Artigos

6.4: Resolvendo Sistemas com Eliminação Gaussiana


objetivos de aprendizado

  • Escreva a matriz aumentada de um sistema de equações.
  • Escreva o sistema de equações de uma matriz aumentada.
  • Execute operações de linha em uma matriz.
  • Resolva um sistema de equações lineares usando matrizes.

Carl Friedrich Gauss viveu durante o final do século (18 ^ {th} ) e no início do século (19 ^ {th} ), mas ainda é considerado um dos matemáticos mais prolíficos da história. Suas contribuições para a ciência da matemática e da física abrangem campos como álgebra, teoria dos números, análise, geometria diferencial, astronomia e óptica, entre outros. Suas descobertas sobre a teoria da matriz mudaram a maneira como os matemáticos trabalharam nos últimos dois séculos.

Encontramos pela primeira vez a eliminação de Gauss em Sistemas de Equações Lineares: Duas Variáveis. Nesta seção, iremos revisitar esta técnica para resolver sistemas, desta vez usando matrizes.

Escrevendo a Matriz Aumentada de um Sistema de Equações

Uma matriz pode servir como um dispositivo para representar e resolver um sistema de equações. Para expressar um sistema em forma de matriz, extraímos os coeficientes das variáveis ​​e das constantes, e estes se tornam as entradas da matriz. Usamos uma linha vertical para separar as entradas dos coeficientes das constantes, essencialmente substituindo os sinais de igual. Quando um sistema é escrito neste formulário, nós o chamamos de matriz aumentada.

Por exemplo, considere o seguinte (2 × 2 ) sistema de equações.

[ begin {align *} 3x + 4y & = 7 4x-2y & = 5 end {align *} ]

Podemos escrever este sistema como uma matriz aumentada:

( left [ begin {array} {cc | c} 3 & 4 & 7 4 & -2 & 5 end {array} right] )

Também podemos escrever uma matriz contendo apenas os coeficientes. Isso é chamado de matriz de coeficientes.

( begin {bmatrix} 3 e 4 4 & −2 end {bmatrix} )

Três por três sistema de equações tal como

[ begin {align *} 3x-y-z & = 0 x + y & = 5 2x-3z & = 2 end {align *} ]

tem uma matriz de coeficiente

( begin {bmatrix} 3 & −1 & −1 1 & 1 & 0 2 & 0 & −3 end {bmatrix} )

e é representado pela matriz aumentada

( left [ begin {array} {ccc | c} 3 & −1 & −1 & 0 1 & 1 & 0 & 5 2 & 0 & −3 & 2 end {array} right] )

Observe que a matriz é escrita de forma que as variáveis ​​se alinhem em suas próprias colunas: (x ) - termos vão na primeira coluna, (y ) - termos na segunda coluna, e (z ) - termos na terceira coluna. É muito importante que cada equação seja escrita na forma padrão (ax + by + cz = d ) para que as variáveis ​​se alinhem. Quando há um termo de variável ausente em uma equação, o coeficiente é (0 ).

Como: Dado um sistema de equações, escreva uma matriz aumentada

  1. Escreva os coeficientes dos termos (x ) - como os números na primeira coluna.
  2. Escreva os coeficientes dos termos (y ) - como os números na segunda coluna.
  3. Se houver (z ) - termos, escreva os coeficientes como números na terceira coluna.
  4. Desenhe uma linha vertical e escreva as constantes à direita da linha.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Escrevendo a matriz aumentada para um sistema de equações

Escreva a matriz aumentada para o sistema de equações dado.

[ begin {align *} x + 2y-z & = 3 2x-y + 2z & = 6 x-3y + 3z & = 4 end {align *} ]

Solução

A matriz aumentada exibe os coeficientes das variáveis ​​e uma coluna adicional para as constantes.

( left [ begin {array} {ccc | c} 1 & 2 & −1 & 3 2 & −1 & 2 & 6 1 & −3 & 3 & 4 end {array} right] )

Exercício ( PageIndex {1} )

Escreva a matriz aumentada do sistema de equações dado.

[ begin {align *} 4x-3y & = 11 3x + 2y & = 4 end {align *} ]

Responder

( left [ begin {array} {cc | c} 4 & −3 & 11 3 & 2 & 4 end {array} right] )

Escrevendo um sistema de equações a partir de uma matriz aumentada

Podemos usar matrizes aumentadas para nos ajudar a resolver sistemas de equações porque simplificam as operações quando os sistemas não estão sobrecarregados pelas variáveis. No entanto, é importante entender como alternar entre os formatos para tornar a busca de soluções mais fácil e intuitiva. Aqui, usaremos as informações em uma matriz aumentada para escrever o sistema de equações na forma padrão.

Exemplo ( PageIndex {2} ): Escrevendo um sistema de equações a partir de uma forma de matriz aumentada

Encontre o sistema de equações da matriz aumentada.

( left [ begin {array} {ccc | c} 1 & −3 & −5 & -2 2 & −5 & −4 & 5 - 3 & 5 & 4 & 6 end {array} right] )

Solução

Quando as colunas representam as variáveis ​​ (x ), (y ) e (z ),

[ left [ begin {array} {ccc | c} 1 & -3 & -5 & -2 2 & -5 & -4 & 5 - 3 & 5 & 4 & 6 end {array} right] rightarrow begin {align *} x -3y-5z & = -2 2x-5y-4z & = 5 -3x + 5y + 4z & = 6 end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {2} )

Escreva o sistema de equações da matriz aumentada.

( left [ begin {array} {ccc | c} 1 & −1 & 1 & 5 2 & −1 & 3 & 1 0 & 1 & 1 & -9 end {array} right] )

Responder

( begin {align *} x-y + z & = 5 2x-y + 3z & = 1 y + z & = -9 end {align *} )

Executando Operações de Linha em uma Matriz

Agora que podemos escrever sistemas de equações na forma de matriz aumentada, examinaremos os vários operações de linha que pode ser executado em uma matriz, como adição, multiplicação por uma constante e intercâmbio de linhas.

Executar operações de linha em uma matriz é o método que usamos para resolver um sistema de equações. A fim de resolver o sistema de equações, queremos converter a matriz para escalão de fileira forma, na qual existem alguns abaixo do diagonal principal do canto superior esquerdo ao canto inferior direito, e zeros em todas as posições abaixo da diagonal principal, conforme mostrado.

Forma escalonada de linha ( begin {bmatrix} 1 & a & b 0 & 1 & d 0 & 0 & 1 end {bmatrix} )

Usamos operações de linha correspondentes a operações de equação para obter uma nova matriz que é equivalente de linha de uma forma mais simples. Aqui estão as diretrizes para obter a forma escalonada em linha.

  1. Em qualquer linha diferente de zero, o primeiro número diferente de zero é a (1 ). É chamado de principal (1).
  2. Todas as linhas zeradas são colocadas na parte inferior da matriz.
  3. Qualquer (1 ) inicial está abaixo e à direita de um (1 ) inicial anterior.
  4. Qualquer coluna contendo um (1 ) inicial tem zeros em todas as outras posições na coluna.

Para resolver um sistema de equações, podemos realizar as seguintes operações de linha para converter o matriz de coeficiente para a forma escalonada em linha e faça a substituição reversa para encontrar a solução.

  1. Troque as linhas. (Notação: (R_i ↔ R_j ))
  2. Multiplique uma linha por uma constante. (Notação: (cR_i ))
  3. Adicione o produto de uma linha multiplicado por uma constante a outra linha. (Notação: (R_i + cR_j ))

Cada uma das operações de linha corresponde às operações que já aprendemos para resolver sistemas de equações em três variáveis. Com essas operações, existem alguns movimentos-chave que atingirão rapidamente o objetivo de escrever uma matriz na forma escalonada de linha. Para obter uma matriz na forma escalonada de linha para encontrar soluções, usamos a eliminação de Gauss, um método que usa operações de linha para obter um (1 ) como a primeira entrada para que a linha (1 ) possa ser usada para converter o linhas restantes.

ELIMINAÇÃO GAUSSIANA

O método de eliminação gaussiana se refere a uma estratégia usada para obter a forma escalonada de linha de uma matriz. O objetivo é escrever a matriz (A ) com o número (1 ) como a entrada na diagonal principal e ter todos os zeros abaixo.

(A = begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} end {bmatrix} xrightarrow {After space Gaussian space eliminação} A = begin {bmatrix} 1 & b_ {12} & b_ {13} 0 & 1 & b_ {23} 0 & 0 & 1 end {bmatrix} )

O primeiro passo da estratégia gaussiana inclui a obtenção de um (1 ) como a primeira entrada, de modo que a linha (1 ) pode ser usada para alterar as linhas abaixo.

Como: Dada uma matriz aumentada, realizar operações de linha para atingir a forma escalonada de linha

  1. A primeira equação deve ter um coeficiente inicial de (1 ). Troque as linhas ou multiplique por uma constante, se necessário.
  2. Use operações de linha para obter zeros na primeira coluna abaixo da primeira entrada de (1 ).
  3. Use as operações de linha para obter um (1 ) na linha 2, coluna 2.
  4. Use as operações de linha para obter zeros na coluna 2, abaixo da entrada de 1.
  5. Use as operações de linha para obter um (1 ) na linha 3, coluna 3.
  6. Continue este processo para todas as linhas até que haja um (1 em cada entrada na diagonal principal e haja apenas zeros abaixo.
  7. Se alguma linha contiver apenas zeros, coloque-a na parte inferior.

Exemplo ( PageIndex {3} ): Resolvendo um sistema (2 × 2 ) por eliminação de Gauss

Resolva o sistema dado por eliminação de Gauss.

[ begin {align *} 2x + 3y & = 6 x-y & = dfrac {1} {2} end {align *} ]

Solução

Primeiro, escrevemos isso como uma matriz aumentada.

( left [ begin {array} {cc | c} 2 & 3 & 6 1 & −1 & 12 end {array} right] )

Queremos um (1 ) na linha 1, coluna 1. Isso pode ser feito trocando as linhas 1 e 2.

(R_1 leftrightarrow R_2 rightarrow left [ begin {array} {cc | c} 1 & −1 & 12 2 & 3 & 6 end {array} right] )

Agora temos um (1 ) como a primeira entrada na linha 1, coluna 1. Agora vamos obter um (0 ) na linha 2, coluna 1. Isso pode ser feito multiplicando a linha 1 por (- 2 ) e, em seguida, adicionando o resultado à linha 2.

(- 2R_1 + R_2 = R_2 rightarrow left [ begin {array} {cc | c} 1 & −1 & 12 0 & 5 & 5 end {array} right] )

Temos apenas mais uma etapa, para multiplicar a linha 2 por ( dfrac {1} {5} ).

( dfrac {1} {5} R_2 = R_2 rightarrow left [ begin {array} {cc | c} 1 & −1 & 12 0 & 1 & 1 end {array} right] )

Use substituição reversa. A segunda linha da matriz representa (y = 1 ). Substitua de volta (y = 1 ) na primeira equação.

[ begin {align *} x- (1) & = dfrac {1} {2} x & = dfrac {3} {2} end {align *} ]

A solução é o ponto ( left ( dfrac {3} {2}, 1 right) ).

Exercício ( PageIndex {3} )

Resolva o sistema dado por eliminação de Gauss.

Responder

((2, 1))

Exemplo ( PageIndex {4} ): Usando a Eliminação Gaussiana para Resolver um Sistema de Equações

Usar Eliminação gaussiana para resolver o dado (2 × 2 ) sistema de equações.

[ begin {align *} 2x + y & = 1 4x + 2y & = 6 end {align *} ]

Solução

Escreva o sistema como um matriz aumentada.

( left [ begin {array} {cc | c} 2 & 1 & 1 4 & 2 & 6 end {array} right] )

Obtenha um (1 ) na linha 1, coluna 1. Isso pode ser feito multiplicando a primeira linha por ( dfrac {1} {2} ).

( dfrac {1} {2} R_1 = R_1 rightarrow left [ begin {array} {cc | c} 1 & dfrac {1} {2} & dfrac {1} {2} 4 & 2 & 6 end {array} right] )

Em seguida, queremos um (0 ) na linha 2, coluna 1. Multiplique a linha 1 por (- 4 ) e adicione a linha 1 à linha 2.

(- 4R_1 + R_2 = R_2 rightarrow left [ begin {array} {cc | c} 1 & dfrac {1} {2} & dfrac {1} {2} 0 & 0 & 4 end {array} certo])

A segunda linha representa a equação (0 = 4 ). Portanto, o sistema é inconsistente e não tem solução.

Exemplo ( PageIndex {5} ): Resolvendo um sistema dependente

Resolva o sistema de equações.

[ begin {align *} 3x + 4y & = 12 6x + 8y & = 24 end {align *} ]

Solução

Executar operações de linha na matriz aumentada para tentar alcançar forma escalonada.

(A = left [ begin {array} {cc | c} 3 & 4 & 12 6 & 8 & 24 end {array} right] )

(- dfrac {1} {2} R_2 + R_1 = R_1 rightarrow left [ begin {array} {cc | c} 0 & 0 & 0 6 & 8 & 24 end {array} right] )

(R_1 leftrightarrow R_2 = left [ begin {array} {cc | c} 6 & 8 & 24 0 & 0 & 0 end {array} right] )

A matriz termina com todos os zeros na última linha: (0y = 0 ). Assim, há um número infinito de soluções e o sistema é classificado como dependente. Para encontrar a solução genérica, volte para uma das equações originais e resolva para (y ).

[ begin {align *} 3x + 4y & = 12 4y & = 12-3x y & = 3- dfrac {3} {4} x end {align *} ]

Portanto, a solução para este sistema é ( left (x, 3− dfrac {3} {4} x right) ).

Exemplo ( PageIndex {6} ): Executando Operações de Linha em uma Matriz Aumentada (3 × 3 ) para Obter Forma Escalonada de Linha

Realize operações de linha na matriz fornecida para obter a forma escalonada de linha.

( left [ begin {array} {ccc | c} 1 & -3 & 4 & 3 2 & -5 & 6 & 6 - 3 & 3 & 4 & 6 end {array} right] )

Solução

A primeira linha já tem um (1 ) na linha 1, coluna 1. O próximo passo é multiplicar a linha 1 por (- 2 ) e adicioná-lo à linha 2. Em seguida, substitua a linha 2 pelo resultado.

(- 2R_1 + R_2 = R_2 left [ begin {array} {ccc | c} 1 & -3 & 4 & 3 0 & 1 & -2 & 0 - 3 & 3 & 4 & 6 end {array} right] )

Em seguida, obtenha um zero na linha 3, coluna 1.

(3R_1 + R_3 = R_3 left [ begin {array} {ccc | c} 1 & -3 & 4 & 3 0 & 1 & -2 & 0 0 & -6 & 16 & 15 end {array} right] )

Em seguida, obtenha um zero na linha 3, coluna 2.

(6R_2 + R_3 = R_3 left [ begin {array} {ccc | c} 1 & -3 & 4 & 3 0 & 1 & -2 & 0 0 & 0 & 4 & 15 end {array} right] )

A última etapa é obter 1 na linha 3, coluna 3.

( dfrac {1} {3} R_3 = R_3 left [ begin {array} {ccc | c} 1 & -3 & 4 & 3 0 & 1 & -2 & 0 0 & 0 & 1 & dfrac {21} {2} end {array} certo])

Exercício ( PageIndex {4} )

Escreva o sistema de equações na forma escalonada de linha.

[ begin {align *} x − 2y + 3z & = 9 −x + 3y & = −4 2x − 5y + 5z & = 17 end {align *} ]

Responder

( left [ begin {array} {ccc | c} 1 & - dfrac {5} {2} & dfrac {5} {2} & dfrac {17} {2} 0 & 1 & 5 & 9 0 & 0 & 1 & 2 end {array} right] )

Resolvendo um sistema de equações lineares usando matrizes

Vimos como escrever um sistema de equações com um matriz aumentadae, a seguir, como usar operações de linha e substituição inversa para obter a forma escalonada de linha. Agora vamos levar forma escalonada um passo adiante para resolver um sistema de equações lineares (3 ) por (3 ). A ideia geral é eliminar todas as variáveis, exceto uma, usando operações de linha e, em seguida, substituí-las de volta para resolver as outras variáveis.

Exemplo ( PageIndex {7} ): Resolvendo um sistema de equações lineares usando matrizes

Resolva o sistema de equações lineares usando matrizes.

[ begin {align *} x-y + z & = 8 2x + 3y-z & = -2 3x-2y-9z & = 9 end {align *} ]

Solução

Primeiro, escrevemos a matriz aumentada.

( left [ begin {array} {ccc | c} 1 & -1 & 1 & 8 2 & 3 & -1 & -2 3 & -2 & -9 & 9 end {array} right] )

Em seguida, realizamos operações de linha para obter a forma escalonada de linha.

(- 2R_1 + R_2 = R_2 rightarrow left [ begin {array} {ccc | c} 1 & -1 & 1 & 8 0 & 5 & -3 & -18 3 & -2 & -9 & 9 end {array} right] )

(- 3R_1 + R_3 = R_3 rightarrow left [ begin {array} {ccc | c} 1 & -1 & 1 & 8 0 & 5 & -3 & -18 0 & 1 & -12 & -15 end {array} right] )

A maneira mais fácil de obter um (1 ) na linha 2 da coluna 1 é intercambiar (R_2 ) e (R_3 ).

(Interchange space R_2 space e space R_3 rightarrow left [ begin {array} {ccc | c} 1 & -1 & 1 & 8 0 & 1 & -12 & -15 0 & 5 & -3 & -18 end {array} certo])

Então

(- 5R_2 + R_3 = R_3 rightarrow left [ begin {array} {ccc | c} 1 & -1 & 1 & 8 0 & 1 & 1 & -12 & -15 0 & 0 & 57 & 57 end {array} right] )

(- dfrac {1} {57} R_3 = R_3 rightarrow left [ begin {array} {ccc | c} 1 & -1 & 1 & 8 0 & 1 & -12 & -15 0 & 0 & 1 & 1 end {array} right] )

A última matriz representa o sistema equivalente.

[ begin {align *} x − y + z & = 8 y − 12z & = −15 z & = 1 end {align *} ]

Usando substituição reversa, obtemos a solução como ((4, −3,1) ).

Exemplo ( PageIndex {8} ): Resolvendo um sistema dependente de equações lineares usando matrizes

Resolva o seguinte sistema de equações lineares usando matrizes.

[ begin {align *} −x − 2y + z & = −1 2x + 3y & = 2 y − 2z & = 0 end {align *} ]

Solução

Escreva a matriz aumentada.

( left [ begin {array} {ccc | c} -1 & -2 & 1 & -1 2 & 3 & 0 & 2 0 & 1 & -2 & 0 end {array} right] )

Primeiro, multiplique a linha 1 por (- 1 ) para obter um (1 ) na linha 1, coluna 1. Em seguida, execute operações de linha para obter a forma escalonada em linha.

(- R_1 rightarrow left [ begin {array} {ccc | c} 1 & 2 & -1 & 1 2 & 3 & 0 & 2 0 & 1 & -2 & 0 end {array} right] )

(R_2 leftrightarrow R_3 rightarrow left [ begin {array} {ccc | c} 1 & 2 & -1 & 1 0 & 1 & -2 & 0 2 & 3 & 0 & 2 end {array} right] )

(- 2R_1 + R_3 = R_3 rightarrow left [ begin {array} {ccc | c} 1 & 2 & -1 & 1 0 & 1 & -2 & 0 0 & -1 & 2 & 0 end {array} right] )

(R_2 + R_3 = R_3 rightarrow left [ begin {array} {ccc | c} 1 & 2 & -1 & 1 0 & 1 & -2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end {array} right] )

A última matriz representa o seguinte sistema.

[ begin {align *} x + 2y − z & = 1 y − 2z & = 0 0 & = 0 end {align *} ]

Vemos pela identidade (0 = 0 ) que este é um sistema dependente com um número infinito de soluções. Em seguida, encontramos a solução genérica. Resolvendo a segunda equação para (y ) e substituindo-a na primeira equação, podemos resolver (z ) em termos de (x ).

[ begin {align *} x + 2y − z & = 1 y & = 2z x + 2 (2z) −z & = 1 x + 3z & = 1 z & = dfrac {1 − x} {3} end {align *} ]

Agora substituímos (z ) pela expressão na segunda equação para resolver (y ) em termos de (x ).

[ begin {align *} y − 2z & = 0 z & = dfrac {1 − x} {3} y − 2 left ( dfrac {1 − x} {3} right) & = 0 y & = dfrac {2−2x} {3} end {align *} ]

A solução genérica é ( left (x, dfrac {2−2x} {3}, dfrac {1 − x} {3} right) ).

Exercício ( PageIndex {5} )

Resolva o sistema usando matrizes.

[ begin {align *} x + 4y-z & = 4 2x + 5y + 8z & = 1 5x + 3y-3z & = 1 end {align *} ]

Responder

((1,1,1))

P&R: Qualquer sistema de equações lineares pode ser resolvido pela eliminação de Gauss?

Sim, um sistema de equações lineares de qualquer tamanho pode ser resolvido pela eliminação gaussiana.

Como: Dado um sistema de equações, resolva com matrizes usando uma calculadora

  1. Salve a matriz aumentada como uma variável de matriz ([A], [B], [C],…. )
  2. Use o ref ( na calculadora, acessando cada variável de matriz conforme necessário.

Exemplo ( PageIndex {9A} ): Resolvendo sistemas de equações com matrizes usando uma calculadora

Resolva o sistema de equações.

[ begin {align *} 5x + 3y + 9z & = -1 -2x + 3y-z & = -2 -x-4y + 5z & = 1 end {align *} ]

Solução

Escreva a matriz aumentada para o sistema de equações.

( left [ begin {array} {ccc | c} 5 & 3 & 9 & -1 - 2 & 3 & -1 & -2 - 1 & -4 & 5 & 1 end {array} right] )

Na página da matriz da calculadora, insira a matriz aumentada acima como a variável da matriz ([A] ).

([A] = left [ begin {array} {ccc | c} 5 & 3 & 9 & -1 - 2 & 3 & -1 & -2 - 1 & -4 & 5 & 1 end {array} right] )

Use o ref ( na calculadora, acessando a variável de matriz ([A] ).

ref ([A])

Avalie

[ begin {array} {cc} { left [ begin {array} {ccc | c} 1 & dfrac {3} {5} & dfrac {9} {5} & dfrac {1} {5 } 0 & 1 & dfrac {13} {21} & - dfrac {4} {7} 0 & 0 & 1 & - dfrac {24} {187} end {array} right] rightarrow} & { begin { alinhar *} x + dfrac {3} {5} y + dfrac {9} {5} z & = - dfrac {1} {5} y + dfrac {13} {21} z & = - dfrac {4} {7} z & = - dfrac {24} {187} end {align *}} end {array} ]

Usando substituição reversa, a solução é ( left ( dfrac {61} {187}, - dfrac {92} {187}, - dfrac {24} {187} right) ).

Exemplo ( PageIndex {9B} ): Aplicando Matrizes (2 × 2 ) para Finanças

Carolyn investe um total de ($ 12.000 ) em dois títulos municipais, um pagando (10,5% ) juros e o outro pagando (12% ) juros. Os juros anuais ganhos com os dois investimentos no ano passado foram de ($ 1.335 ). Quanto foi investido em cada taxa?

Solução

Temos um sistema de duas equações em duas variáveis. Seja (x = ) o valor investido a (10,5% ) de juros e (y = ) o valor investido a (12% ) de juros.

[ begin {align *} x + y & = 12.000 0,105x + 0,12y & = 1.335 end {align *} ]

Como uma matriz, temos

( left [ begin {array} {cc | c} 1 & 1 & 12.000 0.105 & 0.12 & 1.335 end {array} right] )

Multiplique a linha 1 por (- 0,105 ) e adicione o resultado à linha 2.

( left [ begin {array} {cc | c} 1 & 1 & 12.000 0 & 0.015 & 75 end {array} right] )

Então,

[ begin {align *} 0,015y & = 75 y & = 5.000 end {align *} ]

Portanto, (12.000−5.000 = 7.000 ).

Assim, ($ 5.000 ) foi investido a (12% ) de juros e ($ 7.000 ) a (10,5% ) de juros.

Exemplo ( PageIndex {10} ): Aplicando Matrizes (3 × 3 ) às Finanças

A Ava investe um total de ($ 10.000 ) em três contas, uma pagando (5% ) juros, outra pagando (8% ) juros e a terceira pagando (9% ) juros. Os juros anuais ganhos nos três investimentos no ano passado foram ($ 770 ). O valor investido em (9% ) foi o dobro do valor investido em (5% ). Quanto foi investido em cada taxa?

Solução

Temos um sistema de três equações em três variáveis. Seja (x ) o valor investido a (5% ) de juros, seja (y ) o valor investido a (8% ) de juros, e seja (z ) o valor investido a (9% ) de juros. Desse modo,

[ begin {align *} x + y + z & = 10.000 0,05x + 0,08y + 0,09z & = 770 2x − z & = 0 end {align *} ]

Como uma matriz, temos

( left [ begin {array} {ccc | c} 1 & 1 & 1 & 10.000 0.05 & 0.08 & 0.09 & 770 2 & 0 & -1 & 0 end {array} right] )

Agora, realizamos a eliminação gaussiana para atingir a forma escalonada por linha.

(- 0,05R_1 + R_2 = R_2 rightarrow left [ begin {array} {ccc | c} 1 & 1 & 1 & 10.000 0 & 0.03 & 0.04 & 270 2 & 0 & -1 & 0 end {array} right] )

(- 2R_1 + R_3 = R_3 rightarrow left [ begin {array} {ccc | c} 1 & 1 & 1 & 10.000 0 & 0.03 & 0.04 & 270 0 & -2 & -3 & -20.000 end {array} right] )

( dfrac {1} {0.03} R_2 = R_2 rightarrow left [ begin {array} {ccc | c} 1 & 1 & 1 & 10.000 0 & 1 & dfrac {4} {3} & 9.000 0 & -2 & -3 e -20.000 end {array} right] )

(2R_2 + R_3 = R_3 rightarrow left [ begin {array} {ccc | c} 1 & 1 & 1 & 10.000 0 & 1 & dfrac {4} {3} & 9.000 0 & 0 & - dfrac {1} {3 } E - 2.000 end {array} right] )

A terceira linha nos diz (- dfrac {1} {3} z = −2.000 ); portanto, (z = 6.000 ).

A segunda linha nos diz (y + dfrac {4} {3} z = 9.000 ). Substituindo (z = 6.000 ), obtemos

[ begin {align *} y + dfrac {4} {3} (6.000) & = 9.000 y + 8.000 & = 9.000 y & = 1,000 end {align *} ]

A primeira linha nos diz (x + y + z = 10.000 ). Substituindo (y = 1.000 ) e (z = 6.000 ), obtemos

[ begin {align *} x + 1.000 + 6.000 & = 10.000 x & = 3.000 end {align *} ]

A resposta é ($ 3.000 ) investido a (5% ) de juros, ($ 1.000 ) investido a (8% ) e ($ 6.000 ) investido a (9% ) de juros.

Exercício ( PageIndex {6} )

Uma pequena empresa de calçados fez um empréstimo de ($ 1.500.000 ) para expandir seu estoque. Parte do dinheiro foi emprestado a (7% ), parte foi emprestado a (8% ) e parte foi emprestado a (10% ). O valor emprestado em (10% ) foi quatro vezes o valor emprestado em (7% ), e os juros anuais em todos os três empréstimos foram ($ 130.500 ). Use matrizes para encontrar o valor emprestado a cada taxa.

Responder

($ 150.000 ) em (7% ), ($ 750.000 ) em (8% ), ($ 600.000 ) em (10% )

Conceitos chave

  • Uma matriz aumentada é aquela que contém os coeficientes e constantes de um sistema de equações. Veja Exemplo ( PageIndex {1} ).
  • Uma matriz aumentada com a coluna constante pode ser representada como o sistema original de equações. Veja Exemplo ( PageIndex {2} ).
  • As operações de linha incluem multiplicar uma linha por uma constante, adicionar uma linha a outra linha e intercambiar linhas.
  • Podemos usar a eliminação de Gauss para resolver um sistema de equações. Veja Exemplo ( PageIndex {3} ), Exemplo ( PageIndex {4} ) e Exemplo ( PageIndex {5} ).
  • As operações de linha são realizadas em matrizes para obter a forma escalonada de linha. Veja Exemplo ( PageIndex {6} ).
  • Para resolver um sistema de equações, escreva-o na forma de matriz aumentada. Execute operações de linha para obter a forma escalonada de linha. Substitua as costas para encontrar as soluções. Veja Exemplo ( PageIndex {7} ) e Exemplo ( PageIndex {8} ).
  • Uma calculadora pode ser usada para resolver sistemas de equações usando matrizes. Veja Exemplo ( PageIndex {9} ).
  • Muitos problemas do mundo real podem ser resolvidos usando matrizes aumentadas. Veja Exemplo ( PageIndex {10} ) e Exemplo ( PageIndex {11} ).


Assista o vídeo: Sistemas Lineares e Não Lineares - Eliminação de Gauss (Outubro 2021).