3 344

Respostas e soluções: Seção 5.4 347


Um aperitivo: paradoxos lógicos e auto-referência xxi

1 Compreendendo a lógica proposicional 1

1.1 Proposições e conectivos lógicos: tabelas de verdade e tautologias 1

1.1.2 Conectores lógicos proposicionais 2

1.1.4 O significado dos conectivos na linguagem natural e na lógica 4

1.1.5 Computando valores de verdade de proposições 5

1.1.6 Fórmulas proposicionais e suas tabelas de verdade 6

1.2 Consequência lógica proposicional: inferências logicamente corretas 18

1.2.1 Consequência lógica proposicional 18

1.2.2 Regras lógicas de inferência proposicional e argumentos proposicionais logicamente corretos 21

1.2.3 Falácias da implicação 23

1.3 Equivalência lógica: forma normal de negação das fórmulas proposicionais 28

1.3.1 Fórmulas proposicionais logicamente equivalentes 28

1.3.2 Propriedades básicas de equivalência lógica 29

1.3.3 Algumas equivalências lógicas importantes 29

1.4 Suplementar: Definições indutivas e indução estrutural e recursão 34

1.4.1 Definições indutivas 34

1.4.2 Princípios de indução e provas por indução 36

1.4.3 Noções básicas da teoria geral de definições e princípios indutivos 37

1.4.4 Definições indutivas e provas em conjuntos bem fundamentados 39

1.4.5 Definições recursivas em conjuntos definíveis indutivamente 40

2 Raciocínio Dedutivo em Lógica Proposicional 47

2.1 Sistemas dedutivos: uma visão geral 47

2.1.1 O conceito e a finalidade dos sistemas dedutivos 47

2.1.2 Breves comentários históricos sobre sistemas dedutivos 48

2.1.3 Solidez, completude e adequação dos sistemas dedutivos 50

2.2 Sistemas axiomáticos para lógica proposicional 52

2.2.2 Derivações no sistema axiomático H 54

2.3.1 Descrição do sistema dedutivo ST das Tabelas Semânticas 59

2.3.2 Algumas derivações em ST 61

2.3.3 Versão não assinada do sistema de Tableaux Semânticos 64

2.4.2 Exemplos de derivações em Dedução Natural 71

2.5 Formas normais e resolução proposicional 77

2.5.1 Formas normais conjuntivas e disjuntivas de fórmulas proposicionais 77

2.5.2 Resolução Cláusula 79

2.5.3 Derivações baseadas em resolução 80

2.5.4 Otimizando o método de resolução 82

2.6 Suplementar: O problema de satisfatibilidade booleana e NP-completude 86

2.7 Suplementar: Completude dos sistemas dedutivos proposicionais 88

3 Compreendendo a lógica de primeira ordem 96

3.1 Estruturas e linguagens de primeira ordem: termos e fórmulas da lógica de primeira ordem 97

3.1.1 Estruturas de primeira ordem 97

3.1.2 Linguagens de primeira ordem 99

3.1.3 Termos e fórmulas 100

3.2 Semântica da lógica de primeira ordem 108

3.2.1 A semântica da lógica de primeira ordem: um esboço informal 108

3.2.2 Interpretações de linguagens de primeira ordem 111

3.2.3 Atribuição de variáveis ​​e avaliação dos termos 112

3.2.4 Verdade das fórmulas de primeira ordem 112

3.2.6 Tradução de fórmulas de primeira ordem para linguagem natural 117

3.3 Gramática básica e uso de linguagens de primeira ordem 123

3.3.1 Tradução da linguagem natural para as línguas de primeira ordem: aquecimento 123

3.3.2 Quantificação restrita 124

3.3.3 Variáveis ​​livres e limitadas e escopo de um quantificador 125

3.3.4 Renomeação de uma variável ligada em uma fórmula e fórmulas limpas 127

3.3.5 Substituição de um termo por uma variável em uma fórmula e captura de uma variável 128

3.3.6 Uma nota sobre renomeações e substituições em uma fórmula 130

3.4 Validade lógica, consequência e equivalência na lógica de primeira ordem 135

3.4.1 Mais sobre verdade de sentenças em estruturas: modelos e contra-modelos 135

3.4.2 Satisfação e validade das fórmulas de primeira ordem 136

3.4.3 Consequência lógica na lógica de primeira ordem 137

3.4.4 Usando igualdade na lógica de primeira ordem 140

3.4.5 Equivalência lógica na lógica de primeira ordem 142

3.4.6 Equivalências lógicas envolvendo quantificadores 143

3.4.7 Negando fórmulas de primeira ordem: forma normal de negação 144

4 Raciocínio Dedutivo na Lógica de Primeira Ordem 159

4.1 Sistema axiomático para lógica de primeira ordem 160

4.1.1 Axiomas e regras para os quantificadores 160

4.1.2 Derivações de um conjunto de premissas 160

4.1.3 Extensão do sistema axiomático H com igualdade 161

4.2 Tableaux Semânticos para lógica de primeira ordem 167

4.2.1 Algumas derivações nas Tabelas Semânticas 168

4.2.2 Tableaux Semânticos para lógica de primeira ordem com igualdade 171

4.2.3 Discussão sobre as regras do quantificador e sobre a terminação 173

4.3 Dedução Natural para lógica de primeira ordem 180

4.3.1 Regras de dedução natural para os quantificadores 180

4.3.2 Derivações na Dedução Natural de primeira ordem 181

4.3.3 Dedução Natural para lógica de primeira ordem com igualdade 183

4.4 Prenex e formas orais normais 187

4.4.1 Formas normais Prenex 187

4.5 Resolução para lógica de primeira ordem 194

4.5.1 Regra de resolução proposicional na lógica de primeira ordem 194

4.5.2 Substituições de termos por variáveis ​​revisitadas 195

4.5.3 Unificação de termos 196

4.5.4 Resolução com unificação na lógica de primeira ordem 197

4.5.5 Exemplos de derivações baseadas em resolução 199

4.5.6 Resolução para lógica de primeira ordem com igualdade 201

4.5.7 Otimizações e estratégias para o método da Resolução 202

4.6 Suplementar: Solidez e integridade dos sistemas dedutivos para lógica de primeira ordem 210

4.6.1 Teorias de primeira ordem 211

4.6.3 Estruturas de marca e interpretações 212

4.6.4 Teorias de Henkin e extensões de Henkin 214

4.6.5 Teorema da completude 217

4.6.6 Compacidade semântica da lógica de primeira ordem 217

5 Aplicações: Provas Matemáticas e Raciocínio Automatizado 222

5.1 Raciocínio lógico e provas matemáticas 223

5.1.1 Estratégias de prova: provas diretas e indiretas 223

5.1.2 Táticas para raciocínio lógico 227

5.2 Raciocínio lógico sobre conjuntos, funções e relações 231

5.2.1 Teoria axiomática de conjuntos de Zermelo & ndashFraenkel 231

5.2.2 Operações básicas em conjuntos e suas propriedades 234

5.2.4 Relações binárias e operações neles 237

5.2.5 Relações binárias especiais 239

5.3 Indução Matemática e Aritmética de Peano 246

5.3.1 Indução Matemática 247

5.4 Aplicações: raciocínio automatizado e programação lógica 254

5.4.1 Raciocínio automatizado e prova automatizada de teoremas 254

5.4.2 Programação lógica e Prolog 255

6 Respostas e Soluções para Exercícios Selecionados 263

Respostas e soluções: Seção 1.1 263

Respostas e soluções: Seção 1.2 266

Respostas e soluções: Seção 1.3 268

Respostas e soluções: Seção 1.4 270

Respostas e soluções: Seção 2.2 270

Respostas e soluções: Seção 2.3 272

Respostas e soluções: Seção 2.4 281

Respostas e soluções: Seção 2.5 287

Respostas e soluções: Seção 3.1 293

Respostas e soluções: Seção 3.2 296

Respostas e soluções: Seção 3.3 297

Respostas e soluções: Seção 3.4 299

Respostas e soluções: Seção 3.5 305

Respostas e soluções: Seção 4.1 306

Respostas e soluções: Seção 4.2 308

Respostas e soluções: Seção 4.3 325

Respostas e soluções: Seção 4.4 328

Respostas e soluções: Seção 4.5 329

Respostas e soluções: Seção 4.6 338

Respostas e soluções: Seção 5.1 339

Respostas e soluções: Seção 5.2 339

Respostas e soluções: Seção 5.3 344

Respostas e soluções: Seção 5.4 347


Usando a função AND no Excel

A função AND é o membro mais popular da família de funções lógicas. É útil quando você precisa testar várias condições e certificar-se de que todas elas sejam atendidas. Tecnicamente, a função AND testa as condições que você especifica e retorna TRUE se todas as condições forem avaliadas como TRUE, caso contrário, FALSE.

A sintaxe da função AND do Excel é a seguinte:

Onde lógico é a condição que você deseja testar e que pode ser avaliada como TRUE ou FALSE. A primeira condição (lógico1) é necessária, as condições subsequentes são opcionais.

E agora, vamos examinar alguns exemplos de fórmulas que demonstram como usar as funções AND nas fórmulas do Excel.

Fórmula Descrição
= AND (A2 = "Bananas", B2 & gtC2) Retorna TRUE se A2 contiver "Bananas" e B2 for maior que C2, caso contrário FALSE.
= AND (B2 & gt20, B2 = C2) Retorna TRUE se B2 for maior que 20 e B2 for igual a C2, FALSE caso contrário.
= AND (A2 = "Bananas", B2 & gt = 30, B2 & gtC2) Retorna TRUE se A2 contiver "Bananas", B2 for maior ou igual a 30 e B2 for maior que C2, caso contrário FALSE.

Função Excel AND - usos comuns

Por si só, a função AND do Excel não é muito interessante e tem uma utilidade limitada. Mas, em combinação com outras funções do Excel, E pode estender significativamente os recursos de suas planilhas.

Um dos usos mais comuns da função AND do Excel é encontrado no argumento logical_test da função IF para testar várias condições em vez de apenas uma. Por exemplo, você pode aninhar qualquer uma das funções AND acima dentro da função IF e obter um resultado semelhante a este:

= SE (E (A2 = "Bananas", B2 & gtC2), "Bom", "Ruim")

Para mais exemplos de fórmulas IF / AND, confira seu tutorial: Função IF do Excel com várias condições AND.

Uma fórmula do Excel para a condição BETWEEN

Se você precisar criar uma fórmula intermediária no Excel que escolha todos os valores entre os dois valores fornecidos, uma abordagem comum é usar a função IF com AND no teste lógico.

Por exemplo, você tem 3 valores nas colunas A, B e C e deseja saber se um valor na coluna A está entre os valores B e C. Para fazer essa fórmula, basta a função IF com AND aninhado e alguns operadores de comparação:

Fórmula para verificar se X está entre Y e Z, inclusive:

Fórmula para verificar se X está entre Y e Z, não inclusivo:

Conforme demonstrado na imagem acima, a fórmula funciona perfeitamente para todos os tipos de dados - números, datas e valores de texto. Ao comparar valores de texto, a fórmula os verifica caractere por caractere na ordem alfabética. Por exemplo, afirma que Maçãs em não entre Damasco e Bananas porque o segundo "p" em Maçãs vem antes de "r" em Damasco. Consulte Usando operadores de comparação do Excel com valores de texto para obter mais detalhes.

Como você pode ver, a fórmula IF / AND é simples, rápida e quase universal. Digo "quase" porque não cobre um cenário. A fórmula acima implica que um valor na coluna B é menor do que na coluna C, ou seja, a coluna B sempre contém o valor do limite inferior e C - o valor do limite superior. Esta é a razão pela qual a fórmula retorna "Não"para a linha 6, onde A6 tem 12, B6 - 15 e C6 - 3, bem como para a linha 8, onde A8 é 24 de novembro, B8 é 26 de dezembro e C8 é 21 de outubro.

Mas e se você quiser que a fórmula entre funcione corretamente, independentemente de onde residem os valores dos limites inferior e superior? Nesse caso, use a função MEDIAN do Excel que retorna a mediana dos números fornecidos (ou seja, o número no meio de um conjunto de números).

Portanto, se você substituir AND no teste lógico da função IF por MEDIAN, a fórmula será como:

E você obterá os seguintes resultados:

Como você pode ver, a função MEDIAN funciona perfeitamente para números e datas, mas retorna o erro #NUM! erro para valores de texto. Infelizmente, ninguém é perfeito:)

Se você deseja uma fórmula Entre perfeita que funcione para valores de texto, bem como para números e datas, você terá que construir um texto lógico mais complexo usando as funções AND / OR, como este:

= IF (OR (AND (A2 & gtB2, A2 & ltC2), AND (A2 & ltB2, A2 & gtC2)), "Sim", "Não")


Operadores Lógicos e Expressões

Fortran has five LOGICAL operators that can only be used with expressions whose results are logical values ( i.e. , .TRUE. or .FALSE. ). All LOGICAL operators have priorities lower than arithmetic and relational operators. Therefore, if an expression involving arithmetic, relational and logical operators, the arithmetic operators are evaluated first, followed by the relational operators, followed by the logical operators.

  • .NOT. : logical not
  • .AND. : logical and
  • .OR. : logical or
  • .EQV. : logical equivalence
  • .NEQV. : logical not equivalence

Modelo Operador Associatividade
Aritmética ** right to left
* / left to right
+ - left to right
Relational > >= == /= Nenhum
Lógico .NOT. right to left
.AND. left to right
.OR. left to right
.EQV. .NEQV. left to right

Truth Tables

.NOT. Operand Resultado
.TRUE. .FALSE.
.FALSE. .TRUE.

Note that .NOT. is a unary operator. Therefore, .NOT. a yields .TRUE. ( resp. , .FALSE. ) if the value of LOGICAL variable a is .FALSE. ( resp. , .TRUE. ). The following is the truth table of .AND. :

.AND. .TRUE. .FALSE
.TRUE. .TRUE. .FALSE.
.FALSE. .FALSE. .FALSE.

Therefore, the result of logical expression a .AND. b is .TRUE. if and only if both operands a and b are .TRUE. . In all other cases, the result is always .FALSE. The following is the truth table of .OR. :

.OR. .TRUE. .FALSE
.TRUE. .TRUE. .TRUE.
.FALSE. .TRUE. .FALSE.

Therefore, the result of logical expression a .OR. b is .FALSE. if and only if both operands a and b are .FALSE. . In all other cases, the result is always .TRUE. In other words, if one of the two operands of the .OR. operator is .TRUE. , the result is .TRUE. The following is the truth table of .EQV. :

.EQV. .TRUE. .FALSE
.TRUE. .TRUE. .FALSE.
.FALSE. .FALSE. .TRUE.

Therefore, the result of logical expression a .EQV. b is .TRUE. if and only if both operands a and b have the same value ( i.e. , both are .TRUE. or both are .FALSE. ). As mentioned in relational expressions, relational operators can only compare arithmetic values and cannot be used to compare logical values. To compare if two logical values are equal, use .EQV. The following is the truth table of .NEQV. :

.NEQV. .TRUE. .FALSE
.TRUE. .FALSE. .TRUE.
.FALSE. .TRUE. .FALSE.

Therefore, the result of logical expression a .NEQV. b is .TRUE. if and only if both operands a and b do not have the same value. As mentioned in relational expressions, relational operators can only compare arithmetic values and cannot be used to compare logical values. To compare if two logical values are not equal, use .NEQV. Note that .NEQV is the opposite of .EQV. . Hence, to test if logical variables x and y have different values, one can use .NOT. (x .EQV. y) . Here, if x and y have the same value, x .EQV. y is .TRUE. and .NOT. (x .EQV. y) is .FALSE. On the other hand, if x and y have different values, x .EQV. y is .FALSE. and .NOT. (x .EQV. y) is .TRUE.

Prioridade

    Let LOGICAL variables Something and Another have values .TRUE. and .FALSE. , respectivamente.


Assista o vídeo: Logika zdań równoważności logiczne (Outubro 2021).