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Progressão aritmética


Observe a sequência dos números naturais ímpares:

(1, 3, 5, 7,… )

Observe que cada termo, exceto o primeiro, equivale ao anterior adicionado a um número fixo: 2.

Sequências como essa são chamadas de progressões aritméticas.

Progressão aritmética (PA) é toda sequência numérica em que cada um de seus termos, a partir do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante r, denominada razão da progressão aritmética.

Exemplos

(2, 5, 8, 11, 14,… ) é uma PA de razão 3;

(10, 8, 6, 4, 2, 0,… ) é uma PA de razão -2.

Uma sequência é uma PA quando:

Genericamente:

, n

Note que em uma PA, subtraindo-se de cada termo o seu antecessor, obtemos a razão r:

Genericamente:

Assim, para descobrimos qual é a razão de uma PA, basta subtrairmos um termo qualquer de seu antecessor:

Exemplo 1

Qual a razão da PA ?

Resolução

A razão da PA é a diferença entre um termo qualquer e seu antecessor. Vamos calcular a diferença entre o 3º e o 2º termos:

Portanto, a razão dessa PA é .

Exemplo 2

A sequência (-2, 1, 4, 8) é uma PA?

Resolução
A sequência é uma PA se, subtraindo de cada termo o seu antecessor, o resultado for constante.

1 - (-2) = 3
4 - 1 = 3
8 - 4 = 4

Portanto, a sequência (-2, 1, 4, 8) não é uma PA.

Exemplo 3

Determine x na PA .

Resolução

A razão da PA é a diferença entre um termo qualquer e seu antecessor. Sendo assim, fazemos:


Logo, .

Classificação de uma PA

Uma PA pode ser:

Classificação

Razão

Exemplo

Crescente

r > 0

(1, 5, 9, 13, 17,… ) r = 4

Decrescente

r < 0

(7, 4, 1, -2, -5,… ) r = -3

Constante

r = 0

(5, 5, 5, 5, 5, 5,… ) r = 0

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