Artigos

1: Ângulos Trigonometria do Triângulo Direito - Matemática


Trigonometria é o estudo das relações entre os lados e os ângulos dos triângulos. A palavra “trigonometria” é derivada das palavras gregas trigono (τρ´ιγωνo), que significa “triângulo”, e metro (µǫτρω´), que significa “medida”. Embora os antigos gregos, como Hiparco e Ptolomeu, usassem trigonometria em seu estudo de astronomia entre aproximadamente 150 a.C. - 200 DC, sua história é muito mais antiga. Por exemplo, o escriba egípcio Ahmes registrou alguns cálculos trigonométricos rudimentares (relativos às proporções dos lados das pirâmides) no famoso papiro Rhind por volta de 1650 a.C. A trigonometria se distingue da geometria elementar em parte por seu uso extensivo de certas funções de ângulos, conhecidas como funções trigonométricas. Antes de discutir essas funções, revisaremos algumas terminologias básicas sobre ângulos.

  • 1.1: Ângulos
    Na geometria elementar, os ângulos são sempre considerados positivos e não maiores que (360 ^ circ ). Você também aprendeu que a soma dos ângulos em um triângulo é igual a (180 ^ ◦ ) e que um triângulo isósceles é um triângulo com dois lados de igual comprimento. Lembre-se de que em um triângulo retângulo, um dos ângulos é um ângulo reto. Assim, em um triângulo retângulo, um dos ângulos é (90 ^ ◦ ) e os outros dois ângulos são ângulos agudos cuja soma é (90 ^ ◦ ) (ou seja, os outros dois ângulos são ângulos complementares).
  • 1.2: Funções trigonométricas de um ângulo agudo
    Para um triângulo retângulo △ ABC, com o ângulo reto em C e com comprimentos a, be c. Para o ângulo agudo A, chame a perna BC de seu lado oposto e chame a perna de AC de seu lado adjacente. Lembre-se de que a hipotenusa do triângulo é o lado AB. As proporções dos lados de um triângulo retângulo ocorrem com frequência suficiente em aplicações práticas para justificar seus próprios nomes, então podemos definir as seis funções trigonométricas de A.
  • 1.3: Aplicações e solução de triângulos retos
    Ao longo do seu desenvolvimento inicial, a trigonometria foi frequentemente usada como um meio de medição indireta, por ex. determinar grandes distâncias ou comprimentos usando medidas de ângulos e pequenas distâncias conhecidas. Hoje, a trigonometria é amplamente utilizada na física, astronomia, engenharia, navegação, topografia e vários campos da matemática e outras disciplinas. Nesta seção, veremos algumas das maneiras pelas quais a trigonometria pode ser aplicada. Sua calculadora deve estar no modo de graus para esses exemplos.
  • 1.4: Funções trigonométricas de qualquer ângulo
    Para definir as funções trigonométricas de qualquer ângulo - incluindo ângulos menores que 0 ° ou maiores que 360 ​​° - precisamos de uma definição mais geral de um ângulo. Dizemos que um ângulo é formado pela rotação de um raio OA em torno do ponto final O (chamado de vértice), de modo que o raio esteja em uma nova posição, denotada pelo raio OB. O raio OA é chamado de lado inicial do ângulo e OB é o lado terminal do ângulo.
  • 1.5: Rotações e reflexos de ângulos
    Agora que sabemos como lidar com ângulos de qualquer medida, veremos como certas operações geométricas podem ajudar a simplificar o uso de funções trigonométricas de qualquer ângulo e como algumas relações básicas entre essas funções podem ser feitas. As duas operações nas quais nos concentraremos nesta seção são a rotação e a reflexão.
  • 1.E: Ângulos de trigonometria do triângulo direito (exercícios)
    Estes são exercícios de casa para acompanhar o mapa de texto "Trigonometria Elementar" de Corral. Este é um texto sobre trigonometria elementar, projetado para alunos que concluíram os cursos de álgebra e geometria do ensino médio. Embora projetado para estudantes universitários, também pode ser usado em escolas de ensino médio. Os tópicos tradicionais são cobertos, mas uma abordagem mais geométrica é feita do que o normal. Além disso, alguns métodos numéricos (por exemplo, o método secante para resolver equações trigonométricas) são discutidos.

Miniaturas: tipos de ângulos.


Triângulo retângulo

Um triângulo retângulo é um triângulo em que um ângulo tem uma medida de 90 graus (um ângulo reto), como o triângulo mostrado abaixo.

Os ângulos retos são tipicamente denotados por um quadrado desenhado no vértice do ângulo que é um ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto de um triângulo retângulo é chamado de hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto são chamados de pernas. A hipotenusa é o lado mais longo do triângulo retângulo.

Uma vez que a medida de um ângulo reto é 90 & deg, e uma vez que a soma dos três ângulos em qualquer triângulo é igual a 180 & deg, a soma dos outros dois ângulos em um triângulo retângulo deve ser 180 & deg - 90 & deg = 90 & deg, então eles devem ser ângulos agudos. Caso contrário, a forma não pode ser um triângulo.


Recursos matemáticos do PCC SLC

Na Figura 14.12.1, há um círculo centrado na origem com um raio cujo comprimento é (r text <.> ) Um raio foi desenhado a partir da origem até um ponto no círculo no Quadrante I, o ponto é rotulado como ((x, y) text <.> ) Um triângulo retângulo foi criado soltando um segmento de linha do ponto ((x, y) ) perpendicularmente ao eixo (x ). O ângulo do triângulo formado na origem é rotulado como ( theta text <.> )

A hipotenusa é identificada como ( text text <.> ) O lado do triângulo que fica no eixo (x ) foi rotulado como ( text) que significa "adjacente", pois é o outro lado que a hipotenusa que é adjetivo para ( theta text <.> ) O lado vertical do triângulo é rotulado como ( text) para "oposto", pois é o lado oposto do triângulo ( theta text <.> )

Agora podemos redefinir os valores trigonométricos de ângulos agudos (ângulos cujas medidas estão entre (0 ^ < circ> ) e (90 ^ < circ> text <,> ) não incluindo (0 ^ < circ> ) nor (90 ^ < circ>) text <.> ) As novas definições para seno, cosseno e tangente são apresentadas abaixo. Não precisamos estabelecer novas definições para as outras três funções trigonométricas básicas, pois seus valores podem ser determinados por meio de identidades recíprocas.

Uma maneira comum de lembrar essas novas definições é a sigla que pronunciamos "mergulhe um to-ah". A sigla significa o seguinte.

(O) seno de teta é igual ao comprimento do lado oposto dividido pelo comprimento da hipotenusa.

(O) cosseno de teta é igual ao comprimento do lado adjacente dividindo o comprimento da hipotenusa.

(A) tangente de teta é igual ao comprimento do lado adjacente dividindo o comprimento do lado oposto.

Vamos ver vários exemplos.

Exemplo 14.12.2

Determine os seis valores trigonométricos básicos do ângulo rotulado como ( theta ) na Figura 14.12.3.

Começamos determinando o comprimento da hipotenusa. Fazemos isso usando a identidade pitagórica.

Observe que posso assumir o ( text) é positivo porque representa um comprimento.

Em relação a ( theta text <,> ), o lado rotulado como (3 ) é o lado oposto e o lado rotulado (4 ) é o lado adjacente. Agora temos todas as informações necessárias para derivar os seis valores trigonométricos básicos f ( theta text <.> )

Exemplo 14.12.4

Determine os valores de seno, cosseno e tangente do ângulo rotulado como ( beta ) na Figura 14.12.5. Em seguida, determine o valor de ( beta ) até o décimo de grau mais próximo. Certifique-se de que todos os denominadores estão racionalizados e que todas as raízes quadradas estão completamente simplificadas.

Começaremos determinando o comprimento da hipotenusa.

Em relação a ( beta text <,> ) o lado rotulado como (6 ) é o lado oposto e o lado rotulado (3 ) é o lado adjacente. Temos todas as informações necessárias para encontrar os valores trigonométricos, então vamos lá.

Porque (0 ^ < circ> lt beta lt 90 ^ < circ> text <,> ) podemos usar qualquer uma das funções trigonométricas inversas para determinar o valor de ( beta ) porque isso intervalo está na faixa de todas as seis funções trigonométricas inversas. Estou escolhendo usar a função tangente inversa.

Depois de me certificar de que minha calculadora estava no modo de graus, determinei o valor de ( beta text <.> )

Exemplo 14.12.6

Determine as partes ausentes do triângulo mostrado na Figura 14.12.7. Certifique-se de que todos os denominadores estão racionalizados e que todas as raízes quadradas estão completamente simplificadas.

Os ângulos de um triângulo sempre somam (180 ^ < circ> text <,> ), então podemos afirmar imediatamente que

Em relação ao anjo de trinta graus, o lado rotulado como (9 ) é o lado adjacente e o lado rotulado como (a ) é o lado oposto. Podemos usar ( cos left (30 ^ < circ> right) ) para determinar o valor de (r ) e ( tan left (30 ^ < circ> right) ) para determinar o valor de (a text <.> ) Vamos fazer isso.

Exemplo 14.12.8

Determine as partes ausentes do triângulo mostrado na Figura 14.12.9. Arredonde as medidas angulares para o décimo de grau mais próximo.

Começaremos usando o teorema de Pitágoras para determinar o valor de (b text <.> )

Em relação a ( alpha ), o lado rotulado como (5 ) é o lado oposto. Vamos observar o seguinte.

Em relação a ( beta ), o lado rotulado como (b ) (que agora sabemos ser (12 )) é o lado oposto. A partir disso, obtemos o seguinte.

O emprego da chave do seno inverso de minha calculadora fornece minhas estimativas para os dois valores angulares.

(45 ^ -45 ^ -90 ^ ) Triângulos e (30 ^ -60 ^ -90 ^ ) Triângulos

Um triângulo retângulo, cujos ângulos agudos, cada um tem uma medida de (45 ^ < circ> ), é mostrado na Figura 14.12.10. Os lados do triângulo opostos aos ângulos iguais devem ter medidas iguais, e é padrão usar (1 ) como medida igual. Podemos então usar o teorema de Pitágoras para determinar o comprimento da hipotenusa.

O lado oposto e o lado adjacente de ambos os ângulos (45 ^ < circ> ) são marcados como (1 text <,> ) para que possamos usar isso junto com a hipotenusa para derivar os valores de seno, cosseno e tangente de (45 ^ < circ> ) que fazemos a seguir.

O triângulo externo mostrado na Figura 14.12.11 é um triângulo equatorial, um triângulo cujos três lados têm medidas iguais. Como todos os lados têm medidas iguais, os ângulos também têm medidas iguais. Como a soma das medidas dos ângulos deve ser (180 ^ < circ> text <,> ), cada ângulo deve ser medido (60 ^ < circ> text <.> )

Dois triângulos retângulos foram criados soltando um segmento de linha do vértice superior perpendicularmente ao lado inferior do triângulo. É visualmente aparente que os dois triângulos são imagens espelhadas e é fácil provar que os dois triângulos são de fato congruentes.

Se atribuirmos um comprimento de (1 ) a cada uma das pernas inferiores, então o comprimento da hipotenusa é (2 ) (uma vez que tem comprimento igual ao lado inferior do triângulo equilátero). Podemos agora usar o teorema de Pitágoras para determinar o comprimento do lado compartilhado dos dois triângulos retângulos. Vamos usar a variável ( ell ) para representar esse comprimento.

Um dos triângulos retângulos mostrados na Figura 14.12.11 foi extraído e é mostrado na Figura 14.12.12. Da perspectiva do ângulo (30 ^ < circ> ), o lado rotulado como (1 ) é o lado oposto e o lado rotulado como ( sqrt <3> ) é o lado adjacente. Da perspectiva do ângulo (60 ^ < circ> ), o lado rotulado como ( sqrt <3> ) é o lado oposto e o lado rotulado (1 ) é o lado adjacente. Em ambos os casos, a hipotenusa é (2 text <,> ). Vamos usar essas informações para derivar os valores dos valores de seno, cosseno e tangente em (30 ^ < circ> ) e (60 ^ < circ> text <.> ) Isso é mostrado abaixo.


Questão 1

Qual é a medida do ângulo A no triângulo retângulo abaixo?

a) 17
b) 27
c) 17
d) 90

Questão 2

Qual é o valor do lado x no triângulo direito abaixo?

a) 1
b) 9
c) 20
d) 3

Questão 3

Questão 4

No triângulo retângulo ABC abaixo, o ângulo A mede 30 e o comprimento de AC é 8 unidades. Encontre o comprimento do BC

a) 8 / & # 8730 3
b) 4 / & # 8730 3
c) 4
d) 8

Questão 5

No triângulo retângulo abaixo, o que é pecado & # 945?

a) 13/9
b) 13/09
c) 13 e # 873010/50
d) 13/24

Questão 6

Encontre o comprimento de AC no triângulo retângulo abaixo.

a) 9
b) 9 e # 87302
c) 18 e # 87302
d) 18

Questão 7

Encontre o comprimento da hipotenusa no triângulo retângulo abaixo de onde x é um número real.

a) 5
b) 10
c) 25
d) & # 8730 5

Questão 8

Questão 9

Na figura abaixo BC é perpendicular a AD, CD = 8, a medida do ângulo D é 60 e a medida do ângulo A é 45 . Encontre o comprimento de AB

a) 8 e # 87306
b) 8 e # 87303
c) 8 e # 87302
d) 8

Questão 10

Qual é o comprimento de AB na figura abaixo.

a) 12 e # 87302
b) 12
c) 12 e # 87303
d) 12 e # 87306

Questão 11

Na figura abaixo, encontre cos & # 952.

a) 3/5
b) 4/5
c) 1/5
d) 2/5

Questão 12

No triângulo abaixo, m =?

a) 5
b) 10 e # 87302
c) 20 e # 87302
d) 5 e # 87302

1.3 Trigonometria do Triângulo Direito

Começamos nossa investigação das funções trigonométricas usando triângulos retângulos. Como os dois ângulos agudos em um triângulo retângulo são restritos a medidas de graus entre 0 o e 90 o, cobrimos apenas esses ângulos aqui. Posteriormente, as funções serão estendidas de forma natural para incluir todas as medidas angulares. Para entender as próximas seções, é fundamental entender e memorizar as definições que aparecem aqui. As idéias e técnicas serão facilmente transportadas para outras seções.

Dois triângulos são semelhante se dois dos ângulos de um triângulo tiverem a mesma medida que dois dos ângulos do outro triângulo. Como a soma das medidas dos ângulos de um triângulo é 180 & # 176, isso significa que para cada ângulo de um triângulo há um ângulo no outro triângulo com a mesma medida. Chamamos os ângulos da mesma medida de ângulos correspondentes. Os lados opostos aos ângulos correspondentes são chamados de lados correspondentes.

Um resultado importante sobre triângulos semelhantes é que as proporções dos lados correspondentes nos dois triângulos são iguais. Isso significa que os dois têm a mesma forma ou um é uma versão em escala do outro. O fato de as proporções dos lados correspondentes serem iguais é exatamente o que precisamos para tornar as proporções trigonométricas bem definidas.

Portanto, essa proporção depende apenas do ângulo em si e não do triângulo específico que contém o ângulo em questão. (Isso é o que bem definido significa neste contexto.)

Nosso procedimento será este então. Seja A qualquer ângulo agudo. Construa um triângulo retângulo contendo o ângulo A. Forme as seis razões possíveis usando os comprimentos laterais do triângulo. Essas são as seis razões trigonométricas. Tudo o que resta é dar nomes a eles.

Nome Razão Notação
seno de A
cosseno de A
tangente de A
secante de A
cossecante de A
cotangente de A

Trabalhe neste exemplo numérico para ver como o teorema de Pitágoras e as definições das razões são usados ​​para encontrar todas as seis razões quando dois lados de um triângulo retângulo são conhecidos.

Na demonstração a seguir, arraste o vértice B ou C no triângulo retângulo para a posição desejada. Você verá aproximações para o tamanho dos ângulos, os comprimentos dos lados e as seis proporções que acabamos de discutir. Você pode achar difícil obter os tamanhos exatos dos ângulos que deseja, mas, por exemplo, fazendo o lado b de comprimento 227 e o lado c de comprimento 131, você obterá um triângulo 30-60-90.

Use a demonstração para investigar algumas das propriedades do triângulo e as proporções dos lados. Por exemplo, tente obter um triângulo em que ambos b e c têm comprimento 115. Quais são os ângulos e quais são os valores das seis funções trigonométricas. E se nós fizermos b duas vezes maior que c (por exemplo, 100 e 50, respectivamente)? Como outro exemplo, conserte b e aumentar c. O que você nota sobre a mudança no pecado (C)?

Agora você tenta encontrar os valores das razões trigonométricas neste próximo exercício. Em cada caso, encontre o comprimento do terceiro lado e o valor da proporção necessária.

Razões trigonométricas em triângulos retos

Nota para revisores

Incluímos um conjunto de perguntas de amostra a ser incluído no Guia do Aluno. Eles se baseiam nos exercícios dos miniaplicativos e no conteúdo de cada seção. Eles devem ser usados ​​para tarefas de casa e para o aluno trabalhar no papel.


Como você tem um triângulo com um ângulo de $ 90 ^ circ $, você tem um triângulo retângulo.

Isso significa que você vai querer usar o Teorema de Pitágoras. (DICA!)

O lado oposto ao ângulo reto é o lado mais longo: a hipotenusa com comprimento $ c $. No seu caso, temos $ c = 13 $. Os outros dois lados do triângulo retângulo que se encontram no ângulo reto são seus pernas: digamos que eles têm o comprimento $ a, b $: Em seu triângulo, $ a $ é o lado oposto do ângulo $ A $ e $ a $ é desconhecido $ b $ é o lado oposto do ângulo $ B $ e $ b = 12 $. Então sabemos que $ a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 tag$

Resolvendo para $ a $, você terá o comprimento do lado oposto $ A $. Para encontrar as medidas dos ângulos desconhecidos, você pode usar as relações trigonométricas fornecidas por "TOA SOH CAH" (pergunte-me se você precisa, o que isso significa) para determinar os dois ângulos desconhecidos.

Você precisará conhecer apenas um ângulo, usando, digamos, $ B = sin ^ <-1> left ( dfrac <12> <13> right) $ para encontrar sua medida. Então você pode resolver para $ A $, já que a soma dos ângulos de qualquer triângulo é a geometria euclidiana padrão é $ 180 ^ circ $: $ A + B + C = A + B + 90 = 180 $


Resolvendo o problema

Agora que sabemos o que estamos procurando, podemos prosseguir e tentar obter β, s, e t juntos de uma forma que nos permite resolver o problema. Acredite ou não, na verdade temos todas as informações de que precisamos para resolver esse problema. Ao preencher as informações que faltam com base no que já sabemos, podemos tornar esse problema um pouco mais fácil de resolver.

Primeiro, observe que o pequeno triângulo contendo β contém um ângulo reto. Rotularemos este ângulo como π / 2, uma vez que estamos trabalhando em radianos, mas também equivale a 90 graus.

Em seguida, rotularemos o último ângulo deste triângulo como (π / 2) & # 8211 β. Faremos isso porque ainda não sabemos a medida desse ângulo, mas como sabemos a medida dos outros dois ângulos, podemos escrever o último em termos dos dois primeiros. Como todos os ângulos em um triângulo somam 180 °, ou π, o ângulo restante é π & # 8211 (π / 2) & # 8211 β = (π / 2) & # 8211 β.

Agora que temos esses três ângulos, podemos começar a rotular os ângulos de alguns dos outros triângulos. Como sabemos que a linha vertical forma um ângulo reto (90 °) com a base do maior triângulo, sabemos que os dois ângulos formados pela linha diagonal (entre as seções azul e verde) são complementares. Isso significa que eles somarão 90 °, ou π / 2. Isso significa que o ângulo azul é igual a π / 2 & # 8211 (π / 2 & # 8211 β), ou simplesmente β.

A partir daqui, podemos começar a incorporar s e t na imagem. Observe que o quadrilátero formado entre s e t tem três ângulos retos, o que significa que o último ângulo também deve ser um ângulo reto. Isso decorre diretamente do fato de que um quadrilátero tem quatro ângulos que somam 360 °. Por causa disso, sabemos que cada par de lados opostos tem o mesmo comprimento e podemos rotular os lados restantes da forma com s e t.

Nesse ponto, você pode começar a ver onde a resposta se torna aparente. Uma vez que temos β, s, e t juntos, podemos rotular os lados de acordo com sua posição em relação a β. Não rotulei a hipotenusa porque não era relevante para esta situação em particular, mas se a hipotenusa fosse s ou t então eu também o teria rotulado. Agora que temos nossos lados & # 8217 relações com o ângulo β, podemos usar as informações originais fornecidas para resolver a questão.

Já que os dois lados com s e t fossem os lados opostos e adjacentes ao ângulo, estaremos usando uma relação tangente para resolver este problema. Podemos estabelecer a relação que nos foi dada a partir do problema, onde a proporção dos dois lados, s / t, é a tangente do ângulo 0,697. Neste caso, é a tangente do ângulo β também!

Agora você provavelmente pode ver que β é igual a 0,697. No entanto, se você quiser dar um passo adiante e fazê-lo corretamente, pegue a tangente inversa de ambos os lados da equação. Isso irá mostrar que a tangente inversa de (s / t) é igual a 0,697 radianos, que é igual ao ângulo β.

E assim chegamos à nossa resposta: 0,7 radianos. Certifique-se de prestar atenção ao texto da pergunta e arredondar a resposta para o décimo mais próximo, caso contrário, ela seria marcada como errada no SAT!


Problemas de Trig Word # 1

Agora que temos um entendimento básico do que as funções trigonométricas seno, cosseno e tangente representam e podemos usar nossas calculadoras para encontrar valores de funções trigonométricas, podemos usar tudo isso para resolver alguns problemas de palavras. Nesta leitura, veremos simplesmente exemplos de problemas com palavras e, em seguida, permitiremos que você os experimente.

Amostra # 1
O ângulo de inclinação do sol é de 20 graus e um poste projeta uma sombra de 12 metros. Qual é a altura do mastro?

Solução
Usando a imagem acima, X = 20 graus ey = 40 pés.

tan X = x / y
0,3640 = x / 40
x = 14,56 pés

Amostra # 2
Uma rampa tem 15 metros de comprimento e um ângulo de inclinação de 30 graus. Se você subir a rampa, a que altura do solo você estará?

Solução
Usando a imagem acima, X = 30 graus ez = 50 pés.

sin X = x / z
0,5 = x / 50
x = 25

Amostra # 3
Um homem caminha 5 milhas a 60 graus ao norte do leste. Quão distante a leste de seu ponto de partida ele está?

Solução
Usando a imagem acima, com y representando a viagem para o leste, x representando a viagem para o norte e z representando o caminho real do homem,


1: Ângulos Trigonometria do Triângulo Direito - Matemática

Muito pouca trigonometria é necessária para o MCAT, mas uma compreensão básica das definições e um forte conhecimento de dois triângulos retângulos especiais é essencial para um bom desempenho, especialmente em material de física.

DEFINIÇÕES E RELACIONAMENTOS

Para qualquer triângulo retângulo e ângulo, existem valores característicos de seno, cosseno e tangente que dependem dos comprimentos das pernas do triângulo e da hipotenusa, conforme mostrado na Figura 10.1.

Figura 10.1. Triângulo e lados direitos

Seno é calculado como a razão entre o lado oposto ao ângulo de interesse e a hipotenusa:

Equação 10.17

Cosine é calculado como a razão entre o lado adjacente ao ângulo de interesse e a hipotenusa:

Equação 10.18

Tangente é calculado como a razão entre o lado oposto ao ângulo de interesse e o lado adjacente ao ângulo de interesse:

Equação 10.19

Razões trigonométricas: SOH CAH TOA:

& middot & emspSine = Ocolocar e dividir Hypotenuse

& middot & emspCosine = UMAadjacente e dividir Hypotenuse

& middot & emspTangent = Ocolocar e dividir UMAadjacente

Os valores de seno e cosseno variam de & menos1 a 1. Os valores da tangente, entretanto, variam de & menos & infin a & infin.

Cada função trigonométrica também tem uma função inversa: seno inverso (sin e menos 1 ou arcsin), cosseno inverso (cos e menos 1 ou arccos), e tangente inversa (tan e menos 1 ou Arctan) Essas funções usam o valor calculado de seno, cosseno ou tangente e geram um valor numérico para o ângulo de interesse. Para o triângulo na Figura 10.1, É mais provável que as funções trigonométricas inversas apareçam em perguntas que indiquem a direção de uma resultante na adição ou subtração vetorial.

CONCEITO CHAVE

As funções trigonométricas são úteis para dividir um vetor em seus componentes. As funções trigonométricas inversas são úteis para determinar a direção de uma resultante de seus componentes.

No dia de teste, você deve saber os valores de seno, cosseno e tangente para todos os ângulos nos triângulos retângulos especiais 30 e menos60 e menos 90 e 45 e menos 45 e menos90, seja por memorização ou desenhando os triângulos. Os dois triângulos são mostrados na Figura 10.2.

Figura 10.2. Triângulos direitos especiais (a) 30 e menos 60 e menos 90 (b) 45 e menos 45 e menos 90.

Valores importantes das razões trigonométricas nesses ângulos são mostrados na Tabela 10.3.


Assista o vídeo: TRIGONOMETRIA. CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO SENO E COSSENO (Outubro 2021).