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7.3: Subtraindo números inteiros


Na Seção 1.2, afirmamos que “Subtração é o oposto de adição”. Assim, para subtrair 4 de 7, caminhamos sete unidades para a direita na reta numérica, mas então caminhamos 4 unidades na direção oposta (para a esquerda), conforme mostrado na Figura ( PageIndex {1} ).

Assim, 7 - 4 = 3. A frase-chave é “adicione o oposto”. Assim, a subtração 7 - 4 torna-se a adição 7 + (−4), que imaginaríamos na reta numérica conforme mostrado na Figura ( PageIndex {2} ).

Figura ( PageIndex {1} ) e Figura ( PageIndex {2} ) fornecem ampla evidência de que a subtração 7−4 é idêntica à adição 7 + (- 4). Novamente, subtração significa "adicionar o oposto". Ou seja, 7 - 4 = 7 + (- 4).

Definindo Subtração

Subtração significa “adicionar o oposto”. Ou seja, se a e b são quaisquer inteiros, então

[a - b = a + (−b). nonumber ]

Assim, por exemplo, −123−150 = −123 + (- 150) e −57 - (- 91) = −57 + 91. Em cada caso, a subtração significa "adicionar o oposto". No primeiro caso, subtrair 150 é o mesmo que adicionar -150. No segundo caso, subtrair − 91 é o mesmo que adicionar 91.

Exemplo 1

Encontre as diferenças: (a) 4 - 8, (b) −15 - 13 e (c) −117 - (−115).

Solução

Em cada caso, a subtração significa "adicionar o oposto".

a) Mude a subtração para adição com a frase "subtração significa adicionar o oposto." Ou seja, 4−8 = 4 + (- 8). Agora podemos realizar essa adição na reta numérica.

Assim, 4 - 8 = 4 + (- 8) = −4.

b) Primeiro mude a subtração em adição "adicionando o oposto". Ou seja, −15 - 13 = −15 + (−13). Agora podemos usar a intuição física para realizar a adição. Comece na origem (zero), caminhe 15 unidades para a esquerda, depois mais 13 unidades para a esquerda, chegando à resposta −28. Isso é,

[ begin {alinhado} −15 - 13 & = −15 + (−13) ~ & = −28. end {alinhado} nonumber ]

c) Primeiro mude a subtração em adição "adicionando o oposto". Ou seja, −117 - (−115) = −117 + 115. Usando “Adicionando dois inteiros com sinais diferentes” da Seção 2.2, primeiro subtraia a magnitude menor da magnitude maior; ou seja, 117 - 115 = 2. Como −117 tem a magnitude maior e seu sinal é negativo, prefixe um sinal negativo para a diferença nas magnitudes. Desse modo,

[ begin {alinhado} −117 - (−115) & = −117 + 115 & = −2. end {alinhado} nonumber ]

Exercício

Use cada uma das técnicas nas partes (a), (b) e (c) do Exemplo 1 para avaliar a diferença −11 - (−9).

Responder

−2

Ordem de operações

Agora aplicaremos as “Regras que orientam a ordem das operações” da Seção 1.5 a uma série de exercícios de exemplo.

Exemplo 2

Simplifique −5 - (−8) - 7.

Solução

Trabalhamos da esquerda para a direita, mudando cada subtração “adicionando o oposto”.

[ begin {alinhados} -5 - (- 8) -7 = -5 + 8 + (- 7) ~ & textcolor {red} { text {Adicione o oposto de} -8, text {que é 8.}} ~ & textcolor {red} { text {Adicione o oposto de 7, que é} -7.} = 3 + (- 7) & textcolor {red} { text {Trabalhando da esquerda para a direita,} -5 + 8 = 3.} = -4 ~ & textcolor {red} {3 + (- 7) = -4.} end {alinhado} nonumber ]

Exercício

Simplifique: −3 - (−9) - 11.

Responder

−5

Os símbolos de agrupamento dizem "faça-me primeiro".

Exemplo ( PageIndex {1} )

Simplifique −2 - (−2 - 4).

Solução

As expressões com parênteses devem ser avaliadas primeiro.

[ begin {alinhados} -2 (-2-4) = - 2 - (- 2 + (- 4)) ~ & textcolor {red} { text {Simplifique a expressão entre parênteses}} ~ & textcolor {red} { text {primeiro. Adicione o oposto de 4, que é} -4.} = -2 - (- 6) ~ & textcolor {red} { text {Dentro dos parênteses,} -2 + (-4) = -6. } = -2 + 6 ~ & textcolor {red} { text {Subtrair a} -6 text {é o mesmo que adicionar 6.}} = 4 ~ & ~ textcolor {red} { text {Add:} -2 + 6 = 4.} end {alinhado} nonumber ]

Exercício

Simplifique: −3 - (−3 - 3).

Responder

3

Mudança como diferença

Suponha que quando eu sair de casa no início da manhã, a temperatura lá fora esteja 40 Fahrenheit. No final do dia, a temperatura mede 60 ° Fahrenheit. Como faço para medir a mudança na temperatura?

A mudança em uma quantidade

Para medir a mudança em uma quantidade, sempre subtraia o antigo medição do último medição. Isso é:

[ colorbox {cyan} {Mudança na quantidade} = colorbox {cyan} {Última medição} - colorbox {cyan} {Ex-medição} nonumber ]

Assim, para medir a mudança na temperatura, realizo uma subtração da seguinte forma:

[ begin {align} colorbox {cyan} {Mudança na temperatura} & = colorbox {cyan} {Última medição} & - & colorbox {cyan} {Antiga medição} ~ & = 60 ^ { circ } text {F} & - & 40 ^ { circ} text {F} ~ & = 20 ^ { circ} text {F} end {alinhado} nonumber ]

Observe que a resposta positiva está de acordo com o fato de que a temperatura aumentou.

Exemplo 4

Suponha que à tarde, a temperatura mede 65Fahrenheit, então no fim da noite a temperatura cai para 44 Fahrenheit. Encontre a mudança na temperatura.

Solução

Para medir a mudança de temperatura, devemos subtrair a primeira medição da última.

[ begin {align} colorbox {cyan} {Mudança na temperatura} & = colorbox {cyan} {Última medição} & - & colorbox {cyan} {Antiga medição} ~ & = 44 ^ { circ } text {F} & - & 65 ^ { circ} text {F} ~ & = -11 ^ { circ} text {F} end {alinhado} nonumber ]

Observe que a resposta negativa está de acordo com o fato de que a temperatura diminuiu. Houve uma "mudança" de -11 Fahrenheit.

Exercício

Marianne acorda com uma temperatura matinal de 54 Fahrenheit. Uma tempestade cai, baixando a temperatura para 43 Fahrenheit. Encontre a mudança na temperatura.

Responder

−11◦ Fahrenheit

Exemplo 5

Às vezes, um gráfico de barras não é a visualização mais apropriada para seus dados. Por exemplo, considere o gráfico de barras na Figura ( PageIndex {3} ) representando a Dow Industrial Average por sete dias consecutivos em março de 2009. Como as barras são quase da mesma altura, é difícil detectar flutuação ou mudança em o Dow Industrial Average.

Vamos determinar a mudança na média da Dow Industrial em uma base diária. Lembre-se de subtrair a última medida menos a primeira (o dia atual menos o dia anterior). Isso nos dá as seguintes mudanças.

Dias consecutivosMudança no Dow Industrial Average
Dom-seg6900 - 7000 = -100
Seg-ter6800 - 6900 = -100
Ter-qua6800 - 6800 = 0
Qua-Qui7000 - 6800 = 200
Qui-sex7100 - 7000 = 100
Sex a sáb7200 - 7100 = 100

Usaremos os dados da tabela para construir um gráfico de linha. No eixo horizontal, colocamos os pares de dias consecutivos (ver Figura ( PageIndex {4} )). No eixo vertical, colocamos a Variação na Média Dow Industrial. A cada par de dias, traçamos um ponto em uma altura igual à mudança na Dow Industrial Average conforme calculado em nossa tabela.

Observe que os dados exibidos pela Figura ( PageIndex {4} ) mostram mais prontamente as mudanças na Dow Industrial Average em uma base diária. Por exemplo, agora é fácil escolher o dia que viu o maior aumento no Dow Jones (de quarta para quinta-feira, o Dow subiu 200 pontos).

Exercícios

Nos Exercícios 1-24, encontre a diferença.

1. 16 − 20

2. 17 − 2

3. 10 − 12

4. 16 − 8

5. 14 − 11

6. 5 − 8

7. 7 − (−16)

8. 20 − (−10)

9. −4 − (−9)

10. −13 − (−3)

11. 8 − (−3)

12. 14 − (−20)

13. 2 − 11

14. 16 − 2

15. −8 − (−10)

16. −14 − (−2)

17. 13 − (−1)

18. 12 − (−13)

19. −4 − (−2)

20. −6 − (−8)

21. 7 − (−8)

22. 13 − (−14)

23. −3 − (−10)

24. −13 − (−9)


Nos Exercícios 25-34, simplifique a expressão fornecida.

25. 14 − 12 − 2

26. −19 − (−7) − 11

27. −20 − 11 − 18

28. 7 − (−13) − (−1)

29. 5 − (−10) − 20

30. −19 − 12 − (−8)

31. −14 − 12 − 19

32. −15 − 4 − (−6)

33. −11 − (−7) − (−6)

34. 5 − (−5) − (−14)


Nos Exercícios 35-50, simplifique a expressão fornecida.

35. −2 − (−6 − (−5))

36. 6 − (−14 − 9)

37. (−5 − (−8)) − (−3 − (−2))

38. (−6 − (−8)) − (−9 − 3)

39. (6 − (−9)) − (3 − (−6))

40. (−2 − (−3)) − (3 − (−6))

41. −1 − (10 − (−9))

42. 7 − (14 − (−8))

43. 3 − (−8 − 17)

44. 1 − (−1 − 4)

45. 13 − (16 − (−1))

46. −7 − (−3 − (−8))

47. (7 − (−8)) − (5 − (−2))

48. (6 − 5) − (7 − 3)

49. (6 − 4) − (−8 − 2)

50. (2 − (−6)) − (−9 − (−3))


51. A primeira temperatura registrada é de 42F. Quatro horas depois, a segunda temperatura é de 65F. Qual é a mudança na temperatura?

52. A primeira temperatura registrada é 79F. Quatro horas depois, a segunda temperatura é 46F. Qual é a mudança na temperatura?

53. A primeira temperatura registrada é 30F. Quatro horas depois, a segunda temperatura é de 51F. Qual é a mudança na temperatura?

54. A primeira temperatura registrada é 109F. Quatro horas depois, a segunda temperatura é de 58F. Qual é a mudança na temperatura?

55. As temperaturas típicas em Fairbanks, Alasca em janeiro são de -2 graus Fahrenheit durante o dia e -19 graus Fahrenheit à noite. Qual é a mudança de temperatura do dia para a noite?

56. As temperaturas típicas do verão em Fairbanks, Alasca, em julho, são de 79 graus Fahrenheit durante o dia e 53 graus Fahrenheit à noite. Qual é a mudança de temperatura do dia para a noite?

57. Comunicação. Um submarino a 1.600 pés abaixo do nível do mar se comunica com um piloto voando a 22.500 pés no ar diretamente acima do submarino. A que distância está o comunicado?

58. Do mais alto para o mais baixo. O ponto mais alto da Terra fica no Monte Everest, no Nepal-Tibete, a 8.848 metros. O ponto mais baixo da crosta terrestre é a Fossa de Mariana, no Oceano Pacífico Norte, a 10.923 metros abaixo do nível do mar. Qual é a distância entre os pontos mais altos e mais baixos da terra? Wikipedia http://en.Wikipedia.org/wiki/Extremes_on_Earth

59. Menor elevação. O ponto mais baixo da América do Norte é o Vale da Morte, Califórnia, a -282 pés. O ponto mais baixo em toda a massa de terra da Terra está nas margens do Mar Morto ao longo da fronteira Israel-Jordânia com uma altitude de -1.371 pés. Quanto mais baixa a costa do Mar Morto do Vale da Morte?

60. Pontuações do exame. As pontuações de Freida em seus primeiros sete exames de matemática são mostradas no gráfico de barras a seguir. Calcule as diferenças entre exames consecutivos e, em seguida, crie um gráfico de linha das diferenças em cada par de exames consecutivos. Entre quais duas duplas de exames consecutivos Freida apresentou mais melhora?


Respostas

1. −4

3. −2

5. 3

7. 23

9. 5 11. 11 13. −9 15. 2 17. 14 19. −2 21.15 23. 7 25. 0 27. −49 29. −5 31. −45 33. 2 35. −1 37. 4 39. 6 41. −20 43. 28 45. −4 47. 8 49. 12 51. 23◦ F 53. 21◦ F 55. −17 graus Fahrenheit 57. 24.100 pés 59. 1.089 pés mais baixo


Assista o vídeo: Odejmowanie liczb całkowitych #2 Działania na liczbach całkowitych (Outubro 2021).