Artigos

11.1: Prelúdio às Cônicas - Matemática


Cinco, quatro. Em seguida, você usará o que aprendeu para investigar sistemas de equações não lineares.


Exercício 11.1 Capítulo 11 Seções cônicas Classe 11 Matemática

Nesta aula, discuti as soluções ncert para o Exercício 11.1 do Capítulo 11 Seções cônicas da aula 11 de matemática.

00:00:05 Como estudar as seções cônicas na aula 11

00:05:31 Introdução ao Círculo, Parábola, Elipse e Hipérbole

00:07:31 Animação para entender por que são chamadas de seções cônicas

00:09:51 Como derivar a equação do círculo
Em cada um dos seguintes exercícios 1 a 5, encontre a equação do círculo com

00:13:51 Soluções NCERT Exercício 11.1 Questão 1 centro (0,2) e raio 2

00:16:41 Soluções NCERT Exercício 11.1 Questão 2 centro (-2,3) e raio 4

00:18:31 Exercício de Soluções NCERT 11.1 Questão 3 center left ( frac <1> <2>, frac <1> <4> right) e radius frac <1>

00:21:41 Soluções NCERT Exercício 11.1 Pergunta 4 center (1,1) e radius sqrt

00:22:52 Soluções NCERT Exercício 11.1 Questão 5 center (–a, –b) e radius sqrt
Em cada um dos exercícios 6 a 9 a seguir, encontre o centro e o raio dos círculos.

00:25:32 NCERT Solutions Exercício 11.1 Pergunta 6 (x + 5) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = 36

00:26:52 NCERT Solutions Exercício 11.1 Pergunta 7 x ^ 2 + y ^ 2-4x-8y-45 = 0

00:31:02 NCERT Solutions Exercício 11.1 Pergunta 8 x ^ 2 + y ^ 2-8x + 10y-12 = 0

00:33:22 NCERT Solutions Exercício 11.1 Pergunta 9 2x ^ 2 + 2y ^ 2-x = 0

00:36:02 Soluções NCERT Exercício 11.1 Questão 15 O ponto (-2,5, 3,5) está dentro, fora ou no círculo x ^ 2 + y ^ 2 = 25?

00:42:42 Soluções NCERT Exercício 11.1 Questão 14 Encontre a equação de um círculo com centro (2,2) e passa pelo ponto (4,5).

00:45:42 Soluções NCERT Exercício 11.1 Questão 12 Encontre a equação do círculo com raio 5 cujo centro está no eixo x e passa pelo ponto (2,3).

00:51:42 Soluções NCERT Exercício 11.1 Questão 13 Encontre a equação do círculo passando por (0,0) e fazendo interceptações aeb nos eixos de coordenadas.

00:59:42 Soluções NCERT Exercício 11.1 Questão 10 Encontre a equação do círculo que passa pelos pontos (4,1) e (6,5) e cujo centro está na linha 4x + y = 16.

01:08:32 Soluções NCERT Exercício 11.1 Questão 11 Encontre a equação do círculo que passa pelos pontos (2,3) e (–1,1) e cujo centro está na linha x - 3y - 11 = 0.


Capítulo 11 Seções cônicas da classe 11

Aprenda as seções cônicas do Capítulo 11 da Classe 11 gratuitamente com soluções de todas as questões NCERT, exemplos e exercícios diversos. Todas as soluções são fornecidas com explicação passo a passo para sua referência.

Vamos ver o que é seção cônica.

Aprendemos Linhas retas no último capítulo, mas linhas retas não são o único tipo de curva que temos.

Neste capítulo, falamos sobre seções cônicas,

isto é, seções do cone

Especificamente, falamos sobre

Círculos, Elipse, Parábola e Hipérbole

Portanto, os tópicos do capítulo incluem

  • Círculos - Como encontrar a equação do círculo, centro do círculo
  • Parábola - Equação da parábola, sua diretriz, excentricidade e foco
  • Elipse - Equação da elipse, sua diretriz, excentricidade, foco e vértices
  • Hipérbole - Equação da hipérbole, sua diretriz, excentricidade, foco e vértices
  • Outras questões, como problema de espelho, problema de triângulo na parábola, problema de feixe, Locus, problemas de traçado de caminho

Clique em um exercício para começar com as respostas das perguntas ou no tópico para aprender os conceitos com as perguntas


Seções cônicas, classe 11, notas, matemática, capítulo 11

Círculo
Um círculo é o conjunto de todos os pontos em um plano, que estão a uma distância fixa de um ponto fixo no plano. O ponto fixo é denominado centro do círculo e a distância do centro a qualquer ponto do círculo é denominado raio do círculo.
A equação de um círculo com raio r tendo centro (h, k) é dada por (x & # 8211 h) 2 + (y & # 8211 k) 2 = r 2.

A equação geral do círculo é dada por x 2 + y 2 + 2gx + 2fy + c = 0, onde g, f e c são constantes.

A equação geral do círculo que passa pela origem é x 2 + y 2 + 2gx + 2fy = 0.

A equação paramétrica do círculo x 2 + y 2 = r 2 é dada por x = r cos θ, y = r sin θ, onde θ é o parâmetro e a equação paramétrica do círculo (x & # 8211 h) 2 + (y & # 8211 k) 2 = r 2 são dados por x = h + r cos θ, y = k + r sen θ.

Nota: A equação geral do círculo envolve três constantes, o que implica que pelo menos três condições são necessárias para determinar um círculo de maneira única.

Parábola
Uma parábola é o conjunto de pontos P cujas distâncias de um ponto fixo F no plano são iguais à distância de uma linha fixa l no plano. O ponto fixo F é denominado foco e a linha fixa l é a diretriz da parábola.

Principais fatos sobre a parábola

Formas de parábola y 2 = 4ax y 2 = -4ax x 2 = 4ay x 2 = -4ay
Eixo da parábola y = 0 y = 0 x = 0 x = 0
Directrix da parábola x = -a x = a y = -a y = a
Vértice (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0)
Foco (a, 0) (-a, 0) (0, a) (0, -a)
Comprimento do reto latus 4a 4a 4a 4a
Comprimento focal | x + a | | x & # 8211 a | | y + a | | y & # 8211 a |

Elipse
Uma elipse é o conjunto de todos os pontos em um plano tal que a soma de cujas distâncias de dois pontos fixos é constante.
ou
Uma elipse é o conjunto de todos os pontos no plano cujas distâncias de um ponto fixo no plano têm uma razão constante, menor do que a distância de um ponto fixo no plano. O ponto fixo é denominado foco, a linha fixa uma diretriz e a razão constante (e) a excentricidade da elipse. Temos duas formas padrão de elipse, ou seja,

Principais fatos sobre a elipse

Hipérbole
Uma hipérbole é o lugar geométrico de um ponto em um plano que se move de tal maneira que a relação entre sua distância de um ponto fixo no mesmo plano e sua distância de uma linha fixa é sempre constante, sempre maior que a unidade. O ponto fixo é chamado de foco, a linha fixa é chamada de diretriz e a razão constante, geralmente denotada por bye, é conhecida como a excentricidade da hipérbole.
Temos duas formas padrão de hipérbole, ou seja,

Principais fatos sobre hipérbole


Índice

Explorando Padrões e Sequências
Calculadora TI-83 Plus: Gerando os termos de um
& # 160 & # 160 & # 160 Sequência
Sequências e Fórmulas Recursivas
Calculadora TI-83 Plus: Representação gráfica de sequências
Investigando Formas de Corte & # 34Vegetais & # 34
Sequências Aritméticas
Sequências Geométricas
Juros compostos: quantidade e valor presente
Expoentes Racionais
Simplificando Expressões Envolvendo Expoentes
Resolvendo Equações Exponenciais

Capítulo 2: Série e aplicações financeiras

Série Aritmética
Investigando uma sequência usando a calculadora TI-83 Plus & # 160 & # 160 & # 160 e o TI Calculator-Based Ranger (CBR)
Séries geométricas
Usando uma planilha para representar o valor de um depósito
Usando planilhas para analisar e representar situações financeiras & # 160 & # 160 & # 160: tabelas de valor futuro e amortização
Calculadora TI-83 Plus: Encontrar a Soma e Usar Séries para Analisar Situações Financeiras: Valor Futuro
Usando Séries para Analisar Situações Financeiras: Atual Calculadora TI-83 Plus: Analisando Situações Financeiras Usando & # 160 & # 160 & # 160 o TVM Solver
Taxas Equivalentes e Anuidades Gerais
Calculadora TI-83 Plus: Criação de cronogramas de reembolso
Usando tecnologia para analisar hipotecas canadenses

Revisão do Capítulo 2
Capítulo 2 Teste de Revisão
Teste de revisão cumulativa

Tarefa de desempenho para os capítulos 1 e 2

Revisão de habilidades e conhecimentos essenciais - Parte 2

Capítulo 3: Introdução às funções

Investigando um tipo especial de relacionamento
Funções: Conceito e Notação
Resolvendo Desigualdades
A Função Inversa
Calculadora TI-83 Plus: Funções Gráficas e Propriedades Inversas de Investigação de Funções Inversas
Transformações e notação de função

Capítulo 4: Funções Quadráticas e Racionais

Ampliando as habilidades de álgebra: completando o quadrado
Valores máximo e mínimo de funções quadráticas
Zeros de funções quadráticas
Apresentando Números Complexos
Adicionando, subtraindo e multiplicando números complexos
Funções Recíprocas
Calculadora TI-83 Plus: Explorar o comportamento das funções perto das assíntotas
Simplificando Expressões Racionais
Multiplicando e dividindo expressões racionais
Dividindo Números Complexos
Adicionando e subtraindo expressões racionais
Ampliando as habilidades de álgebra: trabalhando com polinômios

Revisão do Capítulo 4
Capítulo 4 Teste de Revisão
Teste de revisão cumulativa

Tarefa de desempenho para os capítulos 3 e 4


PARTE 3 - FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Revisão de habilidades e conhecimentos essenciais - Parte 3

Capítulo 5: Modelagem de Funções Periódicas

Fenômenos Periódicos
Ângulos de compreensão
Funções trigonométricas
Medida Radiana
Calculadora TI-83 Plus: gráficos de funções trigonométricas
Investigando transformações
Modelagem de fenômenos periódicos
Resolvendo Equações Trigonométricas Lineares
Calculadora TI-83 Plus: usando a regressão sinusodial
encontrar a curva de melhor ajuste
Uso de sondas digitais para coletar dados periódicos

Revisão do Capítulo 5
Capítulo 5 Teste de Revisão

Capítulo 6: Ampliando as habilidades com trigonometria

Ampliando as habilidades de trigonometria com triângulos oblíquos
Resolvendo Problemas de Trigonometria em Duas e Três Dimensões
Usando Triângulos Especiais para Determinar Valores Exatos
Investigando Expressões Idênticas
Identidades trigonométricas
Resolvendo Equações Trigonométricas Quadráticas

PARTE 4 - LOCI E CONICS

Revisão de habilidades e conhecimentos essenciais - Parte 4

Capítulo 7: Investigando Loci e Cônicas

Apresentando as Definições de Locus
Revisitando o Círculo
Calculadora TI-83 Plus: gráficos de círculos
A elipse
Modelos de papel encerado
A parábola
Propriedades reflexivas das cônicas
Representando graficamente cônicas usando tecnologia
A hipérbole
A forma geral das cônicas
Quando as linhas encontram as cônicas


11.1: Prelúdio às Cônicas - Matemática

Dado: Centro (0, 2) e raio (r) = 2

A equação de um círculo com centro como (h, k) e raio como r é dada como (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2

Como, Centro (h, k) = (0, 2) e raio (r) = 2



Assim, a equação do círculo é

(x - 0) 2 + (y - 2) 2 = 2 2 [usando a fórmula (a & # 8211 b) 2 = a 2 & # 8211 2ab + b 2]

x 2 + y 2 + 4 - 4y = 4

x 2 + y 2 - 4y = 0

Portanto, a equação do círculo é x 2 + y 2 - 4y = 0

Questão 2: Centro (-2, 3) e raio 4


A equação de um círculo com centro como (h, k) e raio como r é dada como (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2

As, centro (h, k) = (-2, 3) e raio (r) = 4

Assim, a equação do círculo é

(x + 2) 2 + (y - 3) 2 = (4) 2 [usando a fórmula (a & # 8211 b) 2 = a 2 & # 8211 2ab + b 2]

x 2 + 4x + 4 + y 2 - 6y + 9 = 16

x 2 + y 2 + 4x - 6y - 3 = 0

Portanto, a equação do círculo é x 2 + y 2 + 4x - 6y - 3 = 0

Pergunta 3: centro (1/2, 1/4) e raio (1/12)


A equação de um círculo com centro como (h, k) e raio como r é dada como (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2

Então, centro (h, k) = (1/2, 1/4) e raio (r) = 1/12

Assim, a equação do círculo é

(x - 1/2) 2 + (y - 1/4) 2 = (1/12) 2 [usando a fórmula (a & # 8211 b) 2 = a 2 & # 8211 2ab + b 2]

x 2 - x + 1/4 + y 2 - y / 2 + 1/16 = 1/144

x 2 - x + 1/4 + y 2 - y / 2 + 1/16 = 1/144

144x 2 - 144x + 36 + 144y 2 - 72y + 9 - 1 = 0

144x 2 - 144x + 144y 2 - 72y + 44 = 0

36x 2 + 36x + 36y2 - 18y + 11 = 0

36x 2 + 36y2 - 36x - 18y + 11 = 0

Portanto, a equação do círculo é 36x 2 + 36y 2 - 36x - 18y + 11 = 0

Questão 4: Centro (1, 1) e raio √2

Dado: Centro (1, 1) e raio √2

A equação de um círculo com centro como (h, k) e raio como r é dada como (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2

Então, centro (h, k) = (1, 1) e raio (r) = √2

Assim, a equação do círculo é

(x-1) 2 + (y-1) 2 = (√2) 2 [usando a fórmula (a & # 8211 b) 2 = a 2 & # 8211 2ab + b 2]

x 2 - 2x + 1 + y 2 -2y + 1 = 2

x 2 + y 2 - 2x -2y = 0



Portanto, a equação do círculo é x 2 + y 2 - 2x -2y = 0

Questão 5: Centro (–a, –b) e raio √ (a 2 - b 2)

Dado: Centro (-a, -b) e raio √ (a 2 - b 2)

A equação de um círculo com centro como (h, k) e raio como r é dada como (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2

Então, centro (h, k) = (-a, -b) e raio (r) = √ (a 2 - b 2)

Assim, a equação do círculo é

(x + a) 2 + (y + b) 2 = (√ (a 2 - b 2) 2) [usando a fórmula (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2]

x 2 + 2ax + a 2 + y 2 + 2by + b 2 = a 2 - b 2

x 2 + y 2 + 2ax + 2by + 2b 2 = 0

Portanto, a equação do círculo é x 2 + y 2 + 2ax + 2by + 2b 2 = 0

Em cada um dos exercícios 6 a 9 a seguir, encontre o centro e o raio dos círculos.

Pergunta 6: (x + 5) 2 + (y - 3) 2 = 36

Dada a equação: (x + 5) 2 + (y - 3) 2 = 36

(x - (-5)) 2 + (y - 3) 2 = 6 2

A equação tem a forma (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2 onde, h = -5, k = 3 e r = 6

Portanto, o centro é (-5, 3) e seu raio é 6.

Pergunta 7: x 2 + y 2 - 4x - 8y - 45 = 0

Dada a equação: x 2 + y 2 - 4x - 8y - 45 = 0.

x 2 + y 2 - 4x - 8y - 45 = 0

(x 2 - 4x) + (y 2 -8y) = 45



(x 2 - 2 (x) (2) + 2 2) + (y 2 - 2 (y) (4) + 4 2) - 4 - 16 = 45

(x - 2) 2 + (y - 4) 2 = 65

(x - 2) 2 + (y - 4) 2 = (√65) 2

A equação tem a forma (x-h) 2 + (y-k) 2 = r 2, onde h = 2, k = 4 e r = √65

Portanto, o centro é (2, 4) e seu raio é √65.

Pergunta 8: x 2 + y 2 - 8x + 10y - 12 = 0

Dada a equação: x 2 + y 2 -8x + 10y -12 = 0.

x 2 + y 2 - 8x + 10y - 12 = 0

(x 2 - 8x) + (y 2 + 10y) = 12

(x 2 - 2 (x) (4) + 4 2) + (y 2 - 2 (y) (5) + 5 2) - 16 - 25 = 12

(x - 4) 2 + (y + 5) 2 = 53

(x - 4) 2 + (y - (-5)) 2 = (√53) 2

A equação tem a forma (x-h) 2 + (y-k) 2 = r 2, onde h = 4, k = -5 e r = √53

Portanto, o centro é (4, -5) e seu raio é √53.

Pergunta 9: 2x 2 + 2y 2 - x = 0

Dada a equação: 2x 2 + 2y 2 - x = 0.

2x 2 + 2y 2 - x = 0

(2x 2 & # 8211 x) + 2y 2 = 0

(x 2 - 2 (x) (1/4) + (1/4) 2) + y 2 - (1/4) 2 = 0

(x - 1/4) 2 + (y - 0) 2 = (1/4) 2

A equação tem a forma (x-h) 2 + (y-k) 2 = r 2, onde, h = 1/4, k = 0 e r = 1/4

Portanto, o centro é (1/4, 0) e seu raio é 1/4.

Questão 10: Encontre a equação do círculo que passa pelos pontos (4,1) e (6,5) e cujo centro está na linha 4x + y = 16.

A equação do círculo é (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2

Conforme o círculo passa pelos pontos (4,1) e (6,5)

Então, quando o círculo passa (4,1)

(4 - h) 2 + (1 - k) 2 = r 2 …………… .. (1)

Quando o círculo passa (6,5)

(6 - h) 2 + (5 - k) 2 = r 2 ……………… (2)



Dado que, o centro (h, k) do círculo encontra-se na linha 4x + y = 16,

4h + k = 16 ………………… (3)

Da equação (1) e (2), obtemos

(4 - h) 2 + (1 - k) 2 = (6 - h) 2 + (5 - k) 2

16 - 8h + h 2 +1 -2k + k 2 = 36 -12h + h 2 +15 - 10k + k 2

16 - 8h +1 -2k + 12h -25 -10k

4h + 8k = 44

h + 2k = 11 ……………. (4)

Agora, vamos multiplicar a equação (3) por 2, e subtraindo-a com a equação (4), obtemos

(h + 2k) & # 8211 2 (4h + k) = 11 & # 8211 32

h + 2k & # 8211 8h & # 8211 2k = -21

-7h = -21

h = 3

Substitua este valor de h na equação (4), obtemos

3 + 2k = 11

2k = 11 & # 8211 3

2k = 8

k = 4

Obtemos h = 3 e k = 4

Quando substituímos os valores de hek na equação (1), obtemos

(4 - 3) 2 + (1 - 4) 2 = r 2

(1) 2 + (-3) 2 = r 2

1 + 9 = r 2

r = √10

Agora, a equação do círculo é,

(x - 3) 2 + (y - 4) 2 = (√10) 2

x 2 - 6x + 9 + y 2 - 8y + 16 = 10

x 2 + y 2 - 6x - 8y + 15 = 0

Portanto, a equação do círculo é x 2 + y 2 - 6x - 8y + 15 = 0

Questão 11: Encontre a equação do círculo que passa pelos pontos (2, 3) e (–1, 1) e cujo centro está na linha x - 3y - 11 = 0.

A equação do círculo é (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2

Conforme o círculo passa pelos pontos (2,3) e (-1,1)

Então, quando o círculo passa (2,3)

(2 - h) 2 + (3 - k) 2 = r 2 …………… .. (1)

Quando o círculo passa (-1,1)

(-1 - h) 2 + (1– k) 2 = r 2 ……………… (2)

Dado que, o centro (h, k) do círculo encontra-se na linha x - 3y - 11 = 0,

h - 3k = 11 ………………… (3)

Da equação (1) e (2), obtemos

(2 - h) 2 + (3 - k) 2 = (- 1 - h) 2 + (1 - k) 2

4 - 4h + h 2 +9 -6k + k 2 = 1 + 2h + h 2 +1 - 2k + k 2

4 - 4h +9 -6k = 1 + 2h + 1 -2k

6h + 4k = 11 ……………. (4)

Agora, vamos multiplicar a equação (3) por 6, e subtraindo-a com a equação 4, obtemos

6h + 4k - 6 (h-3k) = 11 - 66

6h + 4k - 6h + 18k = 11 - 66

22 k = - 55

k = -5/2

Substitua este valor de k na equação (4), obtemos



6h + 4 (-5/2) = 11

6h - 10 = 11

6h = 21

h = 21/6

h = 7/2

Obtemos h = 7/2 ek = -5/2

Ao substituir os valores de hek na equação (1), obtemos

(2 - 7/2) 2 + (3 + 5/2) 2 = r 2

[(4-7) / 2] 2 + [(6 + 5) / 2] 2 = r 2

(-3/2) 2 + (11/2) 2 = r 2

9/4 + 121/4 = r 2

130/4 = r 2

Agora, a equação do círculo é,

(x - 7/2) 2 + (y + 5/2) 2 = 130/4

[(2x-7) / 2] 2 + [(2y + 5) / 2] 2 = 130/4

4 & # 2152 -28x + 49 + 4y 2 + 20y + 25 = 130

4x 2 + 4y 2 -28x + 20y - 56 = 0

4 (x 2 + y 2 -7x + 5y - 14) = 0

x 2 + y 2 - 7x + 5y - 14 = 0

Portanto, a equação do círculo é x 2 + y 2 - 7x + 5y - 14 = 0

Questão 12: Encontre a equação do círculo com raio 5 cujo centro está no eixo x e passa pelo ponto (2, 3).

A equação do círculo é (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2

Dado que o raio do círculo é 5 e seu centro está no eixo x, k = 0 e r = 5.

Portanto, agora, a equação do círculo é (x - h) 2 + y 2 = 25.

Também considerando que o círculo passa pelo ponto (2, 3).

Portanto,

(2 - h) 2 + 3 2 = 25

(2 - h) 2 = 25-9

(2 - h) 2 = 16

2 - h = ± √16 = ± 4

Se 2-h = 4, então h = -2

Se 2-h = -4, então h = 6

Agora, quando h = -2, a equação do círculo é

(x + 2) 2 + y 2 = 25

x 2 + 4x + 4 + y 2 = 25

x 2 + y 2 + 4x & # 8211 21 = 0

Agora, quando h = 6, a equação do círculo é

(x - 6) 2 + y 2 = 25

x 2 -12x + 36 + y 2 = 25

x 2 + y 2 -12x + 11 = 0

Portanto, a equação do círculo é x 2 + y 2 - 4x + 21 = 0 e x 2 + y 2 -12x + 11 = 0

Questão 13: Encontre a equação do círculo passando por (0,0) e fazendo interceptações aeb nos eixos de coordenadas.

A equação do círculo é (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2

Quando o círculo passa por (0, 0), obtemos,

(0 - h) 2 + (0 - k) 2 = r 2

h 2 + k 2 = r 2

A equação do círculo é (x - h) 2 + (y - k) 2 = h 2 + k 2.

Dado que o círculo intercepta os pontos aeb nos eixos de coordenadas.



Desde então, o círculo passa pelos pontos (a, 0) e (0, b).

Então, as equações são,

(a - h) 2 + (0 - k) 2 = h 2 + k 2 …………… .. (1)

(0 - h) 2 + (b– k) 2 = h 2 + k 2 ……………… (2)

Da equação (1), obtemos

a 2 - 2ah + h 2 + k 2 = h 2 + k 2

a 2 - 2ah = 0

a (a - 2h) = 0

a = 0 ou (a -2h) = 0

Como, a ≠ 0, portanto, (a -2h) = 0

h = a / 2

Da equação (2), obtemos

h 2 - 2bk + k 2 + b 2 = h 2 + k 2

b 2 - 2bk = 0

b (b– 2k) = 0

b = 0 ou (b-2k) = 0

Como, a ≠ 0, portanto, (b -2k) = 0

k = b / 2

Agora, substituindo o valor de h e k, obtemos

(x - a / 2) 2 + (y - b / 4) 2 = (a / 2) 2 + (b / 2) 2

[(2x-a) / 2] 2 + [(2y + b) / 2] 2 = (a2 + b2) / 4

4x 2 - 4ax + a 2 + 4y 2 - 4by + b 2 = a 2 + b 2

4x 2 + 4y 2 -4ax - 4by = 0

4 (x 2 + y 2 -7x + 5y - 14) = 0

x 2 + y 2 - ax - por = 0

Portanto, a equação do círculo é x 2 + y 2 - ax - por = 0

Questão 14: Encontre a equação de um círculo com centro (2,2) e passa pelo ponto (4,5).

Dado o centro do círculo como (h, k) = (2,2)

Além disso, dado que o círculo passa pelo ponto (4,5),

o raio (r) do círculo é a distância entre os pontos (2,2) e (4,5).

r = √ [(2-4) 2 + (2-5) 2]

= √[(-2) 2 + (-3) 2 ]

= √[4+9]

= √13

Agora, a equação do círculo é

(x– h) 2 + (y - k) 2 = r 2

(x –h) 2 + (y - k) 2 = (√13) 2

(x –2) 2 + (y - 2) 2 = (√13) 2

x 2 - 4x + 4 + y 2 - 4y + 4 = 13

x 2 + y 2 - 4x - 4y = 5

Portanto, a equação do círculo é x 2 + y 2 - 4x - 4y = 5

Questão 15: O ponto (-2,5, 3,5) está dentro, fora ou no círculo x 2 + y 2 = 25?

A equação do círculo dada é x 2 + y 2 = 25.

x 2 + y 2 = 25

(x - 0) 2 + (y - 0) 2 = 5 2

A equação tem a forma (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2, onde, h = 0, k = 0 e r = 5.

Agora, a distância entre o ponto (-2,5, 3,5) e o centro (0,0) é

= √[(-2.5 – 0) 2 + (-3.5 – 0) 2 ]

= √(6.25 + 12.25)

= √18.5

= 4,3 [que é & lt 5]

Uma vez que, a distância entre o ponto (-2,5, -3,5) e o centro (0, 0) do círculo é menor que o raio do círculo.

Portanto, o ponto (-2,5, -3,5) está dentro do círculo.


Em cada um dos exercícios de 1 a 6 a seguir, encontre as coordenadas do foco, eixo da parábola, a equação da diretriz e o comprimento do latus reto.

Ex 11.2 Questão 1 de Matemática da Classe 11.
y 2 = 12x
Solução:
A equação de parábola dada é y 2 = 12x que tem a forma y 2 = 4ax.
∴ 4a = 12 ⇒ a = 3
∴ As coordenadas de foco são (3, 0)
O eixo da parábola é y = 0
A equação da diretriz é x = -3 ⇒ x + 3 = 0
Comprimento do latus reto = 4 x 3 = 12.

Ex 11.2 Questão 2 de Matemática da Classe 11.
x 2 = 6y
Solução:
A equação de parábola dada é x 2 = 6y que tem a forma x 2 = 4ay.

Ex 11.2 Questão 3 de Matemática da Classe 11.
y 2 = & # 8211 8x
Solução:
A equação dada da parábola é
y 2 = -8x, que tem a forma y 2 = & # 8211 4ax.
∴ 4a = 8 ⇒ a = 2
∴ As coordenadas de foco são (-2, 0)
O eixo da parábola é y = 0
A equação da diretriz é x = 2 ⇒ x & # 8211 2 = 0
Comprimento do latus reto = 4 x 2 = 8.

Ex 11.2 Questão 4 de Matemática da Classe 11.
x 2 = -16y
Solução:
A equação dada da parábola é
x 2 = -16y, que tem a forma x 2 = -4ay.
∴ 4a = 16 ⇒ a = 4
∴ As coordenadas de foco são (0, -4)
O eixo da parábola é x = 0
A equação da diretriz é y = 4 ⇒ y & # 8211 4 = 0
Comprimento do latus reto = 4 x 4 = 16.

Verifique a Calculadora de Parábola para resolver a Equação de Parábola.

Ex 11.2 Questão 5 de Matemática da Classe 11.
y 2 = 10x
Solução:
A equação de parábola fornecida é y 2 = 10x, que tem a forma y 2 = 4ax.

Ex 11.2 Questão 6 de Matemática da Classe 11.
x 2 = -9y
Solução:
A equação dada da parábola é
x 2 = -9y, que tem a forma x 2 = -4ay.

Em cada um dos Exercícios 7 a 12, encontre a equação da parábola que satisfaça as condições dadas:

Ex 11.2 Questão 7 de Matemática da Classe 11.
Diretriz de foco (6, 0) x = -6
Solução:
Somos informados de que o foco (6, 0) está no eixo x, portanto, o eixo x é o eixo da parábola. Além disso, a diretriz é x = -6, ou seja, x = -a e foco (6, 0), ou seja, (a, 0). A equação da parábola é da forma y 2 = 4ax.
A equação necessária da parábola é
y 2 = 4 x 6x ⇒ y 2 = 24x.

Ex 11.2 Questão 8 de Matemática da Classe 11.
Foco (0, -3) diretri xy = 3
Solução:
Somos informados de que o foco (0, -3) está no eixo y, portanto, o eixo y é o eixo da parábola. Além disso, a diretriz é y = 3, ou seja, y = a e foco (0, -3), ou seja, (0, -a). A equação da parábola tem a forma x 2 = -4ay.
A equação necessária da parábola é
x 2 = & # 8211 4 x 3y ⇒ x 2 = -12y.

Ex 11.2 Pergunta de Matemática da Classe 11 9.
Foco do vértice (0, 0) (3, 0)
Solução:
Uma vez que o vértice da parábola está em (0, 0) e o foco está em (3, 0)
∴ y = 0 ⇒ O eixo da parábola está ao longo do eixo x
∴ A equação da parábola é da forma y 2 = 4ax
A equação necessária da parábola é
y 2 = 4 x 3x ⇒ y 2 = 12x.

Ex 11.2 Pergunta de Matemática da Classe 11 10.
Foco do vértice (0, 0) (-2, 0)
Solução:
Uma vez que o vértice da parábola está em (0, 0) e o foco está em (-2, 0).
∴ y = 0 ⇒ O eixo da parábola está ao longo do eixo x
∴ A equação da parábola tem a forma y 2 = & # 8211 4ax
A equação necessária da parábola é
y 2 = & # 8211 4 x 2x ⇒ y 2 = -8x.

Ex 11.2 Pergunta de Matemática da Classe 11 11.
Vértice (0, 0), passando por (2, 3) e o eixo está ao longo do eixo x.
Solução:
Uma vez que o vértice da parábola está em (0, 0) e o eixo está ao longo do eixo x.
∴ A equação da parábola é da forma y 2 = 4ax
Já que a parábola passa pelo ponto (2, 3)

Ex 11.2 Questão 12 de Matemática da Classe 11.
Vértice (0, 0), passando por (5, 2) e simétrico em relação ao eixo do brinquedo.
Solução:
Uma vez que o vértice da parábola está em (0, 0) e é simétrico em relação ao eixo y.
∴ A equação da parábola tem a forma x 2 = 4ay
Já que a parábola passa pelo ponto (5, 2)

Esperamos que as Soluções NCERT para Matemática da Classe 11, Capítulo 11 Seções Cônicas Ex 11.2, ajudem você. Se você tiver qualquer dúvida em relação às Soluções NCERT para Matemática da Classe 11, Capítulo 11, Seções Cônicas EX 11.2, deixe um comentário abaixo e entraremos em contato com você o mais breve possível.


Soluções NCERT para Matemática da Classe 11, Capítulo 11, Exercício 11.3

Soluções NCERT para Matemática da Classe 11, Capítulo 11 Seções Cônicas Ex 11.3

Questão 1:

Resp:

Questão 2:

Resp:

Questão 3:

Resp:

Questão 4:

Resp:

Questão 5:

Resp:

Questão 6:

Resp:

Questão 7:

Resp:

Questão 8:

Resp:

Questão 9:

Resp:

Questão 10:

Resp:

Questão 11:

Resp:

Questão 12:

Resp:

Questão 13:

Resp:

Questão 14:

Resp:

Questão 15:

Resp:

Questão 16:

Resp:

Questão 17:

Resp:

Questão 18:

Resp:

Questão 19:

Resp:

Questão 20:

Resp:


Seções cônicas - Exercício 11.1 - Classe XI

É dado que centro (h, k) = (0, 2) e raio (r) = 2.

Portanto, a equação do círculo é

A equação de um círculo com centro (h, k) e raio r é dada como

É dado que centro (h, k) = (–2, 3) e raio (r) = 4.

Portanto, a equação do círculo é

⟹ x 2 + 4x + 4 + y 2 - 6y + 9 = 16

A equação de um círculo com centro (h, k) e raio r é dada como

É dado que centro (h, k) = (1 /2, 1 /4) e raio (r) = (1 /12)

Portanto, a equação do círculo é

144x 2 - 144x + 36 + 144y 2 - 72y + 44 = 0

36x 2 - 36x + 36y 2 - 18y + 11 = 0

36x 2 + 36y 2 - 36x - 18y + 11 = 0

A equação de um círculo com centro (h, k) e raio r é dada como

É dado que centro (h, k) = (1, 1) e raio (r) = √2.

Portanto, a equação do círculo é

A equação de um círculo com centro (h, k) e raio r é dada como

É dado que centro (h, k) = (-a, -b) e raio (r) = √ (a 2 - b 2).

Portanto, a equação do círculo é

(x + a) 2 + (y + b) 2 = (√ (a 2 - b 2)) 2

x 2 + 2ax + a 2 + y 2 + 2by + b 2 = a 2 - b 2

x 2 + y 2 + 2ax + 2by + 2b 2 = 0

A equação do círculo fornecido é (x + 5) 2 + (y - 3) 2 = 36.

2 + (y - 3) 2 = 6 2, que tem a forma (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2, onde h = - 5, k = 3 e r = 6.

Assim, o centro do círculo dado é (–5, 3), enquanto seu raio é 6.

A equação do círculo fornecido é x 2 + y 2 - 4x - 8y - 45 = 0.

Que tem a forma (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2, onde h = 2, k = 4 e como r 2 = 65, temos r = √65,

Assim, o centro do círculo dado é (2, 4), enquanto seu raio é √65.

A equação do círculo fornecido é x 2 + y 2 - 8x + 10y - 12 = 0.

⟹ (x - 4) 2 + 2 = (√53) 2 que tem a forma (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2, onde h = 4, k = - 5 e r = √53

Assim, o centro do círculo dado é (4, –5), enquanto seu raio é √53.

A equação do círculo fornecido é 2x 2 + 2y 2 - x = 0.

que tem a forma (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2, onde h = 1/4, k = 0 e r = 1/4.

Assim, o centro do círculo dado é (1/4, 0), enquanto seu raio é 1/4.

  1. Encontre a equação do círculo que passa pelos pontos (4, 1) e (6, 5) e cujo centro está na linha 4x + y = 16.

Seja a equação do círculo necessário (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2.

Uma vez que o círculo passa pelos pontos (4, 1) e (6, 5),

Uma vez que o centro (h, k) do círculo está na linha 4x + y = 16,

A partir das equações (1) e (2), obtemos

(4 - h) 2 + (1 - k) 2 = (6 - h) 2 + (5 - k) 2

⇒ 16 - 8h + h 2 + 1 - 2k + k 2 = 36 - 12h + h 2 + 25 - 10k + k 2

⇒ 16 - 8h + 1 - 2k = 36 - 12h + 25 - 10k

Ao resolver as equações (3) e (4), obtemos h = 3 ek = 4.

Ao substituir os valores de hek na equação (1), obtemos (4 - 3) 2 + (1 - 4) 2 = r 2

Assim, a equação do círculo necessário é

x 2 - 6x + 9 + y 2 - 8y + 16 = 10

  1. Encontre a equação do círculo que passa pelos pontos (2, 3) e (–1, 1) e cujo centro está na linha x - 3y - 11 = 0.

Seja a equação do círculo necessário (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2.

Uma vez que o círculo passa pelos pontos (2, 3) e (-1, 1),

Uma vez que o centro (h, k) do círculo está na linha x - 3y - 11 = 0,

A partir das equações (1) e (2), obtemos

(2 - h) 2 + (3 - k) 2 = (-1 - h) 2 + (1 - k) 2

⇒ 4 - 4h + h 2 + 9 - 6k + k 2 = 1 + 2h + h 2 + 1 - 2k + k 2

⇒ 4 - 4h + 9 - 6k = 1 + 2h + 1 - 2k

Ao resolver as equações (3) e (4), obtemos h = 7 /2 e k = - 5 /2

Ao substituir os valores de hek na equação (1), obtemos

Assim, a equação do círculo necessário é

4x 2 - 28x + 49 + 4y 2 + 20y + 25 = 130

4x 2 + 4y 2 - 28x + 20y - 56 = 0

  1. Encontre a equação do círculo com raio 5 cujo centro está no eixo x e passa pelo ponto (2, 3).

Seja a equação do círculo necessário (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2.

Como o raio do círculo é 5 e seu centro está no eixo x, k = 0 e r = 5.

Agora, a equação do círculo se torna (x - h) 2 + y 2 = 25.

É dado que o círculo passa pelo ponto (2, 3).

quando h = -2 a equação do círculo torna-se

Quando h = 6, a equação do círculo torna-se

  1. Encontre a equação do círculo passando (0, 0) e fazendo interceptações a e b nos eixos de coordenadas.

Seja a equação do círculo necessário (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2.

Uma vez que o centro do círculo passa por (0, 0),

A equação do círculo agora se torna (x - h) 2 + (y- k) 2 = h 2 + k 2

É dado que o círculo faz interceptações aeb nos eixos de coordenadas. Isso significa que o círculo passa pelos pontos (a, 0) e (0, b). Portanto,

Da equação (1), obtemos a 2 - 2ah + h 2 + k 2 = h 2 + k 2

Entretanto, a ≠ 0, portanto, (a - 2h) = 0 ⇒ h = a / 2.

Da equação (2), obtemos h 2 + b 2 - 2bk + k 2 = h 2 + k 2

No entanto, b ≠ 0, portanto, (b - 2k) = 0 ⇒ k = b / 2.

Assim, a equação do círculo necessário é

4x 2 - 4ax + a 2 + 4y 2 - 4by + b 2 = a 2 + b 2

  1. Encontre a equação de um círculo com centro (2, 2) e passa pelo ponto (4, 5) .

O centro do círculo é dado como (h, k) = (2, 2).

Como o círculo passa pelo ponto (4, 5), o raio (r) do círculo é a distância entre os pontos (2, 2) e (4, 5).

r = √ [(2-4) 2 + (2-5) 2] = √ [(2) 2 + (3) 2] = √ (4 + 9) = √13

Assim, a equação do círculo é

A equação do círculo fornecido é x 2 + y 2 = 25.

⇒ (x - 0) 2 + (y - 0) 2 = 5 2, que está na forma (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2, onde h = 0, k = 0, e r = 5.

∴ Centro = (0, 0) e raio = 5

Distância entre o ponto (-2,5, 3,5) e o centro (0, 0)

Como a distância entre o ponto (-2,5, 3,5) e o centro (0, 0) do círculo é menor que o raio do círculo, o ponto (-2,5, 3,5) fica dentro do círculo.


Soluções NCERT para Matemática da Classe 11 Capítulo 11 Seções cônicas Exercício 11.1

Soluções NCERT do Capítulo 11 Seções cônicas O Exercício 11.1 é fornecido aqui, o que o ajudará a resolver questões difíceis facilmente e a completar sua lição de casa em nenhum momento. As Soluções NCERT para Matemática da Classe 11 são preparadas por especialistas da Studyrankers, que são detalhadas e corretas para que você possa melhorar sua pontuação nos exames.

Aqui h = & # 82112, k = 3 e r = 4. Portanto, a equação necessária do círculo é
[x & # 8211 (& # 82112)] 2 + (y & # 8211 3) 2 = (4) 2
ou (x + 2) 2 + (y & # 8211 3) 2 = 16
ou x 2 + 4x + 4 + y 2 & # 8211 6y + 9 = 16.

3. Encontre a equação do círculo com centro (1/2, 1/4) e raio 1/12.

A equação do círculo é
(x & # 8211 1/2) 2 + (y & # 8211 1/4) 2 = 1/12 2 = 1/144
= & gt x 2 + y 2 & # 8211 x & # 8211 y / 2 + 1/4 + 1/16 = 1/144
= & gt 36x 2 + 36y 2 & # 8211 36x & # 8211 18y + 11 = 0.

4. Encontre a equação do círculo com centro (1, 1) e raio & # 87302.

O centro do círculo é (1, 1), raio = & # 87302
Equação do círculo é
(x & # 8211 1) 2 + (y & # 8211 1) 2 = (& # 87302) 2 = 2
ou x 2 + y 2 & # 8211 2x & # 8211 2y + 2 = 2
ou x 2 + y 2 & # 8211 2x & # 8211 2y = 0.

5. Encontre a equação do círculo com centro (& # 8211a, & # 8211b) e raio & # 8730a 2 + b 2

O centro do círculo é (& # 8211a, & # 8211b), raio = & # 8730uma2 + b2
& # 8756 A equação do círculo é
(x + a) 2 + (y + b) 2 = a 2 & # 8211 b 2
Ou x 2 + y 2 + 2xa + 2yb + a 2 + b 2 = a 2 & # 8211 b 2
Or x 2 + y 2 + 2ax + 2by + 2b 2 = 0.

6. Find the centre and radius of the circle.
(x + 5) 2 + (y – 3) 2 = 36

Comparing the equation of the circle
(x + 5) 2 + (y – 3) 2 = 36
with (x – h) 2 + (y – k) 2 = 2
∴ –h = 5 or h = 𔃃, k = 3, r 2 = 36, r = 6
∴ Centre of the circle is (𔃃, 3) and radius = 6

7. Find the centre and radius of the circle.
x 2 + y 2 – 4x – 8y – 45 = 0

The given equation is
x 2 + y 2 – 4x – 8y – 45 = 0
or (x 2 – 4x) + (y 2 – 5y) = 45
Now completing the squares with in the parenthesis, we get
(x 2 – 4x + 4) + (y 2 – 8y + 16) = 4 + 16 + 45
or (x – 2) 2 + (y – 4) 2 = 65
Therefore, the given circle has centre at (2, 4) and radius 󕉩.

8. Find the centre and radius of the circle.
x 2 + y 2 – 8x + 10y – 12 = 0.

The given equation is
x 2 + y 2 – 8x + 10y – 12 = 0
or (x 2 – 8x) + (y 2 + 10) = 12
or (x 2 – 8x + 16) + (y 2 + 10y + 25) = 12 + 16 + 25
or (x – 4) 2 + (y + 5) 2 = 53
Therefore, the given circle has centre at (4, 𔃃) and radius 󕉝.

9. Find the centre and radius of the given circle
2x 2 + 2y 2 – x = 0.

Equation of circle is 2x 2 + 2y 2 – x = 0
=> x 2 + y 2 – x/2 = 0 => (x 2 – x/2) + y 2 = 0
=> (x 2 – x/ 2 + 1/16) + y 2 = 1/16
=> (x – 1/4) 2 + y 2 = 1/16
Centre is (1/4 , 0)and radius is 1.

10. Find the equation of the circle passing through the points (4, 1) and (6, 5) and whose centre is on the line 4x + y = 16.

Let the equation of the circle be
(x – h) 2 + (y – k) 2 = r 2 … (i)
The points (4, 1) and (6, 5) lies on it
∴ (4 – h) 2 + (1 – k) 2 = r 2
=> h 2 + k 2 – 8h – 2k + 17 = r 2 …..(ii)
and (6 – h) 2 + (5 – k) 2 = r 2 …..(iii)
The centre (h, k) lies on
4x + y = 16
4h + k = 16 … (iv)
Subtracting (iii) from (ii),
∴ 4h + 8k – 44 = 0 Þh + 2k = 11 … (v)
Multiplying (v) by 4, 4h + 8k = 44
Subtracting eqn (iv) from it
7k = 44 – 16 = 28 ∴ k = 4
From (v) h + 8 = 11 ∴ h = 3
Putting h = 3, k = 4 in (ii)
9 + 16 – 24 – 8 + 17 = r 2
=> 42 – 32 = r 2
∴ r 2 = 10
∴ Equation of the circle is
(x – 3) 2 + (y – 4) 2 = 10
=> x 2 + y 2 – 6x – 8y + 15 = 0

11. Find the equation of the circle passing through the points (2, 3) and (𔂿, 1) and whose centre is on the line x – 3y – 11 = 0.

Let the equation of the circle be
(x – h) 2 + (y – k) 2 = r 2 … (i)
Since, the points (2, 3) and (𔂿, 1) lies on it.
∴ (2 – h) 2 + (3 – k) 2 = r 2
h 2 + k 2 – 4h – 6k + 13 = r 2 … (ii)
Centre (h, k) lies on x – 3y – 11 = 0
h – 3k – 11 = 0 … (iii)
Subtracting (ii) from (i) 6h + 4 k – 11 = 0 … (iv)
Multiply eqn (iii) by 6 6h – 18 k – 66 = 0 … (v)
Subtracting (v) from (iv) 22k + 55 = 0
∴ k = -(55/22) = -(5/2)
from (iii) h = 3k + 11 = -(15/2) + 11 = 7/2
Put the value of h and k in (2 – h) 2 + (3 – k) 2 = r 2
(2 – 7/2) 2 + (3 + 5/2) 2 = r 2
=> r 2 = 9/4 + 121/4 130/4 = 65/2
∴ Equation of the circle
(x – 7/2) 2 + (y + 5/2) 2 = 65/2
=> x 2 + y 2 – 7x + 5y + 49/4 + 25/4 – 65/2 = 0
=> x 2 + y 2 – 7x + 5y – 14 = 0

12. Find the equation of the circle with radius 5 whose centre lies on x-axis and passes through the point (2, 3).

Let the equation of the circle be
(x – h) 2 + (y – k) 2 = r 2 … (i)
r = 5 ∴ r 2 = 25
Centre lies on x -axis is k = 0
Equation (i) becomes (x – h) 2 + y 2 = 25 (2, 3) lies on it
∴ (2 – h) 2 + 9 = 25 => (2 – h) 2 = 16,
∴ 2 – h = ۮ => h = 𔃀, 6
When h = 𔃀, equation of circle
(x + 2) 2 + y 2 = 25
=> x 2 + y 2 + 4x – 21 = 0
When h = 6, (x – 6) 2 + y 2 = 25,
x 2 + y 2 – 12x + 11 = 0
Thus, required circles are x 2 + y 2 + 4x – 21 = 0
and x 2 + y 2 – 12x + 11 = 0

13. Find the equation of the circle passing through (0, 0) and making intercepts a and b on the coordinate axes.

a, b are the intercepts made by the circle on the co-ordinate axes at A and B, C the mid point of AB is the centre of the circle
∴ centre (a/2 , b/2)
radius = OC =
=
∴ Equation of the circle is
(x – a/2) 2 + (y – b/2) 2 =

x 2 + y 2 – ax – by + a 2 /4 + b 2 /4 = (a 2 + b 2 )4
=> x 2 + y 2 – ax – by = 0

14. Find the equation of a circle with centre (2, 2) and passes through the point (4, 5).

Let the centre of the circle C(2, 2), and P(4, 5) is a point on the circle
∴ radius CP = √(4 - 2)2 + (5 - 2)2
= √4 + 9 = √13
∴ Equation of the circle is
(x – 2) 2 + (y – 2) 2 = 13
=> x 2 + y 2 – 4x – 4y = 5

15. Does the point (𔃀.5, 3.5) lie inside, outside or on the circle x 2 + y 2 = 25?


Assista o vídeo: ELIPSE - CÔNICAS (Outubro 2021).