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4.4: Independência do Caminho


Dizemos que a integral ( int _ { gamma} f (z) dz ) é dependente do caminho se tiver o mesmo valor para quaisquer dois caminhos com os mesmos pontos finais. Mais precisamente, se (f (z) ) é definido em uma região (A ) então ( int _ { gamma} f (z) dz ) é independente do caminho em (A ), se ele tem o mesmo valor para quaisquer dois caminhos em (A ) com os mesmos pontos de extremidade.

O teorema a seguir segue diretamente do teorema fundamental. A prova usa o mesmo argumento do Exemplo 4.3.2.

Teorema ( PageIndex {1} )

Se (f (z) ) tem uma antiderivada em uma região aberta (A ), então a integral do caminho ( displaystyle int _ { gamma} f (z) dz ) é independente do caminho para todos os caminhos em um).

Prova

Uma vez que (f (z) ) tem uma antiderivada de (f (z) ), o teorema fundamental nos diz que a integral depende apenas dos pontos finais de ( gamma ), ou seja,

[ int _ { gamma} f (z) dz = F (z_1) - F (z_0) nonumber ]

onde (z_0 ) e (z_1 ) são os pontos inicial e final de ( gamma ).

Uma forma alternativa de expressar independência de caminho usa caminhos fechados.

Teorema ( PageIndex {2} )

As duas coisas a seguir são equivalentes.

  1. O integral ( displaystyle int _ { gamma} f (z) dz ) é independente do caminho.
  2. A integral ( displaystyle int _ { gamma} f (z) dz ) em torno de qualquer caminho fechado é 0.
Prova

Isso é essencialmente idêntico à prova multivariável equivalente. Temos que mostrar duas coisas:

  1. A independência do caminho implica que a integral de linha em torno de qualquer caminho fechado é 0.
  2. Se a integral de linha em torno de todos os caminhos fechados for 0, então temos independência de caminho.

Para ver ( (i )), assuma a independência do caminho e considere o caminho fechado (C ) mostrado na figura (i) abaixo. Uma vez que o ponto inicial (z_0 ) é o mesmo que o ponto final (z_1 ), a integral ( int_C f (z) dz ) deve ter o mesmo valor que a integral de linha sobre a curva que consiste em um único ponto (z_0 ). Visto que é claramente 0, devemos ter a integral sobre (C ) é 0.

Para ver ( (ii )), assuma ( int_C f (z) dz = 0 ) para qualquer curva fechada. Considere as duas curvas (C_1 ) e (C_2 ) mostradas na figura (ii). Ambos começam em (z_0 ) e terminam em (z_1 ). Partindo do pressuposto de que as integrais sobre caminhos fechados são 0, temos ( int_ {C_1 - C_2} f (z) dz = 0 ). Então,

[f_ {C_1} f (z) dz = int_ {C_2} f (z) dz. enhum número]

Ou seja, quaisquer dois caminhos de (z_0 ) a (z_1 ) têm a mesma integral de linha. Isso mostra que as integrais de linha são independentes do caminho.


Independência filipina declarada

Durante a Guerra Hispano-Americana, rebeldes filipinos liderados por Emilio Aguinaldo proclamam a independência das Filipinas após 300 anos de domínio espanhol. Em meados de agosto, os rebeldes filipinos e as tropas norte-americanas expulsaram os espanhóis, mas as esperanças de Aguinaldo de independência foram frustradas quando os Estados Unidos anexaram formalmente as Filipinas como parte de seu tratado de paz com a Espanha.

As Filipinas, um grande arquipélago insular situado no sudeste da Ásia, foram colonizadas pelos espanhóis na última parte do século XVI. A oposição ao domínio espanhol começou entre os padres filipinos, que se ressentiam do domínio espanhol das igrejas católicas romanas nas ilhas. No final do século 19, os intelectuais filipinos e a classe média começaram a clamar pela independência. Em 1892, a Katipunan, uma sociedade revolucionária secreta, foi formada em Manila, a capital filipina na ilha de Luzon. O número de membros cresceu dramaticamente e, em agosto de 1896, os espanhóis descobriram os planos de rebelião do Katipunan & # x2019s, forçando uma ação prematura dos rebeldes. As revoltas eclodiram em Luzon e, em março de 1897, Emilio Aguinaldo, de 28 anos, tornou-se o líder da rebelião.

No final de 1897, os revolucionários foram expulsos para as colinas a sudeste de Manila, e Aguinaldo negociou um acordo com os espanhóis. Em troca de compensação financeira e promessa de reforma nas Filipinas, Aguinaldo e seus generais aceitariam o exílio em Hong Kong. Os líderes rebeldes partiram e a Revolução Filipina chegou ao fim temporariamente.

Em abril de 1898, estourou a Guerra Hispano-Americana sobre a supressão brutal de uma rebelião em Cuba pela Espanha. A primeira de uma série de vitórias decisivas dos EUA ocorreu em 1º de maio de 1898, quando o Esquadrão Asiático dos EUA sob o comando do Comodoro George Dewey aniquilou a frota espanhola do Pacífico na Batalha da Baía de Manila, nas Filipinas. Desde seu exílio, Aguinaldo fez acordos com as autoridades dos EUA para retornar às Filipinas e ajudar os Estados Unidos na guerra contra a Espanha. Ele desembarcou em 19 de maio, reuniu seus revolucionários e começou a libertar cidades ao sul de Manila. Em 12 de junho, ele proclamou a independência das Filipinas e estabeleceu um governo provincial, do qual posteriormente se tornou o chefe.

Enquanto isso, seus rebeldes cercaram os espanhóis em Manila e, com o apoio do esquadrão de Dewey & # x2019 na baía de Manila, certamente teriam conquistado os espanhóis. Dewey, no entanto, estava esperando as tropas terrestres dos EUA, que começaram a desembarcar em julho e assumiram as posições filipinas em torno de Manila. Em 8 de agosto, o comandante espanhol informou aos Estados Unidos que entregaria a cidade sob duas condições: os Estados Unidos deveriam fazer o avanço para a capital parecer uma batalha, e sob nenhuma condição os rebeldes filipinos teriam permissão para entrar no cidade. Em 13 de agosto, a simulação da Batalha de Manila foi encenada, e os americanos mantiveram sua promessa de manter os filipinos fora depois que a cidade passasse em suas mãos.

Enquanto os americanos ocupavam Manila e planejavam negociações de paz com a Espanha, Aguinaldo convocou uma assembléia revolucionária, os Malolos, em setembro. Eles redigiram uma constituição democrática, a primeira na Ásia, e um governo foi formado com Aguinaldo como presidente em janeiro de 1899. Em 4 de fevereiro, o que ficou conhecido como a Insurreição Filipina começou quando rebeldes filipinos e tropas americanas entraram em conflito dentro das linhas americanas em Manila . Dois dias depois, o Senado dos EUA votou por um voto para ratificar o Tratado de Paris com a Espanha. As Filipinas eram agora um território dos EUA, adquirido em troca de US $ 20 milhões em compensação aos espanhóis.

Em resposta, Aguinaldo lançou formalmente uma nova revolta & # x2013 desta vez contra os Estados Unidos. Os rebeldes, consistentemente derrotados em campo aberto, se voltaram para a guerra de guerrilha, e o Congresso dos EUA autorizou o envio de 60.000 soldados para subjugá-los. No final de 1899, havia 65.000 soldados americanos nas Filipinas, mas a guerra se arrastou. Muitos antiimperialistas nos Estados Unidos, como o candidato presidencial democrata William Jennings Bryan, se opuseram à anexação das Filipinas pelos EUA, mas em novembro de 1900 o atual republicano William McKinley foi reeleito e a guerra continuou.

Em 23 de março de 1901, em uma operação ousada, o general dos Estados Unidos Frederick Funston e um grupo de oficiais, fingindo ser prisioneiros, surpreenderam Aguinaldo em seu reduto na aldeia Luzon de Palanan e capturaram o líder rebelde. Aguinaldo fez um juramento de lealdade aos Estados Unidos e pediu o fim da rebelião, mas muitos de seus seguidores continuaram lutando. Durante o ano seguinte, as forças dos EUA pacificaram gradualmente as Filipinas. Em um episódio infame, as forças dos EUA na ilha de Samar retaliaram o massacre de uma guarnição dos EUA matando todos os homens na ilha com mais de 10 anos. Muitas mulheres e crianças também foram massacradas. O general Jacob Smith, que dirigiu as atrocidades, foi levado à corte marcial e forçado a se aposentar por transformar Samar, em suas palavras, em um & # x201 deserto de uivos. & # X201D

Em 1902, um governo civil americano assumiu a administração das Filipinas, e a insurreição filipina de três anos foi declarada encerrada. Resistência dispersa, no entanto, persistiu por vários anos.

Mais de 4.000 americanos morreram suprimindo as Filipinas & # x2013mais de 10 vezes o número de mortos na Guerra Hispano-Americana. Mais de 20.000 insurgentes filipinos foram mortos e um número desconhecido de civis morreu.


O Caminho para a Independência

A Guerra da Independência do México começou em 16 de setembro de 1810, quando o padre Miguel Hidalgo y Costilla declarou a independência na cidade de Dolores. Hidalgo reuniu um grande, mas rebelde exército de crianças, mulheres, idosos e gado para se revoltar contra o domínio espanhol. A revolução foi rapidamente subjugada e muitos dos membros voltaram a trabalhar em seus campos. Hidalgo foi afastado de seu cargo e decapitado por se rebelar contra o governo. Sua cabeça foi exibida publicamente em Guanajuato. Vários líderes religiosos assumiram o manto da revolução, mas a maioria foi decapitada.

Em 1821, o soldado espanhol Agustín de Iturbide saiu do acampamento e se juntou ao movimento mexicano. Ele liderou tropas na captura da Cidade do México e declarou-a independente. Iturbide redigiu uma promessa política “Plano de Iguala” que buscava libertar o México do domínio espanhol, garantir a igualdade entre os cidadãos e solidificar o catolicismo romano no país. Em vez disso, ele estabeleceu um sistema de estilo monárquico e se declarou imperador. Iturbide gastou a riqueza do país enriquecendo-se, um vício que irritou os líderes militares. Ele foi derrubado por Guadalupe Victoria, que se tornou o primeiro presidente do estado democrático recém-formado.

Apesar da declaração mexicana de independência e autogoverno, a Espanha continuou a manter e controlar o porto de Veracruz até 23 de novembro de 1825. Em 28 de dezembro de 1836, a Espanha legitimou a independência do México ao assinar o Tratado de María-Calatrava. Ao fazer isso, o México se tornou a primeira colônia espanhola a declarar soberania.


Regra de escolha e independência de caminho

Uma regra de escolha $ C $ satisfaz a independência de caminho se para todos $ A, B in 2 ^ X setminus emptyset $, $ C (A xícara B) = C (C (A) xícara C (B)) $ . Prove que se $ C $ não é vazio e é racionalizável, então $ C $ satisfaz a independência de caminho.

Uma vez que $ C $ é racionalizável, existe uma relação de preferência $ successq $ tal que $ C = C _ < successq> $. Agora vamos $ A, B in 2 ^ setminus emptyset $ e $ x in C (A xícara B) = C _ < sucq> (A xícara B) subseteq A xícara B $. Portanto, $ x successq y $ para todos os $ y em A cup B $. Uma vez que $ C (A) xícara C (B) = C _ < successq> (A) xícara C _ < successq> (B) subseteq A xícara B $, então $ x successq y $ para todos $ y em C (A) xícara C (B) $, portanto $ x em C (C (A) xícara C (B)) $, o que mostra que $ C (A xícara B) subseteq C (C (A) xícara C (B)) $. Agora, seja $ x em C (C (A) xícara C (B)) = C _ < successq> (C _ < successq> (A) xícara C _ < successq> (B)) $, o que implica que $ x successq y $ para todos os $ y em C (A) cup C (B) $. Mas se $ y em C (A) xícara C (B) $, então isso significa que $ y successq z $ para todos os $ z em A xícara B $. Por transitividade, temos $ x sucq z $ para todos os $ z em A xícara B $, então $ x em C (A xícara B) $. Portanto, $ C (C (A) xícara C (B)) subseteq C (A xícara B) $. Portanto, juntos temos $ C (A xícara B) = C (C (A) xícara C (B)) $.

Além disso, alguém pode fornecer um exemplo de regra de escolha não vazia que satisfaça a independência de caminho, mas não seja racionalizável?


Os efeitos da dependência do caminho nas empresas

As indústrias seguem a dependência do caminho se um conceito, método ou inovação inicial for adotado como padrão. Por exemplo, o uso de combustíveis fósseis como fontes de energia primária persiste, em parte, porque uma infinidade de indústrias terciárias está intrinsecamente ligada ao uso de combustíveis fósseis.

A indústria automotiva continua a fabricar veículos com motores de combustão interna movidos a gasolina, embora o suprimento de recursos seja, em última instância, finito. Há uma exploração considerável de combustíveis e fontes de energia alternativos, porém, eles carecem do tempo de pesquisa e do compromisso de infraestrutura já estabelecido para transporte e máquinas movidas a gasolina. Apesar dos custos crescentes e da escassez associada aos combustíveis fósseis, um recurso sucessor renovável ou de longo prazo que possa atender à demanda mundial ainda precisa ser desenvolvido em escala.

A dependência do caminho pode influenciar as estratégias dentro das empresas, às vezes em detrimento do negócio. Por exemplo, a maioria das empresas tem um produto ou sistema central que estabelece sua presença no mercado. Com o tempo, produtos e métodos rivais podem aparecer no mercado que representam oportunidades mais competitivas ou lucrativas. A dependência do caminho pode contribuir para uma relutância ou incapacidade de investir em inovações com visão de futuro. A introdução da fotografia digital, por exemplo, representou um grande desafio para os fabricantes de filmes para câmeras.

Principais vantagens

  • A dependência do caminho é um fenômeno pelo qual a história importa, o que ocorreu no passado persiste devido à resistência à mudança.
  • A resistência à mudança pode ser baseada nas implicações financeiras ou porque os formuladores de políticas estão tomando decisões cautelosas ou desinformadas.
  • As indústrias seguem a dependência do caminho quando os conceitos ou padrões iniciais são adotados e mantidos, mesmo que haja uma alternativa melhor.

A Palm, a extinta fabricante dos primeiros assistentes pessoais digitais, se viu em circunstâncias semelhantes quando o crescimento do mercado de smartphones eclipsou seus aparelhos. Embora a tecnologia da Palm seja amplamente utilizada como uma nova maneira de acessar a computação móvel, a empresa não adotou novas estratégias que a ajudariam a manter a relevância, já que os smartphones se tornaram os dispositivos móveis dominantes.

Fato rápido: de acordo com Ian Greener, um colaborador do Enciclopédia Britânica, o teclado QWERTY é resultado da dependência do caminho porque ainda está em uso, apesar de ser inferior ao ideal em termos de velocidade de digitação.


2410 Providence Path, Independence, MN 55359

2410 Providence Path, Independence, MN 55359 (MLS # 4952347) é uma propriedade unifamiliar que foi vendida por $ 790.000 em 27 de junho de 2018. Esta propriedade foi vendida por Michael Boege de nosso Stillwater Office. Quer saber mais sobre 2410 Providence Path? Você tem dúvidas sobre como encontrar outros imóveis para uma única família à venda em Independence? Você pode navegar por todos os imóveis do Independence ou entrar em contato com um agente do Coldwell Banker para solicitar mais informações.

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Um campo conservador é aquele em que a integral de linha não depende do caminho, mas depende apenas da posição inicial e final. Portanto, a integral de linha em um caminho fechado é zero.

Matematicamente, a integral de linha de um campo vetorial $ F $ do ponto $ a $ a $ b $ é dada por $ int _ ^ < overrightarrow . Overrightarrow

> $

Se $ a = b $, a integral $ int _ ^ < overrightarrow . Overrightarrow

> = 0 $

Isso sugere a aplicação do Teorema de Stokes, que é $ oint < overrightarrow . Overrightarrow

> = int <( triangledown times overrightarrow .d overrightarrow > quad $

Portanto, para um campo conservador $ int <( triangledown times overrightarrow .d overrightarrow > = 0 quad Rightarrow quad triangledown times overrightarrow = 0 $

Portanto, o suficiente para um campo ser conservador é que seu curl deve ser zero.

Como a curvatura de um gradiente é zero, podemos expressar o campo $ overrightarrow $ como o gradiente de um potencial escalar $ -V $. Observe que o sinal de menos é puramente convencional.


Be'halot'cha (Números 8-12)

Quando Aaron é instruído a acender a Menorá no Templo, a Torá usa uma palavra incomum - Behalot'cha - que é na verdade o nome da porção da Torá desta semana. Behalot'cha literalmente significa que Aaron deve "levantar" as chamas. Rashi explica que Aaron deveria segurar a luz dos pavios da Menorá até que eles não apenas pegassem fogo, mas realmente queimassem fortemente - e só então para tirar a luz.

Há uma mensagem importante aqui. A Menorá representa a Torá, e Arão iluminando a Menorá representa o educador ensinando - "iluminando" seus alunos.

Como Aarão com a Menorá, um educador deve tirar sua luz em algum ponto e permitir que o aluno fique em pé sobre seus próprios pés. O foco na educação deve ser nesse sentido. Este é, de fato, o propósito mais fundamental da educação - criar independência intelectual e emocional.

Com muita frequência, descobrimos que o objetivo da educação não é criar independência, mas, na verdade, criar dependência. Isso não está de acordo com a tradição judaica.

O objetivo de um rabino, como de qualquer educador, deve ser tornar-se obsoleto. Somente quando um aluno sai com confiança para pensar sobre as questões e tomar suas próprias decisões, o educador tem sido bem-sucedido.

Isso não é menos verdadeiro com relação aos pais. Por mais que desejemos que nossos filhos sigam o mesmo caminho que nós, também devemos nutrir a independência. Nós podemos protegê-los apenas até certo ponto. Em última análise, nosso objetivo é ajudá-los a se tornarem adultos capazes de tomar suas próprias decisões (em oposição às nossas).

Sim, a independência tem seu lado negativo - meu filho pode tomar decisões que eu não quero que ele tome! Mas se estamos confiantes na força de nossas crenças e valores, por que devemos temer? Nenhum ser humano neste mundo tem o direito de negar a liberdade de escolha a qualquer outro. Nosso objetivo com nossos alunos, assim como com nossos filhos, não deve ser tirar seu livre arbítrio - mas sim dar-lhes as ferramentas para usá-lo com eficácia.


Proposição.

Conseqüentemente, consideramos dígrafos de borda ponderada sem ciclos negativos.


Há um ciclo negativo que pode ser alcançado a partir da fonte se e somente se a fila não estiver vazia após a V-th passar por todas as bordas. Além disso, o subgráfico de arestas em nosso edgeTo [] array deve conter um ciclo negativo. Assim, para implementar negativeCycle () BellmanFordSP.java constrói um dígrafo com aresta ponderada a partir das arestas em edgeTo [] e procura um ciclo nesse dígrafo. Para encontrar o ciclo, ele usa EdgeWeightedDirectedCycle.java, uma versão de DirectedCycle.java da Seção 4.3, adaptada para trabalhar para dígrafos com peso de aresta. Amortizamos o custo desta verificação, realizando esta verificação apenas após cada Va chamada para relaxar().

Proposição.

Proposição.

Q. O algoritmo de Dijkstra funciona com pesos negativos?

UMA. Sim e não. Existem dois algoritmos de caminhos mais curtos, conhecidos como Algoritmo de Dijkstra, dependendo se um vértice pode ser enfileirado na fila de prioridade mais de uma vez. Quando os pesos são não negativos, as duas versões coincidem (já que nenhum vértice será enfileirado mais de uma vez). A versão implementada em DijkstraSP.java (que permite que um vértice seja enfileirado mais de uma vez) está correta na presença de pesos de aresta negativos (mas sem ciclos negativos), mas seu tempo de execução é exponencial no pior caso. (Observamos que DijkstraSP.java lança uma exceção se o dígrafo de aresta ponderada tiver uma aresta com peso negativo, de modo que um programador não se surpreenda com esse comportamento exponencial.) Se modificarmos DijkstraSP.java de modo que um vértice não possa ser enfileirado mais de uma vez (por exemplo, usando um marcado [] matriz para marcar os vértices que foram relaxados), então o algoritmo tem garantia de execução E registro V tempo, mas pode produzir resultados incorretos quando há arestas com pesos negativos.

Exercícios

  1. Verdadeiro ou falso. Adicionar uma constante a cada peso de aresta não muda a solução para o problema dos caminhos mais curtos de fonte única.

Problemas criativos

  1. Caminhos mais longos em DAGs. Desenvolva uma implementação AcyclicLP.java que possa resolver o problema de caminhos mais longos em DAGs de borda ponderada. w, o peso da aresta mais a diferença entre pi [v] e pi [w] é não negativo. Em seguida, use esses pesos para reponderar o dígrafo, de modo que o algoritmo de Dijkstra seja eficaz para encontrar todos os caminhos mais curtos no dígrafo reponderado. ->

Última modificação em 16 de novembro de 2018.

Copyright e cópia 2000 & ndash2019 Robert Sedgewick e Kevin Wayne. Todos os direitos reservados.


22.1 Independência do Caminho - Gravidade

Baixe o vídeo do iTunes U ou do Internet Archive.

Instrutor: Dr. Peter Dourmashkin

Gostaremos agora de explorar uma propriedade do trabalho realizado por forças chamada independência de caminho.

Portanto, lembre-se de que nosso trabalho é definido como uma integral de F.ds de algum ponto inicial a algum ponto final.

A força que vamos observar é a força gravitacional.

E vamos desenhar um sistema de coordenadas.

Vamos pegar um ponto inicial e um ponto final, e vamos escolher mais x e mais y e nossos vetores unitários i-hat e j-hat.

E neste exemplo, vamos considerar a força gravitacional perto da superfície da Terra, que é uma constante apontando para baixo.

E o que eu gostaria de fazer é considerar dois caminhos.

Eu gostaria de considerar um caminho, aquele primeiro caminho vai direto para cima e para cima.

E o segundo caminho, o caminho 2, ficará na horizontal e na vertical.

Então esse será o caminho 2 e tem duas pernas diferentes.

E gostaríamos de avaliar essa integral em ambos os caminhos.

Agora, a maneira como fazemos isso é, primeiro, vamos começar com o caminho 1.

Chamaremos isso de y inicial e chamaremos de y final.

E desenharemos a força gravitacional mg, mg em ambas as pernas.

E agora vemos que quando fazemos a integral ao longo desta primeira perna do caminho 1, a força gravitacional é oposta à direção em que estamos movendo o deslocamento.

Portanto, sendo o intervalo negativo, a força é constante.

E assim, o trabalho realizado é simplesmente menos mg vezes delta y, que é y final menos y inicial nessa primeira parte.

Agora, na segunda parte, este é um ângulo reto.

E como é um ângulo reto, o produto escalar é 0.

Portanto, esse é o trabalho total realizado no caminho 1.

Agora no caminho 2, vamos novamente, vamos apenas desenhar nossas forças.

Temos a gravidade baixa e a gravidade baixa.

E podemos ver que, mais uma vez, na primeira perna horizontal do caminho 2, essa integral é 0 porque está se movendo perpendicularmente à força, a direção de apenas ao longo do caminho.

E nesta perna, assim como naquela perna ali, a força gravitacional está para baixo, a integral é negativa, obtemos exatamente o mesmo resultado.

Agora, o que gostaríamos de fazer é considerar um caminho mais geral, em vez dessas duas pernas horizontais e verticais.

Então, vamos desenhar um sistema de coordenadas novamente.

Vamos introduzir i, e vamos introduzir f mais y e mais x.

E agora vamos considerar um caminho que está se movendo assim.

Agora, neste caminho, o que queremos fazer é dividi-lo em pedaços horizontais e verticais, horizontal, vertical, horizontal, vertical, horizontal, vertical, horizontal, vertical, horizontal, vertical.

E vamos nos concentrar em uma dessas peças, que tem um deslocamento, ds, indo de um ponto a outro.

Agora, se explodirmos isso, temos nosso deslocamento, ds, então o que temos aqui é um deslocamento, dx, na direção horizontal e dy na direção vertical.

E então vemos novamente que quando calculamos este trabalho, e nossa força gravitacional é para baixo, então a exibição horizontal - parte desse deslocamento, o produto escalar na direção horizontal, 0, apenas a parte vertical é cancelada.

E assim, quando somamos o trabalho ao longo dessas peças horizontais e verticais, apenas a peça vertical conta.

Estamos apenas somando o dy até chegarmos ao y final menos y inicial.

Agora vamos ser um pouco mais analíticos aqui e escrever nosso ds como um vetor dx i-hat mais dy j-hat e nossa força gravitacional como menos mg j-hat.

Agora, o trabalho é a integral da posição inicial até a posição final de fg.ds.

E então, quando fazemos isso, temos menos mg j-hat ponto dx i-hat mais dy j-hat.

E de sua inicial ao local final.

E observe que temos j-hat dot i-hat.

Eles são perpendiculares para que o produto escalar seja 0.

And so what we're left with here in the integral is simply now we're integrating from y initial to y final because we only have minus mgdy.

And that's what we said before, only the vertical parts are adding up.

And so when you do this integral, mg is a constant.

We get mg times y final minus y initial, and that agrees with what we had before.

So this type of force is an illustration of a force where the work done is independent of the path we choose from the initial to the final place.


4.4: Path Independence

Nova Versão Internacional
As he was scattering the seed, some fell along the path, and the birds came and ate it up.

New Living Translation
As he scattered it across his field, some of the seed fell on a footpath, and the birds came and ate it.

English Standard Version
And as he sowed, some seed fell along the path, and the birds came and devoured it.

Berean Study Bible
And as he was sowing, some seed fell along the path, and the birds came and devoured it.

Berean Literal Bible
And it came to pass as he sowed, some fell along the road, and the birds came and devoured it.

Bíblia King James
And it came to pass, as he sowed, some fell by the way side, and the fowls of the air came and devoured it up.

New King James Version
And it happened, as he sowed, que algum semente fell by the wayside and the birds of the air came and devoured it.

New American Standard Bible
as he was sowing, some semente fell beside the road, and the birds came and ate it up.

NASB 1995
as he was sowing, some seed fell beside the road, and the birds came and ate it up.

NASB 1977
and it came about that as he was sowing, some semente fell beside the road, and the birds came and ate it up.

Amplified Bible
and as he was sowing, some semente fell by the road, and the birds came and ate it up.

Bíblia Cristã Padrão
As he sowed, some seed fell along the path, and the birds came and devoured it.

Bíblia Holman Christian Standard
As he sowed, this occurred: Some seed fell along the path, and the birds came and ate it up.

American Standard Version
and it came to pass, as he sowed, some'seed fell by the way side, and the birds came and devoured it.

Aramaic Bible in Plain English
“And as he sowed, there was some that fell on the side of the road and a bird came and ate it.”

Contemporary English Version
While the farmer was scattering the seed, some of it fell along the road and was eaten by birds.

Douay-Rheims Bible
And whilst he sowed, some fell by the way side, and the birds of the air came and ate it up.

English Revised Version
and it came to pass, as he sowed, some seed fell by the way side, and the birds came and devoured it.

Good News Translation
As he scattered the seed in the field, some of it fell along the path, and the birds came and ate it up.

GOD'S WORD® Translation
Some seeds were planted along the road, and birds came and devoured them.

International Standard Version
As he was sowing, some seeds fell along the path, and birds came and ate them up.

Literal Standard Version
and it came to pass, in the sowing, some fell by the way, and the birds of the sky came and devoured it

NET Bible
And as he sowed, some seed fell along the path, and the birds came and devoured it.

New Heart English Bible
And it happened, as he sowed, some seed fell by the road, and the birds came and devoured it.

Weymouth New Testament
As he sows, some of the seed falls by the way-side, and the birds come and peck it up.

World English Bible
and it happened, as he sowed, some seed fell by the road, and the birds came and devoured it.

Young's Literal Translation
and it came to pass, in the sowing, some fell by the way, and the fowls of the heaven did come and devour it

Matthew 13:4
And as he was sowing, some seed fell along the path, and the birds came and devoured it.

Mark 4:3
"Listen! A farmer went out to sow his seed.

Mark 4:5
Some fell on rocky ground, where it did not have much soil. It sprang up quickly because the soil was shallow.

And it came to pass, as he sowed, some fell by the way side, and the fowls of the air came and devoured it up.

Mark 4:15 And these are they by the way side, where the word is sown but when they have heard, Satan cometh immediately, and taketh away the word that was sown in their hearts.

Genesis 15:11 And when the fowls came down upon the carcases, Abram drove them away.

Matthew 13:4,19 And when he sowed, some sementes fell by the way side, and the fowls came and devoured them up: …

Como
ἐν (en)
Preposition
Strong's 1722: In, on, among. A primary preposition denoting position, and instrumentality, i.e. A relation of rest 'in, ' at, on, by, etc.

he was sowing,
σπείρειν (speirein)
Verb - Present Infinitive Active
Strong's 4687: To sow, spread, scatter. Probably strengthened from spao to scatter, i.e. Sow.

some [seed]
ὃ (ho)
Personal / Relative Pronoun - Nominative Neuter Singular
Strong's 3739: Who, which, what, that.

fell
ἔπεσεν (epesen)
Verb - Aorist Indicative Active - 3rd Person Singular
Strong's 4098: A reduplicated and contracted form of peto probably akin to petomai through the idea of alighting to fall.

junto
παρὰ (para)
Preposition
Strong's 3844: Gen: from dat: beside, in the presence of acc: alongside of.

a
τὴν (tēn)
Article - Accusative Feminine Singular
Strong's 3588: The, the definite article. Including the feminine he, and the neuter to in all their inflections the definite article the.

path,
ὁδόν (hodon)
Noun - Accusative Feminine Singular
Strong's 3598: A way, road, journey, path. Apparently a primary word a road by implication, a progress figuratively, a mode or means.

a
τὰ (ta)
Article - Nominative Neuter Plural
Strong's 3588: The, the definite article. Including the feminine he, and the neuter to in all their inflections the definite article the.

pássaros
πετεινὰ (peteina)
Noun - Nominative Neuter Plural
Strong's 4071: A bird, fowl. Neuter of a derivative of petomai a flying animal, i.e. Bird.

came
ἦλθεν (ēlthen)
Verb - Aorist Indicative Active - 3rd Person Singular
Strong's 2064: To come, go.

devoured
κατέφαγεν (katephagen)
Verb - Aorist Indicative Active - 3rd Person Singular
Strong's 2719: To eat up, eat till it is finished, devour, squander, annoy, injure. From kata and esthio to eat down, i.e. Devour.

isto.
αὐτό (auto)
Personal / Possessive Pronoun - Accusative Neuter 3rd Person Singular
Strong's 846: He, she, it, they, them, same. From the particle au the reflexive pronoun self, used of the third person, and of the other persons.