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Função composta


Vamos analisar um exemplo para entender o que é uma função composta. Consideremos os conjuntos:

A={-2,-1,0,1,2}
B={-2,1,4,7,10}
C={3,0,15,48,99}

E as funções:
f:AB definida por f(x)=3x+4
g:BC definida por g(y)=y2-1

Como nos mostra o diagrama acima, para todo x A temos um único y B tal que y=3x+4, e para todo y B existe um único z C tal que z=y2-1. Então, concluímos que existe uma função h de A em C, definida por h(x)=z ou h(x)=9x2+24x+15, pois:
h(x)=z h(x)= y2-1
E sendo y=3x+4, então h(x)=(3x+4)2-1 h(x)= 9x2+24x+15.

A função h(x) é chamada função composta de g com f. Podemos indicá-la por g o f (lemos “g composta com f”) ou gf(x) (lemos “g de f de x”). Vamos ver alguns exercícios para entender melhor a ideia de função composta.

Exercícios resolvidos

1) Dadas as funções f(x)=x2-1 e g(x)=2x, calcule fg(x) e gf(x).
Resolução:
fg(x) = f(2x) = (2x)2-1 = 4x2-1
gf(x) = g(x2-1) = 2(x2-1) = 2x2-2

2) Dadas as funções f(x)=5x e fg(x)=3x+2, calcule g(x).
Resolução:
Como f(x)=5x, então fg(x)= 5.g(x).
Porém, fg(x)=3x+2, logo:
5.g(x)=3x+2, e daí g(x)=(3x+2)/5

3) Dadas as funções f(x)=x2+1 e g(x)=3x-4, determine fg(3).
Resolução: g(3)=3.3-4=5 fg(3)= f(5)= 52+1 = 25+1= 26.

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