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2.9: Resolva Desigualdades Compostas - União, Intersecção


objetivos de aprendizado

Ao final desta seção, você será capaz de:

  • Resolva as desigualdades compostas com "e"
  • Resolva as desigualdades compostas com “ou”
  • Resolva aplicações com desigualdades compostas

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

  1. Simplifique: ( frac {2} {5} (x + 10) ).
    Se você perdeu este problema, revise [link].
  2. Simplifique: (- (x − 4) ).
    Se você perdeu este problema, revise [link].

Resolva as desigualdades compostas com "e"

Agora que sabemos como resolver as desigualdades lineares, a próxima etapa é examinar as desigualdades compostas. UMA desigualdade composta é composta por duas desigualdades conectadas pela palavra "e" ou pela palavra "ou". Por exemplo, a seguir estão as desigualdades compostas.

[ begin {array} {lll} {x + 3> −4} & { text {and}} & {4x − 5 leq 3} {2 (y + 1) <0} & { texto {ou}} & {y − 5 geq −2} end {array} nonumber ]

DESIGUALDADE DE COMPOSTO

UMA desigualdade composta é composta por duas desigualdades conectadas pela palavra "e" ou pela palavra "ou".

Resolver uma desigualdade composta significa encontrar todos os valores da variável que tornam a desigualdade composta uma afirmação verdadeira. Resolvemos desigualdades compostas usando as mesmas técnicas que usamos para resolver desigualdades lineares. Resolvemos cada desigualdade separadamente e, em seguida, consideramos as duas soluções.

Para resolver uma desigualdade composta com a palavra "e", procuramos todos os números que fazem Ambas desigualdades verdadeiras. Para resolver uma desigualdade composta com a palavra "ou", procuramos todos os números que fazem ou desigualdade verdadeira.

Vamos começar com as desigualdades compostas com "e." Nossa solução serão os números que são soluções para Ambas desigualdades conhecidas como a interseção das duas desigualdades. Considere o cruzamento de duas ruas - a parte onde as ruas se sobrepõem - pertence a ambas as ruas.

Para encontrar a solução de uma desigualdade composta "e", examinamos os gráficos de cada desigualdade e, em seguida, encontramos os números que pertencem a ambos - onde os gráficos se sobrepõem.

Para a desigualdade composta (x> −3 ) e (x leq 2 ), representamos graficamente cada desigualdade. Em seguida, procuramos onde os gráficos “se sobrepõem”. Os números sombreados em ambos os gráficos serão sombreados no gráfico da solução da desigualdade composta. Veja a Figura ( PageIndex {1} ).

Podemos ver que os números entre (- 3 ) e (2 ) estão sombreados nos dois primeiros gráficos. Eles serão então sombreados no gráfico da solução.

O número (- 3 ) não é sombreado no primeiro gráfico e, portanto, como não está sombreado em ambos os gráficos, não é incluído no gráfico de solução.

O número dois está sombreado no primeiro e no segundo gráficos. Portanto, deve ser sombreado no gráfico da solução.

É assim que mostraremos nossa solução nos próximos exemplos.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Resolva (6x − 3 <9 ) e (2x + 7 geq 3 ). Represente graficamente a solução e escreva a solução em notação de intervalo.

Responder
(6x − 3 <9 )e (2x + 9 geq 3 )
Passo 1. Resolva cada
desigualdade.
(6x − 3 <9 ) (2x + 9 geq 3 )
(6x <12 ) (2x geq −6 )
(x <2 )e (x geq −3 )
Passo 2. Represente graficamente cada solução. O gráfico final mostrará todos os números que tornam ambas as desigualdades verdadeiras - os números sombreados em Ambas dos dois primeiros gráficos.
Etapa 3. Escreva a solução em notação de intervalo.([−3,2))
Todos os números que tornam ambas as desigualdades verdadeiras são a solução para a desigualdade composta.

Exemplo ( PageIndex {2} )

Resolva a desigualdade composta. Represente graficamente a solução e escreva a solução na notação de intervalo: (4x − 7 <9 ) e (5x + 8 geq 3 ).

Responder

Exemplo ( PageIndex {3} )

Resolva a desigualdade composta. Represente graficamente a solução e escreva a solução na notação de intervalo: (3x − 4 <5 ) e (4x + 9 geq 1 ).

Responder

RESOLVA UMA DESIGUALDADE DE COMPOSTO COM “E.”

  1. Resolva cada desigualdade.
  2. Represente graficamente cada solução. Em seguida, represente graficamente os números que fazem Ambas desigualdades verdadeiras.
    Este gráfico mostra a solução para a desigualdade composta.
  3. Escreva a solução em notação de intervalo.

Exemplo ( PageIndex {4} )

Resolva (3 (2x + 5) leq 18 ) e (2 (x − 7) <- 6 ). Represente graficamente a solução e escreva a solução em notação de intervalo.

Responder
(3 (2x + 5) leq 18 )e (2 (x − 7) <- 6 )
Resolva cada
desigualdade.
(6x + 15 leq 18 ) (2x − 14 <−6 )
(6x leq 3 ) (2x <8 )
(x leq frac {1} {2} )e (x <4 )
Faça um gráfico de cada
solução.
Representar graficamente os números
isso faz ambos
desigualdades verdadeiras.
Escreva a solução
em notação de intervalo.
((- infty, frac {1} {2}] )

Exemplo ( PageIndex {5} )

Resolva a desigualdade composta. Represente graficamente a solução e escreva a solução na notação de intervalo: (2 (3x + 1) leq 20 ) e (4 (x − 1) <2 ).

Responder

Exemplo ( PageIndex {6} )

Resolva a desigualdade composta. Represente graficamente a solução e escreva a solução na notação de intervalo: (5 (3x − 1) leq 10 ) e (4 (x + 3) <8 ).

Responder

Exemplo ( PageIndex {7} )

Resolva ( frac {1} {3} x − 4 geq −2 ) e (- 2 (x − 3) geq 4 ). Represente graficamente a solução e escreva a solução em notação de intervalo.

Responder
( frac {1} {3} x − 4 geq −2 )e (- 2 (x − 3) geq 4 )
Resolva cada desigualdade. ( frac {1} {3} x − 4 geq −2 ) (- 2x + 6 geq 4 )
( frac {1} {3} x geq 2 ) (- 2x geq −2 )
(x geq 6 )e (x leq 1 )
Represente graficamente cada solução.
Represente graficamente os números que
faça ambas as desigualdades
verdadeiro.
Não há números que tornem ambas as desigualdades verdadeiras.

Isso é uma contradição, então não há solução. Não há números que tornem ambas as desigualdades verdadeiras.

Isso é uma contradição, então não há solução. Não há números que tornem ambas as desigualdades verdadeiras.

Isso é uma contradição, então não há solução.

Exemplo ( PageIndex {8} )

Resolva a desigualdade composta. Represente graficamente a solução e escreva a solução na notação de intervalo: ( frac {1} {4} x − 3 geq −1 ) e (- 3 (x − 2) geq 2 ).

Responder

Exemplo ( PageIndex {9} )

Resolva a desigualdade composta. Represente graficamente a solução e escreva a solução na notação de intervalo: ( frac {1} {5} x − 5 geq −3 ) e (- 4 (x − 1) geq −2 ).

Responder

Às vezes, temos uma desigualdade composta que pode ser escrita de forma mais concisa. Por exemplo, (a dupla desigualdade. As duas formas são equivalentes.

DESIGUALDADE DUPLA

Uma desigualdade dupla é uma desigualdade composta, como (a

[ text {Outras formas:} quad begin {array} {lllll} {a x> b} & { text {é equivalente a}} & {a> x} & { text {e}} & {x> b} {a geq x geq b} & { text {é equivalente a}} & {a geq x} & { text {and}} & {x geq b} end {array} nonumber ]

Para resolver uma desigualdade dupla, realizamos a mesma operação em todas as três “partes” da desigualdade dupla com o objetivo de isolar a variável no centro.

Exemplo ( PageIndex {10} )

Resolva (- 4 leq 3x − 7 <8 ). Represente graficamente a solução e escreva a solução em notação de intervalo.

Responder
Adicione 7 a todas as três partes.
Simplificar. (3 le 3x <15 )
Divida cada parte por três. ( dfrac {3} { color {red} {3}} leq dfrac {3x} { color {red} {3}} < dfrac {15} { color {red} {3}} )
Simplificar. (1 leq x <5 )
Represente graficamente a solução.
Escreva a solução em notação de intervalo.( [1, 5) )

Quando escrito como uma desigualdade dupla, (1 leq x <5 ), é fácil ver que as soluções são os números pegos entre um e cinco, incluindo um, mas não cinco. Podemos então representar graficamente a solução imediatamente como fizemos acima.

Outra maneira de representar graficamente a solução de (1 leq x <5 ) é representar graficamente a solução de (x geq 1 ) e a solução de (x <5 ). Encontraríamos então os números que tornam ambas as desigualdades verdadeiras, como fizemos nos exemplos anteriores.

Exemplo ( PageIndex {11} )

Resolva a desigualdade composta. Represente graficamente a solução e escreva a solução na notação de intervalo: (- 5 leq 4x − 1 <7 ).

Responder

Exemplo ( PageIndex {12} )

Resolva a desigualdade composta. Represente graficamente a solução e escreva a solução na notação de intervalo: (- 3 <2x − 5 leq 1 ).

Responder

Resolva as desigualdades compostas com "ou"

Para resolver um desigualdade composta com “ou”, começamos exatamente como fizemos com as desigualdades compostas com “e” - resolvemos as duas desigualdades. Então encontramos todos os números que fazem ou desigualdade verdadeira.

Assim como os Estados Unidos são a união de todos os 50 estados, a solução será a união de todos os números que tornam as duas desigualdades verdadeiras. Para encontrar a solução da desigualdade composta, olhamos os gráficos de cada desigualdade, encontramos os números que pertencem a cada um dos gráficos e colocamos todos esses números juntos.

Para escrever a solução em notação de intervalo, frequentemente usaremos o símbolo de união, ( cup ), para mostrar a união das soluções mostradas nos gráficos.

RESOLVA UMA DESIGUALDADE DE COMPOSTO COM “OU.”

  1. Resolva cada desigualdade.
  2. Represente graficamente cada solução. Em seguida, represente graficamente os números que tornam as duas desigualdades verdadeiras.
  3. Escreva a solução em notação de intervalo.

Exemplo ( PageIndex {13} )

Resolva (5−3x leq −1 ) ou (8 + 2x leq 5 ). Represente graficamente a solução e escreva a solução em notação de intervalo.

Responder
(5−3x leq −1 )ou (8 + 2x leq 5 )
Resolva cada desigualdade. (5−3x leq −1 ) (8 + 2x leq 5 )
(- 3x leq −6 ) (2x leq −3 )
(x geq 2 )ou (x leq - frac {3} {2} )
Represente graficamente cada solução.
Números gráficos que
faça qualquer desigualdade
verdadeiro.
((- infty, −32] cup [2, infty) )

Exemplo ( PageIndex {14} )

Resolva a desigualdade composta. Represente graficamente a solução e escreva a solução na notação de intervalo: (1−2x leq −3 ) ou (7 + 3x leq 4 ).

Responder

Exemplo ( PageIndex {15} )

Resolva a desigualdade composta. Represente graficamente a solução e escreva a solução na notação de intervalo: (2−5x leq −3 ) ou (5 + 2x leq 3 ).

Responder

Exemplo ( PageIndex {16} )

Resolva ( frac {2} {3} x − 4 leq 3 ) ou ( frac {1} {4} (x + 8) geq −1 ). Represente graficamente a solução e escreva a solução em notação de intervalo.

Responder
( frac {2} {3} x − 4 leq 3 )ou ( frac {1} {4} (x + 8) geq −1 )
Resolva cada
desigualdade.
(3 ( frac {2} {3} x − 4) leq 3 (3) ) (4⋅ frac {1} {4} (x + 8) geq 4⋅ (−1) )
(2x − 12 leq 9 ) (x + 8 geq −4 )
(2x leq 21 ) (x geq −12 )
(x leq frac {21} {2} )
(x leq frac {21} {2} )ou (x geq −12 )
Faça um gráfico de cada
solução.
Números do gráfico
isso faz qualquer um
desigualdade verdadeira.
A solução cobre todos os números reais.
((- infty, infty) )

Exemplo ( PageIndex {17} )

Resolva a desigualdade composta. Represente graficamente a solução e escreva a solução na notação de intervalo: ( frac {3} {5} x − 7 leq −1 ) ou ( frac {1} {3} (x + 6) geq −2 ).

Responder

Exemplo ( PageIndex {18} )

Resolva a desigualdade composta. Represente graficamente a solução e escreva a solução na notação de intervalo: ( frac {3} {4} x − 3 leq 3 ) ou ( frac {2} {5} (x + 10) geq 0 ) .

Responder

Resolva aplicações com desigualdades compostas

Situações no mundo real também envolvem desigualdades compostas. Usaremos a mesma estratégia de resolução de problemas que usamos para resolver aplicações de equação linear e desigualdade.

Lembre-se de que as estratégias de resolução de problemas consistem em primeiro ler o problema e certificar-se de que todas as palavras foram compreendidas. Em seguida, identifique o que estamos procurando e atribua uma variável para representá-lo. Em seguida, reafirme o problema em uma frase para torná-lo fácil de traduzir em um desigualdade composta. Por último, resolveremos a desigualdade composta.

Exemplo ( PageIndex {19} )

Devido à seca na Califórnia, muitas comunidades têm tarifas de água diferenciadas. Existem diferentes taxas para uso de conservação, uso normal e uso excessivo. O uso é medido pelo número de cem pés cúbicos (hcf) que o proprietário usa.

Durante o verão, o proprietário de um imóvel pagará $ 24,72 mais $ 1,54 por hcf para uso normal. A fatura para o uso normal seria entre ou igual a $ 57,06 e $ 171,02. Quantos hcf o proprietário pode usar se quiser que seu uso permaneça na faixa normal?

Responder
Identifique o que procuramos.O número de hcf que ele pode usar e permanecer na faixa de faturamento de “uso normal”.
Nomeie o que estamos procurando.Seja x = x = o número de hcf que ele pode usar.
Traduza para uma desigualdade.A conta é $ 24,72 mais $ 1,54 vezes o número de HCF que ele usa ou (24,72 + 1,54x ).

( color {Cerulean} { underbrace { color {black} { text {Sua conta será entre ou igual a} $ 57,06 text {e} $ 171,02.}}} )

(57,06 leq 24,74 + 1,54x leq 171,02 )

Resolva a desigualdade.

(57,06 leq 24,74 + 1,54x leq 171,02 )

(32.34 leq 1.54x leq 146.3 )

( dfrac {32.34} { color {red} {1.54}} leq dfrac {1.54x} { color {red} {1.54}} leq dfrac {146.3} { color {red} {1.54 }} )

(21 leq x leq 95 )

Responda à pergunta.O proprietário do imóvel pode usar (21–95 ) hcf e ainda estar dentro da faixa de faturamento de “uso normal”.

Exemplo ( PageIndex {20} )

Devido à seca na Califórnia, muitas comunidades agora têm tarifas de água diferenciadas. O uso é medido pelo número de cem pés cúbicos (hcf) que o proprietário usa.

Durante o verão, o proprietário de um imóvel pagará US $ 24,72 mais US $ 1,32 por hcf pelo uso de conservação. A conta para Uso de Conservação seria entre ou igual a $ 31,32 e $ 52,12. Quantos hcf o proprietário pode usar se quiser que seu uso permaneça na área de conservação?

Responder

O proprietário pode usar (5–20 ) hcf e ainda estar dentro da faixa de faturamento de “uso de conservação”.

Exemplo ( PageIndex {21} )

Devido à seca na Califórnia, muitas comunidades têm tarifas de água diferenciadas. O uso é medido pelo número de cem pés cúbicos (hcf) que o proprietário usa.

Durante o inverno, o proprietário de um imóvel pagará $ 24,72 mais $ 1,54 por hcf para uso normal. A fatura para o uso normal seria entre ou igual a $ 49,36 e $ 86,32. Quantos hcf ele poderá usar se quiser que seu uso permaneça na faixa normal?

Responder

O proprietário pode usar (16–40 ) hcf e ainda estar dentro da faixa de faturamento de “uso normal”.

Acesse este recurso online para obter instruções adicionais e prática para resolver desigualdades compostas.

  • Desigualdades compostas

Conceitos chave

  • Como resolver uma desigualdade composta com "e"
    1. Resolva cada desigualdade.
    2. Represente graficamente cada solução. Em seguida, represente graficamente os números que fazem Ambas desigualdades verdadeiras. Este gráfico mostra a solução para a desigualdade composta.
    3. Escreva a solução em notação de intervalo.
  • Dupla Desigualdade
    • UMA dupla desigualdade é uma desigualdade composta como (a Outras formas: [ begin {align *} a a≤x≤b & & text {é equivalente a} & & a≤x ; text {e} ; x≤b
      a> x> b & & text {é equivalente a} & & a> x ; text {e} ; x> b
      a≥x≥b & & text {é equivalente a} & & a≥x ; text {e} ; x≥b end {alinhar *} ]

  • Como resolver uma desigualdade composta com “ou”
    1. Resolva cada desigualdade.
    2. Represente graficamente cada solução. Em seguida, represente graficamente os números que tornam as duas desigualdades verdadeiras.
    3. Escreva a solução em notação de intervalo.

Glossário

desigualdade composta
Uma desigualdade composta é formada por duas desigualdades conectadas pela palavra "e" ou pela palavra "ou".

Como você combina duas desigualdades?

É sempre legal adicionar desigualdades aquele ponto na mesma direção ou para adicionar a mesma quantidade para ambos / todos os membros de um desigualdade.

Da mesma forma, como você resolve e / ou desigualdades? Para resolver um composto desigualdade, primeiro separe-o em dois desigualdades. Determine se a resposta deve ser uma união de conjuntos ("ou") ou uma interseção de conjuntos ("e"). Então, resolver Ambas desigualdades e gráfico.

Além disso, como você combina desigualdades compostas?

Quando os dois desigualdades são unidos pela palavra ou, a solução do desigualdade composta ocorre quando qualquer um dos desigualdades é verdade. A solução é a combinação, ou união, das duas soluções individuais. Vamos dar uma olhada mais de perto em um desigualdade composta que usa ou para combinar dois desigualdades.

Duas desigualdades podem ser subtraídas?

Se vocês subtraia duas desigualdades com a mesma direção, não há como prever que tipo de relacionamento vai resultado. Mas, neste caso, nós pode subtrair desigualdades que têm direções opostas. Portanto, se a for maior que be c for maior que d, não temos como comparar o tamanho de a- c com o tamanho de b- d.


Recursos abertos para álgebra de faculdades comunitárias

Essas informações são precisas em agosto de 2019. Para o CCOG completo e mais recente, visite www.pcc.edu/ccog.

Determine se uma relação é uma função quando a relação dada é expressa algebricamente, graficamente, numericamente e / ou em contextos do mundo real, aplicando a definição de uma função.

Use a definição de domínio e intervalo para determinar o domínio e intervalo de funções representadas graficamente, numericamente e verbalmente.

Determine o domínio de uma função dada algebricamente.

Indique o domínio e o intervalo em notação de intervalo e conjunto.

Entenda como o contexto de uma função usada como modelo pode limitar o domínio e o intervalo.

Avalie funções com entradas fornecidas usando notação de função onde as funções são representadas graficamente, algebricamente, numericamente e verbalmente (por exemplo, avaliar (f (7) )).

Distinguir entre diferentes expressões como (f (x + 2) text <,> ) (f (x) +2 text <,> ) (3f (x) text <,> ) e (f (3x) text <,> ) e simplifique cada um.

Interprete (f (a) = b ) no contexto apropriado (por exemplo, interprete (f (3) = 5 ) onde (f ) modela uma função do mundo real) e entenda que (f (2) ) é um número, não um ponto.

Resolva equações de funções onde as funções são representadas graficamente, algebricamente, numericamente e verbalmente (por exemplo, resolver (f (x) = b ) para (x )).

Fatore o maior fator comum de um polinômio.

Fatore um polinômio de quatro termos usando o método de agrupamento.

Fatore trinômios que têm coeficientes iniciais de 1.

Fatore trinômios que têm coeficientes iniciais diferentes de 1.

Fatore as diferenças dos quadrados.

Determine o domínio das funções racionais algebricamente e graficamente.

Simplifique funções racionais, entendendo que as condições de domínio perdidas durante a simplificação devem ser observadas.

Realize operações em expressões racionais (multiplicação, divisão, adição, subtração) e expresse o resultado final de forma simplificada.

Resolvendo Equações e Desigualdades Algebricamente

Resolva equações quadráticas usando o princípio do produto zero.

Resolva equações quadráticas que têm soluções reais e complexas usando o método da raiz quadrada.

Resolva equações quadráticas que têm soluções reais e complexas usando a fórmula quadrática.

Resolva equações quadráticas que têm soluções reais e complexas completando o quadrado (em casos mais simples, onde (a = 1 text <,> ) e (b ) é par).

Resolva equações de valor absoluto.

Resolva equações (linear, quadrática, racional, radical, valor absoluto) em um conjunto de problemas mistos.

Determine como proceder no processo de resolução com base na equação fornecida.

Determine quando soluções estranhas podem resultar. (Considere o uso de tecnologia para demonstrar que soluções estranhas não são realmente soluções).

Verifique as soluções para as equações algebricamente.

Resolva uma equação racional com múltiplas variáveis ​​para uma variável específica.

Resolva aplicações envolvendo equações quadráticas e racionais (incluindo problemas de distância, taxa e tempo e problemas de taxa de trabalho).

As variáveis ​​usadas nos aplicativos devem ser bem definidas.

As conclusões devem ser apresentadas em sentenças com unidades apropriadas.

Resolva algebricamente as equações das funções das formas:

(f (x) = b ) onde (f ) é uma função de valor linear, quadrática, racional, radical ou absoluta.

(f (x) = g (x) ) onde (f ) e (g ) são funções tais que a equação não produz nada mais difícil do que uma equação quadrática ou linear, uma vez que uma fração é apagada ou um a raiz é removida se houver.

Resolva desigualdades lineares compostas algebricamente.

a união de duas desigualdades lineares (declaração “ou”).

a interseção de duas desigualdades lineares (declaração “e”).

uma desigualdade de três lados como (a lt f (x) lt b ) onde (f (x) ) é uma expressão linear com constantes (a ) e (b ).

Os conjuntos de soluções devem ser expressos em notação de intervalo.

Breve revisão de gráficos de funções lineares, incluindo encontrar a fórmula da função dados dois pares ordenados em notação de função.

Faça o gráfico de funções quadráticas manualmente.

Reveja a localização do vértice com a fórmula (h = - frac<2a> text <.> )

Complete o quadrado para colocar uma função quadrática na forma de vértice.

Dada uma função quadrática na forma de vértice, observe o deslocamento vertical e o deslocamento horizontal do gráfico de (y = x ^ 2 text <.> )

Indique o domínio e o alcance de uma função quadrática.

Revise a localização de interceptações horizontais e verticais de funções lineares e quadráticas à mão, expressando-as como pares ordenados em exemplos abstratos e interpretando-as usando sentenças completas em exemplos de aplicação.

Resolva equações graficamente com tecnologia.

Explore funções graficamente com tecnologia.

Encontre interceptações verticais e horizontais.

Encontre o vértice de uma parábola.

Crie uma janela de visualização apropriada.

Resolva graficamente valor absoluto e desigualdades quadráticas (por exemplo, (f (x) lt b text <,> ) (f (x) gt b )) onde (f ) é uma função de valor absoluto quando:

dado o gráfico da função.

usando tecnologia para representar graficamente a função.

Resolva as desigualdades de função dadas graficamente (f (x) lt b text <,> ) (f (x) gt b text <,> ) (f (x) gt g (x) text <,> ) e (a lt f (x) lt b ) onde (f ) e (g ) devem incluir, mas não se limitar a, funções lineares.


Desigualdades compostas

Exemplos de desigualdades compostas:

$ x le 5 quad ou quad 5 gt 2x + 1 $

$ 8 gt x-2 quad e quad x le 7 $

Uma desigualdade composta da forma: $ a lt x lt b $ é igual a $ a lt x $ e $ x lt b $. Isso significa que $ x $ está entre $ a $ e $ b $.

Na notação de intervalo, $ a lt x lt b $ é $ (a, b) $ e

A palavra 'ou' corresponde ao União operação e a palavra 'e' corresponde ao interseção Operação.

União

Se $ A $ e $ B $ são dois conjuntos, então o União de $ A $ e $ B $ é o conjunto de elementos que estão em $ A $ ou em $ B $ ou em $ A $ e $ B $.

A união de $ A $ e $ B $ ou $ A $ união $ B $ é denotada como $ A cup B $.

A operação de união combina os dois conjuntos.

Exemplo:Encontre a união dos conjuntos A e B, onde $ A = $ e $ B = $.

Solução: desenhe o gráfico de $ A $ e $ B $ e combine-os:


Interseção

Se $ A $ e $ B $ são dois conjuntos, então o interseção de $ A $ e $ B $ é o conjunto de elementos comuns a $ A $ e $ B $.

A interseção de $ A $ e $ B $ ou $ A $ a interseção $ B $ é denotada como $ A cap B $.

A operação de intersecção extrai os elementos comuns a ambos os conjuntos.

$ A cap B = <3,4 > : $ apenas 3 e 4 estão em $ A $ e $ B $.

Exemplo 2: Se $ P = $ e $ Q = $, então

$ P cap Q = < quad > $, o conjunto vazio. O símbolo para o conjunto vazio é $ emptyset $.

Exemplo:Encontre a interseção dos conjuntos A e B, onde $ A = $ e $ B = $.

Solução: desenhe o gráfico de $ A $ e $ B $ e pegue a parte da solução comum a ambos:

Resolvendo desigualdades compostas

Exemplo 1 Resolva, $ 4x lt x-6 $ ou $ x ge 3 $

Solução:
$ begin 4x lt x-6 , & ou x ge 3 -x: quad 4x-x lt -6 , & ou , x ge 3 div 3: qquad x lt -2 , & ou , x ge 3 end$

Solução em forma gráfica:

Solução em notação de intervalo:

Exemplo 2: Resolva $ 4x-2 lt 14 $ e $ 2x ge 2 $

$ begin 4x-2 lt 14 quad & e quad2x ge 2 4x lt 16 quad & e quad x ge 1 x lt 4 quad & e quad x ge 1 end$

A solução na forma gráfica:

A solução em notação de intervalo:


2.9: Resolva Desigualdades Compostas - União, Intersecção

Escreva uma equação para o enésimo termo da sequência: -2, 48, 98, 148, 198.

uman = 50n - 52
(a partir de um1 = -2, d = 50, então
uman = -2 + 50 (n-1) = -2 + 50n - 50)

Resolva a desigualdade de uma etapa:
x - 18 e 20

Que desigualdade é representada por esta reta numérica?

Por que as desigualdades de valor absoluto geralmente têm 2 soluções (por exemplo, | x | & gt 5 tem 2 soluções)?

Os valores absolutos de 2 números são geralmente iguais (por exemplo: | -6 | = 6 e | 6 | = 6). Portanto, o problema deve ser resolvido para os dois casos: x & gt 5 e x & lt -5.

Um hambúrguer deve ser cozido dentro de 5 ° de 160 ° F para ser considerado bom (mais queima, menos não é seguro). Escreva uma desigualdade que mostre a faixa de temperaturas possíveis para um hambúrguer.

Determine se 3/4 e 18/24 são proporções equivalentes; caso contrário, determine qual é a mais alta.

Eles são equivalentes.
(3/4 * 6/6 = 18/24)

Resolva a desigualdade de uma etapa:
5x & lt -15

Descreva a desigualdade abaixo como uma "união" ou "intersecção" e escreva-a como uma desigualdade.

É uma união x & lt 7 ou x & gt 11
(x é menor que 7 OU x é maior ou igual a 11)

Um veterinário disse a Anthony que um peso saudável para gatos Russian Blue é de 4 ± 1,2 kg. Escreva e resolva uma desigualdade que informe a faixa de pesos que é saudável.

Das seguintes linhas, qual é não paralelo para os outros três?
(A) y = -3/4 x + 2
(B) y - 3 = 4/3 (x + 2)
(C) 3x + 4y = -16
(D) 8y = -6x

(B). Os outros três são inclinados = -3/4, mas (B) tem uma inclinação de 4/3, tornando-o perpendicular àqueles!

Explique por que o conjunto de soluções para a seguinte desigualdade é não x & gt -4:

Quando 12 muda o sinal para negativo, o sinal de "maior que" (& gt) muda para um sinal de "menor que" (& lt). A solução deve ser:
x & lt -4

Descreva o gráfico a seguir como uma união ou interseção e escreva uma desigualdade composta descrevendo-o.


Intersecção -1 & lt x & lt 2
(-1 é menor que x, que também é menor que 2)

Dê o primeiro passo e, em seguida, encontre um conjunto de soluções para | 10x + 15 | & gt 105.

Primeiro passo:
Use 10x + 15 & gt 105 ou 10x + 15 & lt -105

Um veterinário disse a Anthony que um peso saudável para gatos Russian Blue é de 4 ± 1,2 kg. Escreva e resolva uma desigualdade que diga a faixa de pesos que é unsaudável.

| x - 4 | & gt 1.2
Solução:
x & lt 2.8 ou x & gt 5.2

Três vezes a soma de um número e 7 é igual a 4 vezes o mesmo número. 3n + 7 = 4n resolveria essa situação?

Resolva a desigualdade de várias etapas:

Método:
2/3 x & lt -10 (subtraindo 25)
x & lt -15 (multiplicando 3/2)

Resolva a desigualdade composta na notação de construtor de conjuntos:
-15 & lt -3x & lt 5

-5/3 & lt x & lt 5
Passos:
-15 & lt -3x e -3x & lt 5
Divida -3: 5 & gt x e x & gt -5/3
Reordenar: -5/3 & lt x & lt 5

Encontre um conjunto de soluções para | 13/4 x - 22/7 | & lt -1

Para um concurso de bolsas, Eva teve que escrever uma redação. Para a redação, Eva teve que escrever mais de 250 palavras, mas não pode exceder 500 palavras. Escreva uma desigualdade que demonstre a situação de Eva.

| x - 375 | & lt 125
Nota: 375 vem da média de 500 e 250 (500 + 250) / 2 = 375, e 125 é a diferença de | 250-375 | e | 500-375 |

A tabela a seguir descreve a distância de rastreamento de um bebê ao longo do tempo. Esta tabela descreve uma função linear?


Sim y = 2,4x (a taxa de mudança é constante em 2,4)

Resolva a desigualdade de várias etapas (simplifique):

x & lt 11/9
Passos:
-12x + 48 & gt 15x + 15
Adicionar 12x: 48 & gt 27x + 15
Subtraia 15: 33 & gt 27x
Divida 27: 33/27 & gt x
Simplifique: 11/9 & gt x

Resolva a desigualdade composta:

x & gt 2
Passos:
Solução 1 + 3x & gt 7: x & gt 2
3 - 7x & lt -18
Subtraia 3: -7x & lt -21
Divide -7: x & gt 3
Por se tratar de uma união, devemos combinar as duas soluções. Como x & gt 2 inclui x & gt 3, isso é o suficiente.

Encontre um conjunto de soluções para -2 (5 + | x |) & lt 24

Todos os números reais!
Passos:
Divida -2: 5 + | x | & gt -12
Subtraia 5: | x | & gt -17
TODOS os valores absolutos são mais de -17.

Aiden quer gastar no máximo 25.000 em almoço e ônibus esta semana. Se ele precisa pagar 10.000 por viagens de ônibus e quer comprar 4 almoços, monte e resolva uma desigualdade que resolve quanto custará cada almoço.


Desigualdades Racionais

Resolvendo Desigualdades Racionais
& # 8226 Quase o mesmo processo de resolução de um
desigualdade polinomial
& # 8226 Também é necessário considerar os valores para o
variável que faz com que o denominador
igual a 0
& # 8226 Para resolver uma desigualdade racional:
& # 8211 Defina um lado para ZERO e escreva o outro lado
como uma expressão racional
& # 8211 Determine os valores críticos & # 8211 esses valores
que causa o numerador ou
denominador igual a 0
& # 8211 Dividir (-oo, + oo) em subintervalos com base em
os valores críticos
& # 8226 Assim como com uma desigualdade polinomial
& # 8211 Teste cada subintervalo para determinar aqueles que
estão incluídos no conjunto de soluções
& # 8226 A regra de sinal para polinômios se aplica a
expressões também
& # 8211 Se necessário, ajuste os intervalos para
soluções estranhas!

Ex 14: Resolva e escreva a solução no intervalo
notação:

Ex 15: Resolva e escreva a solução no intervalo
notação:

Resumo
& # 8226 Depois de estudar esses slides, você deve saber como fazer
Os seguintes:
& # 8211 Resolva, represente graficamente e escreva o conjunto de soluções tanto no intervalo como no conjunto
notação de construtor para os seguintes tipos de desigualdades:
& # 8226 Linear
Composto & # 8226
& # 8226 Valor absoluto
& # 8226 Polinomial
& # 8226 Racional
& # 8226 Prática Adicional
& # 8211 Veja a lista de problemas sugeridos para 1.5
& # 8226 Próxima lição
& # 8211 Gráficos e círculos (Seção 2.1)


Desigualdades compostas

UMA composto desigualdade, às vezes referido como desigualdade combinada, é uma desigualdade que combina duas ou mais desigualdades simples unidas com ouou e.

Para ser uma solução de um oudesigualdade, um valor deve tornar verdadeira apenas uma parte da desigualdade. Isso significa que a solução final será a União de soluções de desigualdades separadas. Para ser uma solução de um edesigualdade, deve tornar ambas as partes verdadeiras. Desigualdades cujas condições são limitadas com e não são independentes um do outro. Isso significa que a solução final será a interseção de soluções de desigualdades separadas.

ou $ Rightarrow $ union

e $ Rightarrow $ intersection

Exemplo com ou desigualdade

$ x & lt5 $ ou $ x & gt9 $ A pergunta feita no exemplo é: quais números podem ser substituídos no lugar de $ x $ de forma que uma das desigualdades seja verdadeira?

$ x & lt5 Rightarrow x in left & lt- infty, 5 right & gt $

$ x & gt9 Rightarrow x in left & lt9, infty right & gt $

As respostas são todos os números menores que 5 e todos os números maiores que 9, então a solução é uma união de dois intervalos $ left & lt- infty, 5 right & gt cup left & lt9, infty right & gt $.

Exemplo com e desigualdade

Esta declaração é equivalente a $ 4 & ltx & lt7 $.

$ x & gt4 Rightarrow x in left & lt4, infty right & gt $

$ x & lt7 Rightarrow x in left & lt- infty, 7 right & gt $

A solução é uma interseção de dois intervalos $ left & lt- infty, 7 right & gt cap left & lt4, infty right & gt $, que é o intervalo $ left & lt4, 7 right & gt $.

$ 2 + 2x leq x & lt 5 + x $ Este problema pode ser resolvido de duas maneiras.

O problema é dividido em duas desigualdades que são então resolvidas separadamente. A solução é a interseção das soluções individuais.

$ 2 + 2x leqslant x $ e $ x & lt 5 + x $ $ 2 + 2x leqslant x Rightarrow 2 leq -x Rightarrow x leq & # 8211 2 Rightarrow x in left & lt- infty, & # 8211 2 right] $ $ x & lt 5 + x Rightarrow 0 & lt 5 $ Da segunda desigualdade segue-se a afirmação $ 0 & lt 5 $, que é sempre verdadeira, então a solução é todo o conjunto de números reais.

Se o caso fosse diferente e a afirmação não fosse verdadeira, por exemplo $ 5 & lt 0 $, então a desigualdade não teria soluções. Por exemplo, a desigualdade $ x & ltx-1 $ não tem soluções.

A solução da desigualdade do Exemplo 1 é o conjunto $ left & lt- infty, & # 8211 2 right] $.

Ao trabalhar com equações, pode-se somar, subtrair, multiplicar e dividir a expressão, mas o que é alterado de um lado também deve ser alterado do outro lado. É semelhante ao trabalhar com desigualdades. Se você adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir, você deve fazer isso para cada parte da desigualdade.

Em nosso exemplo, podemos subtrair $ 2x $.

$ 2 leqslant & # 8211 x & lt 5 & # 8211 x $
$ & # 8211 x & lt 5 & # 8211 x $ é sempre uma afirmação verdadeira, então a única parte que restringe o conjunto de soluções é $ 2 leqslant & # 8211 x $. Portanto, a solução é o conjunto $ left & lt- infty, & # 8211 2 right] $.

$ 1 + 58x & lt 55x & lt 57x + 10 $
$ 57x $ é subtraído de todas as partes da desigualdade:

Quando a expressão $ & # 8211 2x & lt 10 $ é dividida por $ -2 $, o sinal de desigualdade muda.

$ x & lt - frac <1> <3> $ e $ x & gt & # 8211 5 $

A solução final é o conjunto $ left & lt-5, - frac <1> <3> right & gt $.

Caso o cruzamento esteja vazio, não há soluções.

Por exemplo, se $ x & gt 5 $ e $ x & lt & # 8211 7 $, então a interseção dos conjuntos $ left & lt5, infty right & gt $ e $ left & lt- infty, -7 right & gt $ está vazia. Portanto, a desigualdade não tem solução.

$ 5 & gt x $ e $ x & gt 2 Rightarrow x in left & lt2, 5 right & gt $

$ x & gt & # 8211 6 $ e $ x & gt 2 Rightarrow x in left & lt2, + infty right & gt $

$ 2x & gt 4 $ ou $ -x & gt 7 $
$ 2x & gt 4 Rightarrow x & gt 2 $ $ & # 8211 x & gt 7 Rightarrow x & lt & # 8211 7 $

The solution of the first inequality is set $left<2, infty ight>$ and the solution of the second inequality is set $left<-infty, – 7 ight>$.

The final solution is the union of these two sets: $ left<-infty, – 7 ight> cup left<2, infty ight>$.

$frac <2>> 3$ or $ x geqslant – 3$
$ x > 6$ or $ x geqslant- 3$ In a case like this, there is no need to write a union of two sets since one is the subset of the other. The solution is simply the bigger set, in this case $left[- 3, +infty ight>$.


To Infinity (Not Beyond):

an interval may be defined as a subset of the extended real numbers, the set of all real numbers augmented with +∞ and −∞.

Interval NotationInequalitiesDetails
(a, +∞)x > agreater than a
[a, +∞)x ≥ agreater than or equal to a
(-∞, a)x < aless than a
(-∞, a]x ≤ aless than or equal to a
(-∞, ) < x < ∞no limit

In this interpretation, the notations above are all meaningful and distinct. In particular, (−∞, +∞) denotes the set of all ordinary real numbers, while [−∞, +∞] denotes the extended reals.


- compound inequalities.

Compound Inequality: - In compound inequality, there are at least two inequalities and these inequalities are separated by “and” or “or”.

1. 5 < x < 7 ( x > 5 a n d x < 7 )

Here, we can see using graph, if two inequalities are separated by “and” then solution is intersection of both inequalities.

Here, we can see using graph, if two inequalities are separated by “or” then solution is union of both inequalities.

Calculation:-

Since, option (A) contains two inequalities which are separated by “or”.

So, Option (A) is compound inequality.

Since, option (B) contains one inequality.

So, Option (B) is not compound inequality.

Option (C) :- 8 ≤ 5 x < 30 ( 8 ≤ 5 x a n d 5 x < 30 )

Since, option (C) contains two inequalities which are separated by “and”.


Another type of compound inequality਌ontains the word or. A compound inequality containing or is true if one or more of the inequalities is true. The graph of a compound inequality containing or is the of the graphs of the two inequalities.

In other words, the solution of the਌ompound inequality is a solution of either inequality, not necessarily both. The union can be found by graphing each inequality.

Solve the compound inequality. Then graph the solution set

Subtract by 2 on both sides

Subtract by 2 on both sides

By graphing the inequality k > 10, we get the graph given below.

By graphing the inequality  ≤  16 , we get the graph given below.

By combining the above two graphs, we get the common region between 10 and 16.

Solve the following inequality and graph the solution

Solve the following inequality and graph the solution

Divide by 3 on both sides

Divide by 2 on both sides

Solve the following inequality and graph the solution

Divide by 4 on both sides

Divide by 4 on both sides

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